شارح الدرس: إيجاد قِيَم الدوال المثلثية للزوايا ٣٠ و٤٥ و٦٠ الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قِيَم الدوال المثلثية للزوايا التي قياساتها ٣٠ و٤٥ و٦٠ درجة.

نبدأ بتذكر المقصود بالدوال المثلثية. في أي مثلث قائم الزاوية، يمكننا تسمية أطوال أضلاع المثلث بالنسبة إلى إحدى زواياه الداخلية. على سبيل المثال، يمكننا أن نسمي أضلاع المثلث بالنسبة إلى الزاوية كما يوضح الشكل التالي.

نعرِّف الدوال المثلثية بأنها النسب بين أطوال أضلاع المثلث قائم الزاوية كما يلي:

بما أنه يمكننا تحديد قيم الدوال المثلثية من نسب أطوال الأضلاع في المثلثات القائمة الزاوية، فسنرسم عدة مثلثات قائمة الزاوية هندسيًّا لتسمح لنا بإيجاد قيم الدوال المثلثية عند قيم محددة. دعونا نبدأ بالنظر إلى المربع الذي طول ضلعه يساوي ٢.

من الجدير بالملاحظة أنه يمكننا اختيار أي طول ضلع للمربع. لقد اخترنا ٢؛ لأنه سيجعل العمليات الحسابية أسهل. قسَّمنا المربع إلى مثلثين قائمي الزاوية متطابقين برسم أحد قطريه كما هو موضح.

وبما أن هذين المثلثين قائمي الزاوية متساويا الساقين، فلا بد أن تكون زواياهما غير القائمة متساوية في القياس. على وجه التحديد، بما أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث هو ، نجد أن قياس كل زاوية من الزوايا الناقصة هو .

يمكننا بعد ذلك تطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع الناقص. تذكر أن هذه النظرية تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. وهذا يعطينا:

يمكننا حل هذه المعادلة بأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة مع ملاحظة أن الطول يجب أن يكون موجبًا:

وبعد ذلك، يمكننا استخدام المثلث قائم الزاوية هذا لتحديد قيم الدوال المثلثية عند: . بتسمية أضلاع المثلث حسب موضعه بالنسبة إلى الزاوية اليسرى بالأسفل وقياسها ، نحصل على ما يلي.

بتطبيق حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، نحصل على ما يلي:

يمكننا استخدام الطريقة نفسها لإيجاد قيم الدوال المثلثية عند زوايا أخرى. على سبيل المثال، يمكننا استخدام مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ٢، ونتذكر أن قياس كل زاوية من زواياه الداخلية يساوي: .

يمكننا بعد ذلك تقسيم هذا المثلث إلى مثلثين قائمي الزاوية باستخدام منصف عمودي كما هو موضح.

سنفكر في واحد فقط من هذين المثلثين قائمي الزاوية. نلاحظ أنه بما أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي ، إذن يمكننا إيجاد قياس الزاوية الناقصة، وسيساوي: . يمكننا أيضًا ملاحظة أن نصف طول قاعدة المثلث يساوي ١، وهو ما يعطينا ما يلي.

وبما أن هذا مثلث قائم الزاوية، إذن يمكننا إيجاد طول الضلع المجهول باستخدام نظرية فيثاغورس. تذكر أن هذه النظرية تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. وهذا يعطينا:

يمكننا إيجاد قيمة عن طريق أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة مع ملاحظة أن: طول ضلع؛ ومن ثَمَّ يجب أن يكون موجبًا:

يمكننا إضافة ذلك إلى الشكل لنحصل على المثلث القائم الزاوية التالي.

يمكننا استخدام هذه القاعدة لتحديد قيم الدوال المثلثية عند الزوايا و. أولًا، سنسمي الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية .

وبما أن ، يصبح لدينا:

وبالمثل، بما أن ، ، يصبح لدينا:

يمكننا أيضًا إيجاد قيم هذه الدوال المثلثية عند الزاوية التي قياسها بتسمية أضلاع المثلث حسب مواضعها بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها .

لدينا

يمكننا تلخيص النتائج التي أوضحناها في الجدول التالي.

وهذه النتائج المثلثية مفيدة ويجب حفظها عن ظهر قلب أو الإلمام بكيفية الوصول إليها هندسيًّا. دعونا نتناول الآن بعض الأمثلة على استخدام هذه القيم لتبسيط المقادير المثلثية أو إيجاد قيمتها.

مثال ١: إيجاد قيم الدوال المثلثية للزوايا الخاصة

أوجد القيمة الدقيقة لـ .

الحل

يمكننا إيجاد القيمة الدقيقة لـ باستخدام الآلة الحاسبة؛ وسنحصل على:

ومع ذلك، يجب أن نكون على دراية بكيفية إيجاد قيم الدوال المثلثية الثلاث، الجيب وجيب التمام والظل، عند ، ، . لفعل ذلك، نبدأ برسم مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ٢.

يمكننا بعد ذلك رسم مثلث قائم الزاوية بإضافة المنصف العمودي للقاعدة.

بما أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث هو ؛ إذن نجد قياس الزاوية الناقصة ليساوي . يمكننا تحديد طول الضلع الناقص بتطبيق نظرية فيثاغورس، والتي تنص على أن مربع طول الوتر في المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. يعطينا هذا المعادلة التي يمكننا حلها لإيجاد قيمة مع ملاحظة أن هذه القيمة لا بد أن تكون موجبة:

وينتج عن هذا المثلث القائم الزاوية التالي.

وبما أننا نريد تحديد قيمة ، سنسمي الأضلاع حسب موضعها بالنسبة إلى الزاوية .

نتذكر أن دالة الجيب تساوي النسبة بين طول الضلع المقابل والوتر في المثلث قائم الزاوية، وهو ما يعطينا:

إذن، .

في المثال السابق، استخدمنا المثلثات القائمة الزاوية لتحديد النسب المثلثية عند زاوية محددة. من الناحية العملية، يستغرق هذا وقتًا طويلًا، لذا من الأسهل حفظ جدول القيم عن ظهر قلب، ثم تطبيق هذه القيم لإيجاد قيم المقادير. في الأمثلة المتبقية، سنستخدم الجدول فقط.

عرفنا كيف يمكننا استخدام المثلثات المحددة لمساعدتنا في إيجاد قيمة الدوال المثلثية عند زوايا معينة. ويمكننا استخدام هذا المنطق نفسه بشكل عكسي، إذا كانت النسبة بين أطوال الأضلاع في مثلث قائم الزاوية قيمة معلومة، فيمكننا إيجاد قياس الزاوية.

على سبيل المثال، افترض أن لدينا المثلث التالي.

ونعلم أن النسبة بين الضلعين المقابل والمجاور هي ١؛ بعبارة أخرى: . إذن، لدينا طريقتان لتحديد قياس الزاوية . أولًا، يمكننا فعل ذلك هندسيًّا. نعلم أن: إذن:

يعني هذا أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية متساوي الساقين. إذن الزاوية المجهولة الأخرى هي أيضًا: .

إذن نستخدم حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مثلث هو لنوجد :

هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا استخدامها لتحديد قيمة . نحن نعرف أن وكذلك نعرف أن: هو قياس زاوية محتمل في المثلث قائم الزاوية لأنها زاوية حادة. إذن، نستنتج أن تساوي باستخدام معرفتنا أن .

يمكننا أيضًا حل هذا المثال باستخدام الدوال المثلثية العكسية.

إذن، بما أن ، نعلم أن هو حل للمعادلة ونعلم أن الحل وحيد للزوايا الحادة. نحن نعرف أن . يمكننا فعل الأمر نفسه مع جميع القيم الأخرى التي نعرفها. على سبيل المثال، بما أن ، نعلم أن: . يمكننا كتابة كل ذلك في الجدول التالي.

دعونا نتناول الآن مثالًا على حل معادلة مثلثية.

في المثال الأخير، سنعيد ترتيب معادلة مثلثية ونحلها باستخدام معرفتنا بالدوال المثلثية العكسية.

دعونا نختتم الآن بتلخيص بعض النقاط المهمة التي توصلنا إليها في هذا الشارح.