تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: تمثيل الدوال الخطية بيانيًّا الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُمثِّل الدوال الخطية بيانيًّا.

تُستخدَم الدوال الخطية لتعريف العلاقة الخطية بين متغيِّرين. فهذه الدوال ذات معدَّل تغيُّر ثابت، ولها تطبيقات عملية عديدة. على سبيل المثال، في علم الاقتصاد، قد يكون منحنى الطلب دالة خطية بين السعر والكمية. وفي العلوم، يُعَدُّ قانون هوك وقانون أوم علاقتين خطيتين؛ فالقانون الأول علاقة خطية بين القوة المؤثِّرة على خيط ما وطوله، والقانون الثاني علاقة خطية بين الجهد والتيار في دائرة كهربية.

تعريف: الدوال الخطية

الدالة الخطية هي دالة يكون تمثيلها البياني عبارة عن خط مستقيم. معادلة الخط المستقيم في صيغة الميل والمقطع هي: 𞸑=𞸌𞸎+𞸁، حيث 𞸌، 𞸁 ثابتان. يُعرَف الثابت 𞸌 بميل الخط المستقيم، ويُعرَف الثابت 𞸁 بالجزء المقطوع من المحور 𞸑؛ أي القيمة التي يقطع عندها الخط المستقيم المحور 𞸑.

قد تلاحظ أيضًا أن معادلة الخط المستقيم مكتوبةٌ على الصورة 𞸑=𞸌𞸎+𞸢. تحتوي الدالة الخطية على متغيِّر مستقل واحد، 𞸎، ومتغيِّر تابع واحد، 𞸑، وأعلى قوة للمتغيِّر 𞸎 هي ١. يتناسب التغيُّر في 𞸑 مع التغيُّر في 𞸎، ويمثِّل الميل، 𞸌، وهو ثابت، النسبة بين التغيُّر في 𞸑 إلى التغيُّر في 𞸎.

لاحِظ أن 𞸑=𞸌𞸎+𞸁 تَصِف العلاقة الخطية بين المتغيِّرين 𞸑، 𞸎. يمكننا أيضًا التعبير عن هذه الصيغة باستخدام ترميز الدالة كالآتي: 󰎨(𞸎)=𞸌𞸎+𞸁. هنا، 󰎨 دالة في 𞸎، ويكون لأيِّ نقطة على الخط المستقيم الإحداثيان (𞸎،󰎨(𞸎)).

عندما يتعلَّق الأمر بتمثيل الدوال الخطية بيانيًّا، تعتمد طريقة تناوُلنا للموضوع على المعلومات التي لدينا. على سبيل المثال، قد تكون لدينا نقطتان (أو أكثر) على خط مستقيم، ويمكننا تكوين الخط المستقيم بتمثيل هاتين النقطتين ورسم خط منفرد واحد يمر بهما. يمكننا إيجاد ميل هذا الخط المستقيم باستخدام نقطتين تقعان على الخط المستقيم، لِنَقُل مثلًا النقطتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، لحساب نسبة التغيُّر في 𞸑 إلى التغيُّر في 𞸎: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١

باستخدام هذا الميل، مع إحدى النقطتين، لِنَقُل مثلًا 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، يمكننا إذن إيجاد القيمة الفعلية للجزء المقطوع من المحور 𞸑، 𞸁؛ حيث 𞸑=𞸌𞸎+𞸁١١، وإعادة ترتيب المعادلة، تعطينا 𞸁=𞸑𞸌𞸎١١.

لاحِظ أن ميل الخط المستقيم يُوصَف أحيانًا بفرق الصادات مقسومًا على فرق السينات؛ حيث يمثِّل فرق الصادات التغيُّر في قيمتَي الإحداثي 𞸑 لنقطتين واقعتين على الخط المستقيم، ويمثِّل فرق السينات التغيُّر في قيمتَي الإحداثي 𞸎 للنقطتين نفسيهما.

من المهم تذكُّر أنه عندما يكون الميل موجبًا، ينحدر الخط المستقيم لأعلى من اليسار إلى اليمين، وعندما يكون الميل سالبًا، ينحدر الخط المستقيم لأسفل من اليسار إلى اليمين.

تُعَد إحدى طرق تمثيل الدالة الخطية بيانيًّا هي إنشاء جدول قيم وتمثيل إحداثيات النقاط الموجودة به. نرى كيفية تطبيق ذلك في مثال.

مثال ١: تمثيل الدوال الخطية بيانيًّا بإنشاء الجداول

اعتبر الدالة 󰎨(𞸎)=٨𞸎١١.

  1. أكمل الجدول.
    𞸎١٠١
    𞸑=󰎨(𞸎)
  2. حدِّد النقاط الثلاث الواقعة على الخط المستقيم 𞸑=٨𞸎١١.

الحل

الجزء الأول

ينقسم هذا السؤال إلى جزأين. الأول، يَطلب إكمال الجدول بحساب قيم الدالة 󰎨(𞸎)=٨𞸎١١، عند قيم 𞸎 الثلاث المُعطاة. يمكننا فعل ذلك بالتعويض بكل قيمة من قيم 𞸎، 𞸎=١،٠، ١، على الترتيب في الدالة كالآتي: 󰎨(١)=٨×(١)١١=٨١١=٩١،󰎨(٠)=٨×٠١١=١١،󰎨(١)=٨×١١١=٣.

بإكمال الجدول بهذه القيم، يكون لدينا:

𞸎١٠١
󰎨(𞸎)٩١١١٣

الجزء الثاني

يَطلب منا الجزء الثاني من السؤال تحديد النقاط الثلاث في التمثيل البياني، التي تقع على الخط المستقيم 𞸑=٨𞸎١١. الغرض من إنشاء جدول قيم لدالة ما هو أن نحصل على أزواج من الإحداثيات للتمثيل البياني للدالة. نلاحظ من الجدول أن أزواج الإحداثيات الثلاثة للدالة 󰎨(𞸎) هي (١،٩١)، (٠،١١)، (١،٣). دعونا نرسم هذه النقاط على التمثيل البياني، لنعرف أيٌّ من النقاط المُعطاة تتطابق معها.

بتمثيل النقطة الأولى، (١،٩١)، نلاحظ أنها تتطابق مع النقطة ش الموجودة على التمثيل البياني.

النقطة الآتية، (٠،١١)، تتطابق مع النقطة ح على التمثيل البياني.

وأخيرًا، نمثِّل النقطة الثالثة، (١،٣)، ونلاحظ أنها تتطابق مع النقطة ز على التمثيل البياني.

ولذلك، فإن النقاط الثلاث التي تقع على الخط المستقيم 𞸑=٨𞸎١١ هي النقاط ش، ح، ز، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

قد لا يكون لدينا دائمًا معادلة الخط المستقيم على الصورة 𞸑=𞸌𞸎+𞸁، وقد يتعيَّن علينا إعادة ترتيب دالة ما على هذه الصورة لمساعدتنا في تحديد الخط المستقيم الصحيح. يوضِّح المثال الآتي هذه العملية.

مثال ٢: تمثيل المعادلات الخطية بيانيًّا بتغيير صورها

لديك المعادلة ٣𞸑=٦𞸎+٣٢.

  1. أعِدْ ترتيب المعادلة على الصورة 𞸑=𞸌𞸎+𞸢.
  2. ما الميل والجزء المقطوع من المحور 𞸑 للمعادلة؟
  3. استخدم الميل والجزء المقطوع لتحديد التمثيل البياني الصحيح للمعادلة.

الحل

الجزء الأول

في هذا المثال، لتحديد التمثيل البياني الصحيح للمعادلة المُعطاة، علينا أولًا إعادة ترتيب المعادلة لإيجاد الميل والجزء المقطوع من المحور 𞸑. المعادلة هي ٣𞸑=٦𞸎+٣٢؛ لذا، نبدأ بعزل 𞸑 في الطرف الأيمن بالقسمة على ٣. هذا يعطينا: 𞸑=٦𞸎+٣٣×٢=٢𞸎+١٢.

بتوزيع البسط على المقام للطرف الأيسر، يصبح لدينا: 𞸑=𞸎+١٢.

الجزء الثاني

معادلة الخط على صورة الميل والمقطع، 𞸑=𞸌𞸎+𞸁، يكون معامل 𞸎 هو ميل الخط المستقيم. في هذه الحالة، فإن الميل يساوي ١، والثابت، ١٢، هو الجزء المقطوع من المحور 𞸑؛ أي 𞸁.

الجزء الثالث

والآن، إذا تحقَّقنا من التمثيلات البيانية المُعطاة، كما هو موضَّح بالأسفل، فستكون الأجزاء المقطوعة من المحور 𞸑 في التمثيلات البيانية ب، ج، د، هـ، هي ١، ١٢،١٢، ١ على الترتيب. وبما أن جميع هذه الأجزاء المقطوعة لا تساوي الجزء المقطوع من المحور 𞸑 للخط المستقيم؛ أي 𞸢=١٢، إذن يمكننا حذف هذه التمثيلات البيانية الأربعة.

ومن ثَمَّ، يتبقى لدينا خيار واحد فقط، وهو التمثيل البياني أ، ليكون هو التمثيل البياني الصحيح. ومع هذا، للتأكُّد من أن التمثيل البياني أ مطابق فعليًّا للمعادلة، هيا نتأكَّد من أن ميل الخط المستقيم في التمثيل البياني أ يساوي ١ بالفعل.

تذكَّر أن ميل الخط المستقيم يُعطى بدلالة: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎،٢١٢١ حيث 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ نقطتان على الخط المستقيم. من التمثيل البياني أ، نلاحظ أن النقطتين 󰂔٠،١٢󰂓، 󰂔١٢،٠󰂓 تقعان على الخط المستقيم.

ثم باستخدام هاتين النقطتين في المعادلة لحساب الميل 𞸌، يكون لدينا: 𞸌=٠٠==١.١٢١٢١٢١٢

ومن ثَمَّ، نكون قد تأكَّدنا من أن الميل الذي يساوي ١، والجزء المقطوع من المحور 𞸑، الذي يساوي ١٢ في التمثيل البياني أ، مطابقان للمعادلة ٣𞸑=٦𞸎+٣٢، إذا كان التعبير عنها يكون باستخدام صيغة الميل والمقطع.

في المثال التالي، نُطابِق نقاطًا على التمثيل البياني بمعادلة الخط المستقيم.

مثال ٣: رسم نقاط المعادلات الخطية

أراد شريف أن يرسم تمثيلًا بيانيًّا للمعادلة الخطية 𞸑=٣𞸎٤.

رَسَمَ النقاط التي إحداثيات 𞸎 لها ٠، ١، ٢، ٣، ٤، ولكنه أخطأ خطأً واحدًا.

  1. ما النقطة غير الصحيحة؟
  2. ما الإحداثيات الصحيحة لتلك النقطة؟

الحل

الجزء الأول

لمعرفة أيٌّ من النقاط لا تحقِّق المعادلة 𞸑=٣𞸎٤، علينا أولًا إيجاد إحداثيات كل نقطة على التمثيل البياني. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيم كلٍّ من 𞸎، 𞸑 لكل نقطة في المعادلة، لتحديد النقطة غير الصحيحة.

بتحديد الإحداثيين 𞸎، 𞸑، لكل نقطة على التمثيل البياني، نجد الإحداثيات أبجد(٠،٤)،(١،١)،(٢،٢)،(٣،٤)، ـ(٤،٨). الآن، بالتعويض بهذه القيم بالترتيب في المعادلة 𞸑=٣𞸎٤، يُصبح لدينا الآتي: أبجدـ(٠،٤)٤=٣×٠٤=٤(١،١)١=٣×١٤=١(٢،٢)٢=٣×٢٤=٢(٣،٤)٤=٣×٣٤=٥(٤،٨)٨=٣×٤٤=٨×

النقطة الوحيدة التي لا يحقِّق إحداثياها المعادلة المُعطاة هي النقطة د. وبناءً على ذلك، فإن النقطة د غير صحيحة.

الجزء الثاني

لإيجاد الإحداثيات الصحيحة لهذه النقطة، نعوِّض بقيمة الإحداثي 𞸎، 𞸎=٣، في المعادلة، وهو ما يعطينا: 𞸑=٣×٣٤=٥.

ومن ثَمَّ، كما هو موضَّح في التمثيل البياني الآتي، فإن الإحداثيات الصحيحة للنقطة على الخط المستقيم 𞸑=٣𞸎٤؛ حيث 𞸎=٣، هي د(٣،٥).

في المثال التالي، نتناول كيف نُنشئ جدول قيم ونستخدمه لتحديد التمثيل البياني الصحيح لمعادلة خطية محدَّدة.

مثال ٤: تحديد التمثيل البياني لدالة خطية باستخدام جدول قيم

من خلال إنشاء جدول للقيم، حدِّد أيُّ التمثيلات البيانية الآتية يمثِّل المعادلة 𞸑=١٢𞸎+١.

الحل

مطلوب منا إنشاء جدول قيم يساعدنا في تحديد أيُّ التمثيلات البيانية يمثِّل المعادلة 𞸑=١٢𞸎+١. هذا يعني اختيار مجموعة مناسبة من قيم 𞸎 نعوِّض بها في المعادلة المُعطاة لحساب قيم 𞸑 المناظرة لها. ومن ثَمَّ، يكون لدينا مجموعة من إحداثيات النقاط على التمثيل البياني للمعادلة، التي يمكننا المقارنة بينها وبين التمثيلات البيانية المُعطاة.

لكي تكون العمليات الحسابية مباشرةً، نختار نقاطًا من التمثيلات البيانية المُعطاة، باستخدام قيم صحيحة لـ 𞸎. من القيم الصغرى إلى القيم الكبرى، تقطع التمثيلات البيانية المحور 𞸎 عند 𞸎=٢ (في التمثيلين البيانيين أ، د)، وعند 𞸎=٢ (في التمثيلين البيانيين ب، هـ). يمكننا أيضًا تضمين 𞸎=٠؛ بحيث يكون لدينا ثلاث نقاط.

𞸎٢٠٢
𞸑

والآن، باستخدام المعادلة 𞸑=١٢𞸎+١ لحساب قيم الإحداثي 𞸑 عند قيم 𞸎 هذه، يكون لدينا: 𞸎=٢𞸑=١٢×(٢)+١=١+١=٠،𞸎=٠𞸑=١٢×٠+١=١،𞸎=٢𞸑=١٢×٢+١=٢.

بوضع ذلك في الجدول، نحصل على الآتي:

𞸎٢٠٢
𞸑٠١٢

لدينا الآن إحداثيات ثلاث نقاط في التمثيل البياني (٢،٠)،(٠،١)، (٢،٢). وبرسم هذه النقاط على التمثيلات البيانية المُعطاة، يمكننا تحديد أيُّ التمثيلات البيانية يمثِّل المعادلة 𞸑=١٢𞸎+١.

وكما نلاحظ، فإن التمثيل البياني الوحيد الذي يمر بجميع النقاط الثلاث التي وجدناها هو التمثيل البياني أ. ولا يمر التمثيلان البيانيان ب، ج بأيٍّ من النقاط الثلاث، ويمر التمثيلان البيانيان د، هـ بنقطة واحدة فقط (٢،٠)، (٠،١) على الترتيب.

ومن ثَمَّ، تكون المعادلة 𞸑=١٢𞸎+١ ممثَّلة في التمثيل البياني أ.

في المثال الأخير، سنستخدم الميل والجزء المقطوع للدالة الخطية الممثَّلة بيانيًّا لتحديد معادلتها.

مثال ٥: تمثيل الدوال بيانيًّا

أيُّ الدوال التالية ممثَّلة بالتمثيل البياني الموضَّح؟

  1. 𞸎=٢٣𞸑+٢
  2. 𞸑=٢٣𞸎+٢
  3. 𞸑=٢𞸎+٢٣
  4. 𞸑=٣٢𞸎+٢
  5. 𞸑=٢٣𞸎٢

الحل

لإيجاد أيٌّ من الدوال المُعطاة ممثَّلة بالتمثيل البياني، علينا أولًا تذكُّر أن صيغة الميل والمقطع للدالة الخطية هي 𞸑=𞸌𞸎+𞸁، أو أحيانًا 𞸑=𞸌𞸎+𞸢؛ حيث 𞸌 ميل الخط المستقيم، وأن 𞸁 أو 𞸢 الجزء المقطوع من المحور 𞸑. جميع الخيارات المُعطاة ما عدا الخيار أ مكتوبة بهذه الصيغة؛ لذا، دعونا نُعِد ترتيب الخيار أ ليصبح في صيغة الميل والمقطع كالآتي: 𞸎=٢٣𞸑+٢٢٣𞸑=𞸎٢𞸑=٣٢𞸎٣.

الخيارات الآن هي: أبجدـ𞸑=٣٢𞸎٢،𞸑=٢٣𞸎+٢،𞸑=٢𞸎+٢٣،𞸑=٣٢𞸎+٢،𞸑=٢٣𞸎٢.

الآن، إذا نظرنا إلى التمثيل البياني المُعطى، سنلاحظ أن الجزء المقطوع من المحور 𞸑؛ حيث 𞸎=٠، يقع عند 𞸑=٢.

بالتعويض بـ 𞸎=٠ في كل خيار من الخيارات المُعطاة، نجد أن الخيارين ب، د فقط يكون فيهما الجزء المقطوع من المحور 𞸑، عند 𞸑=٢. وتكون الأجزاء المقطوعة من المحور 𞸑 في الخيارات أ، ج، هـ هي 𞸑=٢،٢٣، ٢ على الترتيب. ومن ثَمَّ، يمكننا حذف الخيارات أ، ج، هـ. وهذا يُعطينا الخيارين ب، د.

يمكننا استخدام ما نعرفه عن ميل الخط المستقيم لمعرفة المعادلة الصحيحة. تذكَّر أنه بمعلومية نقطتين على خط مستقيم، 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، يكون ميل الخط المستقيم مُعطى بدلالة نسبة التغيُّر في 𞸑 إلى التغيُّر في 𞸎: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١

باستخدام هذا التمثيل البياني، يمكننا اختيار نقطتين على الخط المستقيم، لِنَقُل (٣،٠)، (٠،٢).

باستخدام هاتين النقطتين، يمكننا حساب الميل: 𞸌=٠٢٣٠=٢٣.

وبمقارنة الخيارين ب؛ حيث 𞸑=٢٣𞸎+٢، د؛ حيث 𞸑=٣٢𞸎+٢، نلاحظ أن للخيار ب فقط الميل الصحيح.

ومن ثَمَّ، فإن الدالة الممثَّلة بالتمثيل البياني الموضَّح هي الخيار ب: 𞸑=٢٣𞸎+٢.

نختتم هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها عن تمثيل الدوال الخطية بيانيًّا.

النقاط الرئيسية

  • يمكن التعبير عن الدالة الخطية باستخدام الصورة 𞸑=𞸌𞸎+𞸁 (أو 𞸑=𞸌𞸎+𞸢)؛ حيث 𞸌 ميل الخط المستقيم، 𞸁 (أو 𞸢) الجزء المقطوع من المحور 𞸑. (وتُعرَف هذه أيضًا باسم صيغة الميل والمقطع لمعادلة الخط المستقيم.)
  • ميل الخط المستقيم، 𞸌، الذي يُعرَف أحيانًا بفرق الصادات مقسومًا على فرق السينات 󰃁𞸌=󰃀قاداتقات، هو النسبة بين التغيُّر في 𞸑 إلى التغيُّر في 𞸎. بمعلومية نقطتين على الخط المستقيم، 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ يكون الميل: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١
  • يمكننا رسم دالة خطية بيانيًّا عن طريق إنشاء جدول قيم لـ 𞸎، 𞸑 من المعادلة وتمثيل إحداثيات النقاط، ورسم الخط المستقيم الوحيد المار عبر هذه النقاط.
  • إذا كان لدينا تمثيل بياني لدالة خطية، فإنه يمكننا إيجاد معادلتها باستخدام إحداثيات النقاط الواقعة على الخط المستقيم لتحديد ميلها والجزء المقطوع لها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.