في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نتعرَّف على الدالة الخطية، وكيف نكتبها ونُوجِد قيمتها ونُكمل جدول الدالة.
تخيَّل أننا وظَّفنا بستانيًّا لوظيفةٍ ما. نحن نعلم أن البستاني يتقاضى ١٠ دولارات أمريكية باعتبارها رسوم الاستدعاء، ثم يتقاضى ٥ دولارات أمريكية أخرى لكل ساعة مقابل خدماته. إجمالي المبلغ الذي سوف يتقاضاه البستاني هو دالة لعدد الساعات التي يعملها. بدون معرفة العدد الدقيق للساعات التي قد يستغرقها العمل، يمكننا تكوين معادلة خطية يمكن استخدامها لتوقُّع التكلفة الإجمالية لأي زمن إجمالي. باستخدام لتمثيل العدد الكلي للساعات المنقضية في العمل، واستخدام لتمثيل إجمالي التكلفة بالدولار الأمريكي، تكون المعادلة الخطية هي:
يكون التمثيل البياني لهذه المعادلة كالآتي.
عندما تعيِّن العلاقة قيمة مُخرَجة واحدة فقط لقيمة مُدخَلة معيَّنة، تُسمَّى تلك العلاقة دالة. وإذا كان التمثيل البياني لهذه الدالة عبارة عن خط مستقيم غير رأسي، تُسمَّى الدالة دالة خطية. في حالة البستاني، يمكن تمثيل الدالة الخطية كالآتي:
وتُعرَف مجموعة المُدخَلات باسم مجال الدالة، وتُسمَّى مجموعة المُخرَجات الممكنة المدى. في الدالة الخطية، يكون كلٌّ من المجال والمدى هو مجموعة الأعداد الحقيقية، .
تعريف: الدالة الخطية
الدالة الخطية هي معادلة جبرية يكون تمثيلها البياني خطًّا مستقيمًا غير رأسي.
وبما أن هي القيمة المُدخَلة للدالة، إذن يمكن إيجاد قيمة الدالة لعدد معيَّن من خلال التعويض بهذا العدد عن المتغيِّر . على سبيل المثال، إجمالي تكلفة البستاني إذا كان يعمل لمدة ٨ ساعات، تُوجَد بالتعويض بـ :
في المثال الأول، سنوضِّح هذه العملية بالكامل.
مثال ١: إيجاد قيمة دالة خطية عند نقطة مُعطاة
أوجد قيمة ، إذا كانت .
الحل
لإيجاد قيمة دالة لعدد معيَّن، نعوِّض بهذا العدد عن المتغيِّر. في هذه الحالة، متغيِّر الدالة هو . ومن ثَمَّ، تُوجَد بالتعويض بـ في المقدار :
إذن .
في المثال الأول، أوضحنا كيف نُوجِد القيمة المُخرَجة لدالة بمعلومية قيمة مُدخَلة واحدة. وبما أن القيمة المُدخَلة لهذه الدالة يمكن أن تساوي أي عدد حقيقي، فيمكن أن يكون لدينا عدد لا نهائي من المُخرَجات. من المُفيد أن نُرتِّب عددًا محدَّدًا من المُخرَجات باستخدام جدول الدالة.
مثال ٢: إيجاد القيمة المُخرَجة لدالة بمعلومية قيمتها المُدخَلة
أكمل جدول القيمة المُدخَلة والقيمة المُخرَجة للدالة .
| القيمة المُدخَلة | ٠ | ٢ | ٤ | ٥ |
|---|---|---|---|---|
| القيمة المُخرَجة |
الحل
الدالة مُعطاة في صورة معادلة؛ حيث تمثِّل القيمة المُدخَلة للدالة، وتمثِّل القيمة المُخرَجة المناظِرة.
| القيمة المُدخَلة | ٠ | ٢ | ٤ | ٥ |
|---|---|---|---|---|
| القيمة المُخرَجة |
وهذا يعني أنه يمكننا إكمال الصف الثاني من الجدول بالتعويض بقيم المُدخَلات المختلفة من الصف الأول في المقدار .
بدايةً، نجعل :
| القيمة المُدخَلة | ٠ | ٢ | ٤ | ٥ |
|---|---|---|---|---|
| القيمة المُخرَجة | ٣ |
لإيجاد القيمة المُخرَجة التالية، نجعل :
| القيمة المُدخَلة | ٠ | ٢ | ٤ | ٥ |
|---|---|---|---|---|
| القيمة المُخرَجة | ٣ | ١٣ |
وبالمثل، نحصل على القيمتين المُخرَجتين الأخيرتين بالتعويض بـ ، على الترتيب:
يُصبِح جدول القيمة المُدخَلة والقيمة المُخرَجة كالآتي.
| القيمة المُدخَلة | ٠ | ٢ | ٤ | ٥ |
|---|---|---|---|---|
| القيمة المُخرَجة | ٣ | ١٣ | ٢٣ | ٢٨ |
قد يكون القارئ الفطِن قد لاحظ أوجه التشابه بين التعامل مع الدوال الخطية وتمثيلها بيانيًّا. وهذه ليست مصادفة. في الحقيقة، على الرغم من أن بحث هذه العلاقات يقع خارج نطاق هذا الشارح، فإنه يمكننا كتابة قيم المُدخَلات والمُخرَجات في صورة أزواج مرتبة. في المثال السابق، كانت الأزواج المرتبة هي ، ، ، .
في المثال الآتي، سنستخدم التعويض لتكوين دالة خطية بمعلومية نقطتين؛ كلٌّ منهما مُمثَّل بزوج مرتَّب.
مثال ٣: تحديد المعادلة الخطية التي يحقِّقها زوج مرتَّب مُعطى
أيُّ العلاقات الآتية تُحقِّقها كلتا النقطتين ، ؟
الحل
تُوجَد عدة طرق لإيجاد دالة خطية تربط بين الزوجين المرتَّبين ، . يمكننا، على سبيل المثال، الاستفادة من معرفتنا بالخطوط المستقيمة لمحاولة إيجاد معادلة المستقيم الذي يمر بهذه النقاط على مستوًى إحداثي. لكن في هذا السؤال، لدينا خمس معادلات لنختار من بينها. هذا يعني أنه يمكننا التحقُّق ممَّا إذا كان الزوجان المرتَّبان يحقِّقان كلَّ معادلة بالتعويض بقيم من كل زوج في هذه المعادلات.
بدايةً، انظر إلى المعادلة . بالنسبة إلى الزوج المرتَّب ، ، . نعوِّض بـ في المعادلة كالآتي:
بما أن ، فإن هذا الزوج المرتَّب لا يحقِّق هذه العلاقة.
بعد ذلك، نتناول المعادلة . بالتعويض بـ ، نحصل على الآتي:
نتحقَّق الآن من الزوج المرتَّب بالتعويض بـ في المعادلة نفسها:
وبما أن الزوجين المرتَّبين يحقِّقان العلاقة ، فإن الإجابة هي الخيار (ب).
ملاحظة: يمكننا التحقُّق من العلاقات الثلاث المتبقية بالطريقة نفسها. عندما نفعل ذلك، نلاحظ أنْ ليس منها ما يحقِّق الزوجين المرتَّبين ، .
والآن، بعد أن توصَّلنا إلى عملية تربط بين القيمة المُدخَلة والقيمة المُخرَجة بمعلومية دالة خطية، نشرح كيف يمكن أن يساعدنا ذلك في حل المسائل التي تتضمَّن مجاهيل ناقصة.
مثال ٤: إيجاد قيمة ثابت بمعلومية قيمة الدالة عند قيمة معيَّنة
أوجد قيمة ، علمًا بأن ، .
الحل
تذكَّر أنه يمكن إيجاد قيمة دالة لعدد معيَّن بالتعويض بهذا العدد عن المتغيِّر . لدينا هنا الدالة وعبارة ثانية، . وهذا يعني أنه عند التعويض بـ ٨ عن ، تكون القيمة المُخرَجة هي . جبريًّا يكون لدينا الآتي:
لدينا الآن معادلة واحدة في مجهول واحد، . لحل هذه المعادلة، نُجري سلسلة من العمليات العكسية:
في هذا الشارح، حللنا المسائل عن طريق التعويض بقيم عددية في دوال. من المهم ملاحظة أنه يمكن إجراء عملية مماثلة باستخدام المقادير الجبرية. وتَنتج عن ذلك دالة مركبة.
مثال ٥: التعويض بمقدار جبري في دالة خطية
أوجد قيمة ، إذا كانت .
الحل
تذكَّر أنه يمكن إيجاد قيمة دالة لعدد معيَّن بالتعويض بهذا العدد عن المتغيِّر . وبطريقة مشابهة، يمكننا إيجاد مقدار يعبِّر عن دالةٍ ما بالتعويض بمقدار جبري عن المتغيِّر.
في هذا المثال، تُوجَد بالتعويض بـ بدلًا من كالآتي:
ومن ثَمَّ، .
وبذلك نكون قد أوضحنا، بشكل شامل، كيفية إيجاد قيمة دالة عند قيمة مُدخَلة مُعطاة جبريًّا وعدديًّا، وذلك عند معرفة معادلة الدالة. لقد استخدمنا هاتين الطريقتين لحل مسائل القيمة الناقصة، ولتحديد الأزواج المرتبة التي تحقِّق معادلة دالة مُعطاة.
نُنهي الآن بتلخيص المفاهيم الرئيسية لهذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- عندما تعيِّن العلاقة قيمة مُخرَجة واحدة فقط لقيمة مُدخَلة معيَّنة، تُسمَّى تلك العلاقة دالة. وإذا كان التمثيل البياني لهذه الدالة عبارة عن خط مستقيم غير رأسي، تُسمَّى الدالة دالة خطية.
- الدالة الخطية هي معادلة جبرية يكون تمثيلها البياني خطًّا مستقيمًا غير رأسي.
- يمكن إيجاد قيمة الدالة لعدد معيَّن بالتعويض بهذا العدد عن المتغيِّر، الذي هو عادةً .
