في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب معدَّل انتقال الموائع التي تسري بانسيابية خلال القنوات التي لها مساحات مقطع متغيِّرة.
لنبدأ بمائع غير قابل للانضغاط. وهذا يعني أن التغيُّرات في الضغط لا تؤثِّر على كثافة هذا المائع. تذكَّر أن المائع يُمكن أن يكون سائلًا أو غازًا، وفي العديد من الحالات، يُمكننا افتراض أن بعض السوائل، مثل الماء أو الزيت، غير قابلة للانضغاط.
لكي نفهم المقصود بذلك، تخيَّل مائعًا يملأ وعاءً، بينما يتحرَّك أحد جدران الوعاء بحرية. يُدفَع هذا الجدار لأسفل بواسطة كتلة. إذا كان المائع قابلًا للانضغاط، فستتسبَّب الكتلة التي تدفع الجدار لأسفل في أن تقترب جزيئات المائع بعضها من بعض، وهو ما يزيد من كثافته. ويتَّضِح ذلك في الشكل الآتي.
إذا كان المائع غير قابل للانضغاط، أيًّا كان مقدار الكتلة الموضوعة على الجدار الذي يتحرَّك بحرية، فلن تتقارب جزيئات المائع؛ ومن ثَمَّ لن تتغيَّر كثافته. لذا فمن الشائع أن تُعتبر موائع مثل الماء والزيت غير قابلة للانضغاط. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.
تعريف: المائع غير القابل للانضغاط
المائع غير القابل للانضغاط مائع لا تتأثَّر كثافته بتغيُّرات الضغط.
لنتناول حالة يَسري فيها مائع عبر أنبوب أسطواني مساحة مقطعه . على الرغم من أن جميع الجزيئات تتحرَّك بسرعات متجهة عشوائية، نلاحِظ أنها، في المتوسط، تتحرَّك في اتجاه واحد بالسرعة . يوضِّح الشكل الآتي جزءًا من هذا الأنبوب.
إذا نظرنا إلى مقطع عرضي من الأنبوب لفترة تساوي ثانية، فسنجد أنه يمرُّ جزء من المائع عبر هذا المقطع. يُمكننا تصوُّر ذلك في الشكل الآتي؛ حيث يَظهَر المائع الذي يمرُّ عبر المقطع في الجزء المظلَّل.
هذا القدر من المائع يشغل جزءًا من الأنبوب مساحة مقطعه ، وطوله . وهذا يُعطينا الحجم ، الذي قيمته:
بمعلومية أن المائع يتحرَّك بالسرعة المتجهة ، إذن طول هذا الجزء يساوي:
وبالتعويض بذلك في معادلة الحجم، نحصل على:
إذا قسمنا كلا الطرفين على ، فهذا سيُعطينا تعبيرًا لمقدار الحجم الذي يَسري عبر المقطع كلَّ ثانية:
يُعرَف ذلك بمعدَّل السريان الحجمي للمائع، ووحدة قياسه متر مكعب لكل ثانية (m3/s).
يُمكننا أيضًا أن نتناول كتلة المائع المار عبر المقطع، وقيمتها .
إذا كانت كثافة المائع ، فإن كتلة المائع الذي يمرُّ عبر المقطع هي:
بالتعويض عن معادلة الحجم، ، في هذه المعادلة، نحصل على:
إذا قسمنا كلا الطرفين على ، نحصل على تعبير لكمية الكتلة التي تَسري عبر المقطع كلَّ ثانية:
وهذا يُعرَف باسم معدَّل السريان الكُتلي للمائع، ووحدة قياسه كيلوجرام لكل ثانية (kg/s).
لنحُلَّ سؤالًا يتناول معدَّل السريان الكُتلي لسائل.
مثال ١: حساب مساحة مقطع أنبوب بمعلومية معدَّل السريان الكُتلي
تَسري كتلة مقدارها 45 kg من سائل كثافته ثابتة وتساوي 1 055 kg/m3 سريانًا هادئًا في أنبوب طوله 2.5 m كلَّ ثانية. ما مساحة مقطع الأنبوب؟ قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.
الحل
في هذه المسألة مطلوبٌ منَّا حساب مساحة مقطع أنبوب بمعلومية كمية السائل التي قَطعتْ مسافة معيَّنة خلال فترة زمنية محدَّدة.
بمعلومية كتلة السائل الذي يمرُّ عبر الأنبوب كلَّ ثانية، 45 kg، وكثافة السائل، ، يُمكننا حساب حجم السائل الذي يمرُّ عبر الأنبوب كلَّ ثانية:
بعد ذلك، يُمكننا حساب مساحة مقطع الأنبوب، ، عن طريق قسمة حجم السائل الذي يمرُّ عبره كلَّ ثانية على المسافة التي يقطعها السائل، :
مساحة مقطع الأنبوب هي:
لنتناول مائعًا غير قابل للانضغاط يَسري عبر أنبوب تتغيَّر مساحة مقطعه من إلى . سنلاحِظ أن سرعة المائع تتغيَّر أيضًا من إلى . يُمكننا أن ننظر إلى مقطعين عرضيين، أحدهما قبل أن تتغيَّر مساحة المقطع، عند النقطة 1، والآخَر بعد تغيُّر مساحة المقطع، عند النقطة 2. يوضِّح الشكل الآتي هذا الأنبوب، مع تحديد مقطعين عرضيين عند النقطتين 1 و2.
كما فعلنا من قبل، يُمكننا قياس حجم المائع الذي يمرُّ عبر كلٍّ من المقطعين، ، ، خلال فترة تساوي ثانية. نفترض أن طول الأنبوب الذي يشغله كلُّ حجم هو ، . يُمكننا تصوُّر هذه الأحجام على الشكل الآتي.
هذان الحجمان يساويان:
يُمكن حساب الطول الخاص بكلِّ حجم عن طريق ضرب سرعة المائع عند تلك النقطة في الزمن الذي يستغرقه المائع للسريان عبر هذا الحجم:
بالتعويض بهاتين القيمتين في معادلتَيِ الحجم، نحصل على:
والآن، بما أننا بصدد مائعٍ غير قابل للانضغاط، يُمكننا ملاحَظة أن الحجم الذي يمرُّ عبر كلِّ مقطعٍ لا بدَّ أن يكون متساويًا. ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة:
وأخيرًا، يُمكننا قسمة الطرفين على ، لإيجاد مقدار يعبِّر عن سرعة المائع قبل وبعد تغيُّر مساحة المقطع كما يأتي:
من المُهِمِّ أن نعرف أن حاصل ضرب مساحة المقطع في سرعة المائع يُقاس بوحدة متر مكعب لكل ثانية (m3/s). هذا هو معدَّل السريان الحجمي للمائع، وهو ثابت عندما يكون المائع غير قابل للانضغاط.
مثال ٢: استخدام معادلة الاستمرارية لتمثيل سريان مائعٍ غير قابل للانضغاط
يَسري ماء سرعته بانسيابية في أنبوب أسطواني نصْف قطره ، كما هو موضَّح في الشكل. يَسري الماء في الأنبوب لمدَّة 0.955 s قبلَ سريانه بانسيابية في أنبوب أسطواني آخَر نصْف قطره وطوله .
- ما طول الأنبوب الأول؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
- ما الفترة الزمنية بين دخول وخروج الماء من الأنبوب الثاني؟ قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.
الحل
الجزء الأول
الجزء الأول من هذه المسألة يطلب منَّا حساب طول الأنبوب الأول، بمعلومية الزمن الذي يَستغرقه الماء لكي يَسري عبر الأنبوب الأول، ثم حساب سرعة الماء.
لحساب طول الأنبوب الأول، ، يُمكننا ببساطة ضرب سرعة الماء في الأنبوب الأول، ، في الزمن المُستغرَق للسريان عبر الأنبوب الأول، :
طول الأنبوب الأول يساوي 1.19 m.
الجزء الثاني
يطلب منَّا السؤال بعد ذلك حساب الزمن المُستغرَق لكي يَسري الماء عبر الأنبوب الثاني.
أولًا: علينا أن نحسب سرعة المياه خلال الأنبوب الثاني. تذكَّر أن معادلة الاستمرارية في الموائع غير القابلة للانضغاط هي: حيث مساحة مقطع الأنبوب الأول، سرعة المائع في الأنبوب الأول، مساحة مقطع الأنبوب الثاني، سرعة المائع في الأنبوب الثاني.
يُمكننا حساب مساحة مقطع الأنبوب الأول باستخدام معادلة مساحة الدائرة:
وبالمثل، نستخدم المعادلة نفسها للأنبوب الثاني:
يُمكن إعادة ترتيب معادلة الاستمرارية بقسمة كلا الطرفين على مساحة مقطع الأنبوب الثاني :
ومن ثَمَّ، يُمكن التعويض بقِيَم ، ، في هذه المعادلة:
يُمكن استخدام هذه السرعة لحساب الزمن المُستغرَق لكي يَسري الماء عبر الأنبوب الثاني، .
لحساب ، نقسم طول الأنبوب الثاني، ، على سرعة الماء في الأنبوب الثاني، :
الفترة الزمنية بين دخول وخروج الماء من الأنبوب الثاني تساوي 0.103 s.
الآن، علينا التفكير في الحالة التي يكون فيها المائع قابلًا للانضغاط. لنبدأ مرَّة أخرى بالطريقة نفسها؛ يَسري مائع عبر أنبوب تتغيَّر مساحة مقطعه من إلى . هذه المرَّة، المائع قابل للانضغاط؛ ومن ثَمَّ يُمكن أن تتغيَّر كثافته. نجِد أن سرعة المائع يُمكن أن تتغيَّر من إلى ، وكذلك يُمكن أن تتغيَّر كثافة المائع من إلى . يُمكننا تصوُّر هذه الحالة باستخدام مخطَّط مُشابِه لما رسمناه سابقًا، لكننا نلاحِظ كيف تختلف كثافة المائع عند النقطتين 1 و2.
مرَّة أخرى، يُمكننا قياس حجم المائع الذي يمرُّ عبر كلِّ مقطع، ، ، خلال فترة تساوي ثانية. افترض أن طول الأنبوب الذي يَشغله كلُّ حجم هو ، . يُمكننا تصوُّر هذين الحجمين على الشكل الآتي.
هذان الحجمان يساويان:
يُمكن حساب الطول الخاص بكلِّ حجم عن طريق ضرب سرعة المائع عند هذه النقطة في الزمن الذي يَستغرقه المائع للسريان عبر هذا الحجم:
بالتعويض بهاتين القيمتين في معادلتَيِ الحجم، نحصل على:
كنَّا سابقًا نساوي الحجمين. ولكنْ في حالة وجود مائع قابل للانضغاط، فهذا ليس مُمكِنًا بالضرورة؛ لأن كثافة المائع قد تتغيَّر. بدلًا من ذلك، علينا الانتباه إلى كتلة المائع الذي يمرُّ عبر كلِّ مقطع.
يجب أن تساوي كتلة المائع الذي يمرُّ عبر المقطع الأول كتلة المائع الذي يمرُّ عبر المقطع الثاني. وإذا كانت الكُتَل غير متساوية، فهذا يعني أن جزيئات المائع تَفنَى أو تُستحدَث في موضعٍ ما في الأنبوب؛ وهذا مستحيل.
لنفترض أن الكتلة التي تمرُّ عبر المقطع 1 هي ، والكتلة التي تمرُّ عبر المقطع 2 هي . الكتلة التي تمرُّ عبر كلِّ مقطعٍ تساوي الحجم الذي يمرُّ عبر كلٍّ منهما مضروبًا في كثافة المائع عند تلك النقطة:
يُمكننا وضْع ذلك في صورة معادلة كما يأتي:
يُمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على ، لنحصل على صيغة تربط بين مساحة المقطع وكثافة وسرعة مائع قابل للانضغاط عند أيِّ نقطتين في أنبوبٍ كما يأتي:
مثال ٣: استخدام معادلة الاستمرارية لتمثيل سريان مائع قابل للانضغاط
يَسري غاز بسلاسة عبر أنبوب. تقلُّ مساحة مقطع الأنبوب من 0.075 m2 إلى 0.025 m2. يدخل الغاز الأنبوب بسرعة 1.8 m/s، ويخرج من الأنبوب بسرعة 2.0 m/s. كثافة الغاز عند دخوله الأنبوب تساوي 1.4 kg/m3. ما نسبة كثافة الغاز عندما يدخل الأنبوب إلى نسبة كثافته عندما يخرج من الأنبوب؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
الحل
المطلوب منَّا في هذا السؤال هو حساب نسبة كثافة غاز يَسري عبر أنبوب بعد تغيُّر مساحة مقطع الأنبوب.
يُخبرنا السؤال أن مساحة مقطع الأنبوب الابتدائية هي ، وسرعة الغاز الذي يَسري عبره ، وكثافته . عند النقطة التي يخرج فيها الغاز من الأنبوب، تصبح مساحة مقطعه ، وسرعة الغاز .
تذكَّر أن معادلة الاستمرارية في الموائع القابلة للانضغاط هي:
مطلوبٌ منَّا إيجاد نسبة كثافة الغاز عند دخوله الأنبوب إلى كثافته عندما يخرج من الأنبوب:
يُمكننا إعادة ترتيب معادلة الاستمرارية لإيجاد هذه النسبة. أولًا: نقسم الطرفين على :
بعد ذلك: نقسم الطرفين على :
لاحِظ أنه لحساب هذه النسبة، لا يلزمنا معرفة ولا .
يُمكننا الآن التعويض بالقِيَم المُعطاة في المعادلة: التي تُعطينا النسبة الآتية، لأقرب منزلة عشرية:
لكي نفهم أكثر السبب الذي يجعلنا نفترض أن بعض الموائع، مثل الماء، غير قابلة للانضغاط، يُمكننا حساب مقدار التأثير الذي تُحدِثه التغيُّرات الصغيرة في كثافة هذه الموائع على معادلة الاستمرارية.
لنتخيَّل مائعًا يَسري خلال أنبوب وينضغط بنسبة ؛ ولا تتغيَّر مساحة مقطع الأنبوب الذي يَسري خلاله. كثافة هذا المائع قبل الانضغاط وبعده تساوي:
باستخدام هذه القِيَم في معادلة الاستمرارية، نحصل على:
بقسمة الطرفين على ، يُمكننا الحصول على تعبير يربط بين سرعتَيِ المائع قبل الانضغاط وبعده كما يأتي:
هذا الفرق أقلُّ من نسبة الشكِّ في قياسات السريان.
ينطبق افتراض عدم القابلية للانضغاط بشكلٍ عام على السوائل. على سبيل المثال، لن يتغيَّر حجم الماء إلا بنسبة لكلِّ باسكال.
يُمكننا أيضًا استخدام معادلة الاستمرارية لفهم ما يحدث عندما يتفرَّع أنبوب إلى أنبوبين.
لنبدأ بالنظر إلى مائع غير قابل للانضغاط يَسري بسرعة عبر أنبوب مساحة مقطعه . يتفرَّع هذا الأنبوب إلى أنبوبين أصغرين مساحتا مقطعَيْهما ، ، على الترتيب. سرعة المائع في كلٍّ من هذين الأنبوبين ، . يُمكننا تصوُّر هذا الأنبوب الذي يتفرَّع إلى أنبوبين أصغرين من خلال الشكل الآتي.
نحن نعلم أنه خلال الفترة الزمنية المحدَّدة، ، لا بدَّ أن تكون كتلة المائع التي تدخل الأنبوب الأول، ، مساوية لكتلة المائع التي تخرج من الأنبوبين الأصغرين، :
تذكَّر أن كتلة المائع، ، التي تمرُّ عبر أنبوب خلال الزمن المحدَّد، ، تساوي حاصل ضرب كثافة المائع، ، في سرعته، ، في مساحة مقطع الأنبوب، ، كما يأتي:
بتطبيق هذه العلاقة على الأنابيب الثلاثة، نحصل على:
بعد ذلك، يُمكننا التعويض بهذه القِيَم في المعادلة التي تُساوي كُتل المائع التي تَسري عبر الأنبوب، كما يأتي:
وأخيرًا: بما أن المائع غير قابل للانضغاط، يُمكننا قسمة الطرفين على لنحصل على معادلة تربط بين سرعة المائع في كلٍّ من الأنبوبين ومساحة مقطع كلِّ أنبوب على النحو الآتي:
والآن: سنتناول مثالًا، حيث يتفرَّع أنبوب إلى أنبوبين ثانويين.
مثال ٤: تطبيق معادلة الاستمرارية على أنبوب متفرِّع
يَسري الماء سريانًا هادئًا عبر أنبوب رئيسي، وينقسم إلى أنبوبين ثانويين. يتغيَّر سمك الأنبوبين الثانويين على امتداد طولَيْهما، كما هو موضَّح بالشكل. مساحة مقطع الأنبوب عند المنطقة التي ينقسم فيها مطابقة لمساحة مقطعه عند المنطقة التي يَسري فيها الماء داخله. يَسري الماء بسرعة 0.25 m/s خارج الأنبوب الثانوي ذي المَخرَج الأكبر في مساحة مقطعه. ويَسري الماء بسرعة 1.0 m/s خارج الأنبوب الثانوي ذي المَخرَج الأصغر في مساحة مقطعه.
- ما الفرق بين مساحتَيِ المقطع للأنبوبين الثانويين في المنطقة التي يدخل عندها الماء إليهما؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
- ما الفرق بين سرعة سريان الماء في المنطقة التي يدخل عندها الماء الأنبوبين الثانويين؟
- ما سرعة سريان الماء في المنطقة التي يدخل عندها الأنبوب الرئيسي؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
الجزء الأول
مطلوبٌ منَّا في الجزء الأول من السؤال حساب الفرق في مساحتَيْ مقطعَيِ الأنبوبين الثانويين عند دخول الماء إليهما.
لنرمز لمساحة مقطع الأنبوب الثانوي العُلوي في المنطقة التي يدخل عندها الماء بالرمز ، والأنبوب الثانوي السُّفلي بالرمز . ونريد الآن أن نحسب .
نحن نعلم أن مساحة المقطع الكلية للأنبوبين الثانويين في منطقة دخول الماء تساوي مساحة مقطع الأنبوب الرئيسي، . ويُمكننا كتابة ذلك على النحو:
ونعلم أيضًا أن سرعة الماء في بداية كلٍّ من الأنبوبين الثانويين تساوي سرعة الماء في الأنبوب الرئيسي، . ويُمكننا كتابة ذلك على النحو:
في نهاية الأنبوبين الثانويين، مساحة مقطع الأنبوب العُلوي هي ، والسرعة عبره ، ومساحة مقطع الأنبوب السُّفلي هي ، والسرعة عبره .
يُمكننا تطبيق معادلة الاستمرارية للموائع غير القابلة للانضغاط على كلِّ أنبوب ثانوي للربط بين سرعة المائع في بداية ونهاية كلِّ أنبوب.
بتطبيق المعادلة على الأنبوب العُلوي، نحصل على:
بقسمة الطرفين على نحصل على:
وبتطبيق المعادلة على الأنبوب السُّفلي، نحصل على:
بقسمة الطرفين على ، نحصل على:
نساوي المقدار الذي يمثِّل الأنبوب العُلوي بالمقدار الذي يمثِّل الأنبوب السُّفلي، لنحصل على:
بقسمة الطرفين على ، نحصل على:
بعد ذلك، نضرب كلا الطرفين في ، وهو ما يُعطينا:
بمعرفة أن ، يُلغِي كلٌّ منهما الآخَر:
نعوِّض بالقِيَم المعلومة لكلٍّ من ، ، ، ، لنحصل على:
بضرب كلا الطرفين في ، نحصل على مقدار يربط بين ، :
بالتعويض بهذه القيمة في ، نحصل على:
ومن ثَمَّ، نَجِد أن الفرق في مساحة المقطع بين الأنبوبين: إذن الفرق بين مساحتَيْ مقطعَيِ الأنبوبين الثانويين في المنطقة التي يدخل عندها الماء يساوي 0.45 m2.
الجزء الثاني
يطلب منَّا الجزء الثاني من السؤال حساب الفرق في سرعة المائع عند دخوله الأنبوبين العُلوي والسُّفلي.
وكما ذكرنا من قبلُ، فعند لحظة دخول المائع في الأنبوب الثاني، يجب أن تكون سرعته مساوية لسرعة المائع في الأنبوب الرئيسي.
ويُمكن كتابة هذا على النحو:
إذن الفرق بين ، هو:
ومن ثَمَّ، فإن الفرق في سرعة سريان الماء عند دخوله الأنبوبين الثانويين يساوي 0 m/s.
الجزء الثالث
الجزء الثالث من السؤال يطلب منَّا حساب سرعة سريان الماء عند دخوله الأنبوب الرئيسي.
يُمكننا تطبيق معادلة الاستمرارية للموائع غير القابلة للانضغاط على الأنبوب بالكامل لتوضيح العلاقة بين المائع الذي يخرج من الأنبوبين الثانويين والمائع الذي يدخل الأنبوب الرئيسي. لنتذكَّر معادلة الاستمرارية لأنبوب يتفرَّع إلى أنبوبين:
يُمكننا قسمة الطرفين على للحصول على مقدار يمثِّل سرعة الماء في الأنبوب الأول:
بعد ذلك: يُمكننا التعويض بقِيَم ، ، ، ، :
إذن سرعة المائع الذي يَسري في الأنبوب الرئيسي تساوي 0.69 m/s.
لاحِظ أنه كان من المُمكِن التوصُّل إلى هذه الإجابة بتطبيق معادلة الاستمرارية للموائع غير القابلة للانضغاط على أيٍّ من الأنبوبين الثانويين على حِدة؛ ذلك لأننا حسبنا بالفعل مساحة مقطع كلِّ أنبوب ثانوي عند النقطة التي يدخل عندها السائل.
لنلخِّص ما تعلَّمناه في هذا الشارح في النقاط الرئيسية الآتية.
النقاط الرئيسية
- معدَّل السريان الحجمي لمائع يَسري عبر أنبوب يساوي حجم المائع، ، الذي يمرُّ عبر مقطع عرضي من الأنبوب مقسومًا على الزمن، ، الذي يُقاس عنده المقطع، وهذا يساوي مساحة مقطع الأنبوب، ، مضروبة في سرعة المائع، :
- معدَّل السريان الكُتلي لمائع يَسري عبر أنبوب يساوي كتلة المائع، ، الذي يمرُّ عبر مقطع عرضي من الأنبوب مقسومة على الزمن، ، الذي يُقاس عنده المقطع، وهذا يساوي كثافة المائع، ، مضروبة في مساحة مقطع الأنبوب، ، في سرعة المائع، :
- عند سريان مائع غير قابل للانضغاط عبر أنبوب، يكون معدَّل السريان الحجمي ثابتًا:
- بالنسبة إلى أيِّ مائع يمرُّ عبر أنبوب، لا بدَّ أن يكون معدَّل سريان الكتلة ثابتًا. وهذا يُعرَف باسم معادلة الاستمرارية للموائع:
- عندما يتفرَّع أنبوب رئيسي إلى عدَّة أنابيب أصغر، فإن إجمالي معدَّل السريان الكُتلي للمائع عبر جميع الأنابيب الأصغر يساوي معدَّل السريان الكُتلي للمائع عبر الأنبوب الرئيسي:
