شارح الدرس: تحديد الدوال الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: معرفة إذا ما كانت مجموعة من الأزواج المرتبة تُعرِّف دالة

أيُّ علاقة من العلاقات الآتية تُمثِّل دالة؟

الحل

تذكَّر أن الدالة هي قاعدة تأخذ كلَّ عنصر من عناصر مجموعة ما، وتربطه بعنصر واحد فقط من عناصر مجموعة ثانية. بالنسبة لمجموعة من الأزواج المرتبة تكون القيمة المدخَلة هي ، والقيمة المخرَجة هي . لكي تمثِّل مجموعة الأزواج المرتبة دالة ما، لا يمكن أن تكون لأيِّ زوجين من الأزواج المرتبة القيمة المدخَلة نفسها مع مخرَجات مختلفة. بعبارة أخرى، إذا كان زوج مرتب يشترك مع آخَر في القيمة نفسها، فلا بد أن تكون قيمة هي نفسها أيضًا.

نلاحظ أن العلاقة أ بها زوجان مرتبان، وقيمة بهما تساوي ٤. إذا كانت العلاقة أ دالة، فهذا يعني أن قيم المناظرة في هذه الأزواج المرتبة لا بد أن تكون واحدة أيضًا. لكن، الأزواج المرتبة هي: ، . بما أن قيم ليست متساوية، إذن لا يمكن أن تمثِّل العلاقة أ دالة. وبالمثل، في العلاقة زوجان مرتبان، قيمة فيهما هي ٥، ولكنَّ قيم مختلفة.

الأزواج المرتبة في العلاقة ب لها قيم مميزة لـ ، إذن العلاقة (ب) تمثِّل دالة.

مثال ٢: تحديد الدوال من خلال مخطَّطات العلاقات

أيُّ علاقة من العلاقات الآتية تمثِّل دالة؟

الحل

في هذا السؤال، لدينا ثلاثة مخطَّطات علاقات. تُستخدم هذه المخطَّطات لتمثيل العلاقة بين المدخَلات والمخرَجات. لا يمثِّل مخطَّط العلاقات الدالة إلا إذا كان كل عنصر من عناصر المجموعة الأولى يرتبط بعنصر واحد فقط من عناصر المجموعة الثانية.

سنبدأ بالنظر إلى المخطَّط أ. العنصران ، مربوطان بالعنصرين ١ و٣ على الترتيب. هاتان القيمتان المدخَلتان لكلٍّ منهما قيمة مخرَجة واحدة فقط. ولكنَّنا نعلم أيضًا أنه لكي يمثِّل المخطَّط السهمي دالة، لا بد أن تكون لكلِّ قيمة مدخَلة قيمة مخرَجة. العنصر غير مربوط بعنصر في المجموعة الثانية، لذا فإن مخطَّط العلاقات أ لا يمثِّل دالة. في الواقع، هذا مثال على مخطَّط سهمي غير صحيح؛ لأن المخطَّط السهمي لا بد أن يوفِّر قيمًا مخرَجة لجميع المدخَلات.

بعد ذلك، ننظر إلى المخطَّط ب.

في مخطَّط العلاقات هذا، لكلِّ قيمة مدخَلة قيمة مخرَجة. ومع ذلك، فإن العنصر مربوط بالعنصرين ٢ و ٣ في المجموعة الثانية. وبما أن كلَّ عنصر من عناصر المجموعة الأولى لا بد أن يُربَط بعنصر واحد فقط من عناصر المجموعة الثانية، فإن المخطَّط ب لا يمكن أن يمثِّل دالة.

إذن، يمكننا استنتاج أن المخطَّط ج يمثِّل دالة. يمكننا التحقق من ذلك عن طريق التأكد من أن كل قيمة مدخَلة لها قيمة مخرَجة واحدة فقط. العنصر مربوط بـ ٣، والعنصر مربوط بـ ١، والعنصر مربوط بـ ٣.

مخطَّط العلاقات ج يمثِّل دالة.

مثال ٣: استخدام اختبار المستقيم الرأسي لتحديد الدوال

أيٌّ من العلاقات الآتية يمثِّل دالة؛ علمًا بأن القيمة المدخَلة، القيمة المخرَجة؟

الحل

اختبار المستقيم الرأسي هو طريقة بيانية لتحديد إذا ما كان التمثيل البياني يمثِّل دالة أم لا. إذا كان التمثيل البياني يمثِّل دالة، فإن أيَّ مستقيم رأسي سيتقاطع مع منحنى الدالة مرة واحدة على الأكثر. ومن ثَمَّ، سنضيف مستقيمًا رأسيًّا إلى المخطَّطين ونتحقق من عدد نقاط التقاطع مع المنحنيين.

لاحظ أنه إذا أضفنا المستقيم الرأسي إلى التمثيل البياني (أ)، يقطع المستقيم المنحنى مرتين. ومن ثَمَّ فإن التمثيل البياني (أ) لا يمكن أن يمثِّل دالة.

المستقيم الرأسي يقطع منحنى التمثيل البياني (ب) مرة واحدة فقط. يمكننا نقل هذا المستقيم الرأسي بمقدار أيِّ مسافة أفقيًّا، وهذا ما يحدث دائمًا.

ومن ثَمَّ، فإن التمثيل البياني (ب) يمثِّل دالة.

مثال ٤: معرفة متى تمثِّل المعادلة دالة

هل يُمكِن التعبير عن المعادلة: في صورة دالة؟ إذا كانت الإجابة «نعم»، فاكتب الدالة.

الحل

يمكن استخدام اختبار المستقيم الرأسي لتحديد إذا ما كان التمثيل البياني يمثِّل دالة أم لا. لذا، لتحديد إذا ما كان يمكن التعبير عن المعادلة: في صورة دالة أم لا، يمكننا رسم تمثيلها البياني.

تذكَّر أن معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها وحدة، تكون معطاة؛ وهي:

هذا يعني أن المعادلة: تمثِّل دائرة مركزها نقطة الأصل، ونصف قطرها وحدة. وفيما يلي رسم لهذا التمثيل البياني:

لتحديد إذا ما كان هذا التمثيل البياني يمثِّل دالة أم لا؛ نضيف مستقيمًا رأسيًّا إلى الشكل، ونتحقق من عدد نقاط التقاطع مع المنحنى. إذا كان هناك أكثر من نقطة تقاطع، فإن التمثيل البياني لا يمثِّل دالة.

المستقيم الرأسي يقطع المنحنى مرتين، إذن هذا التمثيل البياني، ومن ثَمَّ لا يمثِّلان دالة.

لا يمكن التعبير عن المعادلة: في صورة دالة.

مثال ٥: التعرُّف على معادلة ممثَّلة باستخدام ترميز الدالة

أيٌّ من التالي يمثِّل المعادلة: مُعبًّرًا عنها في صورة دالة؟

3. لا يمكن التعبير عنها في صورة دالة

الحل

لكتابة معادلة في صورة دالة، علينا أن نحدِّد إذا ما كان يمكننا التعبير عن في صورة دالة في ، . ولذا، سنعيد ترتيب المعادلة: ؛ لنجعل المتغيِّر التابع. علينا إيجاد الجذر التكعيبي لطرفَي المعادلة؛ لنحصل على:

نلاحظ أن تُكتب الآن على صورة دالة في ؛ بعبارة أخرى، لإيجاد قيمة يمكننا التعويض بقيمة لـ ، في المقدار: .

للتعبير عن: باستخدام ترميز الدالة، نكتب: . الإجابة هي: (د).