شارح الدرس: محصلة القُوى المتوازية المستوية الرياضيات

مثال ١: إيجاد القوة المحصِّلة ونقطة تأثير قوتين متوازيتين تؤثِّران في الاتجاه نفسه

قوتان متوازيتان مقداراهما ١٠ نيوتن، ٢٠ نيوتن. والمسافة بين خطَّيْ عملَيْهما تساوي ٣٠ سم. إذا كانت القوتان تؤثِّران في نفس الاتجاه، فأوجد محصِّلتهما ، والمسافة بين خط عملها والنقطة .

الحل

مقدار القوة المحصِّلة هو مجموع مقدارَيِ القوتين المؤثِّرتين لأعلى، ومن ثَمَّ:

والنقطة التي تؤثِّر عندها هي النقطة التي تقع على . وعند ، يكون العزمان الناتِجان عن القوتين عند ، حول متساويين في المقدار. المسافة بين ، تساوي٣٠ سم، والمسافة بين ، تساوي سم. وعند ، يكون عزما القوتين عند ، كالآتي:

ومن ثَمَّ: إذن يكون: حيث ، هما مقدارا القوتين، ، هما المسافتان من القوتين إلى نقطة تأثير القوة المحصِّلة. وبما أن طول يساوي ٣٠ سم، فيصبح لدينا:

مثال ٢: إيجاد القوة المحصِّلة ونقطة تأثير قوتين متوازيتين تؤثِّران في اتجاهين متضادَّيْن

قوتان متوازيتان مقداراهما ٢٤ نيوتن، ٦٠ نيوتن، كما هو موضَّح في الشكل. المسافة بين خطَّيْ عملَيِ القوتين تساوي ٩٠ سم. إذا كانت القوتان تؤثِّران في اتجاهين متضادَّيْن، فأوجد محصِّلتهما ، والمسافة بين خط عمل المحصِّلة والنقطة .

الحل

مقدار القوة المحصِّلة هو مجموع مقدارَيِ القوتين؛ حيث نعتبر القوة المتجهة لأعلى موجبة؛ ومن ثَمَّ:

وعند أيِّ نقطة على ، يكون العزم الناتِج عن القوتين إمَّا مساويًا للصفر، وإمَّا في اتجاه عقارب الساعة. وهذا يعني أنه لا تُوجَد نقطة على يُمكن أن يتقاطع معها خط عمل محصِّلة القوتين. وهذا لا يعني أن محصِّلة هاتين القوتين لا يُمكن تعريفها، وإنما يعني أن خط عمل المحصِّلة يمرُّ بنقطة لا تقع على .

لنُطلِقْ على النقطة التي تؤثِّر عندها النقطة . وعند ، يتساوى العزمان الناتِجان عن القوتين عند ، حول النقطة . المسافة بين ، تساوي ٩٠ سم، والمسافة بين ، تساوي ، ومن ثَمَّ عند : حيث ، هما مقدارا القوتين (باعتبار القوة المتجهة لأعلى موجبة)، ، هما المسافتان من القوتين إلى نقطة تأثير محصِّلتهما. وطول يساوي ٩٠ سم، فنحصل على:

نلاحِظ من ذلك أن خط عمل محصِّلة القوتين المتوازيتين لا يقع بالضرورة بين خطَّيْ عملَيِ القوتين. ويُمكن فهْم ما يَعنيه ذلك بافتراض أن لدينا قضيبًا خفيفًا طوله ١٥٠ سم، فإذا أثَّرت القوتان المذكورتان في السؤال على القضيب، وأثَّرت قوة لأعلى مقدارها ٣٦ نيوتن على الطرف المُقابِل للقضيب عند ، فسيكون القضيب في حالة اتزان. وهو ما يوضِّحه الشكل الآتي.

مثال ٣: إيجاد مقدار قوتين متوازيتين بمعلومية محصِّلتهما ونقطة تأثيرها

في الشكل الآتي ، قوتان متوازيتان مقيستان بالنيوتن؛ حيث محصِّلتهما. إذا كانت ، ، ، فأوجد مقدار كلٍّ من ، .

الحل

العزم حول الناتِج عن يساوي صفرًا؛ حيث تؤثِّر عند ، ومن ثَمَّ فإن محصِّلة العزمين الناتِجين عن ، حول تساوي صفرًا بالتأكيد.

نلاحِظ أن خطَّيْ عملَيْ ، غير عموديين على ؛ لذا يكون العزمان الناتِجان عن ، هما العزمين الناتِجين عن مركِّباتهما العمودية على . ويُمكن الإشارة إلى الزاوية التي يصنعها خطَّا عمل ، مع بالرمز ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

نلاحِظ أن القوة المحصِّلة ، تكون كما يأتي:

يؤثِّر العزمان الناتِجان عن القوة المحصِّلة وعن في اتجاه عقارب الساعة، بينما يؤثِّر العزم الناتِج عن عكس اتجاه عقارب الساعة؛ ومن ثَمَّ فإن العزم حول الناتِج عن يُعطَى كالآتي:

نحصل على طول كالآتي: إذن العزم حول الناتِج عن يكون كما يأتي:

ويكون مجموع العزمين حول مساويًا للصفر؛ حيث قيمة موجبة، وقيمة سالبة، ومن ثَمَّ، يُمكننا ملاحظة أن:

ويُمكن حذف العامل بقسمة طرفَيِ المعادلة على ، فيكون لدينا:

إن مقدار القوة المحصِّلة هو مجموع مقدارَيِ القوتين، باعتبار القوة المتجهة لأعلى موجبة؛ ومن ثَمَّ:

يُمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد بدلالة :

مثال ٤: إيجاد محصِّلة خمس قُوًى متوازية ونقطة تأثيرها

تقع النقاط ، ، ، ، على نفس الخط المستقيم؛ حيث ، ، ، . تؤثِّر خمس قُوًى مقاديرها ٤٠، ٢٥، ٢٠، ٤٥، ٥٠ نيوتن، كما هو موضَّح في الشكل. أوجد المحصِّلة لهذه القُوى، والمسافة بين خط عمل المحصِّلة والنقطة .

الحل

مقدار يساوي مجموع القُوى المؤثِّرة، وباعتبار القُوى المؤثِّرة لأعلى موجبة، نحصل على المحصِّلة كالآتي:

يُمكننا تعريف ليرمز إلى المسافة في الاتجاه الموجب للمحور بين خط عمل القوة التي مقدارها ٤٠ نيوتن وخط عمل . نحصل على العزم الناتِج عن القوة التي مقدارها ٤٠ نيوتن بالعلاقة:

ويُمكن التعبير أيضًا عن المسافة بين خطوط عمل القُوى الأخرى وخط عمل بدلالة . على سبيل المثال، المسافة بين خط عمل القوة التي مقدارها ٢٥ نيوتن والنقطة تساوي ٨ سم في الاتجاه الموجب للمحور . فتكون المسافة بين خط عمل وخط عمل القوة التي مقدارها ٢٥ نيوتن تُعطَى بالعلاقة:

ومن ثَمَّ، نحصل على العزم الناتِج عن القوة التي مقدارها ٢٥ نيوتن بالعلاقة:

وبالتعبير عن العزوم الناتِجة عن جميع القُوى بهذه الطريقة، يكون لدينا:

نساوي مجموع العزوم الناتِجة عن القُوى بالصفر. وإذا فككنا الأقواس، ثم جعلنا الحدود التي تحتوي على أعداد صحيحة في طرف والحدود التي تحتوي على الأعداد المضروبة في في الطرف الآخَر، نجد أن:

مثال ٥: إيجاد محصِّلة قوتين متوازيتين مُعطاتين في الصورة المتجهة ونقطة تأثيرها

إذا أثَّرت القوتان المتوازيتان ، على ، على الترتيب، فأوجد محصِّلتهما ، وأوجد نقطة تأثيرها.

الحل

مركِّبتا القوة المحصِّلة تساوي مجموع مركِّبات القُوى؛ حيث نعتبر القوة المتجهة لأعلى موجبة؛ ومن ثَمَّ:

يوضِّح الشكل الآتي القوتين المؤثِّرتين عند ، .

تُوجَد زاوية قياسها بين خط عمل إحدى القوتين والخط الواصل بين نقطتَيْ تأثير كلتا القوتين. من المُمكِن حساب من مُعطَيَات السؤال، لكن في الواقع هذا ليس ضروريًّا. وذلك أنه لتحديد النقطة التي تؤثِّر عندها المحصِّلة، يجب تحديد نسبة العزمين الناتِجين عن القوتين المؤثِّرتين حول هذه النقطة. وإذا ضربنا مقدارَيِ القوتين في فلن تتغيَّر هذه النسبة.

يُمكننا حساب مقدار كالآتي:

وكذلك مقدار :

لا تؤثِّر القوتان عموديًّا على ؛ ولذلك نحسب المركِّبة العمودية على لكل قوة من القوتين كالآتي: و:

يُمكن توضيح المركِّبة التي تؤثِّر عموديًّا على لكلِّ قوة من القُوى برسم أفقيًّا، كما هو موضَّح في الشكل الآتي، الذي يوضِّح أيضًا المسافة بين ، .

يُمكننا أن نلاحِظ من الشكل أن طول الخطَّيْن من ، الموازيين للمحورين ، يساوي ٨. هذان المستقيمان متعامدان؛ لذا فهما يمثِّلان ضلعَيْ مثلث قائم الزاوية يُحسَب طول وتره كما يأتي:

من الشكل، يُمكننا ملاحظة أن ، وهو المسافة على طول من ، إلى النقطة التي تؤثِّر عندها المحصِّلة، يُمكن الحصول عليه من خلال مساواة العزمين الناتِجين عن القوتين عند وعند :

ويُمكن حذف بقسمة طرفَيِ المعادلة على ، وهو ما يُعطينا:

يُمكن تبسيط مقدار هذا كما يأتي:

طول يساوي ، إذن تؤثِّر المحصِّلة عند نقطة تقع على مسافة من في اتجاه .

تقع على مسافة من تساوي ٨ في اتجاه ، وتساوي أيضًا ٨ في اتجاه ؛ ومن ثَمَّ، فإن نقطة تأثير تقع على مسافة تساوي: في كلا اتجاهَيْ ، من . وعليه، تكون إحداثيات نقطة تأثير المحصِّلة :