شارح الدرس: قانون نيوتن الثالث للحركة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَحُلُّ المسائل باستخدام قانون نيوتن الثالث.

يُعَدُّ فهم قانونَي نيوتن الأول والثاني للحركة أمرًا مهمًّا لفهم قانون نيوتن الثالث للحركة.

هيا نُعرِّف قانون نيوتن الأول للحركة.

ينص قانون نيوتن الأول على أن كمية حركة الجسم لن تتغيَّر إذا كانت القوى المؤثِّرة على الجسم متوازنة.

هيا نُعرِّف قانون نيوتن الثاني للحركة.

معدَّل تغيُّر كمية حركة الجسم يساوي القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم. وبالنسبة إلى جسمٍ كتلته ثابتة، فإن معدَّل تغيُّر كمية حركة الجسم يتناسب طرديًّا مع معدَّل تغيُّر سرعة الجسم.

هيا الآن نُعرِّف قانون نيوتن الثالث للحركة.

تعريف: قانون نيوتن الثالث للحركة

أيُّ قوة تؤثِّر على جسم تكون واحدة من زوج القوى التي تحقِّق الشروط الآتية:

1. تؤثِّر القوتان على جسمين مختلفين بينهما تأثير متبادل.
2. تؤثِّر القوتان في اتجاهين متضادين.
3. للقوتين خط العمل نفسه.
4. للقوتين المقدار نفسه.
5. تؤثِّر القوتان خلال الفترة الزمنية نفسها.

لا بد أن يؤثِّر الجسمان كل منهما على الآخر بقوة لكي يكون بينهما تأثير متبادل. انظر زوج القوى ، الذي يؤثِّر على الجسمين ، ، وزوج القوى ، الذي يؤثِّر على الجسمين ، ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

يؤثِّر كل زوج من القوى خلال زمن التصادم بين الأجسام التي تؤثِّر عليها القوى. قد يبدو أن القوتين ، تحقِّقان شروط زوج القوى المحدَّد في قانون نيوتن الثالث للحركة، وكذلك القوتان ، .

لا يؤثِّر الجسم على الجسم لتَنتج القوة ، ولا يؤثِّر الجسم على الجسم لتَنتج القوة . يمثِّل زوج القوى ، وزوج القوى ، زوجَي قوى يحقِّقان شروط زوج القوى المحدَّدة في قانون نيوتن الثالث للحركة؛ حيث تؤثِّر هذه القوى فقط على أجسام مختلفة بينها تأثير متبادل.

يُعَدُّ قانون نيوتن الثالث مكافئًا لمبدأ حفظ كمية الحركة. إن القوة التي تُكسِب الجسم عجلة تُغيِّر كمية حركته. عندما تؤثِّر قوة على جسم، تُوجَد قوة تساويها في المقدار تؤثِّر على جسم آخر في الاتجاه المعاكس خلال الفترة الزمنية نفسها، ويكون مجموع التغيُّر في كمية حركة الجسمين نتيجةً للقوتين يساوي صفرًا.

نفترض أن هناك جسمين كتلتاهما متساوية يتحرَّكان بسرعتين متساويتين كل منهما في اتجاه الآخر على سطح أفقي أملس، ويقتربان من الموضع الذي سيصطدمان عنده، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

تُعطَى كمية الحركة الكلية للجسمين كالآتي:

بعد التصادم، نفترض أن إشارتَي سرعتَي الجسمين تغيَّرتا، لكن ما زال لهما المقدار نفسه، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

إذن كمية الحركة الكلية بعد التصادم تساوي صفرًا أيضًا. والتغيُّر في كمية حركة أحد الجسمين يساوي التغيُّر في كمية حركة الجسم الآخر؛ لذا، فإن القوتين المؤثِّرتين على الجسمين متساويتان.

ينطبق قانون نيوتن الثالث على التصادم بين الأجسام المتحرِّكة، ويمكن أن ينطبق أيضًا على الأجسام التي تكون في حالة سكون. أحد الأمثلة الشائعة على زوج القوى التي تحقِّق قانون نيوتن الثالث للحركة هو القوى المؤثِّرة على جسم يرتكز على سطح على الأرض.

يؤثِّر الوزن على الجسم المرتكِز على السطح. ووزن الجسم هو قوة تعتمد على كتلة الجسم وعجلته. فعلى الأرض، العجلة نتيجة قوة الجاذبية الناتجة عن مجال الجاذبية الأرضية تساوي ٩٫٨ م/ث^٢، ويُرمَز لها بالحرف . تؤثِّر أيضًا قوة رد فعل على الجسم المرتكِز على السطح، وتكون عمودية على السطح.

بالنسبة إلى جسمٍ يرتكز على سطح على الأرض، يوجد زوجان من القوى يحقِّقان شروط قانون نيوتن الثالث للحركة:

1. قوة الجاذبية التي تؤثِّر بها الأرض على الجسم، وقوة الجاذبية التي يؤثِّر بها الجسم على الأرض،
2. قوة رد الفعل المؤثِّرة على الجسم، وقوة رد الفعل المؤثِّرة على الأرض بسبب ارتكاز كلٍّ منهما على الآخر.

يوضِّح الشكل الآتي القوتين المؤثِّرتين على الجسم والأرض؛ حيث تؤثِّر القوتان عند مركزَي كتلتَي الجسم والأرض.

القوتان اللتان تؤثِّران بقوة تجاذب بين الأرض والجسم هما قوتا جاذبية، والقوتان اللتان تؤثِّران لإبعاد الأرض والجسم كلٍّ منهما عن الآخر هما قوتا رد فعل. وكل زوج من القوى المؤثِّرة على الجسم والأرض يحقِّق شروط قانون نيوتن الثالث للحركة. مقادير القوى في أيٍّ من الزوجين تساوي مقادير القوى في الزوج الآخر.

إن الأسئلة التي تتضمَّن اتزان القوى المؤثِّرة على جسم ساكن على سطح الأرض، وينطبق عليها قانون نيوتن الثالث، لا يكون من الضروري فيها مراعاة القوى المؤثِّرة على الأرض. فقد توضِّح مثل هذه الأسئلة القوى المؤثِّرة على الجسم الملامس للأرض فقط، كما هو الحال في الشكل الآتي لجسم في حالة سكون على سطح ما على الأرض.

القوة في الشكل هي وزن الجسم، وهو القوة التي تؤثِّر على الجسم بسبب كتلتَي الأرض والجسم. والقوة هي قوة رد الفعل التي يؤثِّر بها سطح الأرض على الجسم. والقوتان متساويتان في المقدار. تحقِّق قوة الجاذبية وقوة رد الفعل المؤثِّرتان على الجسم جميع شروط زوج القوى وفقًا لقانون نيوتن الثالث للحركة، فيما عدا الشرط المتعلِّق بالتأثير على جسمين مختلفين.

إن النظر إلى القوى المؤثِّرة على الجسم فقط يمكن أن يعطينا انطباعًا خاطئًا بأن قانون نيوتن الثالث لا يمكن تطبيقه في بعض الأحيان. افترض أن لدينا جسمًا غير ملامس للأرض يسقط في اتجاه الأرض. قبل وصول الجسم الساقط إلى سطح الأرض، لا توجد قوة رد فعل على الجسم، ويبدو أن وزن الجسم يزيد كمية حركته دون أن يكون هناك تغيُّر مقابل في كمية حركة جسم آخر.

وفقًا لقانون نيوتن الثالث، عندما يسقط الجسم ويتسارع في اتجاه الأرض، فإن الأرض تتسارع في اتجاه الجسم؛ لأن قوتَي الجاذبية المؤثِّرتين على الأرض والجسم متساويتان في المقدار. تزيد قوة الجاذبية المؤثِّرة على الأرض من كمية حركة الأرض في الاتجاه المعاكس لكمية حركة الجسم؛ ومن ثَمَّ، فإن كمية حركة النظام الذي يتكوَّن من الجسم والأرض تظل محفوظة. يُعَدُّ التغيُّر في سرعة الأرض نتيجةً لتغيُّر كمية حركتها مُهمَلًا؛ لأن كتلة الأرض أكبر بكثير من كتلة الجسم. تُعامَل الأرض باعتبارها في موضع ثابت عند التعامل مع الأجسام التي تسقط في اتجاه الأرض؛ لأن عجلة الأرض نتيجة القوة المؤثِّرة عليها بسبب الجسم الساقط تكون مُهمَلة.

تتناول الأمثلة في هذا الشارح أجسامًا ملامسة لأسطح؛ حيث يمكن أن تتسارع الأسطح في اتجاه قوة الجاذبية المؤثِّرة على الأجسام أو عكس اتجاهها.

ولمساعدتنا في فهم كيفية التعامل مع هذه الأمثلة، يمكننا استخدام مخططات الجسم الحر. لدينا جسمٌ في حالة سكون يرتكز على سطح في حالة سكون، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم تساوي صفرًا. نفترض أنه بدلًا من أن يظل السطح الذي يرتكز عليه الجسم ساكنًا، فإنه يتحرَّك بعجلة منتظمة ؛ حيث يُعَد الاتجاه رأسيًّا لأعلى موجبًا. تُعطَى القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم بالعلاقة:

القوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم ليست هي القوة الوحيدة المؤثِّرة رأسيًّا لأعلى على الجسم. القوة الرأسية لأعلى التي مقدارها يساوي وزن الجسم تؤثِّر على الجسم حتى إن كان في حالة سكون. عندما يتسارع الجسم رأسيًّا لأعلى، فإن القوة المؤثِّرة لأعلى على الجسم تُعطَى بالعلاقة:

وإذا كان السطح الذي يرتكز عليه الجسم يتسارع رأسيًّا لأسفل فإن: والقوة المؤثِّرة رأسيًّا لأعلى على الجسم لتُكسِبه هذه العجلة تُعطَى بالعلاقة:

إن القوة الرأسية التي تؤثِّر على الجسم لأعلى هي قوة رد الفعل.

هيا نتناول مثالًا يتضمَّن قوى تؤثِّر على جسم يرتكز على سطح متحرِّك.

حركة الجسم بسرعة منتظمة تعني عدم وجود قوة محصلة مؤثِّرة عليه، أو أنها تساوي صفرًا، كما ينص قانون نيوتن الأول. ولكن عندما يوجد تغيُّر في سرعة الجسم، فهذا دليل على وجود قوة محصلة مؤثِّرة على الجسم.

هيا الآن نتناول مثالًا يتضمَّن قوى تؤثِّر على جسم يتحرَّك بعجلة ثابتة.

مثال ٢: إيجاد قوة رد الفعل بين رجل ومصعد يتحرَّك بعجلة لأعلى

يتحرَّك مصعد رأسيًّا لأعلى بعجلة ٣٫٣ م/ث^٢. يقف رجل كتلته ٨٠ كجم داخل المصعد. أوجد قوة رد فعل أرضية المصعد على الرجل.

الحل

يوضِّح الشكل الآتي القوى المؤثِّرة على الرجل.

يتحرَّك المصعد رأسيًّا لأعلى بعجلة ٣٫٣ م/ث^٢. الرجل الموجود في المصعد في حالة سكون بالنسبة إلى المصعد، إذن يتحرَّك الرجل أيضًا رأسيًّا لأعلى بعجلة ٣٫٣ م/ث^٢. مقدار القوة المحصلة المؤثِّرة على الرجل لتُكسِبه هذه العجلة، بافتراض أن الحركة الرأسية لأعلى موجبة، يُعطى كالآتي:

قوة وزن الرجل؛ أي ، تؤثِّر رأسيًّا لأسفل؛ وتُحسَب هذه القوة كالآتي: بافتراض أن مقدار يساوي ٩٫٨ م/ث^٢.

إن قوة رد الفعل على الرجل من أرضية المصعد يجب أن توفِّر قوة رأسية لأعلى بهذا المقدار؛ وذلك ليبقى الرجل في حالة سكون بالنسبة إلى أرضية المصعد. إذا لم يكن المصعد يتحرَّك بعجلة، فإن مقدار قوة رد الفعل رأسيًّا لأعلى يساوي ٧٨٤ نيوتن.

لكن المصعد يتحرَّك رأسيًّا لأعلى بعجلة ٣٫٣ م/ث^٢، وبما أن الرجل في حالة سكون بالنسبة إلى المصعد، إذن القوة اللازمة لتُكسِب الرجل هذه العجلة هي القوة المحصلة المؤثِّرة عليه؛ أي ٢٦٤ نيوتن.

وبناءً على ذلك، فإن قوة رد الفعل لا بد أن توفِّر قوة رأسية تؤثِّر على الرجل لأعلى لكي تُبقيه في حالة سكون بالنسبة إلى نقطة في مجال جاذبية الأرض، ولكي تُحرِّك هذه النقطة بعيدًا عن الأرض بعجلة ٣٫٣ م/ث^٢. يُعطَى مقدار قوة رد الفعل؛ أي ، كالآتي:

ويمكن أيضًا الحصول على هذه النتيجة باستخدام المعادلة:

هيا نرَ الآن كيف تتأثَّر قوة رد الفعل نتيجة لحركة الرجل بعجلة ثابتة في اتجاه وزنه وليس في الاتجاه المعاكس لهذا الوزن.

مثال ٣: إيجاد قوة رد الفعل بين رجل ومصعد يتحرَّك بعجلة لأسفل

يتحرَّك مصعد رأسيًّا لأسفل بعجلة ١٫٧ م/ث^٢. إذا كانت عجلة الجاذبية ، فأوجد قوة رد فعل الأرضية على راكب كتلته ١٠٣ كجم.

الحل

يوضِّح الشكل الآتي القوى المؤثِّرة على الراكب.

إذا كان الراكب يسقط سقوطًا حرًّا، فإن القوة الوحيدة المؤثِّرة على الراكب ستكون قوة وزنه، ويتحرَّك رأسيًّا لأسفل بعجلة ٩٫٨ م/ث^٢. ولأن عجلة الراكب رأسيًّا لأسفل تساوي ١٫٧ م/ث^٢، يجب أن تكون هناك قوة تؤثِّر عليه رأسيًّا لأعلى. القوة المؤثِّرة رأسيًّا لأعلى هي قوة رد الفعل من أرضية المصعد. ويجب أن تكون قوة رد الفعل المؤثِّرة على الراكب أقل من وزنه؛ لأن اتجاه عجلة الراكب لأسفل.

يمكن حساب قوة وزن الراكب، بافتراض أن الحركة لأسفل سالبة، كالآتي:

والقوة المحصلة المؤثِّرة على الراكب لتُكسِبه عجلة تُحسَب كالآتي:

إذن تُعطَى قوة رد الفعل؛ أي ، كالآتي:

ويمكن أيضًا الحصول على هذه النتيجة باستخدام المعادلة:

قوة رد الفعل المؤثِّرة على جسم شخص هي ما يمنحه الإحساس بوزنه. فالتجربة الذاتية للوزن تتمثَّل في الإحساس بمقاومة من الأرض تَحُول دون نفاذ الجسم داخل الأرض، وهو ما يختلف عن مجرد التلامس مع الأرض.

افترض أن شخصًا يقف على منصة داخل طائرة تُحلِّق عاليًا فوق الأرض. بينما يقف الشخص على المنصة، تُزال أرضية الطائرة أسفل المنصة. يتحرَّك كلٌّ من الشخص والمنصة رأسيًّا لأسفل بعجلة ٩٫٨ م/ث^٢، شريطة أن يتحقَّق افتراضان.

الافتراض الأول هو أن تكون قوى المقاومة المؤثِّرة على الشخص والمنصة نتيجةً لحركة الهواء مُهمَلة. الافتراض الثاني هو أن تكون قوى الجاذبية التي يؤثِّر بها الشخص والمنصة كل منهما على الآخر مُهمَلة. إذا تَحقَّق كلا الافتراضين، فإن القوة المحصلة المؤثِّرة على المنصة تساوي وزن المنصة، والقوة المحصلة المؤثِّرة على الشخص تساوي وزن الشخص.

تظل قدما الشخص ملامسة للمنصة، لكن القوة الوحيدة التي تؤثِّر على الشخص والمنصة هي وزن كلٍّ منهما. ولذلك، لا تؤثِّر أيُّ قوة رد فعل على الشخص أو على المنصة. سيفقد هذا الشخص الإحساس بأن المنصة تَدفع قدمَيْه لأعلى؛ لذا، يشعر كما لو أن جسمه ليس له وزن، ويصبح في حالة انعدام وزن.

إذن الوزن الظاهري لجسم يساوي قوة رد الفعل المؤثِّرة على الجسم. عرفنا أن قوة رد الفعل المؤثِّرة على جسم تُعطَى بالعلاقة: حيث عجلة السطح الذي يؤثِّر بقوة رد الفعل. يوضِّح الشكلان الآتيان كيف يعتمد الوزن الظاهري على كتلة الجسم وعجلة السطح الذي يرتكز عليه الجسم.

يمكننا تعريف الوزن الظاهري لأيِّ جسم على النحو الآتي.

هيا نتناول مثالًا يتضمَّن الوزن الظاهري لجسم.

مثال ٤: إيجاد قراءة ميزان زنبركي موضوع في مصعد يتحرَّك بعجلة

عُلِّق جسم كتلته ٤٥ كجم في ميزان زنبركي مثبَّت في سقف مصعد. إذا كان المصعد يتحرَّك لأسفل ١٠٥ سم/ث^٢، فما الوزن الظاهري للجسم؟ اعتبر أن عجلة الجاذبية الأرضية تساوي ٩٫٨ م/ث^٢، وقرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

لا يحتوي الميزان الزنبركي على سطح يرتكز عليه الجسم، بل يُعلَّق الجسم منه. وتكون قوة الشد في الزنبرك الناتجة عن وزن الجسم مكافئة لقوة رد الفعل التي يؤثِّر بها سطح يرتكز عليه الجسم. الاختلاف الوحيد بين قوة الشد الناتجة عن الزنبرك وقوة رد الفعل الناتجة عن السطح هو النقطة التي تؤثِّر عندها القوة على الجسم؛ حيث تؤثِّر قوة رد فعل السطح عند نقطة أسفل الجسم، وتؤثِّر قوة الشد في الزنبرك عند نقطة أعلى الجسم. هذا الاختلاف ليس له أهمية في حل هذا السؤال؛ لأن الجسم الذي تؤثِّر عليه القوة ليست له خواص محددة تُميِّزه عن الجسيم، فهو ببساطة جسم له كتلة.

يوضِّح الشكل الآتي القوى المؤثِّرة على الجسم.

نلاحظ أن مقدارَي العجلة غير مُعطيين بالوحدة نفسها؛ لذا، يجب تحويل أحدهما ليصبح بنفس وحدة الآخر. بما أن قيمة قياسية مُعطاة بالوحدة متر لكل ثانية مربعة، إذن يكون مقدارا العجلة بوحدة متر لكل ثانية مربعة، م/ث^٢.

ينص السؤال على أن المصعد يتحرَّك بعجلة لأسفل؛ لذا، فإن الوزن الظاهري للجسم المقيس بواسطة الميزان الزنبركي يُعطَى كالآتي:

هيا نتناول مثالًا آخر يتضمَّن الوزن الظاهري.