شارح الدرس: مركز ثقل القضيب المنتظِم الرياضيات

مثال ١: إيجاد مركز ثقل قضيب منتظم عند إضافة كتلتين

قضيب منتظم طوله ٤ سم، وكتلته ٤ كجم. ثُبِّتت كتلة مقدارها ٥ كجم عند ، وثُبِّتت كتلة أخرى مقدارها ١ كجم عند . أوجد المسافة من مركز ثقل النظام إلى .

الحل

بما أن القضيب المنتظم كثافته ثابتة، فإن مركز ثقل هذا القضيب المنتظم يقع عند نقطة منتصفه. يمكننا افتراض أن كتلة القضيب المنتظم، التي مقدارها ٤ كجم، مُركَّزة عند نقطة منتصف ، في حين أن الكتلتين اللتين مقداراهما ٥ كجم و١ كجم مركَّزتان عند النقطتين ، على الترتيب. باستخدام وحدة السنتيمتر باعتبارها وحدة الطول، وبوضع نقطة الأصل عند النقطة ؛ يمكننا رسم خط إحداثي لتوضيح مواضع هذه الكُتَل.

إحداثي نقطة المنتصف هو متوسط إحداثيات النقطتين ، ، ونحصل عليه من خلال: . إذن تتركَّز كتلة القضيب المنتظم عند نقطة المنتصف. باستخدام إحداثيات الكُتَل الثلاث جميعها، يمكننا تكوين الجدول الآتي:

لعلنا نتذكَّر أنه بالنسبة إلى نظام يتكوَّن من جسيماتٍ كتلةُ كلٍّ منها عند الموضع ، فإننا نحصل على موضع مركز الثقل، الذي نُشير إليه بمركز ثقل الجسم، عن طريق:

بعبارة أخرى، مركز الثقل هو متوسط موضع كلِّ جسيم مرجَّحًا حسب كتلته. باستخدام الجدول الموضَّح سابقًا، يمكننا ضرب القيمتين الموجودتين في كلِّ عمود، وجمع حواصل الضرب للحصول على بسط الكسر:

المقام في صيغة مركز الثقل يساوي الكتلة الكلية للنظام، وهو ما نحصل عليه من خلال جمع قيم الصف الثاني من الجدول. ومن ثَمَّ، نحصل على:

ثم نعوِّض بهذه القيم في صيغة مركز الثقل:

إذن إحداثي مركز الثقل يساوي ١٫٢.

بما أن النقطة تقع عند نقطة الأصل، ووحدة الطول هي السنتيمتر؛ فإن المسافة بين النقطة ومركز الثقل تساوي ١٫٢ سم.

مثال ٢: إيجاد إحداثيات مركز ثقل إطار منتظم على شكل حرف Z

يوضِّح الشكل سلكًا منتظمًا طوله ١٠ سم؛ حيث . أوجد إحداثيات مركز ثقل السلك بالنسبة إلى المحورين ، .

الحل

تذكَّر أن مركز ثقل القضيب المنتظم يقع عند نقطة منتصفه. نظام الكُتَل المُعطَى في السؤال يتكوَّن من ثلاثة قضبان منتظمة. وبما أنه يمكننا تحديد مركز ثقل كلِّ قضيب عند نقطة منتصفه، إذن يمكننا التعامل مع ذلك على أنه نظام مكوَّن من ثلاثة جسيمات تتركَّز كتلتها عند مراكز الثقل الثلاثة.

بما أن توزيع الكتلة ثابت في القضيب المنتظم، فإن كتلة كلِّ قضيب تتناسب طرديًّا مع طوله. قيمة الكثافة لا تؤثِّر على موقع مركز الثقل؛ ومن ثَمَّ، يمكننا جعل الكثافة الطولية تساوي ١ كجم/سم. ومن ثَمَّ، فإن كتلة كلِّ قضيب تُعطَى من خلال طوله:

بما أن مركز ثقل كلِّ قضيب يقع عند نقطة منتصفه، إذن يمكننا أن نعتبر هذه الكُتَل مركَّزة بالفعل عند نقاط المنتصف لكلِّ قضيب. بعبارة أخرى، يمكننا التفكير في هذا الإطار على أنه نظام من الجسيمات التي تقع عند نقاط المنتصف لكلِّ قضيب كما في الشكل الآتي:

باستخدام السنتيمتر، باعتباره وحدة الطول في نظام الإحداثيات، يمكننا كتابة إحداثيات كلِّ نقطة كالآتي:

إحداثيات نقطة المنتصف لكلِّ قضيب هي متوسطات إحداثيات النقطتين الطرفيَّتين لكلِّ قضيب:

ومن ثَمَّ، يمكننا تكوين جدولٍ بإحداثيات وكُتَل.

لعلنا نتذكَّر أنه بالنسبة إلى نظام يتكوَّن من جسيماتٍ كتلةُ كلٍّ منها عند الموضع ، فإننا نحصل على الإحداثي والإحداثي لمركز ثقله، المُشار إليهما و على الترتيب، من خلال:

بعبارة أخرى، كلُّ إحداثي لمركز الثقل هو متوسط الإحداثيات لكلِّ جسيم مرجَّحًا حسب كتلته. باستخدام الجدول السابق، يمكننا ضرب كلِّ إحداثي في الكتلة الموجودة في العمود نفسه، وجمع حواصل الضرب للحصول على:

المقام في كلٍّ من الإحداثي والإحداثي يساوي الكتلة الكلية للنظام التي نحصل عليها من خلال جمع قيم الصف الأخير من الجدول. إذن:

بالتعويض بهذه القيم في صيغة مركز الثقل، نحصل على:

إذن إحداثيات مركز الثقل هي: .

مثال ٣: إيجاد إحداثيات مركز ثقل إطار غير منتظم على شكل شبه منحرف

إطار معدني رفيع على شكل شبه منحرف، فيه ، ، ، . وُضِع الإطار في مستوًى كارتيزيٍّ ليكون عند نقطة الأصل، على المحور . صُنِع القضيب من معدن كثافته تساوي ضعف كثافة المعدن المُستخدَم في الجزء المتبقِّي من الإطار. أوجد إحداثيات مركز ثقل الإطار.

الحل

نتذكَّر أن مركز ثقل كلِّ قضيب منتظم يقع عند نقطة منتصفه. يمكننا إيجاد مركز ثقل النظام المُعطَى عن طريق التعامل مع كتلة كلِّ قضيب باعتبارها تتركَّز عند نقطة منتصفه. نبدأ بتحديد كتلة كلِّ قضيب منتظم.

نلاحظ أن المثال لم يحدِّد كثافة القضبان المنتظمة أو كتلتها. لكننا نعرف أن كثافة القضيب تساوي ضعف كثافة القضبان الثلاثة الأخرى. بما أن مركز ثقل نظامٍ من الجسيمات يُعطَى بالموضع النسبيِّ لكلِّ جسيم مرجَّحًا حسب كتلته، فإننا نعلم أن قيمة الكثافة لا تؤثِّر على مركز الثقل. ومن ثَمَّ، هيا نفترض أن الكثافة الطولية للقضبان الثلاثة ، ، تساوي ١ كجم/سم، وهو ما يعني أن كثافة القضيب تساوي ٢ كجم/سم. وهذا يعني أن كتلة القطاع تساوي ضعف طوله، في حين أن كُتَل القضبان الثلاثة الأخرى تساوي أطوالَها:

لإيجاد كتلة القضيب نحتاج إلى حساب طوله. لقد رسمنا مثلثًا قائم الزاوية مع اعتبار أن هو الوتر.

بتطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث القائم الزاوية، نحصل على طول الضلع :

ومن ثَمَّ، فإن كتلة القضيب تساوي ٥٥ كجم.

