شارح الدرس: الشغل المبذول بواسطة قوة ممثَّلة في صورة متجه الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: حساب الشغل المبذول بواسطة قوة تؤثر على جسيم عند إعطاء القوة والموضع في صورة متجهين

تحرَّك جسيم في مستوًى فيه ، متجها وحدة متعامدان. أثَّرت القوة على الجسيم. تحرَّك الجسيم من نقطة الأصل إلى نقطة متجه موضعها م. أوجد الشغل الذي تبذله القوة.

الحل

الشغل الذي تبذله القوة يساوي حاصل الضرب القياسي لمتجه القوة ومتجه إزاحة الجسيم. لم يُذكَر في المسألة متجه إزاحة، ولكن ذُكِر متجه موضع. وتخبرنا المسألة أيضًا أن الجسيم تحرَّك إلى الموضع المذكور من نقطة الأصل، ومن ثم، فإن متجه إزاحة الجسيم هو: وهو ما يساوي متجه الموضع المُعطى.

الشغل الذي تبذله القوة، ، يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين، أي:

ومن ثَمَّ؛ فإن الشغل المبذول يساوي:

الشغل المبذول سالب. إذا كانت طاقة الجسيم محفوظة، فلا بد أن تقل طاقة حركته. لكن إذا لم تكن طاقة الجسيم محفوظة، فقد يزيد الشغل المبذول من طاقة وضع الجسيم.

مثال ٢: إيجاد الشغل المبذول بواسطة محصلة قوتين معلومتين تؤثران على جسم

تحرَّك جسم في مستوًى؛ حيث ، متجها وحدة متعامدان. أثَّرت القوتان ، على الجسم. تحرَّك الجسم من نقطة متجه موضعها م إلى نقطة متجه موضعها م. أوجد الشغل المبذول بواسطة محصلة القوى.

الحل

تؤثِّر قوتان على الجسم. وهاتان القوتان عبارة عن متجهين، ويمكن حساب محصلة المتجهين عن طريق جمع مركبتَي كل متجه مع مركبتَي المتجه الآخر. فنحصل على مركبة للقوة المحصلة كالآتي: ونحصل على مركبة للقوة المحصلة كالآتي:

إذن؛ فإن القوة المحصلة المؤثرة على الجسم هي:

متجه الموضع النهائي للجسم هو: ومتجه الموضع الابتدائي للجسم هو:

ومن ثَمَّ؛ متجه الإزاحة من الموضع الابتدائي إلى الموضع النهائي هو:

وباستخدام معادلة الشغل المبذول، نحصل على: وهو ما يعطينا:

مثال ٣: استخدام المتجهات لإيجاد الشغل المبذول بواسطة قوة بمعلومية الاتجاه والمقدار بصورة منفصلة

تحرَّك جسم من النقطة إلى النقطة في خط مستقيم تحت تأثير قوة مقدارها نيوتن تؤثِّر في نفس اتجاه المتجه . احسب الشغل المبذول بواسطة القوة، إذا كان مقدار الإزاحة مَقيسًا بالمتر.

الحل

يمكننا أن نُطلِق على متجه الإزاحة، ، المتجه . ويوضِّح الشكل الآتي المتجه والمتجه .

نحصل على المتجه كالآتي:

حاصل الضرب القياسي لـ ، لا يساوي حاصل الضرب القياسي لـ ، .

مقدار القوة معلوم، لكن لاستخدام في حساب حاصل الضرب القياسي، يجب معرفة مركبتَي ، لـ .

ولأن تؤثِّر في نفس اتجاه ، فإن مقدار مركبة لـ يجب أن يساوي ثلاثة أمثال مقدار مركبة لـ . ويمكن التعبير عن هذه العلاقة كما يلي:

يمثِّل ، ضلعَي مثلث قائم الزاوية، طول وتره . ومن ثَمَّ؛ في هذه الحالة يكون:

وبما أن:

ومرة أخرى، بما أن:

وبمعلومية مركبتَي ، يمكننا التعبير عن بالصورة:

إذن؛ فإن الشغل المبذول، ، هو:

مثال ٤: إيجاد الشغل المبذول بواسطة قوة على صورة متجهة تؤثر على جسم يتحرك بين نقطتين

تحرَّك جسم من النقطة إلى النقطة في خط مستقيم تحت تأثير القوة التي تؤثر في اتجاه مُعاكس لاتجاه الإزاحة . أوجد الشغل المبذول بواسطة القوة .

الحل

متجه الإزاحة هو المتجه الذي يقع ذيله عند ورأسه عند . ونحصل على المتجه كما يلي:

اتجاه هو اتجاه . والاتجاه الذي تؤثر فيه مُعاكس لاتجاه ، ومن ثَمَّ؛ يجب أن تؤثر في اتجاه :

تُعطى النسبة بين مركبة ومركبة كالآتي:

ولكي يكون اتجاه هو نفس اتجاه ، يجب أن تكون النسبة بين مركبة ومركبة مساوية لتلك النسبة لـ . ومن ثَمَّ، يكون لدينا:

وبإعادة ترتيب المعادلة لجعل في طرف بمفرده، فإننا نحصل على:

يمكننا الآن التعبير عن بالصورة:

إذن؛ الشغل المبذول، ، هو:

وليس غريبًا أن الشغل المبذول سالب؛ حيث تؤثِّر القوة في اتجاه مُعاكس لاتجاه الإزاحة.

مثال ٥: إيجاد الشغل المبذول بواسطة قوة عندما تكون الإزاحة مُعطاة بدلالة الزمن

يتحرَّك جسيم في مستوًى؛ حيث ، متجها وحدة متعامدان. تُعطَى إزاحة الجسيم من نقطة الأصل عند اللحظة ثانية بالعلاقة ، وتؤثر عليه القوة . ما مقدار الشغل الذي بذلته القوة في الفترة الزمنية من إلى ؟

الحل

لا يُشترط حل هذا المثال بطريقة تختلف اختلافًا كبيرًا عن الأمثلة السابقة، فما زال الضرب القياسي للمتجهات يُستخدم بالطريقة نفسها. الجديد فقط في هذا المثال هو أنه يجب علينا إيجاد الإزاحتين اللتين تناظران الحركة عند زمنين مختلفين.

يجب إيجاد إزاحة الجسيم عند ، . ويتم ذلك بالتعويض عن قيمة بـ ٣، ٢ لنحصل على ، ، على الترتيب، وهو ما يعطينا:

تُعطى إزاحة الجسيم في الفترة الزمنية من إلى ، التي تساوي ناقص ، بالعلاقة:

حاصل الضرب القياسي لـ ، يعطينا الشغل المبذول، ، في الفترة الزمنية من إلى . وبما أن: فإننا نحصل على الشغل المبذول كالآتي: