شارح الدرس: دوال القيمة المطلقة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: إيجاد مدى دالة قيمة مُطلقة باستخدام تمثيل بياني

أوجد مدى الدالة .

الحل

يُمكننا ملاحظة أن للتمثيل البياني رأسًا عند ، وخط تماثل عند ، وجزءًا مقطوعًا من المحور عند ، وجزءًا مقطوعًا من المحور عند ٢. وبإدخال قِيَم إلى الدالة ، وملاحظة القِيَم المُخرَجة الناتِجة، يُمكننا التأكُّد من صحة التمثيل البياني.

هيَّا نستخدم التمثيل البياني ليساعدنا على تحديد مجال ومدى . تذكَّر أن مجال الدالة هو مجموعة القِيَم المُدخَلة المُمكِنة كلها، والمدى هو مجموعة القِيَم المُخرَجة المُمكنة كلها. هناك طريقة أخرى لقول ذلك، وهي أن المجال هو جميع القِيَم المُمكِنة للمتغيِّر المستقلِّ، والمدى هو جميع القِيَم المُمكِنة للمتغيِّر التابع.

يوضِّح لنا السهمان أن التمثيل البياني يمتدُّ إلى ما لا نهاية إلى اليسار واليمين؛ ومن ثَمَّ نعرف أن المجال يجب أن يكون مجموعة الأعداد الحقيقية كلها، أو . يوضِّح لنا السهمان أيضًا أن التمثيل البياني يمتدُّ إلى ما لا نهاية لأعلى، لكننا نلاحظ أنه يقع على المحور فقط أو فوقه. بعبارة أخرى، القيمة الصُّغرى لـ هي صفر، لكن لا تُوجَد قيمة عُظْمى. وبذلك نعرف أن المدى هو ، أو . وأيُّ دالة قيمة مُطلقة على الصورة سيكون لها هذا المدى.

مثال ٢: إيجاد مجال ومدى دالة قيمة مُطلقة باستخدام تمثيل بياني

أوجد مجال ومدى الدالة .

الحل

نعلم أن مجال ومدى يظلُّ كما هو بعد الانتقال الأفقي إلى اليسار أو اليمين؛ لذا يكون مجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية كلها، أو ، والمدى هو ، أو . ومع ذلك، مع أن مجال يظلُّ كما هو بعد الانتقال الرأسي لأعلى أو لأسفل، إلَّا أن مداها لا يظلُّ كما هو. فمدى هو ، أو .

يُمكننا هنا أن نلاحظ أن التمثيل البياني عبارة عن انتقال أفقي بمقدار وحدة واحدة إلى اليسار، وانتقال رأسي بمقدار وحدة واحدة لأعلى للتمثيل البياني لـ . أيْ . ومن ثَمَّ، يكون مجال الدالة هو ، والمدى هو ، أو .

ملاحظة

سنتوصَّل إلى الإجابات نفسها لمجال ومدى الدالة باستخدام حقيقة أن المجال هو مجموعة القِيَم المُدخَلة المُمكنة كلها، بينما المدى هو مجموعة القِيَم المُخرَجة المُمكنة كلها. يوضِّح لنا السهمان أن التمثيل البياني يمتدُّ إلى ما لا نهاية إلى اليسار واليمين، إذن مرةً أخرى نعلم أن مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية كلها، أو . يوضِّح لنا السهمان أيضًا أن التمثيل البياني يمتدُّ إلى ما لا نهاية لأعلى، لكننا نلاحظ أن التمثيل البياني يقع عند القيمة ١ فقط أو أكبر بالنسبة إلى . أي إن القيمة الصُّغرى لـ هي ١، لكن لا تُوجَد قيمة عُظمى. ومن ثَمَّ، يُمكننا مرةً أخرى ملاحظة أن مدى الدالة هو ، أو .

مثال ٣: إيجاد مجال دالة قيمة مُطلقة

إذا كان ثابتًا، فما مجال الدالة ؟

الحل

كما نلاحظ في الشكلين الآتيين، التمثيل البياني لـ عبارة عن انتقال أفقي للتمثيل البياني لـ . إذا كانت قيمة موجبة، فإن الانتقال يكون بمقدار وحدة إلى اليسار، وإذا كانت قيمة سالبة، فإن الانتقال يكون بمقدار وحدة إلى اليمين.

تذكَّر أنه بالنسبة إلى كلٍّ من ، ، المجال هو ، والمدى هو ، أو . بعبارة أخرى، مجال ومدى يُماثل مجال ومدى ، بإهمال إذا ما كان الانتقال الأفقي إلى اليسار أو اليمين، وبغضِّ النظر عن عدد الوحدات. وهذا يعني أن مجال الدالة لا بدَّ أن يكون مجموعة الأعداد الحقيقية كلها، أو .

ملاحظة

نعلم أن مجال الدالة هو مجموعة القِيَم المُدخَلة المُمكِنة كلها، أو جميع القِيَم المُمكِنة للمتغيِّر المستقلِّ . لتحديد مجال الدالة ، يُمكننا أن نسأل أنفسنا «ما قِيَم التي يُمكننا إدخالها إلى الدالة؟» للمُساعدة في الإجابة عن هذا السؤال، دعونا نفكِّر في الشكل الذي ستكون عليه الدالة بالنسبة إلى بعض قِيَم الثابت المختلفة.

