شارح الدرس: نظرية منصِّف الزاوية وعكسها الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم نظرية منصِّف الزاوية وعكسها لإيجاد طول ضلع ناقص في مثلث.

نفترض أن لدينا المثلث 󰏡𞸁𞸢 ومنصِّف الزاوية 𞸢، هو 𞸢𞸃.

نظرية منصِّف الزاوية (الجزء الأول)

إذا نُصفت زاوية داخلية في مثلث، يقسم المنصِّف الضلع المقابل إلى قطعتين النسبة بين طولَيْهما هي نفس النسبة بين طولَيِ الضلعَيْن الآخَرَيْن في المثلث.

أيْ:

كيفية إثبات نظرية منصِّف الزاوية (الجزء الأول)

󰄮󰏡𞸤 يوازي 󰄮󰄮𞸃𞸢. ولدينا: 󰌑𞸢󰏡𞸤=󰌑𞸃𞸢󰏡،󰌑𞸁𞸢𞸃=󰌑𞸢𞸤󰏡󰌑𞸁𞸢𞸃=󰌑𞸃𞸢󰏡𞸢𞸃𞸢.(زاوندن)(زاونن)(ااو)

إذن 󰌑𞸢󰏡𞸤=󰌑𞸢𞸤󰏡، وهو ما يعني أن 󰏡𞸢𞸤 مثلث متساوي الساقين؛ ولذلك 𞸢𞸤=𞸢󰏡.

بما أن 󰄮󰄮𞸃𞸢، 󰄮󰏡𞸤 متوازيان، إذن المثلثان 𞸁𞸢𞸃، 𞸁𞸤󰏡 متشابهان. يترتَّب على ذلك أن: 𞸁𞸃𞸁󰏡=𞸁𞸢𞸁𞸤، وهو ما يُمكن إعادة كتابته على الصورة: 𞸁𞸃𞸁𞸃+𞸃󰏡=𞸁𞸢𞸁𞸢+𞸢𞸤.

بضرب طرفَيِ المعادلة في (𞸁𞸢+𞸢𞸤)(𞸁𞸃+𞸃󰏡)، نحصل على: 𞸁𞸃(𞸁𞸢+𞸢𞸤)=𞸁𞸢(𞸁𞸃+𞸃󰏡).

بفكِّ القوسين، سنجد أن: 𞸁𞸃×𞸁𞸢+𞸁𞸃×𞸢𞸤=𞸁𞸢×𞸁𞸃+𞸁𞸢×𞸃󰏡.

بحذف 𞸁𞸃×𞸁𞸢، وهما نفسهما 𞸁𞸢×𞸁𞸃، من الطرفين، نحصل على: 𞸁𞸃×𞸢𞸤=𞸁𞸢×𞸃󰏡.

نقسم الطرفين على 𞸃󰏡×𞸢𞸤، وبذلك نحصل على: 𞸁𞸃𞸃󰏡=𞸁𞸢𞸢𞸤.

وبما أن 𞸢𞸤=𞸢󰏡، 𞸁𞸃=𞸃𞸁، 𞸁𞸢=𞸢𞸁، نحصل في النهاية على: 𞸃𞸁𞸃󰏡=𞸢𞸁𞸢󰏡.

دعونا نتناول مثالًا حول كيفية تطبيق هذه النظرية.

مثال ١: تطبيق نظريات منصِّف الزاوية

في الشكل، 󰏡𞸃 ينصِّف 󰌑𞸁󰏡𞸢، 𞸁𞸃=٨، 𞸃𞸢=١١، ومحيط 󰏡𞸁𞸢 يساوي ٥٧. أوجد طولَيْ 󰏡𞸁، 󰏡𞸢.

  1. 󰏡𞸁=٢٢، 󰏡𞸢=٦١
  2. 󰏡𞸁=٦١، 󰏡𞸢=٢٢
  3. 󰏡𞸁=٦١، 󰏡𞸢=٩١
  4. 󰏡𞸁=٩١، 󰏡𞸢=٢٢

الحل

󰏡𞸃 ينصِّف 󰌑󰏡 في المثلث 󰏡𞸁𞸢. وفقًا لنظرية منصِّف الزاوية (النظرية الأولى)، نعلم أن لدينا: 𞸃𞸢𞸃𞸁=󰏡𞸢󰏡𞸁١١٨=󰏡𞸢󰏡𞸁.

ونعلم أيضًا أن: 󰏡𞸁+𞸁𞸃+𞸃𞸢+󰏡𞸢=٧٥.

وبما أننا نعلم أن 𞸁𞸃=٨، 𞸃𞸢=١١، إذن: 󰏡𞸁+٨+١١+󰏡𞸢=٧٥󰏡𞸁=٧٥٩١󰏡𞸢󰏡𞸁=٨٣󰏡𞸢.

وبالتعويض بذلك في المعادلة الأولى، نحصل على: 󰏡𞸢٨٣󰏡𞸢=١١٨٨×󰏡𞸢=١١(٨٣󰏡𞸢)٨×󰏡𞸢=٨١٤١١×󰏡𞸢٩١×󰏡𞸢=٨١٤󰏡𞸢=٨١٤٩١󰏡𞸢=٢٢.

ومن ثَمَّ: 󰏡𞸁=٨٣󰏡𞸢󰏡𞸁=٨٣٢٢=٦١.

لنتناول نظريةً أخرى، ما زلنا في المثلث 󰏡𞸁𞸢 الذي يكون منصِّف زوايته 𞸢 هو 𞸢𞸃. هذه النظرية تتعلَّق بطول 𞸢𞸃.

نظرية منصِّف الزاوية (الجزء الثاني)

في أيِّ مثلث 󰏡𞸁𞸢، إذا كان 𞸢𞸃 هو منصِّف الزاوية 𞸢، يكون لدينا:

لنتناول كيفية استخدام هذه النظرية.

مثال ٢: تطبيق نظريات منصِّف الزاوية

في المثلث 󰏡𞸁𞸢، 󰏡𞸁=٦٧، 󰏡𞸢=٧٥، 𞸁𞸃=٢٥. إذا كان 󰏡𞸃 ينصِّف 󰌑󰏡 ويقطع 𞸁𞸢 في 𞸃، فأوجد طول 󰏡𞸃.

الحل

󰏡𞸃 ينصِّف 󰌑󰏡 في المثلث 󰏡𞸁𞸢. وفقًا لنظرية منصِّف الزاوية (الجزء الثاني)، نعرف أن لدينا: 󰏡𞸃=󰋴󰏡𞸢×󰏡𞸁𞸃𞸢×𞸃𞸁.

نعرف من السؤال أطوال 󰏡𞸢، 󰏡𞸁، 𞸃𞸁. ومن ثَمَّ، لإيجاد 󰏡𞸃، يجب أولًا أن نُوجِد 𞸃𞸢. ومن أجل ذلك، نطبِّق نظرية منصِّف الزاوية (الجزء الأول): 𞸃𞸢𞸃𞸁=󰏡𞸢󰏡𞸁𞸃𞸢=󰏡𞸢󰏡𞸁×𞸃𞸁𞸃𞸢=٧٥٦٧×٢٥=٩٣.

والآن يُمكننا التعويض بجميع الأطوال: 󰏡𞸃=󰋴󰏡𞸢×󰏡𞸁𞸃𞸢×𞸃𞸁󰏡𞸃=󰋴٧٥×٦٧٩٣×٢٥󰏡𞸃=٨٤.

تُوجَد نظرية ثالثة لمنصِّف الزاوية تتعلَّق بمنصِّف زاوية خارجية لمثلث.

نظرية منصِّف الزاوية (الجزء الثالث)

يقطع منصِّف أي زاوية خارجية لمثلث امتداد الضلع المقابل في المثلث في النقطة 𞸃. نسبة طول الامتداد فقط للضلع المقابل إلى طول الضلع المقابل زائد الامتداد تساوي النسبة بين طولَيِ الضلعَيْن الآخَرَيْن في المثلث:

لنتناول مثالًا على كيفية استخدام هذه النظرية.

مثال ٣: تطبيق نظريات منصِّف الزاوية

إذا كان 󰏡𞸁=٠٦، 󰏡𞸢=٠٤، 𞸁𞸢=١٣، فما طول 𞸢𞸃؟

الحل

(󰏡𞸃) هو منصِّف الزاوية الخارجية 󰏡 للمثلث 󰏡𞸁𞸢. ومن ثَمَّ، لدينا: 𞸃𞸢𞸃𞸁=󰏡𞸢󰏡𞸁.

بما أن 𞸃𞸁=𞸃𞸢+𞸢𞸁، فيُمكننا كتابة: 𞸃𞸢𞸃𞸢+𞸢𞸁=󰏡𞸢󰏡𞸁.

وبالتعويض بأطوال الأضلاع المُعطاة في السؤال، يصبح لدينا: 𞸃𞸢𞸃𞸢+١٣=٠٤٠٦.

بضرب الطرفين في ٠٦(𞸃𞸢+١٣)، نحصل على: ٠٦𞸃𞸢=٠٤(𞸃𞸢+١٣)٠٦𞸃𞸢=٠٤𞸃𞸢+٠٤٢١٠٢𞸃𞸢=٠٤٢١𞸃𞸢=٠٤٢١٠٢=٢٦.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.