تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الشغل المبذول بواسطة قوة ممثَّلة في صورة متجه الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نحسب الشغل المبذول بواسطة متجه قوة ثابتة تؤثر على جسم خلال متجه إزاحة باستخدام حاصل الضرب القياسي.

يمكن تعريف الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة على النحو الآتي.

تعريف: الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة

يعتمد الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة على القوة المؤثرة على الجسم، والمسافة التي يقطعها الجسم في اتجاه هذه القوة وفقًا للمعادلة: 𞸔=𞹟𞸐(𝜃)، حيث 𞹟 هو مقدار القوة، 𞸐 هو مقدار إزاحة الجسم أثناء تأثير القوة عليه، 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين اتجاهَي 𞹟، 𞸐.

هناك طريقة بديلة لتمثيل الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة، وهي تمثيل القوة والإزاحة بمتجهين بدلًا من تمثيلهما بمقدارَي متجهين.

يمكن أن يكون حاصل ضرب المتجهين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 هو حاصل الضرب القياسي للمتجهين، الذي يعرَّف كما يلي.

تعريف: الضرب القياسي لمتجهين

يُعطى الضرب القياسي لمتجهين بالعلاقة: 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹(𝜃)، حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁. وتُقاس الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة من 󰏡 إلى 󰄮󰄮𞸁 كما هو موضح في الشكل الآتي.

الشغل المبذول بواسطة قوة مقدارها 𞹟 خلال إزاحة مقدارها 𞸐 يساوي 󰄮󰄮𞹟󰄮󰄮𞸐: 󰄮󰄮𞹟󰄮󰄮𞸐=󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹󰍼󰄮󰄮𞸐󰍼(𝜃).

يوضِّح التمثيل الآتي لـ 󰄮󰄮𞹟، 󰄮󰄮𞸐 أن حاصل ضرب مقدار 󰄮󰄮𞹟 ومقدار مركبة 󰄮󰄮𞸐 في اتجاه 󰄮󰄮𞹟 يساوي 󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹󰍼󰄮󰄮𞸐󰍼(𝜃).

يمكن إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين ممثَّلين على الصورة الإحداثية دون الاعتماد على الزاوية المحصورة بين المتجهين.

لنفترض أن المتجهين 󰄮󰄮𞹟، 󰄮󰄮𞸐 متعامدان، كما هو موضح في الشكل الآتي.

فنجد أن حاصل الضرب القياسي لهما هو: 󰄮󰄮𞹟󰄮󰄮𞸐=(٤،٣)(٣،٤)󰄮󰄮𞹟󰄮󰄮𞸐=(٤×٣)+(٣×٤)=٢١٢١=٠.

حاصل الضرب القياسي للمتجهين المتعامدين يساوي صفرًا. إذن، لا توجد قوة تؤثر على الجسم في اتجاه الإزاحة، ومن ثَمَّ؛ فإن القوة لا تبذل شغلًا على الجسم.

دعونا نتناول مثالًا على استخدام الصورة المتجهة لإيجاد الشغل المبذول بواسطة قوة.

مثال ١: حساب الشغل المبذول بواسطة قوة تؤثر على جسيم عند إعطاء القوة والموضع في صورة متجهين

تحرَّك جسيم في مستوًى فيه 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 متجها وحدة متعامدان. أثَّرت القوة 󰄮󰄮𞹟=󰁓٩󰄮󰄮󰄮𞹎+󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒 على الجسيم. تحرَّك الجسيم من نقطة الأصل إلى نقطة متجه موضعها 󰁓٩󰄮󰄮󰄮𞹎+٦󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒 م. أوجد الشغل الذي تبذله القوة.

الحل

الشغل الذي تبذله القوة يساوي حاصل الضرب القياسي لمتجه القوة ومتجه إزاحة الجسيم. لم يُذكَر في المسألة متجه إزاحة، ولكن ذُكِر متجه موضع. وتخبرنا المسألة أيضًا أن الجسيم تحرَّك إلى الموضع المذكور من نقطة الأصل، ومن ثم، فإن متجه إزاحة الجسيم هو: 󰄮󰄮𞸐=󰁓(٩٠)󰄮󰄮󰄮𞹎+(٦٠)󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒،م وهو ما يساوي متجه الموضع المُعطى.

الشغل الذي تبذله القوة، 𞸔، يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين، أي: 𞸔=(٩،١)(٩،٦)𞸔=(٩×٩)+(١×٦)=١٨+٦=٥٧.

ومن ثَمَّ؛ فإن الشغل المبذول يساوي: 𞸔=٥٧.ل

الشغل المبذول سالب. إذا كانت طاقة الجسيم محفوظة، فلا بد أن تقل طاقة حركته. لكن إذا لم تكن طاقة الجسيم محفوظة، فقد يزيد الشغل المبذول من طاقة وضع الجسيم.

والآن، لنتناول مثالًا تؤثر فيه قوًى متعددة على جسم فتؤدي لإزاحته.

مثال ٢: إيجاد الشغل المبذول بواسطة محصلة قوتين معلومتين تؤثران على جسم

تحرَّك جسم في مستوًى؛ حيث 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 متجها وحدة متعامدان. أثَّرت القوتان 󰄮󰄮𞹟=󰁓٩󰄮󰄮󰄮𞹎٢󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒١، 󰄮󰄮𞹟=󰁓٩󰄮󰄮󰄮𞹎٧󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒٢ على الجسم. تحرَّك الجسم من نقطة متجه موضعها 󰁓٦󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒 م إلى نقطة متجه موضعها 󰁓٢󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒 م. أوجد الشغل المبذول بواسطة محصلة القوى.

الحل

تؤثِّر قوتان على الجسم. وهاتان القوتان عبارة عن متجهين، ويمكن حساب محصلة المتجهين عن طريق جمع مركبتَي كل متجه مع مركبتَي المتجه الآخر. فنحصل على مركبة 𞸎 للقوة المحصلة كالآتي: 󰄮󰄮𞹟𞸇=٩󰄮󰄮󰄮𞹎+٩󰄮󰄮󰄮𞹎=٨١󰄮󰄮󰄮𞹎،𞸎 ونحصل على مركبة 𞸑 للقوة المحصلة كالآتي: 󰄮󰄮𞹟𞸇=٢󰄮󰄮󰄮𞹑٧󰄮󰄮󰄮𞹑=٩󰄮󰄮󰄮𞹑.𞸑

إذن؛ فإن القوة المحصلة المؤثرة على الجسم هي: 󰄮󰄮𞹟𞸇=󰁓٨١󰄮󰄮󰄮𞹎٩󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒.

متجه الموضع النهائي للجسم هو: 󰁓٢󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒، ومتجه الموضع الابتدائي للجسم هو: 󰁓٦󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒.

ومن ثَمَّ؛ متجه الإزاحة من الموضع الابتدائي إلى الموضع النهائي هو: 󰄮󰄮𞸐=󰁓٢󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒󰁓٦󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒󰄮󰄮𞸐=󰁓٢(٦)󰄮󰄮󰄮𞹎+(٣٢)󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒=󰁓٨󰄮󰄮󰄮𞹎+󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒.مم

وباستخدام معادلة الشغل المبذول، نحصل على: 𞸔=󰄮󰄮𞹟𞸇󰄮󰄮𞸐، وهو ما يعطينا: 𞸔=(٨١،٩)(٨،١)𞸔=(٨١×٨)+(٩×١)=٤٤١٩=٥٣١.ل

دعونا نتناول الآن مثالًا لم تُذكَر فيه مركبتَا متجه القوة ولا مركبتَا متجه الإزاحة مباشرة.

مثال ٣: استخدام المتجهات لإيجاد الشغل المبذول بواسطة قوة بمعلومية الاتجاه والمقدار بصورة منفصلة

تحرَّك جسم من النقطة 󰏡(٧،٣) إلى النقطة 𞸁(٩،٢) في خط مستقيم تحت تأثير قوة 󰄮󰄮𞹟 مقدارها ٨󰋴٠١ نيوتن تؤثِّر في نفس اتجاه المتجه 󰄮󰄮𞸢=٣󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑. احسب الشغل المبذول بواسطة القوة، إذا كان مقدار الإزاحة مَقيسًا بالمتر.

الحل

يمكننا أن نُطلِق على متجه الإزاحة، 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، المتجه 󰄮󰄮𞸐. ويوضِّح الشكل الآتي المتجه 󰄮󰄮𞸐 والمتجه 󰄮󰄮𞸢.

نحصل على المتجه 󰄮󰄮𞸐 كالآتي: 󰄮󰄮𞸐=(٩٧)󰄮󰄮󰄮𞹎+(٢(٣))󰄮󰄮󰄮𞹑=٦١󰄮󰄮󰄮𞹎+٥󰄮󰄮󰄮𞹑.م

حاصل الضرب القياسي لـ 󰄮󰄮𞸐، 󰄮󰄮𞸢 لا يساوي حاصل الضرب القياسي لـ 󰄮󰄮𞸐، 󰄮󰄮𞹟.

مقدار القوة 󰄮󰄮𞹟 معلوم، لكن لاستخدام 󰄮󰄮𞹟 في حساب حاصل الضرب القياسي، يجب معرفة مركبتَي 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 لـ 󰄮󰄮𞹟.

