شارح الدرس: مركز ثقل القضيب المنتظِم الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مركز ثقل قضيب منتظم.

في مجال الجاذبية المنتظم، مركز الثقل هو النقطة التي تؤثِّر عندها قوة وزن الجسم. بعبارة أخرى، يمكننا افتراض أن كتلة الجسم تكون مركَّزة عند مركز الثقل كما لو كان جسيمًا. إذا ارتكز جسم جاسئ عند مركز ثقله، فسيكون متزنًا تمامًا عند هذه النقطة.

في حالة الأجسام الجاسئة التي لها كثافة ثابتة، يقع مركز الثقل عند المركز الهندسي لهذه الأجسام. القضيب المنتظم هو جسم خطِّي له كثافة طولية ثابتة، ومركز ثقله يقع عند نقطة منتصفه.

وكما نرى في الشكل السابق، يتزن القضيب المنتظم تمامًا عند نقطة منتصفه.

تعريف: مركز ثقل القضيب المنتظم

يقع مركز ثقل القضيب المنتظم عند نقطة منتصفه.

ومن ثَمَّ، يمكننا افتراض أن كتلة القضيب المنتظم تتركَّز عند مركز الثقل الذي يقع عند نقطة منتصف القضيب. بعبارة أخرى، يمكننا التعامل مع كتلة القضيب المنتظم باعتبارها جسيمًا يقع عند نقطة المنتصف. عند التعامل مع نظام من الكُتَل يتضمَّن قضيبًا منتظمًا، يمكننا إيجاد مركز ثقل النظام عن طريق التعامل مع القضيب المنتظم باعتباره جسيمًا، وإيجاد مركز ثقل نظام الجسيمات الناتج.

نتذكَّر الصيغة الخاصة بإيجاد مركز الثقل لنظام من الجسيمات في نظام إحداثي.

نظرية: مركز ثقل نظام من الجسيمات

مركز ثقل أيِّ نظام من الجسيمات هو متوسط موضع الجسيمات، ويكون مرجَّحًا حسب كتلتها. بعبارة أخرى، إذا كانت لدينا كتلة 𞸊𞸍 إحداثياتها هي: 󰁓𞸎،𞸑󰁒𞸍𞸍، فإننا نحصل على الإحداثي 𞸎 والإحداثي 𞸑 لمركز الثقل، المُشار إليهما ا𞸎 وا𞸑 على الترتيب، من خلال: اا𞸎𞸍𞸍𞸍𞸑𞸍𞸍𞸍=󰌄𞸊𞸎󰌄𞸊،=󰌄𞸊𞸑󰌄𞸊.

في المثال الأول، نُوجِد مركز ثقل قضيب منتظم عند تثبيت كتلتين عند طرفَي القضيب.

مثال ١: إيجاد مركز ثقل قضيب منتظم عند إضافة كتلتين

󰏡𞸁 قضيب منتظم طوله ٤ سم، وكتلته ٤ كجم. ثُبِّتت كتلة مقدارها ٥ كجم عند 󰏡، وثُبِّتت كتلة أخرى مقدارها ١ كجم عند 𞸁. أوجد المسافة من مركز ثقل النظام إلى 󰏡.

الحل

بما أن القضيب المنتظم كثافته ثابتة، فإن مركز ثقل هذا القضيب المنتظم يقع عند نقطة منتصفه. يمكننا افتراض أن كتلة القضيب المنتظم، التي مقدارها ٤ كجم، مُركَّزة عند نقطة منتصف 󰏡𞸁، في حين أن الكتلتين اللتين مقداراهما ٥ كجم و١ كجم مركَّزتان عند النقطتين 󰏡، 𞸁 على الترتيب. باستخدام وحدة السنتيمتر باعتبارها وحدة الطول، وبوضع نقطة الأصل عند النقطة 󰏡؛ يمكننا رسم خط إحداثي لتوضيح مواضع هذه الكُتَل.

إحداثي نقطة المنتصف هو متوسط إحداثيات النقطتين 󰏡، 𞸁، ونحصل عليه من خلال: ٠+٤٢=٢. إذن تتركَّز كتلة القضيب المنتظم عند نقطة المنتصف. باستخدام إحداثيات الكُتَل الثلاث جميعها، يمكننا تكوين الجدول الآتي:

الموضع٠٢٤
الكتلة٥ كجم٤ كجم١ كجم

لعلنا نتذكَّر أنه بالنسبة إلى نظام يتكوَّن من جسيماتٍ كتلةُ كلٍّ منها 𞸊𞸍 عند الموضع 𞸎𞸍، فإننا نحصل على موضع مركز الثقل، الذي نُشير إليه بمركز ثقل الجسم، عن طريق: ا=󰌄𞸊𞸎󰌄𞸊.𞸍𞸍𞸍

بعبارة أخرى، مركز الثقل هو متوسط موضع كلِّ جسيم مرجَّحًا حسب كتلته. باستخدام الجدول الموضَّح سابقًا، يمكننا ضرب القيمتين الموجودتين في كلِّ عمود، وجمع حواصل الضرب للحصول على بسط الكسر: 󰌇𞸊𞸎=٠×٥+٢×٤+٤×١=٢١.𞸍𞸍

المقام في صيغة مركز الثقل يساوي الكتلة الكلية للنظام، وهو ما نحصل عليه من خلال جمع قيم الصف الثاني من الجدول. ومن ثَمَّ، نحصل على: 󰌇𞸊=٥+٤+١=٠١.𞸍

ثم نعوِّض بهذه القيم في صيغة مركز الثقل: ا=󰌄𞸊𞸎󰌄𞸊=٢١٠١=٢٫١.𞸍𞸍𞸍

إذن إحداثي مركز الثقل يساوي ١٫٢.

