شارح الدرس: نظرية منصِّف الزاوية وعكسها

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم نظرية منصِّف الزاوية وعكسها لإيجاد طول ضلع ناقص في مثلث.

نفترض أن لدينا المثلث ومنصِّف الزاوية ، هو .

نظرية منصِّف الزاوية (الجزء الأول)

إذا نُصفت زاوية داخلية في مثلث، يقسم المنصِّف الضلع المقابل إلى قطعتين النسبة بين طولَيْهما هي نفس النسبة بين طولَيِ الضلعَيْن الآخَرَيْن في المثلث.

أيْ:

كيفية إثبات نظرية منصِّف الزاوية (الجزء الأول)

يوازي . ولدينا:

إذن ، وهو ما يعني أن مثلث متساوي الساقين؛ ولذلك .

بما أن ، متوازيان، إذن المثلثان ، متشابهان. يترتَّب على ذلك أن: وهو ما يُمكن إعادة كتابته على الصورة:

بضرب طرفَيِ المعادلة في ، نحصل على:

بفكِّ القوسين، سنجد أن:

بحذف ، وهما نفسهما ، من الطرفين، نحصل على:

نقسم الطرفين على ، وبذلك نحصل على:

وبما أن ، ، ، نحصل في النهاية على:

دعونا نتناول مثالًا حول كيفية تطبيق هذه النظرية.

مثال ١: تطبيق نظريات منصِّف الزاوية

في الشكل، ينصِّف ، ، ، ومحيط يساوي ٥٧. أوجد طولَيْ ، .

الحل

ينصِّف في المثلث . وفقًا لنظرية منصِّف الزاوية (النظرية الأولى)، نعلم أن لدينا:

ونعلم أيضًا أن:

وبما أننا نعلم أن ، ، إذن:

وبالتعويض بذلك في المعادلة الأولى، نحصل على:

ومن ثَمَّ:

لنتناول نظريةً أخرى، ما زلنا في المثلث الذي يكون منصِّف زوايته هو . هذه النظرية تتعلَّق بطول .

نظرية منصِّف الزاوية (الجزء الثاني)

في أيِّ مثلث ، إذا كان هو منصِّف الزاوية ، يكون لدينا:

لنتناول كيفية استخدام هذه النظرية.

مثال ٢: تطبيق نظريات منصِّف الزاوية

في المثلث ، ، ، . إذا كان ينصِّف ويقطع في ، فأوجد طول .

الحل

ينصِّف في المثلث . وفقًا لنظرية منصِّف الزاوية (الجزء الثاني)، نعرف أن لدينا:

نعرف من السؤال أطوال ، ، . ومن ثَمَّ، لإيجاد ، يجب أولًا أن نُوجِد . ومن أجل ذلك، نطبِّق نظرية منصِّف الزاوية (الجزء الأول):

والآن يُمكننا التعويض بجميع الأطوال:

تُوجَد نظرية ثالثة لمنصِّف الزاوية تتعلَّق بمنصِّف زاوية خارجية لمثلث.

نظرية منصِّف الزاوية (الجزء الثالث)

يقطع منصِّف أي زاوية خارجية لمثلث امتداد الضلع المقابل في المثلث في النقطة . نسبة طول الامتداد فقط للضلع المقابل إلى طول الضلع المقابل زائد الامتداد تساوي النسبة بين طولَيِ الضلعَيْن الآخَرَيْن في المثلث: