تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: إيجاد قِيَم الدوال المثلثية باستخدام الزوايا الخاصة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد قِيَم الدوال المثلثية باستخدام الزوايا الخاصة، وكيف نستخدمها لإيجاد قِيَم التعبيرات التي تحتوي على دوال مثلثية.

سنبدأ بتذكر الزوايا الخاصة، إلى جانب قِيَم دوال الجيب وجيب التمام والظل لها.

دعونا نتناول دائرة الوحدة. إنها تتيح لنا حساب قِيَم 𞸎، 𞸎، 𞸎 بين ٠، ٠٦٣ أو ٠، ٢𝜋 راديان. الدوال الثلاث جميعها لها قِيَم أساسية عند ٠، ٠٩، ٠٨١، ٠٧٢، ٠٦٣. نحن نعرف أن ٠٨١=𝜋رادن، إذن ٠٦٣=٢𝜋رادن، ٠٩=𝜋٢رادن، ٠٧٢=٣𝜋٢رادن. تُمكننا معرفة هذه التحويلات من حل المسائل المثلثية عندما تكون الزوايا معطاة بالدرجات أو بالراديان.

𝜃
٠٠٩٠٨١٠٧٢٠٦٣
𝜃٠١٠١٠
𝜃١٠١٠١
𝜃٠غير معرفة٠غير معرفة٠

وبما أن الدوال دورية، فيمكننا حساب قِيَم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا الواقعة خارج هذا النطاق؛ لكن هذا خارج نطاق موضوع هذا الشارح.

بعد ذلك، نتذكر قياسات الزوايا الخاصة وهي ٠٣، ٥٤، ٠٦. وفيما يأتي قِيَم دوال الجيب وجيب التمام والظل لهذه الزوايا.

𝜃
٠٣٥٤٠٦
𝜃١٢١󰋴٢=󰋴٢٢󰋴٣٢
𝜃󰋴٣٢١󰋴٢=󰋴٢٢١٢
𝜃١󰋴٣=󰋴٣٣١󰋴٣

على الرغم من أننا لن نتناول استنتاج هذه النتائج في هذا الشارح أو إثباتها، فإنه يجدر بنا تذكُّر المتطابقة 𞸎𞸎=𞸎. إنها تتيح لنا حساب قيمة دالة الظل لأي زاوية إذا علمنا قيمتَي الجيب وجيب التمام لهذه الزاوية.

على سبيل المثال، بما أن ٠٦=󰋴٣٢، ٠٦=١٢، إذن ٠٦=󰋴٣٢÷١٢=󰋴٣.

تعريف: مقلوب الدوال المثلثية

الدوالُّ المثلثيةُ العكسيةُ: قاطع تمام الزاوية 𝜃، وقاطع الزاوية 𝜃، وظل تمام الزاوية 𝜃؛ يساوي مقلوبَ دوال جيب الزاوية 𝜃، وجيب تمام الزاوية 𝜃، وظل الزاوية 𝜃؛ بحيث يكون: 𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃.

يمكننا استخدام هذه المتطابقات لحساب قِيَم قاطع التمام والقاطع وظل التمام للزوايا ٠٣، ٥٤، ٠٦.

𝜃
٠٣٥٤٠٦
𝜃٢󰋴٢٢󰋴٣=٢󰋴٣٣
𝜃٢󰋴٣=٢󰋴٣٣󰋴٢٢
𝜃󰋴٣١١󰋴٣=󰋴٣٣

سنتذكر الآن الزوايا المنتسبة للدوال المثلثية الآتية:

إحدى طرق تذكُّر إذا ما كانت قِيَم الجيب، وجيب التمام، والظل لأيِّ زاوية قياسها بين ٠، ٠٦٣ موجبة أو سالبة تتمثل في مخطط الإشارات للدوال المثلثية. إنها وسيلة نستخدمها لتذكُّر إشارات النسب المثلثية في كل ربع من الأرباع الأربعة.

الربع الذي يقع فيه الضلع النهائي للزاويةالفترة التي ينتمي إليها قياس الزاويةإشارات الدوال المثلثية
، ، ،
الأول󰂖٠،𝜋٢󰂗+++
الثاني󰂖𝜋٢،𝜋󰂗+
الثالث󰂖𝜋،٣𝜋٢󰂗+
الرابع󰂖٣𝜋٢،٢𝜋󰂗+

نلاحظ أن الزوايا مَقِيسة، من ٠ إلى ٠٦٣ أو من صفر إلى ٢𝜋 راديان في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، حيث الجزء الموجب من المحور 𞸎 هو الضلع الابتدائي للزاوية. ويكون الضلع النهائي هو الموضع الذي تتوقف عنده الزاوية. أيُّ زاوية قياسها بين ٠، ٠٩ تقع في الربع الأول. أيُّ زاوية قياسها بين ٠٩، ٠٨١ تقع في الربع الثاني. أيُّ زاوية قياسها بين ٠٨١، ٠٧٢ تقع في الربع الثالث. أيُّ زاوية قياسها بين ٠٧٢، ٠٦٣ تقع في الربع الرابع.

مثال ١: استخدام المتطابقات الدورية للدوال المثلثية لإيجاد قيمة دالة مثلثية تتضمن زوايا خاصة

أوجد قيمة ١١𝜋٦.

الحل

نبدأ بتذكُّر أن 𝜋=٠٨١رادن.

إذن: 𝜋٦=٠٣١١𝜋٦=٠٣٣.رادنرادن

ومن ثم، علينا حساب قيمة ٠٣٣.

هيَّا نتذكَّر خاصية الزوايا المنتسبة: (٠٦٣𝜃)=𝜃.

إذا كان 𝜃=٠٣، فإن: (٠٦٣٠٣)=٠٣٠٣٣=٠٣.

وفقًا لما نعرفه عن الزوايا الخاصة، نعلم أن ٠٣=󰋴٣٢.

إذن: ٠٣٣=󰋴٣٢.

ومن ثم، يمكننا استنتاج أن ١١𝜋٦=󰋴٣٢.

مثال ٢: إيجاد قيمة تعبيرات مثلثية تتضمن زوايا خاصة

أوجد قيمة ٢󰂔𝜋٦󰂓٨󰂔٤𝜋٣󰂓.

الحل

نبدأ بتذكُّر أن 𝜋=٠٨١رادن.

إذن: 𝜋٦=٠٣.رادن

وأيضًا: 𝜋٣=٠٦٤𝜋٣=٠٤٢.رادنرادن

إذن، علينا حساب قيمة ٢٠٣٨٠٤٢.

وفقًا لما نعرفه عن الزوايا الخاصة، نعلم أن ٠٣=󰋴٣٣، ٠٦=󰋴٣٢.

وبالنظر إلى مخطط الإشارات للدوال المثلثية، كما هو موضَّح أدناه، نرى أن الزاوية التي قياسها ٠٤٢ تقع في الربع الثالث، وقيمة جيب أيِّ زاوية هنا سالبة.

بما أن: (٠٨١+𝜃)=𝜃، فإن: (٠٨١+٠٦)=٠٦(٠٤٢)=٠٦.

إذن: (٠٤٢)=󰋴٣٢.

بالتعويض بقيمتَي ٠٣، ٠٤٢ في التعبير، نحصل على: ٢٠٣٨٠٤٢=٢󰃭󰋴٣٣󰃬٨󰃭󰋴٣٢󰃬=٢󰋴٣٣+٤󰋴٣=٢󰋴٣٣+٢١󰋴٣٣=٤١󰋴٣٣.

إذن، ٢𝜋٦٨٤𝜋٣=٤١󰋴٣٣.

في الأمثلة المتبقية في هذا الشارح، سيكون علينا أيضًا استخدام مقلوب الدوال المثلثية.

مثال ٣: استخدام المتطابقات الدورية لإيجاد قيمة أحد التعبيرات المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة

أوجد قيمة ٥٣١+٥٣١+٥٢٢+٥٢٢.

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، علينا تذكُّر متطابقات مقلوب الدوال المثلثية والزوايا الخاصة.

من خلال معرفتنا بالزوايا الخاصة، ٥٤=󰋴٢٢، ٥٤=󰋴٢٢، ٥٤=١.

