شارح الدرس: المجال والمدى من التمثيلات البيانية للدوال الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحدِّد مجال ومدى الدالة من تمثيلها البياني.

مجال الدالة هو مجموعة القيم المُدخلة المقبولة لهذه الدالة. ومدى الدالة هو مجموعة جميع القيم المُخرجة للدالة بمعلومية مجالها. في الصورة الموضَّحة بالأسفل، إذا كانت الآلة تمثل دالة ما، فإن المجال هو مجموعة جميع القيم المُدخلة إلى الآلة، والمدى هو مجموعة جميع القيم المُخرجة من الآلة بعد تطبيق الدالة على المجال بأكمله.

تعريف: مجال الدالة

مجال الدالة هو مجموعة جميع القيم المُدخلة للدالة.

تعريف: مدى الدالة

مدى الدالة هو مجموعة جميع القيم المُخرجة الممكنة للدالة بمعلومية مجالها.

إذا رُسمَت دالة على شبكة إحداثيات، فيمكننا استخدام هذا التمثيل البياني لاستنتاج معلومات عن الدالة. إذا كان لدينا التمثيل البياني لـ 𞸑=󰎨(𞸎)، فإن المجال هو مجموعة جميع القيم المُدخلة للدالة. وإذا كان (𞸎،󰎨(𞸎)) إحداثيًا على المنحنى، فإن 𞸎 يمثل جزءًا من مجال الدالة. يمكن تحديد القيم المُدخلة بيانيًا عن طريق رسم خطوط رأسية لمعرفة ما إذا كانت هذه الخطوط تقطع المنحنى أو لا.

على سبيل المثال، موضَّح بالأسفل التمثيل البياني للدالتين 𞸑=𞸎٢، 𞸎=١. تتقاطع هاتين الدالتين عند (١،١). إذن، 𞸎=١ جزء من المجال. لاحظ أنه لا يوجد أي فراغ أو انقطاع في التمثيل البياني لهذه الدالة؛ وهذا يشير إلى أن هذه الدالة لها قيم مُدخلة من جميع الأعداد الحقيقية. ومن ثم، مجال 󰎨 هو 𞹇.

لأي خط رأسي 𞸎=𞸖 يقطع منحنى دالة مُعطاة، حيث 𞸖 عدد حقيقي، فإن 𞸖 جزء من مجال هذه الدالة.

وبالمثل، يمكن تحديد القيم المُخرجة لدالة ما بيانيًا من خلال رسم خطوط أفقية على التمثيل البياني لمعرفة ما إذا كانت هذه الخطوط تقطع منحنى الدالة المعطاة أو لا. موضَّح بالأسفل التمثيل البياني لـ 𞸑=𞸎٢، 𞸑=٢. الخط المستقيم 𞸑=٢ يقطع المنحنى عند نقطتين. ومن ثم، فإن العدد ٢ يقع ضمن مدى هذه الدالة. لاحظ أن منحنى هذه الدالة لا يقع في الربع الثالث أو الرابع. فلا توجد قيمة في المدى يكون عندها 𞸑 سالبًا. إذن، مدى هذه الدالة هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية غير السالبة.

بوجه عام، لأي دالة ممثلة بيانيًا، إذا كان الخط الأفقي 𞸑=𞸁 يقطع منحنى هذه الدالة، فإن 𞸁 يقع ضمن مدى هذه الدالة.

في المثال الأول، سنتناول مجال دالة متقطعة.

مثال ١: إيجاد مجال دالة متقطعة ومداها

مجال الدالة 󰎨(𞸎) هو .

الحل

لدينا التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)، ومطلوب منا إيجاد مجالها. نلاحظ من التمثيل البياني أن الدالة تحتوي على ٥ أزواج إحداثية فقط، إذن هذه دالة متقطعة. إننا نريد إيجاد مجال هذه الدالة، وهو مجموعة القيم المُدخلة للدالة.

يتضمن التمثيل البياني ٥ أزواج إحداثية، وهي (٧،٥)، (٦،٤)، (٥،٣)، (٤،٢)، (٣،١). يشير الإحداثي 𞸎 إلى القيمة المُدخلة للدالة، ويشير الإحداثي 𞸑 إلى القيمة المُخرجة للدالة. إذن، مجال هذه الدالة هو مجموعة قيم 𞸎:{٧،٦،٥،٤،٣}.

يمكننا أيضًا إيجاد مدى الدالة. تذكَّر أن مدى الدالة هو مجموعة القيم المُخرجة للدالة بمعلومية مجالها. القيم المُخرجة للدالة هي الإحداثيات 𞸑 لهذه النقاط الخمس، لذا سيكون المدى هو مجموعة الإحداثيات 𞸑:{١،٢،٣،٤،٥}.

الإجابة:

مجال الدالة 󰎨(𞸎) هو {٧،٦،٥،٤،٣}.

في المثال التالي، سنتناول التمثيل البياني لدالة ثابتة، وكيفية تأثير ذلك على مجالها ومداها.

مثال ٢: إيجاد مجال دالة ثابتة ومداها

عيِّن مجال ومدى الدالة 󰎨(𞸎)=٤.

الحل

لدينا التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=٤، ومطلوب منا إيجاد مجالها ومداها. هذه الدالة ثابتة؛ فأي قيمة نُدخلها في الدالة، ستكون القيمة المُخرجة هي ٤. تذكَّر أن مجال الدالة هو مجموعة جميع القيم المُدخلة لهذه الدالة، ومدى الدالة هو مجموعة جميع القيم المُخرجة الممكنة للدالة بمعلومية مجالها. لاحظ في التمثيل البياني أن السهمين الموجودين على طرفي الخط المستقيم يشيران إلى أن الدالة ستستمر إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. يمكن أن تقبل هذه الدالة القيم المُدخلة من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية. هناك طريقة أخرى لقول ذلك، وهي: ل󰎨(𞸎)𞹇.

القيم المُخرجة لهذه الدالة ثابتة ودائمًا ما تساوي ٤. إذن، للدالة 󰎨(𞸎) قيمة مُخرجة واحدة وهي ٤. بعبارة أخرى، ى󰎨(𞸎){٤}.

الإجابة:

المجال هو 𞹇 والمدى هو {٤}.

في المثال التالي، سنستخدم التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود تكعيبية لإيجاد مجالها ومداها.

مثال ٣: إيجاد مجال دالة متصلة ومداها

عيِّن مجال ومدى الدالة 󰎨(𞸎)=(𞸎١)٣ في 𞹇.

الحل

لدينا التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=(𞸎١)٣، ومطلوب منا إيجاد مجالها ومداها. تذكَّر أن مجال الدالة هو مجموعة جميع القيم المُدخلة لهذه الدالة، ومدى الدالة هو مجموعة جميع القيم المُخرجة الممكنة للدالة بمعلومية مجالها. لاحظ أنه لا يوجد أي فجوات أو انقطاع في التمثيل البياني للدالة الموضَّح أعلاه. هذا لأن 󰎨(𞸎) دالة كثيرة الحدود، وجميع الدوال كثيرات الحدود تكون متصلة. يمكن أن تقبل الدالة أي قيمة لـ 𞸎 كقيمة مُدخلة. ومن ثم، مجال 󰎨(𞸎) هو 𞹇.

في التمثيل البياني المُعطى، يكون مدى قيم 𞸑 من ٠١ إلى ١٠. وبالنظر إلى نهاية الدالة عندما يقترب 𞸎 من ±، يمكننا إيجاد مدى 󰎨(𞸎).

بما أن قيمة 𞸎 تقترب من ما لا نهاية، فإن قيمة التعبير (𞸎١)٣ تقترب أيضًا من ما لا نهاية.

وبالمثل، بما أن قيمة 𞸎 تقترب من سالب ما لا نهاية، فإن قيمة التعبير (𞸎١)٣ تقترب من سالب ما لا نهاية.

ومن ثم، فإن مدى 󰎨(𞸎) هو 𞹇.

الإجابة:

المجال هو 𞹇 والمدى هو 𞹇.

في المثال التالي، لدينا التمثيل البياني لدالة كسرية. وعلى عكس المثال السابق، يتضمن هذا التمثيل البياني خطوط تقارب رأسية وأفقية. سنعرف كيف تؤثر خطوط التقارب على مجال الدالة ومداها.

مثال ٤: إيجاد مجال دالة كسرية ومداها بمعلومية تمثيلها البياني

أوجد مجال الدالة 󰎨(𞸎)=١𞸎٥ ومداها.

الحل

لدينا التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=١𞸎٥، ومطلوب منا إيجاد مجالها ومداها. تذكَّر أن مجال الدالة هو مجموعة جميع القيم المُدخلة لهذه الدالة، ومدى الدالة هو مجموعة جميع القيم المُخرجة الممكنة للدالة بمعلومية مجالها. إحدى طرق معرفة مجال الدالة هي رسم خطوط رأسية وتحديد نقاط تقاطع الخط الرأسي مع الدالة. وإذا كان الخط الرأسي لا يقطع المنحنى، فهذا يعني أنه يجب استبعاد قيمة 𞸎 من المجال. هذه الدالة لها خط تقارب رأسي عند 𞸎=٥. والمنحنى لا يقطع الخط المستقيم 𞸎=٥، لذا لا يمكن تحديد 𞸎=٥ كقيمة مُدخلة.

يمكننا أيضًا ملاحظة ذلك إذا حاولنا إيجاد قيمة 󰎨(٥) مباشرةً. بالتعويض بـ 𞸎=٥ في الدالة، نحصل على: 󰎨(٥)=١٥٥󰎨(٥)=١٠.

بما أن التعويض بالقيمة 𞸎=٥ يعطينا صفرًا في مقام هذه الدالة الكسرية، فإن 𞸎=٥ ليس جزءًا من المجال. إذن، فإن 𞸎 يمكن أن يساوي جميع القيم باستثناء ٥، كما أن: ل󰎨(𞸎)𞹇{٥}.

يمكننا أيضًا استخدام الخطوط الأفقية لمساعدتنا في إيجاد مدى دالة ما. وإذا كان الخط الأفقي لا يقطع المنحنى، فلن تقع هذه القيمة ضمن مدى الدالة. هذه الدالة لها خط تقارب أفقي عند 𞸑=٠. يقترب المنحنى من الخط 𞸑=٠ لكنه لا يقطعه أبدًا، لذا، لا يمكن أن يقع الصفر ضمن مدى 󰎨.

بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن أي خط أفقي آخر لا يقع عند 𞸑=٠ سيقطع منحنى الدالة. إذن، ى󰎨(𞸎)𞹇{٠}.

الإجابة:

المجال هو 𞹇{٥} والمدى هو 𞹇{٠}.

في المثال الأخير، سنتناول التمثيل البياني لدالة متعددة التعريف ونحدد مجالها ومداها من المعلومات الموضَّحة في التمثيل البياني.

مثال ٥: إيجاد مجال دالة متعددة التعريف ومداها

أوجد مجال الدالة الموضَّحة.

الحل

لدينا هنا التمثيل البياني لدالة متعددة التعريف ومطلوب منا إيجاد مجالها. تذكَّر أن مجال الدالة هو مجموعة جميع القيم المُدخلة لهذه الدالة، وهو ما يعطينا قيم مُخرجة حقيقية. تتكون الدالة المتعددة التعريف من دالتين جزئيتين أو أكثر على مجالات جزئية.

بما أن الدالة الجزئية الأولى لها سهمًا على اليسار ودائرة مصمتة على اليمين كنقطة بدايتها، فإن هذه الدالة الجزئية تحتوي على قيم مُدخلة للفترة ]،٠]. تبدأ الدالة الجزئية الثانية بدائرة مفرغة على اليسار وتستمر إلى ما لا نهاية في الاتجاه الموجب. وبناءً عليه، سيكون لهذه الدالة الجزئية قيم مُدخلة على الفترة المفتوحة ]٠،[. وبما أن هذه الدالة الجزئية لها دائرة مفرغة عند 𞸎=٠، فإنها دالة غير معرَّفة عند 𞸎=٠.

مجال الدالة المتعددة التعريف هو اتحاد مجالاتها الجزئية. إذن، مجال هذه الدالة هو: ]،٠]]٠،[، أي 𞹇.

يمكننا أيضًا توضيح ذلك بيانيًا. إذا كان الخط الرأسي 𞸎=𞸖 يقطع منحنى دالة مُعطاة، فإن 𞸖 جزء من مجال هذه الدالة. وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد مجال الدالة بالنظر إلى الخطوط الرأسية. هيا نرسم خطًا رأسيًا لـ 𞸎=٠.

يبدو في البداية أن هناك تقاطعين بين 𞸎=٠ والدالة المتعددة التعريف المُعطاة. أحد التقاطعين يقع عند (٠،٤).

والتقاطع الآخر يقع عند (٠،٤).

أحد هذين الزوجين الإحداثيين فقط ينتُج عنه تقاطعًا. النقطة (٠،٤) مضمًّنة في الدالة المتعددة التعريف لأن الدائرة عندها مصمتة. أما النقطة (٠،٤) مُستبعَدة من هذه الدالة لأن الدائرة عندها مفرغة. وبما أن هناك تقاطعًا بين الخط المستقيم 𞸎=٠ والدالة المتعددة التعريف الممثَّلة بيانيًا، فإن الصفر جزء من المجال. علاوةً على ذلك، بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا القول إن أي خط رأسي سيقطع هذه الدالة المتعددة التعريف. إذن، ل󰎨(𞸎)𞹇.

نلاحظ من التمثيل البياني أن هناك قيمتين مُخرجتين فقط لهذه الدالة. إحداهما عند 𞸎>٠، 𞸑=٤ والأخرى عند 𞸎٠، 𞸑=٤. وعليه، فإن: ى󰎨(𞸎){٤،٤}.

الإجابة:

مجال الدالة الموضَّحة في التمثيل البياني هو 𞹇.

دعونا نختم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • مجال الدالة هو مجموعة جميع القيم المُدخلة لهذه الدالة.
  • مدى الدالة هو مجموعة جميع القيم المُخرجة الممكنة للدالة بمعلومية مجالها.
  • يمكن أن يساعدنا اختبار الخط الرأسي في إيجاد مجال دالة من تمثيلها البياني. فإذا كان الخط الرأسي 𞸎=𞸖 يقطع منحنى دالة معطاة، فإن 𞸖 جزء من مجال هذه الدالة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.