بما أن النقطة 󰏡 تقع عند نقطة الأصل، ووحدة الطول هي السنتيمتر؛ فإن المسافة بين النقطة 󰏡 ومركز الثقل تساوي ١٫٢ سم.

في المثال السابق، تناولنا نظامًا من الكُتَل يتكوَّن من قضيب منتظم مع تثبيت كتلتين عند طرفَيه. تمكَّنَّا من تحديد مركز الثقل لهذا النظام من خلال اعتبار كتلة القضيب المنتظم تتركَّز عند نقطة منتصفه.

يمكننا استخدام الطريقة نفسها عندما يكون لدينا نظام مكوَّن من عدَّة قضبان منتظمة. عندما تكون هناك عدَّة قضبان منتظمة متصلة معًا، فإنها تكوِّن جسمًا جاسئًا يُسمَّى إطارًا. يمكننا إيجاد مركز ثقل الإطار من خلال اعتبار كتلة كلِّ قضيب مركَّزة عند نقطة منتصفه. وبذلك يصبح لدينا نظام من الجسيمات يتطابق مركز ثقله مع مركز ثقل الإطار.

إذا كان كلُّ قضيب في الإطار له الكثافة نفسها، فإن قيمة هذه الكثافة لا تؤثِّر على مركز الثقل. وسنوضِّح هذا للإحداثي 𞸎 لمركز الثقل، الذي نرمز له ا𞸎. هيا نفترض أن طول القضبان المنتظمة في الإطار هو 𞸋𞸍. بالإشارة إلى الكثافة الطولية للقضيب المنتظم بالرمز 𝜌، فإن الكتلة 𞸊𞸍 لقضيب منتظم تساوي: 𞸊=𞸋×𝜌.𞸍𞸍

بالتعويض بهذا التعبير في صيغة ا𞸎، نحصل على: ا𞸎𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍=󰌄𞸊𞸎󰌄𞸊=󰌄𞸋𝜌𞸎󰌄𞸋𝜌=𝜌󰁓󰌄𞸋𞸎󰁒𝜌󰁓󰌄𞸋󰁒=󰌄𞸋𞸎󰌄𞸋.

نلاحظ أن التعبير الناتج لا يعتمد على الكثافة الطولية 𝜌. ومن الواضح أن مركز الثقل للإحداثي 𞸑؛ أي ا𞸑، لن يعتمد على 𝜌. ولهذا السبب، غالبًا ما تكون الكثافة، أو الوزن الدقيق للقضبان المنتظمة، غير محدَّدة في الأمثلة. لتبسيط العمليات الحسابية، يمكننا جعل الكثافة الطولية تساوي واحدًا؛ بحيث تُعطَى كتلة القضيب المنتظم من خلال طوله.

في المثال الآتي، نُوجِد مركز ثقل نظامٍ من القضبان المنتظمة، تحديدًا مركز ثقل إطار سلكيٍّ على شكل حرف Z، موضوع في مستوى الإحداثيات الديكارتية.

مثال ٢: إيجاد إحداثيات مركز ثقل إطار منتظم على شكل حرف Z

يوضِّح الشكل سلكًا منتظمًا 󰏡𞸁𞸢𞸃 طوله ١٠ سم؛ حيث 󰏡𞸁=𞸁𞸢=٢𞸢𞸃=٤. أوجد إحداثيات مركز ثقل السلك بالنسبة إلى المحورين 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢.

الحل

تذكَّر أن مركز ثقل القضيب المنتظم يقع عند نقطة منتصفه. نظام الكُتَل المُعطَى في السؤال يتكوَّن من ثلاثة قضبان منتظمة. وبما أنه يمكننا تحديد مركز ثقل كلِّ قضيب عند نقطة منتصفه، إذن يمكننا التعامل مع ذلك على أنه نظام مكوَّن من ثلاثة جسيمات تتركَّز كتلتها عند مراكز الثقل الثلاثة.

بما أن توزيع الكتلة ثابت في القضيب المنتظم، فإن كتلة كلِّ قضيب تتناسب طرديًّا مع طوله. قيمة الكثافة لا تؤثِّر على موقع مركز الثقل؛ ومن ثَمَّ، يمكننا جعل الكثافة الطولية تساوي ١ كجم/سم. ومن ثَمَّ، فإن كتلة كلِّ قضيب تُعطَى من خلال طوله: 󰏡𞸁=٤،𞸁𞸢=٤،𞸢𞸃=٤×١٢=٢.

بما أن مركز ثقل كلِّ قضيب يقع عند نقطة منتصفه، إذن يمكننا أن نعتبر هذه الكُتَل مركَّزة بالفعل عند نقاط المنتصف لكلِّ قضيب. بعبارة أخرى، يمكننا التفكير في هذا الإطار على أنه نظام من الجسيمات التي تقع عند نقاط المنتصف لكلِّ قضيب كما في الشكل الآتي:

باستخدام السنتيمتر، باعتباره وحدة الطول في نظام الإحداثيات، يمكننا كتابة إحداثيات كلِّ نقطة كالآتي: 󰏡=(٠،٤)،𞸁=(٠،٠)،𞸢=(٤،٠)،𞸃=(٤،٢).

إحداثيات نقطة المنتصف لكلِّ قضيب هي متوسطات إحداثيات النقطتين الطرفيَّتين لكلِّ قضيب: 󰏡𞸁=󰂔٠،٠+٤٢󰂓=(٠،٢)،𞸁𞸢=󰂔٠+٤٢،٠󰂓=(٢،٠)،𞸢𞸃=󰂔٤،٠٢٢󰂓=(٤،١).

ومن ثَمَّ، يمكننا تكوين جدولٍ بإحداثيات وكُتَل.

القضبان󰏡𞸁𞸁𞸢𞸢𞸃
الإحداثي 𞸎٠٢٤
الإحداثي 𞸑٢٠١
الكتلة٤ كجم٤ كجم٢ كجم

لعلنا نتذكَّر أنه بالنسبة إلى نظام يتكوَّن من جسيماتٍ كتلةُ كلٍّ منها 𞸊𞸍 عند الموضع 󰁓𞸎،𞸑󰁒𞸍𞸍، فإننا نحصل على الإحداثي 𞸎 والإحداثي 𞸑 لمركز ثقله، المُشار إليهما ا𞸎 وا𞸑 على الترتيب، من خلال: اا𞸎𞸍𞸍𞸍𞸑𞸍𞸍𞸍=󰌄𞸊𞸎󰌄𞸊،=󰌄𞸊𞸑󰌄𞸊.

بعبارة أخرى، كلُّ إحداثي لمركز الثقل هو متوسط الإحداثيات لكلِّ جسيم مرجَّحًا حسب كتلته. باستخدام الجدول السابق، يمكننا ضرب كلِّ إحداثي في الكتلة الموجودة في العمود نفسه، وجمع حواصل الضرب للحصول على: 󰌇𞸊𞸎=٠×٤+٢×٤+٤×٢=٦١،󰌇𞸊𞸑=٢×٤+٠×٤+(١)×٢=٦.𞸍𞸍𞸍𞸍

المقام 󰌇𞸊𞸍 في كلٍّ من الإحداثي 𞸎 والإحداثي 𞸑 يساوي الكتلة الكلية للنظام التي نحصل عليها من خلال جمع قيم الصف الأخير من الجدول. إذن: 󰌇𞸊=٤+٤+٢=٠١.𞸍

بالتعويض بهذه القيم في صيغة مركز الثقل، نحصل على: اا𞸎𞸍𞸍𞸍𞸑𞸍𞸍𞸍=󰌄𞸊𞸎󰌄𞸊=٦١٠١=٨٥،=󰌄𞸊𞸑󰌄𞸊=٦٠١=٣٥.

إذن إحداثيات مركز الثقل هي: 󰂔٨٥،٣٥󰂓.

في المثال الآتي، نُوجِد مركز ثقل نظام من القضبان المنتظمة على مستوًى إحداثي؛ حيث تختلف كثافة هذه القضبان.

مثال ٣: إيجاد إحداثيات مركز ثقل إطار غير منتظم على شكل شبه منحرف

󰏡𞸁𞸢𞸃 إطار معدني رفيع على شكل شبه منحرف، فيه 󰏡𞸃=٢٢، 𞸢𞸃=٣٣، 𞸁𞸢=٦٦، 𞹟󰌑𞸢=𞹟󰌑𞸃=٠٩. وُضِع الإطار في مستوًى كارتيزيٍّ ليكون 󰏡 عند نقطة الأصل، 𞸃 على المحور 𞸎. صُنِع القضيب 󰏡𞸃 من معدن كثافته تساوي ضعف كثافة المعدن المُستخدَم في الجزء المتبقِّي من الإطار. أوجد إحداثيات مركز ثقل الإطار.

الحل

نتذكَّر أن مركز ثقل كلِّ قضيب منتظم يقع عند نقطة منتصفه. يمكننا إيجاد مركز ثقل النظام المُعطَى عن طريق التعامل مع كتلة كلِّ قضيب باعتبارها تتركَّز عند نقطة منتصفه. نبدأ بتحديد كتلة كلِّ قضيب منتظم.

نلاحظ أن المثال لم يحدِّد كثافة القضبان المنتظمة أو كتلتها. لكننا نعرف أن كثافة القضيب 󰏡𞸃 تساوي ضعف كثافة القضبان الثلاثة الأخرى. بما أن مركز ثقل نظامٍ من الجسيمات يُعطَى بالموضع النسبيِّ لكلِّ جسيم مرجَّحًا حسب كتلته، فإننا نعلم أن قيمة الكثافة لا تؤثِّر على مركز الثقل. ومن ثَمَّ، هيا نفترض أن الكثافة الطولية للقضبان الثلاثة 󰏡𞸁، 𞸁𞸢، 𞸢𞸃 تساوي ١ كجم/سم، وهو ما يعني أن كثافة القضيب 󰏡𞸃 تساوي ٢ كجم/سم. وهذا يعني أن كتلة القطاع 󰏡𞸃 تساوي ضعف طوله، في حين أن كُتَل القضبان الثلاثة الأخرى تساوي أطوالَها: 󰏡𞸃=٢×٢٢=٤٤،𞸁𞸢=٦٦،𞸢𞸃=٣٣.

لإيجاد كتلة القضيب 󰏡𞸁 نحتاج إلى حساب طوله. لقد رسمنا مثلثًا قائم الزاوية مع اعتبار أن 󰏡𞸁 هو الوتر.

بتطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث القائم الزاوية، نحصل على طول الضلع 󰏡𞸁: 󰏡𞸁=󰋴٤٤+٣٣=٥٥.٢٢

ومن ثَمَّ، فإن كتلة القضيب 󰏡𞸁 تساوي ٥٥ كجم.

وباستخدام السنتيمتر، باعتباره وحدة الطول، يمكننا تحديد إحداثيات كلِّ رأس في الشكل: 󰏡=(٠،٠)،𞸁=(٤٤،٣٣)،𞸢=(٢٢،٣٣)،𞸃=(٢٢،٠).

يمكننا حساب إحداثيات نقطة المنتصف لكلِّ قضيب عن طريق حساب متوسط إحداثيات نقطتَي طرفَي كلِّ قضيب: 󰏡𞸁=󰂔٠٤٤٢،٠+٣٣٢󰂓=󰂔٢٢،٣٣٢󰂓،𞸁𞸢=󰂔٤٤+٢٢٢،٣٣󰂓=(١١،٣٣)،𞸢𞸃=󰂔٢٢،٣٣+٠٢󰂓=󰂔٢٢،٣٣٢󰂓،𞸃󰏡=󰂔٢٢+٠٢،٠󰂓=(١١،٠).

باستخدام القيم التي حصلنا عليها حتى الآن، هيا نُنشئ جدولًا بالإحداثيات والكُتَل.

القضبان󰏡𞸁𞸁𞸢𞸢𞸃𞸃󰏡
إحداثيات 𞸎٢٢١١٢٢١١
إحداثيات 𞸑٣٣٢٣٣٣٣٢٠
الكتلة٥٥ كجم٦٦ كجم٣٣ كجم٤٤ كجم

لعلنا نتذكَّر أنه بالنسبة إلى نظام يتكوَّن من جسيماتٍ كتلةُ كلٍّ منها 𞸊𞸍 عند الموضع 󰁓𞸎،𞸑󰁒𞸍𞸍، فإننا نحصل على الإحداثي 𞸎 والإحداثي 𞸑 لمركز الثقل، المُشار إليهما ا𞸎 وا𞸑 على الترتيب، من خلال: اا𞸎𞸍𞸍𞸍𞸑𞸍𞸍𞸍=󰌄𞸊𞸎󰌄𞸊،=󰌄𞸊𞸑󰌄𞸊.

بعبارة أخرى، كلُّ إحداثي لمركز الثقل هو متوسط إحداثيات كلِّ جسيم مرجَّحًا حسب كتلته. باستخدام الجدول السابق، يمكننا ضرب كلِّ إحداثي في الكتلة الموجودة في العمود نفسه، ثم جمع حواصل الضرب للحصول على: 󰌇𞸊𞸎=(٢٢)×٥٥+(١١)×٦٦+٢٢×٣٣+١١×٤٤=٦٢٧،󰌇𞸊𞸑=٣٣٢×٥٥+٣٣×٦٦+٣٣٢×٣٣+٠×٤٤=٠٣٦٣.𞸍𞸍𞸍𞸍

المقام 󰌇𞸊𞸍 في كلٍّ من الإحداثي 𞸎 والإحداثي 𞸑 يساوي الكتلة الكلية للنظام التي نحصل عليها من خلال جمع قيم الصف الأخير من الجدول. ومن ثَمَّ، نحصل على: 󰌇𞸊=٥٥+٦٦+٣٣+٤٤=٨٩١.𞸍

بالتعويض بهذه القيم في صيغة مركز الثقل، نحصل على: اا𞸎𞸍𞸍𞸍𞸑𞸍𞸍𞸍=󰌄𞸊𞸎󰌄𞸊=٦٢٧٨٩١=١١٣،=󰌄𞸊𞸑󰌄𞸊=٠٣٦٣٨٩١=٥٥٣.

ومن ثَمَّ، فإن إحداثيات مركز الثقل هي: 󰂔١١٣،٥٥٣󰂓.

في المثالين السابقين، أوجدنا إحداثيات مركز ثقلٍ لنظام من القضبان المنتظمة أو الإطارات. تذكَّر أنه في مجال الجاذبية المنتظم، يكون وزن الجسم الجاسئ عبارة عن قوة واحدة تؤثِّر عند مركز ثقله. وبما أن الإطار جسم جاسئ، إذن وزنه عبارة عن قوة مؤثِّرة لأسفل عند مركز ثقله.

الآن، نفترض أننا علَّقنا الإطار من أحد رءوسه. عندما يصبح هذا النظام في حالة اتزان، لن يدور حول الرأس الذي علَّقنا منه الجسم. بما أن وزن الإطار هو قوة واحدة تؤثِّر عند مركز ثقله، إذن الاتزان لا يكون ممكنًا إلا عندما يقع مركز الثقل رأسيًّا أسفل النقطة التي عُلِّق منها الجسم.

نظرية: الخط الرأسي في الإطار معلَّق من أحد الرءوس

عند تعليق إطار من أحد رءوسه، يحدث الاتزان عندما يكون مركز الثقل أسفل الرأس المعلَّق مباشرةً.

بعبارة أخرى، يمكننا الحصول على الخط الرأسي للنظام الذي يكون في حالة اتزان من خلال توصيل الرأس المعلَّق بمركز الثقل. يمكننا دائمًا تحديد الاتجاه الرأسي باستخدام هذه الطريقة ما دام مركز الثقل لا يقع عند الرأس المعلَّق. لا يمكننا استخدام هذه الطريقة عندما يتطابق مركز الثقل مع الرأس الذي نعلِّق منه الجسم؛ وذلك لأن الجسم الجاسئ الذي يُعلَّق من مركز ثقله يكون في حالة اتزان عند أيِّ موضع. بعبارة أخرى، إذا كان الرأس المعلَّق يقع عند مركز الثقل، فإن الاتجاه الرأسي لن يكون محدَّدًا بدقة؛ لأن أيَّ اتجاه يمكن أن يكون الاتجاه الرأسي في حالة الاتزان.

في المثال الآتي، نُوجِد مركز ثقل إطارٍ على شكل حرف U ونستخدمه لإيجاد قياس الزاوية بين الاتجاه الرأسي والقضبان، وهي زاوية الميل، في حالة الاتزان.

مثال ٤: إيجاد الزاوية المحصورة بين سلك منتظم على شكل حرف U والاتجاه الرأسي عند تعليقه تعليقًا حرًّا

في الشكل الآتي، 󰏡𞸃 سلك منتظم. تمَّ ثنيه عند النقطتين 𞸁، 𞸢 لتكوين زاويتين قائمتين. إذا كان السلك معلَّقًا تعليقًا حرًّا من 󰏡، فأوجد قياس زاوية ميل 󰏡𞸁 من الرأسي عندما يكون الجسم المعلَّق في وضع الاتزان. وقرِّب الناتج لأقرب دقيقة.

الحل

إننا نتذكَّر أنه في حالة جسم جاسئ يتأثَّر بمجال جاذبية منتظم، يكون الوزن هو القوة المؤثِّرة عند مركز ثقل الجسم الجاسئ. إذا عُلِّق جسم جاسئ من نقطة ما، فإن موضع الاتزان هو الموضع الذي يكون فيه مركز الثقل أسفل النقطة التي عُلِّق منها الجسم مباشرةً. ومن ثَمَّ، يمكننا تحديد الاتجاه الرأسي في حالة الاتزان من خلال توصيل النقطة التي يُعلَّق منها الجسم بمركز ثقل الجسم الجاسئ.

وبما أن السلك المُعطَى جسم جاسئ، إذن نبدأ بتحديد مركز ثقله. يمكننا أن نعتبر هذا السلك نظامًا مكوَّنًا من ثلاثة قضبان منتظمة، وهي: 󰏡𞸁، 𞸁𞸢، 𞸢𞸃. لتحديد مركز الثقل، نفترض أن كتلة كلِّ قضيب تتركَّز عند مركز ثقله الذي يقع عند منتصفه. ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد مركز ثقل هذا النظام الناتج المكوَّن من ثلاثة جسيمات.

تذكَّر أنه إذا كان النظام المكوَّن من قضبان منتظمة له كثافة ثابتة، فإن قيمة الكثافة لا تؤثِّر على مركز الثقل. باعتبار أن الكثافة الطولية للسلك تساوي ١ كجم/سم، يمكننا افتراض أن كتلة كلِّ قضيب تساوي طوله بوحدة الكيلوجرام. يمكننا وضع السلك في نظام إحداثي، ووضع بيانات الكُتَل ومراكز الثقل للقضبان المنتظمة.

باستخدام السنتيمتر، باعتباره وحدة الطول، يمكننا تحديد إحداثيات كلِّ نقطة: 󰏡=(٠،٩٤)،𞸁=(٠،٠)،𞸢=(٦٣،٠)،𞸃=(٦٣،١٢).

ومن ثَمَّ، فإن إحداثيات نقاط المنتصف لكلِّ قضيب هي متوسط إحداثيات طرفَيْه: 󰏡𞸁=󰂔٠،٩٤+٠٢󰂓=󰂔٠،٩٤٢󰂓،𞸁𞸢=󰂔٠+٦٣٢،٠󰂓=(٨١،٠)،𞸢𞸃=󰂔٦٣،٠+١٢٢󰂓=󰂔٦٣،١٢٢󰂓.

هيا ننظِّم هذه المُعطيات في جدول يتضمَّن الإحداثيات والكُتَل.

القضبان󰏡𞸁𞸁𞸢𞸢𞸃
الإحداثي 𞸎٠١٨٣٦
الإحداثي 𞸑٩٤٢٠١٢٢
الكتلة٤٩ كجم٣٦ كجم٢١ كجم

يمكننا تذكُّر أنه بالنسبة إلى نظام يتكوَّن من جسيماتٍ كتلةُ كلٍّ منها 𞸊𞸍 عند الموضع 󰁓𞸎،𞸑󰁒𞸍𞸍، فإنه يمكننا الحصول على الإحداثي 𞸎 والإحداثي 𞸑 لمركز ثقله، المُشار إليهما ا𞸎، ا𞸑 على الترتيب، من خلال: اا𞸎𞸍𞸍𞸍𞸑𞸍𞸍𞸍=󰌄𞸊𞸎󰌄𞸊،=󰌄𞸊𞸑󰌄𞸊.

باستخدام الجدول السابق، يمكننا ضرب كلِّ إحداثي في الكتلة الموجودة في العمود نفسه، وجمع حواصل الضرب للحصول على: 󰌇𞸊𞸎=٠×٩٤+٨١×٦٣+٦٣×١٢=٤٠٤١،󰌇𞸊𞸑=٩٤٢×٩٤+٠×٦٣+١٢٢×١٢=١٢٤١.𞸍𞸍𞸍𞸍

المقام 󰌇𞸊𞸍 في كلٍّ من الإحداثي 𞸎 والإحداثي 𞸑 يساوي الكتلة الكلية للنظام التي نحصل عليها من خلال جمع قيم الصف الأخير من الجدول. ومن ثَمَّ، نحصل على: 󰌇𞸊=٩٤+٦٣+١٢=٦٠١.𞸍

بالتعويض بهذه القيم في صيغة مركز الثقل، نحصل على: اا𞸎𞸍𞸍𞸍𞸑𞸍𞸍𞸍=󰌄𞸊𞸎󰌄𞸊=٤٠٤١٦٠١،=󰌄𞸊𞸑󰌄𞸊=١٢٤١٦٠١.

ومن ثَمَّ، إحداثيات مركز الثقل هي: 󰂔٤٠٤١٦٠١،١٢٤١٦٠١󰂓. الخط الواصل بين الرأس الذي عُلِّق منه الجسم 󰏡(٠،٩٤) والنقطة 󰂔٤٠٤١٦٠١،١٢٤١٦٠١󰂓 يمثِّل الاتجاه الرأسي في وضع الاتزان. والآن، نحن جاهزون لإيجاد زاوية الميل المحصورة بين الاتجاه الرأسي والقطعة المستقيمة 󰏡𞸁.

لإيجاد زاوية الميل، المُشار إليها بـ 𝜃، نرسم مثلثًا قائم الزاوية بإضافة خط عمودي من مركز الثقل إلى المحور 𞸑.

كِلا الضلعين 𞸀، 𞸁 يمكن الحصول عليه من إحداثيات النقطة 󰏡 ومركز الثقل: 𞸀=٩٤١٢٤١٦٠١=٥٤٧٫٥٣،𞸁=٤٠٤١٦٠١=٥٤٢٫٣١.

بتطبيق حساب المثلثات القائمة الزاوية، نحصل على زاوية الميل: 𝜃=٥٤٢٫٣١٣٥٧٫٥٣=١١١٤٫٠٢.١

بما أن ١=٠٦، إذن يمكننا تحويل الجزء العشري من درجة لأقرب دقيقة من خلال: ١١١٤٫٠×٠٦=٧٦٦٫٤٢، وهو ما يساوي ٥٢ لأقرب دقيقة. ومن ثَمَّ، فإن قياس زاوية ميل 󰏡𞸁 على الاتجاه الرأسي، عندما يكون الجسم في وضع الاتزان، يساوي ٥٢٠٢.

في المثال الأخير. نُوجِد مركز ثقل إطارٍ إذا كانت لدينا مُعطيات حول موضع الاتزان.

مثال ٥: إيجاد مركز ثقل قضيب منحنٍ مُعلَّق تعليقًا حرًّا وفي حالة اتزان

󰏡𞸁𞸢 قضيب منتظم طوله ٤٦ سم، ثُنِي حول نقطة منتصفه 𞸁، وعُلِّق تعليقًا حرًّا من النقطة 󰏡. إذا كان 𞸁𞸢 في وضع أفقي عندما يكون معلَّقًا في حالة اتزان، فأوجد المسافة من مركز ثقل القضيب إلى 󰏡.

الحل

يمكننا تذكُّر أنه في مجال الجاذبية المنتظم، يكون مركز الثقل هو النقطة التي يؤثِّر عندها وزن الجسم الجاسئ. وبما أن القضيب المنثني جسم جاسئ، إذن لا بد أن مركز الثقل يقع أسفل النقطة 󰏡 التي عُلِّق منها الجسم في وضع الاتزان.

يمكننا أن نعتبر القضيب المنثني نظامًا من قضيبين منتظمين متصلين عند النقطة 𞸁. طول كلٍّ من القضيبين المنتظمين؛ أي 󰏡𞸁، 𞸁𞸢، يساوي ٦٤٢=٣٢. وبما أن طولَي كِلا القضيبين متساويان، إذن كتلتاهما متساويتان أيضًا. وبما أن كثافة القضيب المنتظم ثابتة، إذن مركز ثقل القضيب المنتظم يكون عند نقطة منتصفه. ومن ثَمَّ، يمكننا اعتبار أن كتلتَي القضيبين تتركَّزان عند نقطتَي منتصفَيْهما.

وينتج عن هذا نظام مكوَّن من جسيمين. وبما أن كِلا القضيبين له الكتلة نفسها، إذن الجسيمان لهما الكتلة نفسها. نريد إيجاد مركز ثقل هذا النظام. هيا نفترض أن كتلة كلِّ قضيب هي 𞸊 كجم، والمسافة بين مركز الثقل هي 𞸋 سم. يمكننا رسم خط إحداثي يمرُّ بهاتين النقطتين مع جعل إحداهما نقطة الأصل.

يمكننا تذكُّر أنه بالنسبة إلى نظام يتكوَّن من جسيماتٍ كتلةُ كلٍّ منها 𞸊𞸍 عند الموضع 𞸎𞸍، فإنه يمكننا الحصول على موضع مركز الثقل من خلال: ا=󰌄𞸊𞸎󰌄𞸊.𞸍𞸍𞸍

في هذا النظام، كتلتا الجسيمين كليهما تساويان 𞸊 كجم، وإحداثيات الكتلتين هي: صفر، 𞸋. ومن ثَمَّ، فإن: ا=󰌄𞸊𞸎󰌄𞸊=𞸊×٠+𞸊×𞸋𞸊+𞸊=𞸊𞸋٢𞸊=𞸋٢.𞸍𞸍𞸍

إحداثيات مركز الثقل هي 𞸋٢، وهي نقطة منتصف القطعة المستقيمة التي تصل بين مركزَي الثقل. نضيف مركز ثقل النظام إلى الشكل.

بما أن النقطة الخضراء في الشكل السابق هي مركز ثقل القضيب المنحني، وهذا القضيب معلَّق من النقطة 󰏡؛ إذن الخط الذي يصل بين النقطة 󰏡 ومركز الثقل لا بد أن يكون رأسيًّا في وضع الاتزان. بما أننا نعرف أن الخط 𞸁𞸢 يكون أفقيًّا في وضع الاتزان، إذن لا بد أن يتقاطع هذان المستقيمان عموديًّا. هيا نُضِف الخط الرأسي على الشكل، ونحدِّد جميع نقاط التقاطع.

من الشكل السابق، تُعطَى المسافة بين 󰏡 ومركز الثقل من خلال طول 󰏡𞸤. ولإيجاد هذا الطول، نستخدم المثلثات المتشابهة والمتطابقة. لتحقيق ذلك، نُضيف ضلعين من النقطة 𞸃 يتعامدان على كلٍّ من القطعة المستقيمة الرأسية 󰏡𞸅 والقطعة المستقيمة الأفقية 𞸁𞸢، ثم نحدِّد نقاط التقاطع الجديدة على الرسم.

نحن نبحث عن طول 󰏡𞸤؛ أي مجموع طولَي الضلعين 󰏡𞸇، 𞸇𞸤.

نبدأ بملاحظة أن المثلثين القائمَي الزاوية 󰏡𞸇𞸃، 󰏡𞸅𞸁 متشابهان؛ وهو ما يعني أن النسبة بين أطوال أضلاعهما ثابتة. وبما أن 󰏡𞸁 ضعف 󰏡𞸃، إذن نستنتج من ذلك أن: 󰏡𞸇=١٢󰏡𞸅.

يمكننا الحصول على طول 󰏡𞸅 بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الزاوية 󰏡𞸅𞸁. نحن نعلم أن وتر هذا المثلث القائم الزاوية يساوي ٢٣ سم؛ لذا، علينا إيجاد طول قاعدته 𞸁𞸅.

لإيجاد طول 𞸁𞸅، علينا ملاحظة أن النقطتين 𞸈، 𞸅 يقسمان القطعة المستقيمة 𞸁𞸆 إلى ثلاثة أجزاء أطوالها متساوية. يمكننا ملاحظة ذلك من خلال الانتباه إلى أن المثلثين 󰏡𞸇𞸃، 𞸃𞸈𞸁 متطابقان، بما أن 𞸃𞸇=𞸁𞸈. وأيضًا، بما أن 𞸃𞸇، 𞸈𞸅 ضلعان متقابلان في المستطيل 𞸃𞸇𞸅𞸈؛ إذن 𞸃𞸇=𞸈𞸅. وأخيرًا، بما أن المثلثين 𞸃𞸇𞸤، 𞸆𞸅𞸤 متطابقان؛ إذن طولَا 𞸃𞸇، 𞸅𞸆 متساويان. ومن ثَمَّ، نحصل على: 𞸃𞸇=𞸁𞸈،𞸃𞸇=𞸈𞸅،𞸃𞸇=𞸅𞸆.

وهذا يؤدِّي إلى حقيقة أن 𞸁𞸈=𞸈𞸅=𞸅𞸆، وهذا يعني أن النقطتين 𞸈، 𞸅 تقسمان القطعة المستقيمة 𞸁𞸆 إلى ثلاثة أجزاء أطوالها متساوية. وبما أن 𞸆 هي نقطة منتصف القطعة المستقيمة 𞸁𞸢، وبما أن 𞸁𞸢=٣٢ سنتيمترًا؛ إذن نعلم أن 𞸁𞸆=٣٢٢: 𞸁𞸅=𞸁𞸈+𞸈𞸅=١٣𞸁𞸆+١٣𞸁𞸆=٢٣𞸁𞸆=٢٣×٣٢٢=٣٢٣.

وبتطبيق نظرية فيثاغورس، نحصل على: 󰏡𞸅=󰋴󰏡𞸁𞸁𞸅=󰋺٣٢󰂔٣٢٣󰂓=٦٤󰋴٢٣.٢٢٢٢

وهذا يؤدي إلى: 󰏡𞸇=١٢󰏡𞸅=٣٢󰋴٢٣.

بعد ذلك، هيا نُوجِد طول 𞸇𞸤. بما أن المثلثين 𞸃𞸇𞸤، 𞸆𞸅𞸤 متطابقان، إذن طول 𞸇𞸤 يساوي طول 𞸤𞸅. على الجانب الآخَر، المثلثان 𞸆𞸤𞸅، 𞸆𞸃𞸈 متشابهان، وهذا يعني أن نسب الأضلاع المتناظرة تكون حتمًا ثابتة. بما أن طول الضلع 𞸆𞸃 يساوي ضعف طول 𞸆𞸤، إذن طول 𞸃𞸈 يجب أن يكون ضعف 𞸤𞸅. ومن ثَمَّ، فإن: 𞸇𞸤=١٢𞸃𞸈.

يمكننا إيجاد طول 𞸃𞸈 بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث 𞸃𞸈𞸁. الوتر 𞸃𞸁 يساوي نصف طول 󰏡𞸁. ومن ثَمَّ، فإن 𞸃𞸁=٣٢٢. أيضًا، نعرف من ذلك أن طول القاعدة 𞸁𞸈 يساوي ثُلث طول 𞸁𞸆. إذن 𞸁𞸈=٣٢٦. بتطبيق نظرية فيثاغورس: 𞸃𞸈=󰋴𞸃𞸁𞸁𞸈=󰋺󰂔٣٢٢󰂓󰂔٣٢٦󰂓=٣٢󰋴٢٣.٢٢٢٢

وبالتعويض بذلك فيما سبق، نحصل على: 𞸇𞸤=١٢𞸃𞸈=٣٢󰋴٢٦.

وأخيرًا، بجمع الطولين معًا نحصل على طول 󰏡𞸤: 󰏡𞸤=󰏡𞸇+𞸇𞸤=٣٢󰋴٢٣+٣٢󰋴٢٦=٣٢󰋴٢٢.

ومن ثَمَّ، فإن المسافة من النقطة 󰏡 إلى مركز الثقل 𞸤 تساوي ٣٢󰋴٢٢ سم.

هيا نلخِّص بعض المفاهيم الأساسية التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يقع مركز ثقل قضيب منتظم عند نقطة منتصفه.
  • لإيجاد مركز ثقل نظام من الكُتَل يتكوَّن من قضبان وجسيمات منتظمة، يمكننا اعتبار أن كتلة كلِّ قضيب منتظم تتركَّز عند نقطة منتصف هذا القضيب.
  • يُطلَق على الجسم الجاسئ الذي يتكوَّن من عدَّة قضبان منتظمة إطارٌ. عند تعليق إطار من أحد رءوسه، فإن مركز ثقل الإطار يقع مباشرةً تحت الرأس الذي عُلِّق منه الإطار في وضع الاتزان. ويمكننا إيجاد الخط الرأسي في وضع الاتزان بتوصيل النقطة التي عُلِّق منها الجسم بمركز الثقل، بشرط ألَّا يكونا متطابقين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.