شارح الدرس: أنواع المصفوفات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُحدِّد نوع المصفوفات المعطاة.

عند وصف المصفوفات بشكل عام، غالبًا ما نفضِّل استخدام صيغة مختصرة بدلًا من إجراء تلك المهمة المملة؛ ألا وهي كتابة كل عنصر يدويًّا. ينطبق هذا بصفة خاصة عند التعامل مع المصفوفات التي تحتوي على عدد كبير من الصفوف والأعمدة. إذا كانت المصفوفة من الرتبة بها من الصفوف، وبها من الأعمدة، فسيصبح بها إجمالي عدد من العناصر. من السهل أن نَعرِف سبب كون عملية كتابة هذه المصفوفة بالكامل مهمة غير مباشرة تمامًا.

بافتراض أننا لسنا بحاجة إلى تحديد قيمة العناصر في المصفوفة، من الملائم غالبًا الإشارة إلى المصفوفات فقط حسب رتبتها؛ ومن ثَمَّ وَصْف عدد الصفوف والأعمدة، لكن بدون وصف العناصر التي تحتوي عليها. وعند التفكير في عمليات عامة مثل جمع المصفوفات أو ضربها، فإن معرفة الرتبة يُعَدُّ أمرًا أساسيًّا للتحقُّق ممَّا إذا كانت العملية صحيحة أو لا، وذلك قبل التفكير في العناصر المنفردة.

على الرغم من أن معرفة رتبة المصفوفة يمكن أن تعطينا معلومات مهمة وضرورية، فإن ثمة طرقًا أخرى لتصنيف المصفوفات التي يمكن أن تساعد أيضًا في توجيه العمليات الحسابية وتحديد العمليات الحسابية الصحيحة. نبدأ إذن في تقسيم المصفوفات إلى «أنواع» مختلفة، عادةً ما تُسمَّى بأسماء تحتوي على أوصاف هندسية وفقًا لخواصها. من الممكن أن يكون لمصفوفة واحدة محدَّدة أكثر من نوع واحد، كما سنرى لاحقًا. نبدأ هذا الشارح بتعريف عدة أنواع من المصفوفات التي تتكرَّر في علم الجبر الخطي.

على سبيل المثال، المصفوفات الآتية جميعها مصفوفات صف؛ لأن بها صفًّا واحدًا فقط: أما المصفوفات الآتية، فليست مصفوفات صف؛ لأنها جميعًا تحتوي على أكثر من صف واحد:

في المثال السابق، مصفوفة العمود الوحيدة هي ، أما جميع المصفوفات الأخرى، فتحتوي على أكثر من عمود؛ لذلك هذه المصفوفات ليست مصفوفات عمود.

المصفوفات المربعة تُمثِّل أهدافًا رياضية بالغة الأهمية، وذات دراسة منتظمة في علم الجبر الخطي. ترتكز العديد من النظريات المتعمِّقة المفيدة على أن المصفوفات المعنيَّة مصفوفات مربعة. على الرغم من أنه يمكن تعريف عمليتَي جمع المصفوفات وضربها على مصفوفات ذات رتبة عامة، فإن عمليتَي رفع المصفوفة إلى قوى وإيجاد معكوس لها لا تكونان معرَّفتين إلا عندما تكون المصفوفة مربعة.

على سبيل المثال، تحتوي المصفوفات الآتية على عدد متساوٍ من الصفوف والأعمدة؛ ومن ثَمَّ تُصنَّف باعتبارها مصفوفات مربعة: في حين أنه لم تكن أيٌّ من المصفوفات الآتية مربعة:

المصفوفات المربعة مهمة للغاية؛ فالعديد من الأنواع الخاصة الأخرى من المصفوفات له تعريفات تعتمد أولًا على أنها مصفوفة مربعة بالفعل.

لقد حدَّدنا جميع العناصر القطرية الآتية باللون الأحمر:

إذا كانت المصفوفات كلها مصفوفات مربعة، وكانت جميع العناصر غير القطرية تساوي صفرًا، فإن جميع ما سبق يُعَدُّ مصفوفات قطرية. يجب أن نَذكُر أن المصفوفة تحتوي على العنصر القطري . على الرغم من أن قيمة هذا العنصر القطري تساوي صفرًا، فإن هذا يتفق مع التعريف المذكور سابقًا، وهو ما يتطلَّب أن تكون قيمة العناصر غير القطرية فقط تساوي صفرًا.