أولًا، سنتناول قيمة سالبة لـ . نفترض أن . في هذه الحالة، تصبح الدالة . والآن، نقوم بإدخال بعض القِيَم إلى الدالة، ونلاحظ إذا ما كانت ستُوجَد قيمة مُخرَجة أم لا:

يُمكننا أن نلاحظ أن جميع القِيَم المُدخَلة تُعطِي قيمة مُخرَجة مناظِرة. والآن، نلقي نظرة على ما يحدث عند . في هذه الحالة، تصبح الدالة :

مرة أخرى، يُمكننا أن نلاحظ أن جميع القِيَم المُدخَلة تعطي قيمة مُخرَجة مناظِرة. وأخيرًا، دعونا نُعطِ أ قيمة موجبة بالنظر إلى الدالة عند . الآن تصبح الدالة :

تمامًا كما سبق، تُوجَد قيمة مُخرَجة لكلِّ قيمةٍ من القِيَم المُدخَلة. في الحقيقة، يرجع ذلك إلى أن دالة القيمة المُطلقة مُعرَّفة بالنسبة إلى جميع أعداد الحقيقية، بغضِّ النظر عمَّا يمثِّله الثابت ، وسنستطيع دائمًا إدخال أيِّ قيمة إلى الدالة والحصول على قيمة مُخرَجة. وهذا يعني أن القيمة المُخرَجة لن تكون غير مُعرَّفة أبدًا. ومن ثَمَّ، نلاحظ مرةً أخرى أن مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية كلها، أو .

مثال ٤: إيجاد مجال ومدى دالة قيمة مُطلقة

أوجد مجال ومدى الدالة .

الحل

للمُساعدة في تحديد مجال الدالة ومداها، سنبدأ بتكوين تمثيلها البياني. بمعلومية ، نعلم أن تعريف الدالة يكون على الصورة: ؛ حيث ، ، . وبذلك، يُمكننا الحصول على التمثيل البياني لـ بالتمدُّد الرأسي للتمثيل البياني لـ بمعامل قياس يساوي أربعة، والانعكاس في المحور ، والانتقال خمس وحدات إلى اليمين، ثم الانتقال وحدة واحدة لأسفل، كما هو موضَّح:

يُمكننا التحقُّق من صحة التمثيل البياني عن طريق إدخال ثلاث قِيَم لـ إلى الدالة وملاحظة القِيَم المُخرَجة الناتِجة. وهذا ليس ضروريًّا طالما أننا نتحرَّى الدقَّة في التحويلات، لكنه يُفيد في دوالَّ أكثر تعقيدًا، مثل هذه الدالة. القِيَم التي نختارها لـ ستجعل قيمة المقدار داخل شرطتي القيمة المُطلقة ، سالبة، صفرًا، موجبة، على الترتيب:

نحصل على الأزواج المُرتَّبة ، ، . بتمثيل هذه النقاط على المستوى الإحداثي، واستخدام فهمنا لدوالِّ القيمة المُطلقة، يُمكننا إنشاء التمثيل البياني لـ مرةً أخرى للدالة ، كما يأتي:

يوضِّح لنا السهمان الموجودان على التمثيل البياني أن التمثيل البياني يمتدُّ إلى ما لا نهاية إلى كلٍّ من اليسار واليمين؛ ومن ثَمَّ نعلم أن مجال لا بدَّ أن يكون مجموعة الأعداد الحقيقية كلها، أو . ويوضِّح لنا السهمان أيضًا أن التمثيل البياني يمتدُّ إلى ما لا نهاية لأسفل، لكننا نلاحظ أنه يقع عند القيمة فقط أو أقلَّ بالنسبة إلى . بعبارة أخرى، القيمة العُظمى لـ هي ، لكن لا تُوجَد قيمة صُغرى. وهذا يعني أن مدى الدالة هو ، أو .

مثال ٥: حلُّ مسألة كلامية تتضمَّن دالة قيمة مُطلقة

يتحرَّك جسم بسرعة منتظمة قدرها ٥ سم/ث من النقطة إلى النقطة مرورًا بالنقطة دون توقُّف. تُحدَّد المسافة بين الجسم والنقطة بالعلاقة: ؛ حيث يمثِّل الزمن مقيسًا بوحدة ثانية، يمثِّل المسافة مقيسة بوحدة سم. احسب المسافة بين الجسم والنقطة بعد ٥ ثوانٍ، وبعد ١١ ثانية.

الحل

لحساب المسافة بين الجسم والنقطة بعد ٥ ثوانٍ، وبعد ١١ ثانية علينا حساب قيمة الدالة عند ، وعند . بعبارة أخرى، يجب أن نعوِّض عن بـ ٥ و١١ في الدالة، ونحسب القيمة الناتِجة لـ .

تذكِّر أن القيمة المُطلقة لأيِّ عدد تكون موجبة دائمًا؛ لذا بإهمال إذا ما كانت قيمة المقدار داخل شرطتي القيمة المُطلقة موجبة أو سالبة، فإن قيمته المُطلقة ستكون موجبة. وهذا يضمن أن تكون المسافة المُعطاة بالدالة موجبة؛ لأن حاصل ضرب ٥ في عدد موجب آخَر سيكون موجبًا دائمًا. أولًا، دعونا نُوجِد :

استنادًا إلى العمليات الحسابية، نعرف أنه بعد ٥ ثوانٍ، المسافة بين الجسم والنقطة كانت ١٥ سنتيمترًا.

الآن دعونا نُوجِد :

توضِّح لنا العمليات الحسابية أن المسافة بين الجسم والنقطة كانت أيضًا ١٥ سنتيمترًا بعد ١١ ثانية. لاحظ أن المسافتين متساويتان. وهذا يُخبرنا أنه بعد ٥ ثوانٍ يجب ألَّا يكون الجسم قد وصل بعد إلى النقطة ، وأنه بعد ١١ ثانية، يجب أن يكون الجسم قد مرَّ بالنقطة بالفعل.