ولأن 󰄮󰄮𞹟 تؤثِّر في نفس اتجاه 󰄮󰄮𞸢، فإن مقدار مركبة 󰄮󰄮󰄮𞹎 لـ 󰄮󰄮𞹟 يجب أن يساوي ثلاثة أمثال مقدار مركبة 󰄮󰄮󰄮𞹑 لـ 󰄮󰄮𞹟. ويمكن التعبير عن هذه العلاقة كما يلي: 𞹟=٣𞹟.𞹎𞹑

يمثِّل 𞹟𞹎، 𞹟𞹑 ضلعَي مثلث قائم الزاوية، طول وتره ٨󰋴٠١. ومن ثَمَّ؛ في هذه الحالة يكون: 𞹟+𞹟=󰂔٨󰋴٠١󰂓=٠٤٦.٢𞹎٢𞹑٢

وبما أن: 𞹟=٣𞹟،󰁓٣𞹟󰁒+𞹟=٠٤٦٩𞹟+𞹟=٠٤٦𞹟=٤٦𞹟=٨.𞹎𞹑𞹑٢٢𞹑٢𞹑٢𞹑٢𞹑𞹑

ومرة أخرى، بما أن: 𞹟=٣𞹟،𞹟=٤٢.𞹎𞹑𞹎

وبمعلومية مركبتَي 󰄮󰄮𞹟، يمكننا التعبير عن 󰄮󰄮𞹟 بالصورة: 󰄮󰄮𞹟=٤٢󰄮󰄮󰄮𞹎٨󰄮󰄮󰄮𞹑.

إذن؛ فإن الشغل المبذول، 𞸔، هو: 𞸔=(٤٢،٨)(٦١،٥)𞸔=(٤٢×٦١)+(٨×٥)=٤٨٣٠٤=٤٤٣.ل

والآن، لنلقِ نظرة على مثال آخر لم تُذكَر فيه مركبتَا متجه القوة ولا مركبتَا متجه الإزاحة مباشرة.

مثال ٤: إيجاد الشغل المبذول بواسطة قوة على صورة متجهة تؤثر على جسم يتحرك بين نقطتين

تحرَّك جسم من النقطة 󰏡(٢،٢) إلى النقطة 𞸁(٦،٠١) في خط مستقيم تحت تأثير القوة 󰄮󰄮𞹟=𞸊󰄮󰄮󰄮𞹎٦󰄮󰄮󰄮𞹑 التي تؤثر في اتجاه مُعاكس لاتجاه الإزاحة 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁. أوجد الشغل المبذول بواسطة القوة 󰄮󰄮𞹟.

الحل

متجه الإزاحة 󰄮󰄮𞸐 هو المتجه الذي يقع ذيله عند 󰏡 ورأسه عند 󰄮󰄮𞸁. ونحصل على المتجه 󰄮󰄮𞸐 كما يلي: 󰄮󰄮𞸐=(٦(٢))󰄮󰄮󰄮𞹎+(٠١(٢))󰄮󰄮󰄮𞹑=٨𞹎+٢١󰄮󰄮󰄮𞹑.م

اتجاه 󰄮󰄮𞸐 هو اتجاه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁. والاتجاه الذي تؤثر فيه 󰄮󰄮𞹟 مُعاكس لاتجاه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، ومن ثَمَّ؛ يجب أن تؤثر 󰄮󰄮𞹟 في اتجاه 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡: 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡=٨󰄮󰄮󰄮𞹎٢١󰄮󰄮󰄮𞹑

تُعطى النسبة بين مركبة 𞸑 ومركبة 𞸎 كالآتي: Δ𞸑Δ𞸎=٢١٨=٣٢.

ولكي يكون اتجاه 󰄮󰄮𞹟 هو نفس اتجاه 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡، يجب أن تكون النسبة بين مركبة 𞸑 ومركبة 𞸎 مساوية لتلك النسبة لـ 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡. ومن ثَمَّ، يكون لدينا: Δ𞸑Δ𞸎=٦𞸊=٣٢.

وبإعادة ترتيب المعادلة لجعل 𞸊 في طرف بمفرده، فإننا نحصل على: ٣𞸊=٦×٢𞸊=٤.

يمكننا الآن التعبير عن 󰄮󰄮𞹟 بالصورة: 󰄮󰄮𞹟=٤󰄮󰄮󰄮𞹎٦󰄮󰄮󰄮𞹑.

إذن؛ الشغل المبذول، 𞸔، هو: 𞸔=(٤،٦)(٨،٢١)𞸔=(٤×٨)+(٦×٢١)=٢٣٢٧=٤٠١.ل

وليس غريبًا أن الشغل المبذول سالب؛ حيث تؤثِّر القوة في اتجاه مُعاكس لاتجاه الإزاحة.

عندما تكون طاقة الجسم محفوظة خلال تأثير قوة عليه، فإن الشغل المبذول بواسطة القوة على الجسم لا يعتمد على المسار الذي يتبعه الجسم أثناء تأثير القوة عليه.

والآن، لنلقِ نظرة على مثال يتناول الشغل المبذول بواسطة قوة خلال فترة زمنية معينة.

مثال ٥: إيجاد الشغل المبذول بواسطة قوة عندما تكون الإزاحة مُعطاة بدلالة الزمن

يتحرَّك جسيم في مستوًى؛ حيث 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 متجها وحدة متعامدان. تُعطَى إزاحة الجسيم من نقطة الأصل عند اللحظة 𞸍 ثانية بالعلاقة 󰄮𞸓=󰁓󰁓٢𞸍+٧󰁒󰄮󰄮󰄮𞹎+(𞸍+٧)󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒٢م، وتؤثر عليه القوة 󰄮󰄮𞹟=󰁓٦󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒. ما مقدار الشغل الذي بذلته القوة في الفترة الزمنية من 𞸍=٢ث إلى 𞸍=٣ث؟

الحل

لا يُشترط حل هذا المثال بطريقة تختلف اختلافًا كبيرًا عن الأمثلة السابقة، فما زال الضرب القياسي للمتجهات يُستخدم بالطريقة نفسها. الجديد فقط في هذا المثال هو أنه يجب علينا إيجاد الإزاحتين اللتين تناظران الحركة عند زمنين مختلفين.

يجب إيجاد إزاحة الجسيم عند 𞸍=٣ث، 𞸍=٢ث. ويتم ذلك بالتعويض عن قيمة 𞸍 بـ ٣، ٢ لنحصل على 󰄮󰄮𞸐٣، 󰄮󰄮𞸐٢، على الترتيب، وهو ما يعطينا: 󰄮󰄮𞸐=󰁓󰁓٢×󰁓٣󰁒+٧󰁒󰄮󰄮󰄮𞹎+(٣+٧)󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒=󰁓٥٢󰄮󰄮󰄮𞹎+٠١󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒،󰄮󰄮𞸐=󰁓󰁓٢×󰁓٢󰁒+٧󰁒󰄮󰄮󰄮𞹎+(٢+٧)󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒=󰁓٥١󰄮󰄮󰄮𞹎+٩󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒.٣٢٢٢مم

تُعطى إزاحة الجسيم في الفترة الزمنية من 𞸍=٣ث إلى 𞸍=٢ث، التي تساوي 󰄮󰄮𞸐٣ ناقص 󰄮󰄮𞸐٢، بالعلاقة: 󰄮󰄮𞸐󰄮󰄮𞸐=Δ𞸐=󰁓٥٢󰄮󰄮󰄮𞹎+٠١󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒󰁓٥١󰄮󰄮󰄮𞹎+٩󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒=󰁓٠١󰄮󰄮󰄮𞹎+󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒.٣٢م

حاصل الضرب القياسي لـ 󰄮󰄮𞹟، Δ𞸐 يعطينا الشغل المبذول، 𞸔، في الفترة الزمنية من 𞸍=٣ث إلى 𞸍=٢ث. وبما أن: 󰄮󰄮𞹟=󰁓٦󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒، فإننا نحصل على الشغل المبذول كالآتي: 𞸔=(٦،٣)(٠١،١)𞸔=(٦×٠١)+(١×٣)=٣٦.ل

النقاط الرئيسية

  • الشغل المبذول بواسطة قوة ثابتة 󰄮󰄮𞹟 خلال إزاحة 󰄮󰄮𞸐 يساوي حاصل الضرب القياسي لـ 󰄮󰄮𞹟، 󰄮󰄮𞸐: 𞸔=󰄮󰄮𞹟󰄮󰄮𞸐، أو 𞸔=󰍹󰄮󰄮𞹟󰍹󰍼󰄮󰄮𞸐󰍼(𝜃)، حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين 󰄮󰄮𞹟، 󰄮󰄮𞸐.
  • يمكن إيجاد حاصل الضرب القياسي لـ 󰄮󰄮𞹟، 󰄮󰄮𞸐 دون استخدام الزاوية 𝜃 بكتابة 󰄮󰄮𞹟، 󰄮󰄮𞸐 على الصورة الإحداثية.
  • إذا كانت مركبتَا كلٍّ من 󰄮󰄮𞹟، 󰄮󰄮𞸐 في الاتجاهين المتعامدين 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑، فإن: 󰄮󰄮𞹟󰄮󰄮𞸐=󰁓𞹟،𞹟󰁒󰁓𞸐،𞸐󰁒=󰁓𞹟𞸐󰁒+󰁓𞹟𞸐󰁒.𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎𞸎𞸑𞸑

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.