وباستخدام السنتيمتر، باعتباره وحدة الطول، يمكننا تحديد إحداثيات كلِّ رأس في الشكل:

يمكننا حساب إحداثيات نقطة المنتصف لكلِّ قضيب عن طريق حساب متوسط إحداثيات نقطتَي طرفَي كلِّ قضيب:

باستخدام القيم التي حصلنا عليها حتى الآن، هيا نُنشئ جدولًا بالإحداثيات والكُتَل.

لعلنا نتذكَّر أنه بالنسبة إلى نظام يتكوَّن من جسيماتٍ كتلةُ كلٍّ منها عند الموضع ، فإننا نحصل على الإحداثي والإحداثي لمركز الثقل، المُشار إليهما و على الترتيب، من خلال:

بعبارة أخرى، كلُّ إحداثي لمركز الثقل هو متوسط إحداثيات كلِّ جسيم مرجَّحًا حسب كتلته. باستخدام الجدول السابق، يمكننا ضرب كلِّ إحداثي في الكتلة الموجودة في العمود نفسه، ثم جمع حواصل الضرب للحصول على:

المقام في كلٍّ من الإحداثي والإحداثي يساوي الكتلة الكلية للنظام التي نحصل عليها من خلال جمع قيم الصف الأخير من الجدول. ومن ثَمَّ، نحصل على:

بالتعويض بهذه القيم في صيغة مركز الثقل، نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن إحداثيات مركز الثقل هي: .

مثال ٤: إيجاد الزاوية المحصورة بين سلك منتظم على شكل حرف U والاتجاه الرأسي عند تعليقه تعليقًا حرًّا

في الشكل الآتي، سلك منتظم. تمَّ ثنيه عند النقطتين ، لتكوين زاويتين قائمتين. إذا كان السلك معلَّقًا تعليقًا حرًّا من . أوجد قياس زاوية ميل من الرأسي عندما يكون الجسم المعلَّق في وضع الاتزان. وقرِّب الناتج لأقرب دقيقة.

الحل

إننا نتذكَّر أنه في حالة جسم جاسئ يتأثَّر بمجال جاذبية منتظم، يكون الوزن هو القوة المؤثِّرة عند مركز ثقل الجسم الجاسئ. إذا عُلِّق جسم جاسئ من نقطة ما، فإن موضع الاتزان هو الموضع الذي يكون فيه مركز الثقل أسفل النقطة التي عُلِّق منها الجسم مباشرةً. ومن ثَمَّ، يمكننا تحديد الاتجاه الرأسي في حالة الاتزان من خلال توصيل النقطة التي يُعلَّق منها الجسم بمركز ثقل الجسم الجاسئ.

وبما أن السلك المُعطَى جسم جاسئ، إذن نبدأ بتحديد مركز ثقله. يمكننا أن نعتبر هذا السلك نظامًا مكوَّنًا من ثلاثة قضبان منتظمة، وهي: ، ، . لتحديد مركز الثقل، نفترض أن كتلة كلِّ قضيب تتركَّز عند مركز ثقله الذي يقع عند منتصفه. ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد مركز ثقل هذا النظام الناتج المكوَّن من ثلاثة جسيمات.

تذكَّر أنه إذا كان النظام المكوَّن من قضبان منتظمة له كثافة ثابتة، فإن قيمة الكثافة لا تؤثِّر على مركز الثقل. باعتبار أن الكثافة الطولية للسلك تساوي ١ كجم/سم، يمكننا افتراض أن كتلة كلِّ قضيب تساوي طوله بوحدة الكيلوجرام. يمكننا وضع السلك في نظام إحداثي، ووضع بيانات الكُتَل ومراكز الثقل للقضبان المنتظمة.

باستخدام السنتيمتر، باعتباره وحدة الطول، يمكننا تحديد إحداثيات كلِّ نقطة:

ومن ثَمَّ، فإن إحداثيات نقاط المنتصف لكلِّ قضيب هي متوسط إحداثيات طرفَيْه:

هيا ننظِّم هذه المُعطيات في جدول يتضمَّن الإحداثيات والكُتَل.

يمكننا تذكُّر أنه بالنسبة إلى نظام يتكوَّن من جسيماتٍ كتلةُ كلٍّ منها عند الموضع ، فإنه يمكننا الحصول على الإحداثي والإحداثي لمركز ثقله، المُشار إليهما ، على الترتيب، من خلال:

باستخدام الجدول السابق، يمكننا ضرب كلِّ إحداثي في الكتلة الموجودة في العمود نفسه، وجمع حواصل الضرب للحصول على:

المقام في كلٍّ من الإحداثي والإحداثي يساوي الكتلة الكلية للنظام التي نحصل عليها من خلال جمع قيم الصف الأخير من الجدول. ومن ثَمَّ، نحصل على:

بالتعويض بهذه القيم في صيغة مركز الثقل، نحصل على:

ومن ثَمَّ، إحداثيات مركز الثقل هي: . الخط الواصل بين الرأس الذي عُلِّق منه الجسم والنقطة يمثِّل الاتجاه الرأسي في وضع الاتزان. والآن، نحن جاهزون لإيجاد زاوية الميل المحصورة بين الاتجاه الرأسي والقطعة المستقيمة .

لإيجاد زاوية الميل، المُشار إليها بـ ، نرسم مثلثًا قائم الزاوية بإضافة خط عمودي من مركز الثقل إلى المحور .

كِلا الضلعين ، يمكن الحصول عليه من إحداثيات النقطة ومركز الثقل:

بتطبيق حساب المثلثات القائمة الزاوية، نحصل على زاوية الميل:

بما أن ، إذن يمكننا تحويل الجزء العشري من درجة لأقرب دقيقة من خلال: وهو ما يساوي لأقرب دقيقة. ومن ثَمَّ، فإن قياس زاوية ميل على الاتجاه الرأسي، عندما يكون الجسم في وضع الاتزان، يساوي .

مثال ٥: إيجاد مركز ثقل قضيب منحنٍ مُعلَّق تعليقًا حرًّا وفي حالة اتزان

قضيب منتظم طوله ٤٦ سم، ثُنِي حول نقطة منتصفه ، وعُلِّق تعليقًا حرًّا من النقطة . إذا كان في وضع أفقي عندما يكون معلَّقًا في حالة اتزان، فأوجد المسافة من مركز ثقل القضيب إلى .

الحل

يمكننا تذكُّر أنه في مجال الجاذبية المنتظم، يكون مركز الثقل هو النقطة التي يؤثِّر عندها وزن الجسم الجاسئ. وبما أن القضيب المنثني جسم جاسئ، إذن لا بد أن مركز الثقل يقع أسفل النقطة التي عُلِّق منها الجسم في وضع الاتزان.

يمكننا أن نعتبر القضيب المنثني نظامًا من قضيبين منتظمين متصلين عند النقطة . طول كلٍّ من القضيبين المنتظمين؛ أي ، ، يساوي . وبما أن طولَي كِلا القضيبين متساويان، إذن كتلتاهما متساويتان أيضًا. وبما أن كثافة القضيب المنتظم ثابتة، إذن مركز ثقل القضيب المنتظم يكون عند نقطة منتصفه. ومن ثَمَّ، يمكننا اعتبار أن كتلتَي القضيبين تتركَّزان عند نقطتَي منتصفَيْهما.

وينتج عن هذا نظام مكوَّن من جسيمين. وبما أن كِلا القضيبين له الكتلة نفسها، إذن الجسيمان لهما الكتلة نفسها. نريد إيجاد مركز ثقل هذا النظام. هيا نفترض أن كتلة كلِّ قضيب هي كجم، والمسافة بين مركز الثقل هي سم. يمكننا رسم خط إحداثي يمرُّ بهاتين النقطتين مع جعل إحداهما نقطة الأصل.