المصفوفات الآتية ليست قطرية:

لقد حدَّدنا باللون البرتقالي العناصر غير القطرية في ، التي لا تساوي صفرًا؛ ومن ثَمَّ حال ذلك دون التعبير عن هذه المصفوفات بالصورة القطرية. ولا يمكن بأي حال أن تكون المصفوفة مصفوفة قطرية؛ لأنها ليست مصفوفة مربعة؛ ومن ثَمَّ فإنها لا تستوفي شروط التعريف المذكور أعلاه. على الرغم من أن مفهوم المصفوفة المستطيلة القطرية موجود بالفعل، فإنه يُستخدَم بشكل أقل بكثير من مفهوم المصفوفات المربعة القطرية القياسية؛ ومن ثَمَّ فهو خارج نطاق موضوع هذا الشارح.

المصفوفات الآتية جميعها مصفوفات وحدة: أما المصفوفات السابقة في هذا الشارح، فلم يكن أيٌّ منها مصفوفة وحدة.

على سبيل المثال، جميع المصفوفات الآتية مصفوفات صفرية:

تُوجَد أنواع أخرى مختلفة من المصفوفات التي تميَّزت بتصنيفها وتسميتها الخاصة؛ مثل المصفوفات المتماثلة والمصفوفات شبه المتماثلة والمصفوفات المتعامدة والمصفوفات الجزئية، وغيرها. كلٌّ من هذه المصفوفات مثير للاهتمام، وبه ما يكفي من المعلومات التي تتطلَّب بحثًا خاصًّا مستقلًّا به.

بمجرد استيعاب المفاهيم المذكورة أعلاه استيعابًا كاملًا، يصبح من الممكن البدء في فهم هذه الأنواع المهمة من المصفوفات وتطبيقاتها المتعدِّدة. وللتدريب على التعرُّف على مثل هذه الأنواع الشائعة من المصفوفات، نتناول فيما يلي عدة أسئلة تعتمد على التعريفات التي ذكرناها سابقًا.

بعد مزيد من الدراسة لعلم الجبر الخطي، اتضح سريعًا سبب اختيارنا لتعريف هذه الأنواع من المصفوفات بالتحديد. في كثير من الأحيان، يمكن اكتساب مزيد من الفهم الكبير والملحوظ لمسألة ما فقط من خلال فهم أنواع المصفوفات المضمَّنة. على سبيل المثال، إذا كنا نتعامل مع مصفوفة مربعة، فإننا حينها نتعامل بالفعل مع مصفوفة تضمن لنا الحفاظ على أبعادها عند دمجها بطريقة ما مع مصفوفات الصف ومصفوفات العمود. وإليك مثالًا آخر، فقد ذكرنا سابقًا أن المصفوفة المربعة ضرورية للتمكُّن من «قسمة» المصفوفة (أو ما يُعرَف باسم «إيجاد معكوس المصفوفة»)، وذلك لتكون معرَّفة تمامًا.

إضافةً إلى أنواع المصفوفات المذكورة سابقًا، فإن ثمة أنواعًا أخرى من المصفوفات تُعَدُّ ذات أهمية أساسية في الفيزياء والعلوم الأخرى. على سبيل المثال، يُعَدُّ مفهوم المصفوفة «الهيرميتية» ضروريًّا لكي يكون علم ميكانيكا الكم معرَّفًا جيدًا بالمعنى الرياضي؛ ومن ثَمَّ يسفر ذلك عن نتائج يمكن استخدامها في الحياة الواقعية. كما أصبحت فكرة المصفوفات «المثلثية» أساسية في الحل الأمثل للتمثيل البياني للرسوم باستخدام الحاسب؛ حيث تتيح مصفوفة فاندرموند الاستكمال الداخلي للمنحنى الأملس. في معظم الأحيان، تُعَدُّ هذه المصفوفات الخاصة مصفوفات مربعة، إلا أن هذا لا يقلِّل من أهمية المصفوفات غير المربعة، التي تُعَدُّ مفيدة للغاية عند التحويل بين الأبعاد المختلفة.