تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: أنواع المصفوفات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُحدِّد نوع المصفوفات المعطاة.

عند وصف المصفوفات بشكل عام، غالبًا ما نفضِّل استخدام صيغة مختصرة بدلًا من إجراء تلك المهمة المملة؛ ألا وهي كتابة كل عنصر يدويًّا. ينطبق هذا بصفة خاصة عند التعامل مع المصفوفات التي تحتوي على عدد كبير من الصفوف والأعمدة. إذا كانت المصفوفة من الرتبة 𞸌×𞸍 بها 𞸌 من الصفوف، وبها 𞸍 من الأعمدة، فسيصبح بها إجمالي عدد 𞸌𞸍 من العناصر. من السهل أن نَعرِف سبب كون عملية كتابة هذه المصفوفة بالكامل مهمة غير مباشرة تمامًا.

بافتراض أننا لسنا بحاجة إلى تحديد قيمة العناصر في المصفوفة، من الملائم غالبًا الإشارة إلى المصفوفات فقط حسب رتبتها؛ ومن ثَمَّ وَصْف عدد الصفوف والأعمدة، لكن بدون وصف العناصر التي تحتوي عليها. وعند التفكير في عمليات عامة مثل جمع المصفوفات أو ضربها، فإن معرفة الرتبة يُعَدُّ أمرًا أساسيًّا للتحقُّق ممَّا إذا كانت العملية صحيحة أو لا، وذلك قبل التفكير في العناصر المنفردة.

على الرغم من أن معرفة رتبة المصفوفة يمكن أن تعطينا معلومات مهمة وضرورية، فإن ثمة طرقًا أخرى لتصنيف المصفوفات التي يمكن أن تساعد أيضًا في توجيه العمليات الحسابية وتحديد العمليات الحسابية الصحيحة. نبدأ إذن في تقسيم المصفوفات إلى «أنواع» مختلفة، عادةً ما تُسمَّى بأسماء تحتوي على أوصاف هندسية وفقًا لخواصها. من الممكن أن يكون لمصفوفة واحدة محدَّدة أكثر من نوع واحد، كما سنرى لاحقًا. نبدأ هذا الشارح بتعريف عدة أنواع من المصفوفات التي تتكرَّر في علم الجبر الخطي.

تعريف: مصفوفات الصف ومصفوفات العمود

يُشار إلى أي مصفوفة من الرتبة ١×𞸍 باعتبارها «متجه صف» أو «مصفوفة صف»، وصورتها العامة هي: (󰏡󰏡󰏡)،١١٢١١𞸍 أما «متجه العمود» أو «مصفوفة العمود»، فهي مصفوفة من الرتبة 𞸌×١، وصورتها العامة هي: 󰏡󰏡󰏡.١١١٢𞸌١

على سبيل المثال، المصفوفات الآتية جميعها مصفوفات صف؛ لأن بها صفًّا واحدًا فقط: 󰏡=(٣٣)،𞸁=(١٣٠)،𞸢=(٠١٥٤٢)، أما المصفوفات الآتية، فليست مصفوفات صف؛ لأنها جميعًا تحتوي على أكثر من صف واحد: 𞸃=󰂔٣١٢٣٢٢󰂓،𞸤=٠٣٤٤،𞸅=󰃭٤٥٣٠٨٨٧٦١󰃬.

في المثال السابق، مصفوفة العمود الوحيدة هي 𞸤، أما جميع المصفوفات الأخرى، فتحتوي على أكثر من عمود؛ لذلك هذه المصفوفات ليست مصفوفات عمود.

تعريف: المصفوفات المربعة

المصفوفة «المربعة» هي مصفوفة بها 𞸍 من الصفوف، وبها 𞸍 من الأعمدة، وصورتها العامة هي: 󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡.١١٢١١𞸍١٢٢٢٢𞸍𞸍١𞸍٢𞸍𞸍

رتبة هذه المصفوفة هي 𞸍×𞸍، ويكون إجمالي العناصر بها 𞸍٢.

المصفوفات المربعة تُمثِّل أهدافًا رياضية بالغة الأهمية، وذات دراسة منتظمة في علم الجبر الخطي. ترتكز العديد من النظريات المتعمِّقة المفيدة على أن المصفوفات المعنيَّة مصفوفات مربعة. على الرغم من أنه يمكن تعريف عمليتَي جمع المصفوفات وضربها على مصفوفات ذات رتبة عامة، فإن عمليتَي رفع المصفوفة إلى قوى وإيجاد معكوس لها لا تكونان معرَّفتين إلا عندما تكون المصفوفة مربعة.

على سبيل المثال، تحتوي المصفوفات الآتية على عدد متساوٍ من الصفوف والأعمدة؛ ومن ثَمَّ تُصنَّف باعتبارها مصفوفات مربعة: 󰏡=󰂔٢١٢٢󰂓،𞸁=٠١٤٣٥٠٣٥٣٢٢٥٣٣٠٢،𞸢=󰃭٤٥٣٠٨٨٧٦١󰃬، في حين أنه لم تكن أيٌّ من المصفوفات الآتية مربعة: 𞸃=󰂔٣١٠٠١٢󰂓،𞸤=٤٤٦٦٤٤٣٥،𞸅=(٤٦٣).

المصفوفات المربعة مهمة للغاية؛ فالعديد من الأنواع الخاصة الأخرى من المصفوفات له تعريفات تعتمد أولًا على أنها مصفوفة مربعة بالفعل.

تعريف: المصفوفات القطرية

للمصفوفة 󰏡، تكون العناصر «القطرية» هي تلك التي لها نفس عدد الصفوف وعدد الأعمدة، أما العناصر «غير القطرية» فهي جميع العناصر الأخرى. إذا كانت 󰏡 مصفوفة مربعة، وكانت جميع العناصر غير القطرية تساوي صفرًا، فإن المصفوفة 󰏡 تُسمَّى مصفوفة «قطرية».

لقد حدَّدنا جميع العناصر القطرية الآتية باللون الأحمر: 󰏡=󰂔٣٠٠٣󰂓،𞸁=󰃁٣٠٠٠٠٠٠٠٢󰃀،𞸢=٨٠٠٠٠٦٠٠٠٠٢٠٠٠٠٧.

إذا كانت المصفوفات كلها مصفوفات مربعة، وكانت جميع العناصر غير القطرية تساوي صفرًا، فإن جميع ما سبق يُعَدُّ مصفوفات قطرية. يجب أن نَذكُر أن المصفوفة 𞸁 تحتوي على العنصر القطري 𞸁=٠٢٢. على الرغم من أن قيمة هذا العنصر القطري تساوي صفرًا، فإن هذا يتفق مع التعريف المذكور سابقًا، وهو ما يتطلَّب أن تكون قيمة العناصر غير القطرية فقط تساوي صفرًا.

المصفوفات الآتية ليست قطرية: 𞸃=󰂔١٤٠٣󰂓،𞸤=󰃭٣٠٠٠٤٣٠٢١󰃬،𞸅=٤٠٠٠٦٠٠٠٦٠٠٠.

لقد حدَّدنا باللون البرتقالي العناصر غير القطرية في 𞸃، 𞸤 التي لا تساوي صفرًا؛ ومن ثَمَّ حال ذلك دون التعبير عن هذه المصفوفات بالصورة القطرية. ولا يمكن بأي حال أن تكون المصفوفة 𞸅 مصفوفة قطرية؛ لأنها ليست مصفوفة مربعة؛ ومن ثَمَّ فإنها لا تستوفي شروط التعريف المذكور أعلاه. على الرغم من أن مفهوم المصفوفة المستطيلة القطرية موجود بالفعل، فإنه يُستخدَم بشكل أقل بكثير من مفهوم المصفوفات المربعة القطرية القياسية؛ ومن ثَمَّ فهو خارج نطاق موضوع هذا الشارح.

تعريف: مصفوفات الوحدة

إن «مصفوفة الوحدة» هي مصفوفة قطرية، بها آحاد على القطر الرئيسي، وأصفار في المواضع الأخرى. عادةً ما نشير إلى هذه المصفوفات بالرمزين الخاصين ١𞸍 أو 𝐼𞸍؛ حيث يشير 𞸍 إلى أن المصفوفة من الرتبة 𞸍×𞸍.

المصفوفات الآتية جميعها مصفوفات وحدة: 𝐼=󰂔١٠٠١󰂓،𝐼=󰃭١٠٠٠١٠٠٠١󰃬،𝐼=١٠٠٠٠١٠٠٠٠١٠٠٠٠١،٢٣٤ أما المصفوفات السابقة في هذا الشارح، فلم يكن أيٌّ منها مصفوفة وحدة.

تعريف: المصفوفات الصفرية

«المصفوفة الصفرية» من الرتبة 𞸌×𞸍 هي مصفوفة تحتوي على 𞸌 من الصفوف، وعلى 𞸍 من الأعمدة؛ حيث يساوي كل عنصر فيها صفرًا، وعادةً ما يُرمَز إليها بالرمز 𞸌𞸍. إذا كانت المصفوفة الصفرية مصفوفة مربعة أيضًا من الرتبة 𞸍×𞸍، فأحيانًا ما يُستخدَم الرمز 𞸍.

على سبيل المثال، جميع المصفوفات الآتية مصفوفات صفرية: =󰁓٠٠٠٠٠٠٠٠󰁒،=󰁓٠٠٠٠󰁒،=󰃁٠٠٠٠٠٠٠٠٠󰃀.٤٢٢٣

تُوجَد أنواع أخرى مختلفة من المصفوفات التي تميَّزت بتصنيفها وتسميتها الخاصة؛ مثل المصفوفات المتماثلة والمصفوفات شبه المتماثلة والمصفوفات المتعامدة والمصفوفات الجزئية، وغيرها. كلٌّ من هذه المصفوفات مثير للاهتمام، وبه ما يكفي من المعلومات التي تتطلَّب بحثًا خاصًّا مستقلًّا به.

بمجرد استيعاب المفاهيم المذكورة أعلاه استيعابًا كاملًا، يصبح من الممكن البدء في فهم هذه الأنواع المهمة من المصفوفات وتطبيقاتها المتعدِّدة. وللتدريب على التعرُّف على مثل هذه الأنواع الشائعة من المصفوفات، نتناول فيما يلي عدة أسئلة تعتمد على التعريفات التي ذكرناها سابقًا.

مثال ١: أنواع المصفوفات

حدِّد نوع المصفوفة: (٧٩).

  1. مصفوفة صف
  2. مصفوفة مربعة
  3. مصفوفة وحدة
  4. مصفوفة عمود

الحل

من الواضح أن هذه المصفوفة ليست مصفوفة مربعة؛ لأنها لا تحتوي على نفس عدد الصفوف والأعمدة؛ ولذلك نستبعد الخيار (ب). يعني ذلك أن الإجابة لا يمكن أن تكون أيضًا الخيار (ج)؛ لأن مصفوفة الوحدة مصفوفة مربعة (على وجه التحديد، هي مصفوفة قطرية قِيَمُ جميع العناصر القطرية فيها ١). بما أن المصفوفة تحتوي على صف واحد فقط وأكثر من عمود، إذن فهي مصفوفة صف؛ ومن ثَمَّ فإن الخيار الصحيح هو (أ).

مثال ٢: أنواع المصفوفات

حدِّد نوع المصفوفة: ٤١٢٨.

