في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد قِيَم الدوال المثلثية باستخدام الزوايا الخاصة، وكيف نستخدمها لإيجاد قِيَم التعبيرات التي تحتوي على دوال مثلثية.
سنبدأ بتذكر الزوايا الخاصة، إلى جانب قِيَم دوال الجيب وجيب التمام والظل لها.
دعونا نتناول دائرة الوحدة. إنها تتيح لنا حساب قِيَم ، ، بين ، أو ٠، راديان. الدوال الثلاث جميعها لها قِيَم أساسية عند ، ، ، ، . نحن نعرف أن ، إذن ، ، . تُمكننا معرفة هذه التحويلات من حل المسائل المثلثية عندما تكون الزوايا معطاة بالدرجات أو بالراديان.
| ٠ | ١ | ٠ | ٠ | ||
| ١ | ٠ | ٠ | ١ | ||
| ٠ | غير معرفة | ٠ | غير معرفة | ٠ | |
وبما أن الدوال دورية، فيمكننا حساب قِيَم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا الواقعة خارج هذا النطاق؛ لكن هذا خارج نطاق موضوع هذا الشارح.
بعد ذلك، نتذكر قياسات الزوايا الخاصة وهي ، ، . وفيما يأتي قِيَم دوال الجيب وجيب التمام والظل لهذه الزوايا.
| ١ | |||
على الرغم من أننا لن نتناول استنتاج هذه النتائج في هذا الشارح أو إثباتها، فإنه يجدر بنا تذكُّر المتطابقة . إنها تتيح لنا حساب قيمة دالة الظل لأي زاوية إذا علمنا قيمتَي الجيب وجيب التمام لهذه الزاوية.
على سبيل المثال، بما أن ، ، إذن .
تعريف: مقلوب الدوال المثلثية
الدوالُّ المثلثيةُ العكسيةُ: قاطع تمام الزاوية ، وقاطع الزاوية ، وظل تمام الزاوية ؛ يساوي مقلوبَ دوال جيب الزاوية ، وجيب تمام الزاوية ، وظل الزاوية ؛ بحيث يكون:
يمكننا استخدام هذه المتطابقات لحساب قِيَم قاطع التمام والقاطع وظل التمام للزوايا ، ، .
| ٢ | |||
| ٢ | |||
| ١ | |||
سنتذكر الآن الزوايا المنتسبة للدوال المثلثية الآتية:
إحدى طرق تذكُّر إذا ما كانت قِيَم الجيب، وجيب التمام، والظل لأيِّ زاوية قياسها بين ، موجبة أو سالبة تتمثل في مخطط الإشارات للدوال المثلثية. إنها وسيلة نستخدمها لتذكُّر إشارات النسب المثلثية في كل ربع من الأرباع الأربعة.
| الربع الذي يقع فيه الضلع النهائي للزاوية | الفترة التي ينتمي إليها قياس الزاوية | إشارات الدوال المثلثية | ||
|---|---|---|---|---|
| ، | ، | ، | ||
| الأول | + | + | + | |
| الثاني | + | |||
| الثالث | + | |||
| الرابع | + | |||
نلاحظ أن الزوايا مَقِيسة، من إلى أو من صفر إلى راديان في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، حيث الجزء الموجب من المحور هو الضلع الابتدائي للزاوية. ويكون الضلع النهائي هو الموضع الذي تتوقف عنده الزاوية. أيُّ زاوية قياسها بين ، تقع في الربع الأول. أيُّ زاوية قياسها بين ، تقع في الربع الثاني. أيُّ زاوية قياسها بين ، تقع في الربع الثالث. أيُّ زاوية قياسها بين ، تقع في الربع الرابع.
مثال ١: استخدام المتطابقات الدورية للدوال المثلثية لإيجاد قيمة دالة مثلثية تتضمن زوايا خاصة
أوجد قيمة .
الحل
نبدأ بتذكُّر أن .
إذن:
ومن ثم، علينا حساب قيمة .
هيَّا نتذكَّر خاصية الزوايا المنتسبة:
إذا كان ، فإن:
وفقًا لما نعرفه عن الزوايا الخاصة، نعلم أن .
إذن:
ومن ثم، يمكننا استنتاج أن .
مثال ٢: إيجاد قيمة تعبيرات مثلثية تتضمن زوايا خاصة
أوجد قيمة .
الحل
نبدأ بتذكُّر أن .
إذن:
وأيضًا:
إذن، علينا حساب قيمة .
وفقًا لما نعرفه عن الزوايا الخاصة، نعلم أن ، .
وبالنظر إلى مخطط الإشارات للدوال المثلثية، كما هو موضَّح أدناه، نرى أن الزاوية التي قياسها تقع في الربع الثالث، وقيمة جيب أيِّ زاوية هنا سالبة.
بما أن: فإن:
إذن:
بالتعويض بقيمتَي ، في التعبير، نحصل على:
إذن، .
في الأمثلة المتبقية في هذا الشارح، سيكون علينا أيضًا استخدام مقلوب الدوال المثلثية.
مثال ٣: استخدام المتطابقات الدورية لإيجاد قيمة أحد التعبيرات المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة
أوجد قيمة .
الحل
للإجابة عن هذا السؤال، علينا تذكُّر متطابقات مقلوب الدوال المثلثية والزوايا الخاصة.
من خلال معرفتنا بالزوايا الخاصة، ، ، .
وباستخدام مخطط الإشارات للدوال المثلثية، نعلم أن قيمتَي كلٍّ من جيب التمام والظل لأيِّ زاوية في الربع الثاني سالبتان. وقيمتا الجيب وجيب التمام لأيِّ زاوية في الربع الثالث سالبتان أيضًا.
تنص خواص الزوايا المنتسبة على أن:
إذن:
كما تنص خواص الزوايا المنتسبة على أن:
إذن:
ومن ثم:
وتنص أيضًا على أن:
إذن:
ومن ثم:
وتنص أيضًا على أن:
إذن:
ومن ثم:
بما أن: إذن:
بالتعويض بهذه القيم في التعبير، نحصل على:
إذن، الناتج النهائي هو .
مثال ٤: إيجاد قيمة تعبيرات مثلثية تتضمن زوايا خاصة
احسب قيمة .
الحل
هيَّا نتذكَّر خاصية الزوايا المنتسبة:
إذا كان ، فإن:
وفقًا لما نعرفه عن الزوايا الخاصة، نعلم أن .
إذن،:
بالتعويض بهذه القيمة في هذا التعبير نحصل على:
إذن، الناتج النهائي يساوي ٠.
مثال ٥: استخدام المتطابقات الدورية لإيجاد قيمة أحد التعبيرات المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة
أيٌّ من قِيَم الآتية لا تحقِّق المعادلة ؟
الحل
للإجابة عن هذا السؤال، سنستفيد من معرفتنا بالزوايا الخاصة وخواص الزوايا المنتسبة لدالتَي الجيب وجيب التمام.
لنبدأ بالنظر إلى الزوايا الخمس المعطاة وموضعها المُناظر في مخطَّط الإشارات للدوال المثلثية.
بما أن الزوايا ، ، لها نفس الموضع في الشكل، فإننا نعرف أن قيمتَي الجيب وجيب التمام لهذه الإجابات متساويتان.
على سبيل المثال، نعرف أن .
إذن:
وبالمثل، .
إذن:
ومن ثم، علينا فقط التفكير في الخيارات الثلاثة (أ) و(ب) و(ج).
أولًا، لنفترض أن . بالتعويض بهذه القيمة في الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على:
نتذكَّر خواص الزوايا المنتسبة:
إذا كان ، فإن:
بالتعويض بقيمتَي ، في هذا التعبير، نحصل على:
ثانيًا، لنفترض أن . بالتعويض بهذه القيمة في الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على:
نتذكَّر خاصية الزوايا المنتسبة:
إذا كان ، إذن:
بالتعويض بقيمتَي ، في هذا التعبير، نحصل على:
وأخيرًا، لنفترض أن . بالتعويض بهذه القيمة في الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على:
نتذكر خاصية الزوايا المنتسبة:
إذا كان ، إذن:
بالتعويض بقيمتَي ، في هذا التعبير نحصل على:
إذن، يمكننا استنتاج أن لا يحقِّق المعادلة ، بينما تحققها جميع الخيارات الأربعة الأخرى.
مثال ٦: إيجاد قيمة تعبيرات مثلثية تتضمن زوايا خاصة
أوجد قيمة .
الحل
للإجابة عن هذا السؤال، علينا تذكُّر متطابقات مقلوب الدوال المثلثية والزوايا الخاصة.
وفقًا لما نعرفه عن الزوايا الخاصة، نعلم أن ، ، .
من التمثيلين البيانيين لجيب وجيب تمام الزاوية، نلاحظ أن ، .
وبما أن: إذن:
يمكننا الآن التعويض بكل هذه القيم في التعبير:
سنُنهي هذا الشارح بتذكُّر بعض النقاط الرئيسية.
النقاط الرئيسية
- يمكننا إيجاد قيمة الدوال والتعبيرات المثلثية باستخدام معرفتنا بالزوايا الخاصة:
- يمكننا استخدام متطابقات مقلوب الدوال المثلثية لحل المسائل الأكثر تعقيدًا:
- يمكننا أيضًا استخدام خواص الزوايا المنتسبة لإيجاد قيمة التعبيرات المثلثية:
