تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: إيجاد قِيَم الدوال المثلثية للزوايا ٣٠ و٤٥ و٦٠ الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قِيَم الدوال المثلثية للزوايا التي قياساتها ٣٠ و٤٥ و٦٠ درجة.

نبدأ بتذكر المقصود بالدوال المثلثية. في أي مثلث قائم الزاوية، يمكننا تسمية أطوال أضلاع المثلث بالنسبة إلى إحدى زواياه الداخلية. على سبيل المثال، يمكننا أن نسمي أضلاع المثلث بالنسبة إلى الزاوية 𝜃 كما يوضح الشكل التالي.

نعرِّف الدوال المثلثية بأنها النسب بين أطوال أضلاع المثلث قائم الزاوية كما يلي: اااوراااور𝜃=،𝜃=،𝜃=.

بما أنه يمكننا تحديد قيم الدوال المثلثية من نسب أطوال الأضلاع في المثلثات القائمة الزاوية، فسنرسم عدة مثلثات قائمة الزاوية هندسيًّا لتسمح لنا بإيجاد قيم الدوال المثلثية عند قيم محددة. دعونا نبدأ بالنظر إلى المربع الذي طول ضلعه يساوي ٢.

من الجدير بالملاحظة أنه يمكننا اختيار أي طول ضلع للمربع. لقد اخترنا ٢؛ لأنه سيجعل العمليات الحسابية أسهل. قسَّمنا المربع إلى مثلثين قائمي الزاوية متطابقين برسم أحد قطريه كما هو موضح.

وبما أن هذين المثلثين قائمي الزاوية متساويا الساقين، فلا بد أن تكون زواياهما غير القائمة متساوية في القياس. على وجه التحديد، بما أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث هو ٠٨١، نجد أن قياس كل زاوية من الزوايا الناقصة هو ٠٨١٠٩٢=٥٤.

يمكننا بعد ذلك تطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع الناقص. تذكر أن هذه النظرية تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. وهذا يعطينا: 𞸢=٢+٢𞸢=٤+٤𞸢=٨.٢٢٢٢٢

يمكننا حل هذه المعادلة بأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة مع ملاحظة أن الطول يجب أن يكون موجبًا: 𞸢=󰋴٨=󰋴٤×٢=٢󰋴٢.

وبعد ذلك، يمكننا استخدام المثلث قائم الزاوية هذا لتحديد قيم الدوال المثلثية عند: ٥٤. بتسمية أضلاع المثلث حسب موضعه بالنسبة إلى الزاوية اليسرى بالأسفل وقياسها ٥٤، نحصل على ما يلي.

بتطبيق حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، نحصل على ما يلي: اااوراااور٥٤==٢٢󰋴٢=١󰋴٢=١󰋴٢×󰋴٢󰋴٢=󰋴٢٢،٥٤==٢٢󰋴٢=󰋴٢٢،٥٤==٢٢=١.

يمكننا استخدام الطريقة نفسها لإيجاد قيم الدوال المثلثية عند زوايا أخرى. على سبيل المثال، يمكننا استخدام مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ٢، ونتذكر أن قياس كل زاوية من زواياه الداخلية يساوي: ٠٦.

يمكننا بعد ذلك تقسيم هذا المثلث إلى مثلثين قائمي الزاوية باستخدام منصف عمودي كما هو موضح.

سنفكر في واحد فقط من هذين المثلثين قائمي الزاوية. نلاحظ أنه بما أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي ٠٨١، إذن يمكننا إيجاد قياس الزاوية الناقصة، وسيساوي: ٠٨١٠٦٠٩=٠٣. يمكننا أيضًا ملاحظة أن نصف طول قاعدة المثلث يساوي ١، وهو ما يعطينا ما يلي.

وبما أن هذا مثلث قائم الزاوية، إذن يمكننا إيجاد طول الضلع المجهول باستخدام نظرية فيثاغورس. تذكر أن هذه النظرية تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. وهذا يعطينا: ٢=١+󰏡٤=١+󰏡󰏡=٣.٢٢٢٢٢

يمكننا إيجاد قيمة 󰏡 عن طريق أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة مع ملاحظة أن: 󰏡 طول ضلع؛ ومن ثَمَّ يجب أن يكون موجبًا: 󰏡=󰋴٣.

يمكننا إضافة ذلك إلى الشكل لنحصل على المثلث القائم الزاوية التالي.

يمكننا استخدام هذه القاعدة لتحديد قيم الدوال المثلثية عند الزوايا ٠٣ و٠٦. أولًا، سنسمي الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية ٠٦.

وبما أن اا𝜃=، يصبح لدينا: ٠٦=󰋴٣٢.

وبالمثل، بما أن اورا𝜃=، ااور𝜃=، يصبح لدينا: ٠٦=١٢،٠٦=󰋴٣١=󰋴٣.

يمكننا أيضًا إيجاد قيم هذه الدوال المثلثية عند الزاوية التي قياسها ٠٣ بتسمية أضلاع المثلث حسب مواضعها بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٠٣.

لدينا اااوراااور٠٣==١٢،٠٣==󰋴٣٢،٠٣==١󰋴٣=١󰋴٣×󰋴٣󰋴٣=󰋴٣٣.

يمكننا تلخيص النتائج التي أوضحناها في الجدول التالي.

حقيقة قياسية: إيجاد قيم الدالة المثلثية للزوايا التي قياساتها ٠٣ و٥٤ و٠٦ درجة

بالتفكير في نسب بعض المثلثات القائمة الزاوية المحددة، يمكننا تكوين الجدول التالي الذي يخبرنا بقيم الدوال المثلثية، الجيب وجيب التمام والظل، عند الزوايا التي قياساتها ٠٣، ٥٤، ٠٦.

𝜃
٠٣٥٤٠٦
𝜃١٢󰋴٢٢󰋴٣٢
𝜃󰋴٣٢󰋴٢٢١٢
𝜃󰋴٣٣١󰋴٣

وهذه النتائج المثلثية مفيدة ويجب حفظها عن ظهر قلب أو الإلمام بكيفية الوصول إليها هندسيًّا. دعونا نتناول الآن بعض الأمثلة على استخدام هذه القيم لتبسيط المقادير المثلثية أو إيجاد قيمتها.

مثال ١: إيجاد قيم الدوال المثلثية للزوايا الخاصة

أوجد القيمة الدقيقة لـ ٠٣.

الحل

يمكننا إيجاد القيمة الدقيقة لـ ٠٣ باستخدام الآلة الحاسبة؛ وسنحصل على: ٠٣=١٢.

ومع ذلك، يجب أن نكون على دراية بكيفية إيجاد قيم الدوال المثلثية الثلاث، الجيب وجيب التمام والظل، عند ٠٣، ٥٤، ٠٦. لفعل ذلك، نبدأ برسم مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ٢.

يمكننا بعد ذلك رسم مثلث قائم الزاوية بإضافة المنصف العمودي للقاعدة.

بما أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث هو ٠٨١؛ إذن نجد قياس الزاوية الناقصة ليساوي ٠٨١٠٩٠٦=٠٣. يمكننا تحديد طول الضلع الناقص بتطبيق نظرية فيثاغورس، والتي تنص على أن مربع طول الوتر في المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. يعطينا هذا المعادلة ٢=١+󰏡،٢٢٢ التي يمكننا حلها لإيجاد قيمة 󰏡 مع ملاحظة أن هذه القيمة لا بد أن تكون موجبة: 󰏡=٤١󰏡=٣󰏡=󰋴٣.٢٢

وينتج عن هذا المثلث القائم الزاوية التالي.

وبما أننا نريد تحديد قيمة ٠٣، سنسمي الأضلاع حسب موضعها بالنسبة إلى الزاوية ٠٣.

نتذكر أن دالة الجيب تساوي النسبة بين طول الضلع المقابل والوتر في المثلث قائم الزاوية، وهو ما يعطينا: اا٠٣==١٢.

إذن، ٠٣=١٢.

في المثال السابق، استخدمنا المثلثات القائمة الزاوية لتحديد النسب المثلثية عند زاوية محددة. من الناحية العملية، يستغرق هذا وقتًا طويلًا، لذا من الأسهل حفظ جدول القيم عن ظهر قلب، ثم تطبيق هذه القيم لإيجاد قيم المقادير. في الأمثلة المتبقية، سنستخدم الجدول فقط.

مثال ٢: استخدام القيم المثلثية للزوايا الخاصة لإيجاد قيم المقادير المثلثية

أوجد قيمة ٢٥٤٠٣.

الحل

يمكننا إيجاد هذه القيمة باستخدام الآلة الحاسبة. ومع ذلك، من المهارات المفيدة التي علينا اكتسابها إيجاد قيمة الدوال المثلثية عند الزوايا التي قياساتها ٠٣ و٥٤ و٠٦ بدون آلة حاسبة؛ لذا سنجيب عن هذا السؤال دون استخدام الآلة الحاسبة.

يمكننا أن نتذكر جدول القيم الكاملة للدوال المثلثية عند الزوايا التي قياساتها ٠٣ و٥٤ و٠٦، وهو كما يلي.

𝜃
٠٣٥٤٠٦
𝜃١٢󰋴٢٢󰋴٣٢
𝜃󰋴٣٢󰋴٢٢١٢
𝜃󰋴٣٣١󰋴٣

أو بدلًا من ذلك، يمكننا فقط أن نتذكر أن: ٠٣=١٢، ٥٤=󰋴٢٢. وبعد ذلك نعوض بهاتين القيمتين في المقدار لنحصل على: ٢٥٤٠٣=٢×󰋴٢٢×١٢=󰋴٢٢.

وعليه، فإن: ٢٥٤٠٣=󰋴٢٢.

مثال ٣: استخدام القيم المثلثية للزوايا الخاصة لإيجاد قيم المقادير المثلثية

أوجد قيمة ٠٦٠٣٠٦٠٦+٠٣٢ بدون استخدام الآلة الحاسبة.

الحل

يمكننا إيجاد القيمة الدقيقة لهذا المقدار دون استخدام الآلة الحاسبة، وذلك باستخدام الهندسة وحساب المثلثات للمثلث قائم الزاوية. لكن من الأسهل أن نتذكر جدول القيم.

𝜃
٠٣٥٤٠٦
𝜃١٢󰋴٢٢󰋴٣٢
𝜃󰋴٣٢󰋴٢٢١٢
𝜃󰋴٣٣١󰋴٣

نلاحظ أن ٠٣=١٢، ٠٦=١٢، ٠٣=󰋴٣٣ و٠٦=󰋴٣. يمكننا إذن التعويض بهذه القيم في المقدار لإيجاد قيمته. لدينا ٠٦٠٣٠٦٠٦+٠٣=٠٦٠٣٠٦٠٦+(٠٣)=󰂔١٢󰂓󰂔١٢󰂓󰃭󰋴٣٢󰃬󰂔󰋴٣󰂓+󰃭١󰋴٣󰃬=١٤٣٢+١٣.٢٢٢

بعد ذلك، علينا التأكد من أن مقام الكسرين مشترك؛ لكي نجمعهما: ٠٦٠٣٠٦٠٦+٠٣=١٤٣٢+١٣=١٤×٣٣٣٢×٦٦+١٣×٤٤=٣٢١٨١٢١+٤٢١=١١٢١.٢

إذن، القيمة الفعلية للمقدار المثلثي هي: ١١٢١.

عرفنا كيف يمكننا استخدام المثلثات المحددة لمساعدتنا في إيجاد قيمة الدوال المثلثية عند زوايا معينة. ويمكننا استخدام هذا المنطق نفسه بشكل عكسي، إذا كانت النسبة بين أطوال الأضلاع في مثلث قائم الزاوية قيمة معلومة، فيمكننا إيجاد قياس الزاوية.

على سبيل المثال، افترض أن لدينا المثلث التالي.

ونعلم أن النسبة بين الضلعين المقابل والمجاور هي ١؛ بعبارة أخرى: 𝜃=١. إذن، لدينا طريقتان لتحديد قياس الزاوية 𝜃. أولًا، يمكننا فعل ذلك هندسيًّا. نعلم أن: ااور=١، إذن: ااور=.

يعني هذا أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية متساوي الساقين. إذن الزاوية المجهولة الأخرى هي أيضًا: 𝜃.

إذن نستخدم حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مثلث هو ٠٨١ لنوجد 𝜃: 𝜃+𝜃+٠٩=٠٨١٢𝜃=٠٩𝜃=٥٤.

هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا استخدامها لتحديد قيمة 𝜃. نحن نعرف أن ٥٤=١ وكذلك نعرف أن: ٥٤ هو قياس زاوية محتمل في المثلث قائم الزاوية لأنها زاوية حادة. إذن، نستنتج أن 𝜃 تساوي ٥٤ باستخدام معرفتنا أن ٥٤=١.

يمكننا أيضًا حل هذا المثال باستخدام الدوال المثلثية العكسية.

تعريف: الدوال المثلثية العكسية للزوايا الحادة

لكل ٠<󰏡<١،

  • 𝜃=󰏡١ هو حل قياس الزاوية الحادة الوحيد للمعادلة 𝜃=󰏡؛
  • 𝜃=󰏡١ هو حل قياس الزاوية الحادة الوحيد للمعادلة 𝜃=󰏡.

لـ 󰏡>٠،

  • 𝜃=󰏡١ هو حل قياس الزاوية الحادة الوحيد للمعادلة 𝜃=󰏡.

إذن، بما أن ٥٤=١، نعلم أن 𝜃=٥٤ هو حل للمعادلة 𝜃=١، ونعلم أن الحل وحيد للزوايا الحادة. نحن نعرف أن ١١=٥٤. يمكننا فعل الأمر نفسه مع جميع القيم الأخرى التي نعرفها. على سبيل المثال، بما أن ٠٦=󰋴٣٢، نعلم أن: ١󰃭󰋴٣٢󰃬=٠٦. يمكننا كتابة كل ذلك في الجدول التالي.

حقيقة قياسية: إيجاد قيمة الدالة المثلثية العكسية عند قيم معينة

يوضح لنا الجدول التالي قيم الدوال المثلثية العكسية عند القيم المعطاة.

󰏡
١٢󰋴٢٢󰋴٣٢
١󰏡٠٣٥٤٠٦
١󰏡٠٦٥٤٠٣
󰏡
󰋴٣٣١󰋴٣
١󰏡٠٣٥٤٠٦

دعونا نتناول الآن مثالًا على حل معادلة مثلثية.

مثال ٤: استخدام دالة مثلثية عكسية لإيجاد قياس زاوية خاصة

إذا كان (𞸎)=١٢، فأوجد قيمة 𞸎؛ حيث ٠<𞸎<٠٩.

الحل

نلاحظ أولًا أن 𞸎 هو قياس زاوية حادة، ويمكننا حل المعادلات المثلثية باستخدام الدوال المثلثية العكسية. بما أن (𞸎)=١٢، نستخدم الدالة العكسية لجيب التمام في كلا طرفي المعادلة لنجد أن: 𞸎=󰂔١٢󰂓.١

وبما أن 𞸎 هو قياس زاوية حادة، نعلم أنها زاوية في مثلث قائم الزاوية. لعلنا نتذكر أن ٠٦=١٢، ومن ثم يمكننا استنتاج أن: ١󰂔١٢󰂓=٠٦. ويقع هذا في الفترة المعطاة، إذن: 𞸎=٠٦.

في المثال الأخير، سنعيد ترتيب معادلة مثلثية ونحلها باستخدام معرفتنا بالدوال المثلثية العكسية.

مثال ٥: استخدام دالة مثلثية عكسية لإيجاد قياس زاوية خاصة

إذا كان 󰋴٣(𞸎)+٢=٣، فأوجد قيمة 𞸎؛ حيث ٠<𞸎<٠٩.

الحل

لحل معادلة مثلثية، علينا أن نبدأ بمحاولة تبسيط المعادلة، لدينا 󰋴٣(𞸎)+٢=٣󰋴٣(𞸎)=١(𞸎)=󰋴٣٣.

نتذكر أنه بما أننا نبحث عن حلول لزاوية حادة، فإن 𞸎=󰃭󰋴٣٣󰃬١ هو الحل الوحيد لهذه المعادلة.

ولكن، نحن نعرف كيفية إيجاد قيم الدوال المثلثية عند قيم خاصة. على وجه التحديد، نعرف أن: (٠٣)=󰋴٣٣. وبما أن حل قياس الزاوية الحادة لدينا وحيد، فلا بد أن: 𞸎=٠٣.

دعونا نختتم الآن بتلخيص بعض النقاط المهمة التي توصلنا إليها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا إيجاد قيم الدوال المثلثية عن طريق رسم مثلثات قائمة الزاوية واستخدام النسب بين أطوال الأضلاع.
  • على وجه التحديد، يمكننا تكوين المثلثين قائمي الزاوية التاليين باستخدام نصف مربع ونصف مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه يساوي ٢.
  • بتطبيق حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية على هذين المثلثين، يمكننا إيجاد دوال الجيب وجيب التمام والظل عند ٠٣، ٥٤، ٠٦. نحصل على جدول القيم التالي.
    𝜃
    ٠٣٥٤٠٦
    𝜃١٢󰋴٢٢󰋴٣٢
    𝜃󰋴٣٢󰋴٢٢١٢
    𝜃󰋴٣٣١󰋴٣
  • لكل ٠<󰏡<١،
    • 𝜃=󰏡١ هو حل قياس الزاوية الحادة الوحيد للمعادلة: 𝜃=󰏡،
    • 𝜃=󰏡١ هو حل قياس الزاوية الحادة الوحيد للمعادلة: 𝜃=󰏡.
  • لكل: 󰏡>٠،
    • 𝜃=󰏡١ هو حل قياس الزاوية الحادة الوحيد للمعادلة 𝜃=󰏡.
  • يوضح لنا الجدول التالي قيم الدوال المثلثية العكسية عند القيم المعطاة.
    󰏡
    ١٢󰋴٢٢󰋴٣٢
    ١󰏡٠٣٥٤٠٦
    ١󰏡٠٦٥٤٠٣
    󰏡
    󰋴٣٣١󰋴٣
    ١󰏡٠٣٥٤٠٦

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.