  1. مصفوفة صف
  2. مصفوفة مربعة
  3. مصفوفة وحدة
  4. مصفوفة عمود

الحل

هذه المصفوفة تحتوي على أكثر من صف، وعمود واحد فقط، إذن فهي مصفوفة عمود. إذن الإجابة الصحيحة هي الخيار (د).

مثال ٣: أنواع المصفوفات

حدِّد نوع المصفوفة: 󰃭١٢١٥٢٧٣٠٨󰃬.

  1. مصفوفة صف
  2. مصفوفة مربعة
  3. مصفوفة وحدة
  4. مصفوفة عمود

الحل

تحتوي هذه المصفوفة على أكثر من صف وأكثر من عمود؛ ومن ثَمَّ لا يمكن أن تكون الخيار (أ) أو الخيار (د). بما أن عدد الصفوف هو عدد الأعمدة نفسه، إذن المصفوفة مصفوفة مربعة؛ ومن ثَمَّ تكون الإجابة إما الخيار (ب) وإما الخيار (ج). ولكي تكون المصفوفة المربعة مصفوفة وحدة، يجب أن تكون أيضًا مصفوفة قطرية، وهذا غير صحيح في هذا المثال. ومن ثَمَّ، لا يمكن أن تكون الإجابة هي الخيار (ج)، ما يعني أن الخيار (ب) هو الإجابة الصحيحة.

مثال ٤: أنواع المصفوفات

حدِّد نوع المصفوفة: 󰃁٠٠٠٠٠٠٠٠٠󰃀.

  1. مصفوفة صف
  2. مصفوفة صفرية
  3. مصفوفة وحدة
  4. مصفوفة عمود

الحل

تتكوَّن المصفوفة من أكثر من صف وأكثر من عمود؛ ومن ثَمَّ فهي ليست مصفوفة صف ولا مصفوفة عمود؛ لذلك نستبعد الخيارين (أ) و(د). وعلى الرغم من أن المصفوفة مصفوفة مربعة، وهي أيضًا مصفوفة قطرية بالفعل (لأن جميع العناصر غير القطرية تساوي صفرًا)، فإن هذه المصفوفة لا يمكن أن تكون مصفوفة وحدة؛ لأن جميع عناصرها القطرية لا تساوي ١. ولذلك، لا يمكن أن تكون الإجابة هي الخيار (ج). وبما أن كل عنصر بالمصفوفة يساوي صفرًا، إذن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ب). يمكننا الإشارة إلى هذه المصفوفة المعطاة في صورة المصفوفة الصفرية ٣٣، أو إذا أردنا استخدام الرمز المختصر للمصفوفات المربعة الصفرية، فيمكننا التعبير ببساطة عن ذلك في صورة ٣.

مثال ٥: أنواع المصفوفات

حدِّد نوع المصفوفة: 󰃭١٠٠٠١٠٠٠١󰃬.

  1. مصفوفة صف
  2. مصفوفة صفرية
  3. مصفوفة وحدة
  4. مصفوفة عمود

الحل

لا يمكن أن تكون هذه المصفوفة المعطاة أحد الخيارين (أ) و(د). إذا كان هناك أي عناصر غير صفرية في هذه المصفوفة، فإننا نعرف من ذلك أن الخيار (ب) غير ممكن. المصفوفة المعطاة هي مصفوفة قطرية، وجميع عناصرها القطرية تساوي ١؛ ومن ثم تكون هذه المصفوفة مصفوفة وحدة، ويمكن التعبير عنها إما بالرمز 𝐼٣ وإما بالرمز ١٣. إذن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج).

مثال ٦: أنواع المصفوفات

حدِّد نوع المصفوفة: 󰃁٧٥٠٠٠٢٧٠٠٠٠󰃀.

  1. مصفوفة صف
  2. مصفوفة قطرية
  3. مصفوفة وحدة
  4. مصفوفة عمود

الحل

من الواضح أن هذه المصفوفة ليست مصفوفة صف أو مصفوفة عمود، إذن الخياران (أ) و(د) غير صحيحين. المصفوفة على الصورة القطرية؛ لأن جميع عناصرها غير القطرية تساوي صفرًا. إذا كانت جميع العناصر القطرية لا تساوي ١، فلا يمكن أن تكون هذه المصفوفة مصفوفة وحدة؛ ومن ثَمَّ يعتبر الخيار (ج) غير ممكن. لاحظ أنه على الرغم من أن أحد العناصر القطرية يساوي صفرًا، فإن هذا لا يتعارض مع تصنيف المصفوفة على أنها قطرية؛ ومن ثَمَّ فالإجابة الصحيحة هي (ب).

بعد مزيد من الدراسة لعلم الجبر الخطي، اتضح سريعًا سبب اختيارنا لتعريف هذه الأنواع من المصفوفات بالتحديد. في كثير من الأحيان، يمكن اكتساب مزيد من الفهم الكبير والملحوظ لمسألة ما فقط من خلال فهم أنواع المصفوفات المضمَّنة. على سبيل المثال، إذا كنا نتعامل مع مصفوفة مربعة، فإننا حينها نتعامل بالفعل مع مصفوفة تضمن لنا الحفاظ على أبعادها عند دمجها بطريقة ما مع مصفوفات الصف ومصفوفات العمود. وإليك مثالًا آخر، فقد ذكرنا سابقًا أن المصفوفة المربعة ضرورية للتمكُّن من «قسمة» المصفوفة (أو ما يُعرَف باسم «إيجاد معكوس المصفوفة»)، وذلك لتكون معرَّفة تمامًا.

إضافةً إلى أنواع المصفوفات المذكورة سابقًا، فإن ثمة أنواعًا أخرى من المصفوفات تُعَدُّ ذات أهمية أساسية في الفيزياء والعلوم الأخرى. على سبيل المثال، يُعَدُّ مفهوم المصفوفة «الهيرميتية» ضروريًّا لكي يكون علم ميكانيكا الكم معرَّفًا جيدًا بالمعنى الرياضي؛ ومن ثَمَّ يسفر ذلك عن نتائج يمكن استخدامها في الحياة الواقعية. كما أصبحت فكرة المصفوفات «المثلثية» أساسية في الحل الأمثل للتمثيل البياني للرسوم باستخدام الحاسب؛ حيث تتيح مصفوفة فاندرموند الاستكمال الداخلي للمنحنى الأملس. في معظم الأحيان، تُعَدُّ هذه المصفوفات الخاصة مصفوفات مربعة، إلا أن هذا لا يقلِّل من أهمية المصفوفات غير المربعة، التي تُعَدُّ مفيدة للغاية عند التحويل بين الأبعاد المختلفة.

النقاط الرئيسية

  • تحتوي مصفوفات الصف ومصفوفات العمود (التي كثيرًا ما يُشار إليها باسم متجهات الصف ومتجهات العمود)، على الترتيب، إما على صف واحد وإما على عمود واحد فقط.
  • تحتوي المصفوفات المربعة على عدد متساوٍ من الصفوف والأعمدة.
  • المصفوفات القطرية هي مصفوفات مربعة؛ حيث تساوي قيمة كل عنصر غير قطري فيها صفرًا.
  • مصفوفة الوحدة هي مصفوفة قطرية؛ حيث تساوي قِيَم جميع عناصرها القطرية ١. رمز مصفوفة الوحدة من الرتبة 𞸍×𞸍 يكون إما ١𞸍 وإما 𝐼𞸍، وتُعَدُّ هذه المصفوفات ذات أهمية بالغة في علم الجبر الخطي.
  • المصفوفة الصفرية من الرتبة 𞸌×𞸍 تتكوَّن من عناصر قِيَمُها تساوي صفرًا فقط. عادةً ما نُعبِّر عن مثل هذه المصفوفة بالرمز 𞸌𞸍.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.