وباستخدام مخطط الإشارات للدوال المثلثية، نعلم أن قيمتَي كلٍّ من جيب التمام والظل لأيِّ زاوية في الربع الثاني سالبتان. وقيمتا الجيب وجيب التمام لأيِّ زاوية في الربع الثالث سالبتان أيضًا.

تنص خواص الزوايا المنتسبة على أن: (٠٨١𝜃)=𝜃.

إذن: (٠٨١٥٤)=٥٤٥٣١=٥٤=󰋴٢٢.

كما تنص خواص الزوايا المنتسبة على أن: (٠٨١𝜃)=𝜃.

إذن: (٠٨١٥٤)=٥٤.

ومن ثم: ٥٣١=٥٤=١.

وتنص أيضًا على أن: (٠٨١+𝜃)=𝜃.

إذن: (٠٨١+٥٤)=٥٤.

ومن ثم: ٥٢٢=٥٤=󰋴٢٢.

وتنص أيضًا على أن: (٠٨١+𝜃)=𝜃.

إذن: (٠٨١+٥٤)=٥٤.

ومن ثم: ٥٢٢=٥٤=󰋴٢٢.

بما أن: 𝜃=١𝜃، إذن: ٥٢٢=١٥٢٢=󰋴٢.

بالتعويض بهذه القيم في التعبير، نحصل على: ٥٣١+٥٣١+٥٢٢+٥٢٢=󰋴٢٢+(١)+󰂔󰋴٢󰂓+󰃭󰋴٢٢󰃬=󰋴٢٢١󰋴٢󰋴٢٢=٢󰋴٢١.

إذن، الناتج النهائي هو ٢󰋴٢١.

مثال ٤: إيجاد قيمة تعبيرات مثلثية تتضمن زوايا خاصة

احسب قيمة ٣٤٠٣٣٢.

الحل

هيَّا نتذكَّر خاصية الزوايا المنتسبة: (٠٦٣𝜃)=𝜃.

إذا كان 𝜃=٠٣، فإن: (٠٦٣٠٣)=٠٣٠٣٣=٠٣.

وفقًا لما نعرفه عن الزوايا الخاصة، نعلم أن ٠٣=󰋴٣٢.

إذن،: ٠٣٣=󰋴٣٢.

بالتعويض بهذه القيمة في هذا التعبير نحصل على: ٣٤٠٣٣=٣٤󰃭󰋴٣٢󰃬=٣٤󰂔٣٤󰂓=٣٣=٠.٢٢

إذن، الناتج النهائي يساوي ٠.

مثال ٥: استخدام المتطابقات الدورية لإيجاد قيمة أحد التعبيرات المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة

أيٌّ من قِيَم 𞸎 الآتية لا تحقِّق المعادلة ٢𞸎+٦(٣𞸎)١٢=٣󰋴٢؟

  1. ٥٤
  2. ٥٣١
  3. ٥١٣
  4. ٥٠٤
  5. ٥١٣

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، سنستفيد من معرفتنا بالزوايا الخاصة وخواص الزوايا المنتسبة لدالتَي الجيب وجيب التمام.

لنبدأ بالنظر إلى الزوايا الخمس المعطاة وموضعها المُناظر في مخطَّط الإشارات للدوال المثلثية.

بما أن الزوايا ٥٤، ٥٠٤، ٥١٣ لها نفس الموضع في الشكل، فإننا نعرف أن قيمتَي الجيب وجيب التمام لهذه الإجابات متساويتان.

على سبيل المثال، نعرف أن ٥٤=󰋴٢٢.

إذن: ،٥٠٤=󰋴٢٢٥١٣=󰋴٢٢.

وبالمثل، ٥٤=󰋴٢٢.

إذن: ،٥٠٤=󰋴٢٢٥١٣=󰋴٢٢.

ومن ثم، علينا فقط التفكير في الخيارات الثلاثة (أ) و(ب) و(ج).

أولًا، لنفترض أن 𞸎=٥٤. بالتعويض بهذه القيمة في الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على: ٢٢(٥٤)+٦(٣×٥٤)١٢=(٥٤)+٦(٥٣١)١٢.

نتذكَّر خواص الزوايا المنتسبة: (٠٨١𝜃)=𝜃.

إذا كان 𝜃=٥٤، فإن: (٠٨١٥٤)=٥٤٥٣١=٥٤.

بالتعويض بقيمتَي ٥٤=󰋴٢٢، ٥٣١=󰋴٢٢ في هذا التعبير، نحصل على: 󰃭󰋴٢٢󰃬+٦󰃭󰋴٢٢󰃬١٢=١٢٣󰋴٢١٢=٣󰋴٢.٢

ثانيًا، لنفترض أن 𞸎=٥٣١. بالتعويض بهذه القيمة في الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على: ٢٢(٥٣١)+٦(٣×٥٣١)١٢=(٥٣١)+٦(٥٠٤)١٢.

نتذكَّر خاصية الزوايا المنتسبة: (٠٨١𝜃)=𝜃.

إذا كان 𝜃=٥٤، إذن: (٠٨١٥٤)=٥٤٥٣١=٥٤.

بالتعويض بقيمتَي ٥٣١=󰋴٢٢، ٥٠٤=󰋴٢٢ في هذا التعبير، نحصل على: 󰃭󰋴٢٢󰃬+٦󰃭󰋴٢٢󰃬١٢=١٢+٣󰋴٢١٢=٣󰋴٢.٢

وأخيرًا، لنفترض أن 𞸎=٥١٣. بالتعويض بهذه القيمة في الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على: ٢٢(٥١٣)+٦(٣×٥١٣)١٢=(٥١٣)+٦(٥٤٩)١٢.

نتذكر خاصية الزوايا المنتسبة: (٠٦٣𝜃)=𝜃.

إذا كان 𝜃=٥٤، إذن: (٠٦٣٥٤)=٥٤٥١٣=٥٤.

بالتعويض بقيمتَي ٥١٣=󰋴٢٢، ٥٤٩=󰋴٢٢ في هذا التعبير نحصل على: 󰃭󰋴٢٢󰃬+٦󰃭󰋴٢٢󰃬١٢=١٢٣󰋴٢١٢=٣󰋴٢.٢

إذن، يمكننا استنتاج أن 𞸎=٥٣١ لا يحقِّق المعادلة ٢𞸎+٦(٣𞸎)١٢=٣󰋴٢، بينما تحققها جميع الخيارات الأربعة الأخرى.

مثال ٦: إيجاد قيمة تعبيرات مثلثية تتضمن زوايا خاصة

أوجد قيمة ٣٠٣٠٦٠٠٦+٠٧٢٥٤٢.

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، علينا تذكُّر متطابقات مقلوب الدوال المثلثية والزوايا الخاصة.

وفقًا لما نعرفه عن الزوايا الخاصة، نعلم أن ٠٣=١٢، ٠٦=󰋴٣٢، ٥٤=󰋴٢٢.

من التمثيلين البيانيين لجيب وجيب تمام الزاوية، نلاحظ أن ٠=١، ٠٧٢=١.

وبما أن: 𝜃=١𝜃، إذن: ٠٦=١٠٦=١÷١٢=٢.

يمكننا الآن التعويض بكل هذه القيم في التعبير: ٣٠٣٠٦٠٠٦+٠٧٢٥٤=٣󰂔١٢󰂓󰃭󰋴٣٢󰃬(١)(٢)+(١)󰃭󰋴٢٢󰃬=٣󰋴٣٤٢١٢=٣󰋴٣٤٠١٤=٠١+٣󰋴٣٤.٢٢

سنُنهي هذا الشارح بتذكُّر بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا إيجاد قيمة الدوال والتعبيرات المثلثية باستخدام معرفتنا بالزوايا الخاصة: ٠٣=١٢،٥٤=󰋴٢٢،٠٦=󰋴٣٢،٠٣=󰋴٣٢،٥٤=󰋴٢٢،٠٦=١٢،٠٣=١󰋴٣،٥٤=١،٠٦=󰋴٣.
  • يمكننا استخدام متطابقات مقلوب الدوال المثلثية لحل المسائل الأكثر تعقيدًا: 𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃.
  • يمكننا أيضًا استخدام خواص الزوايا المنتسبة لإيجاد قيمة التعبيرات المثلثية:

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.