يمكننا تذكُّر أنه بالنسبة إلى نظام يتكوَّن من جسيماتٍ كتلةُ كلٍّ منها عند الموضع ، فإنه يمكننا الحصول على موضع مركز الثقل من خلال:

في هذا النظام، كتلتا الجسيمين كليهما تساويان كجم، وإحداثيات الكتلتين هي: صفر، . ومن ثَمَّ، فإن:

إحداثيات مركز الثقل هي ، وهي نقطة منتصف القطعة المستقيمة التي تصل بين مركزَي الثقل. نضيف مركز ثقل النظام إلى الشكل.

بما أن النقطة الخضراء في الشكل السابق هي مركز ثقل القضيب المنحني، وهذا القضيب معلَّق من النقطة ؛ إذن الخط الذي يصل بين النقطة ومركز الثقل لا بد أن يكون رأسيًّا في وضع الاتزان. بما أننا نعرف أن الخط يكون أفقيًّا في وضع الاتزان، إذن لا بد أن يتقاطع هذان المستقيمان عموديًّا. هيا نُضِف الخط الرأسي على الشكل، ونحدِّد جميع نقاط التقاطع.

من الشكل السابق، تُعطَى المسافة بين ومركز الثقل من خلال طول . ولإيجاد هذا الطول، نستخدم المثلثات المتشابهة والمتطابقة. لتحقيق ذلك، نُضيف ضلعين من النقطة يتعامدان على كلٍّ من القطعة المستقيمة الرأسية والقطعة المستقيمة الأفقية ، ثم نحدِّد نقاط التقاطع الجديدة على الرسم.

نحن نبحث عن طول ؛ أي مجموع طولَي الضلعين ، .

نبدأ بملاحظة أن المثلثين القائمَي الزاوية ، متشابهان؛ وهو ما يعني أن النسبة بين أطوال أضلاعهما ثابتة. وبما أن ضعف ، إذن نستنتج من ذلك أن:

يمكننا الحصول على طول بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الزاوية . نحن نعلم أن وتر هذا المثلث القائم الزاوية يساوي ٢٣ سم؛ لذا، علينا إيجاد طول قاعدته .

لإيجاد طول ، علينا ملاحظة أن النقطتين ، يقسمان القطعة المستقيمة إلى ثلاثة أجزاء أطوالها متساوية. يمكننا ملاحظة ذلك من خلال الانتباه إلى أن المثلثين ، متطابقان، بما أن . وأيضًا، بما أن ، ضلعان متقابلان في المستطيل ؛ إذن . وأخيرًا، بما أن المثلثين ، متطابقان؛ إذن طولَا ، متساويان. ومن ثَمَّ، نحصل على:

وهذا يؤدِّي إلى حقيقة أن ، وهذا يعني أن النقطتين ، تقسمان القطعة المستقيمة إلى ثلاثة أجزاء أطوالها متساوية. وبما أن هي نقطة منتصف القطعة المستقيمة ، وبما أن سنتيمترًا؛ إذن نعلم أن :

وبتطبيق نظرية فيثاغورس، نحصل على:

وهذا يؤدي إلى:

بعد ذلك، هيا نُوجِد طول . بما أن المثلثين ، متطابقان، إذن طول يساوي طول . على الجانب الآخَر، المثلثان ، متشابهان، وهذا يعني أن نسب الأضلاع المتناظرة تكون حتمًا ثابتة. بما أن طول الضلع يساوي ضعف طول ، إذن طول يجب أن يكون ضعف . ومن ثَمَّ، فإن:

يمكننا إيجاد طول بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث . الوتر يساوي نصف طول . ومن ثَمَّ، فإن . أيضًا، نعرف من ذلك أن طول القاعدة يساوي ثُلث طول . إذن . بتطبيق نظرية فيثاغورس:

وبالتعويض بذلك فيما سبق، نحصل على:

وأخيرًا، بجمع الطولين معًا نحصل على طول :

ومن ثَمَّ، فإن المسافة من النقطة إلى مركز الثقل تساوي سم.