شارح الدرس: المجال والمدى من التمثيلات البيانية للدوال الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: إيجاد مجال دالة متقطعة ومداها

مجال الدالة هو .

الحل

لدينا التمثيل البياني للدالة ، ومطلوب منا إيجاد مجالها. نلاحظ من التمثيل البياني أن الدالة تحتوي على ٥ أزواج إحداثية فقط، إذن هذه دالة متقطعة. إننا نريد إيجاد مجال هذه الدالة، وهو مجموعة القيم المُدخلة للدالة.

يتضمن التمثيل البياني ٥ أزواج إحداثية، وهي ، ، ، ، . يشير الإحداثي إلى القيمة المُدخلة للدالة، ويشير الإحداثي إلى القيمة المُخرجة للدالة. إذن، مجال هذه الدالة هو مجموعة قيم :

يمكننا أيضًا إيجاد مدى الدالة. تذكَّر أن مدى الدالة هو مجموعة القيم المُخرجة للدالة بمعلومية مجالها. القيم المُخرجة للدالة هي الإحداثيات لهذه النقاط الخمس، لذا سيكون المدى هو مجموعة الإحداثيات :

مثال ٢: إيجاد مجال دالة ثابتة ومداها

عيِّن مجال ومدى الدالة .

الحل

لدينا التمثيل البياني للدالة ، ومطلوب منا إيجاد مجالها ومداها. هذه الدالة ثابتة؛ فأي قيمة نُدخلها في الدالة، ستكون القيمة المُخرجة هي . تذكَّر أن مجال الدالة هو مجموعة جميع القيم المُدخلة لهذه الدالة، ومدى الدالة هو مجموعة جميع القيم المُخرجة الممكنة للدالة بمعلومية مجالها. لاحظ في التمثيل البياني أن السهمين الموجودين على طرفي الخط المستقيم يشيران إلى أن الدالة ستستمر إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. يمكن أن تقبل هذه الدالة القيم المُدخلة من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية. هناك طريقة أخرى لقول ذلك، وهي:

القيم المُخرجة لهذه الدالة ثابتة ودائمًا ما تساوي . إذن، للدالة قيمة مُخرجة واحدة وهي . بعبارة أخرى،

مثال ٣: إيجاد مجال دالة متصلة ومداها

عيِّن مجال ومدى الدالة في .

الحل

لدينا التمثيل البياني للدالة ، ومطلوب منا إيجاد مجالها ومداها. تذكَّر أن مجال الدالة هو مجموعة جميع القيم المُدخلة لهذه الدالة، ومدى الدالة هو مجموعة جميع القيم المُخرجة الممكنة للدالة بمعلومية مجالها. لاحظ أنه لا يوجد أي فجوات أو انقطاع في التمثيل البياني للدالة الموضَّح أعلاه. هذا لأن دالة كثيرة الحدود، وجميع الدوال كثيرات الحدود تكون متصلة. يمكن أن تقبل الدالة أي قيمة لـ كقيمة مُدخلة. ومن ثم، مجال هو .

في التمثيل البياني المُعطى، يكون مدى قيم من إلى ١٠. وبالنظر إلى نهاية الدالة عندما يقترب من ، يمكننا إيجاد مدى .

بما أن قيمة تقترب من ما لا نهاية، فإن قيمة التعبير تقترب أيضًا من ما لا نهاية.

وبالمثل، بما أن قيمة تقترب من سالب ما لا نهاية، فإن قيمة التعبير تقترب من سالب ما لا نهاية.

ومن ثم، فإن مدى هو .

مثال ٤: إيجاد مجال دالة كسرية ومداها بمعلومية تمثيلها البياني

أوجد مجال الدالة ومداها.

الحل

لدينا التمثيل البياني للدالة ، ومطلوب منا إيجاد مجالها ومداها. تذكَّر أن مجال الدالة هو مجموعة جميع القيم المُدخلة لهذه الدالة، ومدى الدالة هو مجموعة جميع القيم المُخرجة الممكنة للدالة بمعلومية مجالها. إحدى طرق معرفة مجال الدالة هي رسم خطوط رأسية وتحديد نقاط تقاطع الخط الرأسي مع الدالة. وإذا كان الخط الرأسي لا يقطع المنحنى، فهذا يعني أنه يجب استبعاد قيمة من المجال. هذه الدالة لها خط تقارب رأسي عند . والمنحنى لا يقطع الخط المستقيم ، لذا لا يمكن تحديد كقيمة مُدخلة.

يمكننا أيضًا ملاحظة ذلك إذا حاولنا إيجاد قيمة مباشرةً. بالتعويض بـ في الدالة، نحصل على:

بما أن التعويض بالقيمة يعطينا صفرًا في مقام هذه الدالة الكسرية، فإن ليس جزءًا من المجال. إذن، فإن يمكن أن يساوي جميع القيم باستثناء ٥، كما أن:

يمكننا أيضًا استخدام الخطوط الأفقية لمساعدتنا في إيجاد مدى دالة ما. وإذا كان الخط الأفقي لا يقطع المنحنى، فلن تقع هذه القيمة ضمن مدى الدالة. هذه الدالة لها خط تقارب أفقي عند . يقترب المنحنى من الخط لكنه لا يقطعه أبدًا، لذا، لا يمكن أن يقع الصفر ضمن مدى .

بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن أي خط أفقي آخر لا يقع عند سيقطع منحنى الدالة. إذن،

مثال ٥: إيجاد مجال دالة متعددة التعريف ومداها

أوجد مجال الدالة الموضَّحة.

الحل

لدينا هنا التمثيل البياني لدالة متعددة التعريف ومطلوب منا إيجاد مجالها. تذكَّر أن مجال الدالة هو مجموعة جميع القيم المُدخلة لهذه الدالة، وهو ما يعطينا قيم مُخرجة حقيقية. تتكون الدالة المتعددة التعريف من دالتين جزئيتين أو أكثر على مجالات جزئية.

بما أن الدالة الجزئية الأولى لها سهمًا على اليسار ودائرة مصمتة على اليمين كنقطة بدايتها، فإن هذه الدالة الجزئية تحتوي على قيم مُدخلة للفترة . تبدأ الدالة الجزئية الثانية بدائرة مفرغة على اليسار وتستمر إلى ما لا نهاية في الاتجاه الموجب. وبناءً عليه، سيكون لهذه الدالة الجزئية قيم مُدخلة على الفترة المفتوحة . وبما أن هذه الدالة الجزئية لها دائرة مفرغة عند ، فإنها دالة غير معرَّفة عند .

مجال الدالة المتعددة التعريف هو اتحاد مجالاتها الجزئية. إذن، مجال هذه الدالة هو: أي .

يمكننا أيضًا توضيح ذلك بيانيًا. إذا كان الخط الرأسي يقطع منحنى دالة مُعطاة، فإن جزء من مجال هذه الدالة. وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد مجال الدالة بالنظر إلى الخطوط الرأسية. هيا نرسم خطًا رأسيًا لـ .

يبدو في البداية أن هناك تقاطعين بين والدالة المتعددة التعريف المُعطاة. أحد التقاطعين يقع عند .

والتقاطع الآخر يقع عند .

أحد هذين الزوجين الإحداثيين فقط ينتُج عنه تقاطعًا. النقطة مضمًّنة في الدالة المتعددة التعريف لأن الدائرة عندها مصمتة. أما النقطة مُستبعَدة من هذه الدالة لأن الدائرة عندها مفرغة. وبما أن هناك تقاطعًا بين الخط المستقيم والدالة المتعددة التعريف الممثَّلة بيانيًا، فإن الصفر جزء من المجال. علاوةً على ذلك، بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا القول إن أي خط رأسي سيقطع هذه الدالة المتعددة التعريف. إذن،

نلاحظ من التمثيل البياني أن هناك قيمتين مُخرَجتين فقط لهذه الدالة؛ إحداهما عند ، وهي ، والأخرى عند ، وهي . ومن ثَمَّ، فإن: