شارح الدرس: مقدمة في نظام المعادلات الخطية الرياضيات

مثال ١: التعبير عن زوج من المعادلات الآنية في صورة معادلة مصفوفية

عبِّر عن المعادلتين الآنيتين: في صورة معادلة مصفوفية.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد معادلة مصفوفية تُكافئ الزوج المُعطَى من المعادلات الآنية. تذكَّر أن أيَّ زوج من المعادلات الآنية: يُمكن كتابته في صورة المعادلة المصفوفية:

نلاحِظ أن الزوج المُعطَى من المعادلات الآنية له نفس صورة المعادلات التي لدينا. وتحديدًا:

• جميع المتغيِّرات في الطرف الأيمن
• جميع الثوابت في الطرف الأيسر
• المتغيِّرات مُرتَّبة أبجديًّا.

وبذلك يُمكننا تكوين مصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت عن طريق كتابة الأعداد الموجودة في المواضع المناظِرة في المعادلتين الآنيتين. الجزء الوحيد الذي يجب الانتباه إليه هنا هو ملاحَظة أن معامل في المعادلة الثانية يساوي ١؛ نظرًا لعدم وجود معامل مرئي. لتوضيح هذه الحقيقة، يُمكننا كتابة واحد باعتباره معامله:

وهذا تَنتُج عنه مصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت على الترتيب:

بالتعويض بهذه المصفوفات في المعادلة المصفوفية، نحصل على:

مثال ٢: التعبير عن زوج من المعادلات الآنية في صورة معادلة مصفوفية

عبِّر عن المعادلتين الآنيتين: في صورة معادلة مصفوفية.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد معادلة مصفوفية مكافئة للزوج المُعطَى من المعادلات الآنية. تذكَّر أن أيَّ زوج من المعادلات الآنية على الصورة: يُمكن كتابته في صورة المعادلة المصفوفية:

ومن المُهِمِّ هنا أن نلاحِظ أن عناصر مصفوفة المعاملات تمثِّل معاملات المعادلتين الآنيتين بنفس الترتيب المُعطَى في مصفوفة المتغيِّرات . وهذا يعني أن العمود الأول من مصفوفة المعاملات يحتوي على معاملات المتغيِّر ، بينما يحتوي العمود الثاني على معاملات المتغيِّر .

وهاتان المعادلتان غير مكتوبتين بالصورة الصحيحة؛ لأن بعض المتغيِّرات تَظهَر في الطرف الأيسر من المعادلتين، وبعض الثوابت تَظهَر في الطرف الأيمن. وتذكَّر أن نظام المعادلات يكون على الصورة القياسية إذا كانت:

• جميع المتغيِّرات في الطرف الأيمن
• جميع الثوابت في الطرف الأيسر
• المتغيِّرات مُرتَّبة أبجديًّا (أو بالترتيب المُحدَّد في مصفوفة المتغيِّرات).

نبدأ بإعادة ترتيب الزوج المُعطَى من المعادلات الآنية ليصبح على الصورة القياسية:

ومن ثَمَّ، يُمكننا تكوين مصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت عن طريق كتابة الأعداد في المواضع المناظِرة في المعادلتين الآنيتين. والشيء الوحيد الذي علينا الانتباه إليه هنا هو ملاحَظة أن المعاملات في المعادلة الثانية تساوي ١. لتوضيح هذه الحقيقة، يُمكننا كتابة ١ باعتباره المعامل:

وهذا يُعطينا مصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت، على الترتيب:

بالتعويض بمصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت في المعادلة المصفوفية، نحصل على:

مثال ٣: رُتبة نظام المعادلات

افترض نظامًا من المعادلات الخطية مكتوبًا في الصورة المصفوفية: . إذا كانت رُتبة المصفوفة هي ، ورُتبة المصفوفة هي ، فكم معادلة موجودة في النظام؟

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد عدد المعادلات في نظام معادلات بمعلومية رُتبة المصفوفات التي تحتوي عليها المعادلة المصفوفية. في المعادلة المصفوفية ، نعلم أن هي مصفوفة المعاملات، هي مصفوفة المتغيِّرات، هي مصفوفة الثوابت. تذكَّر أن رُتبة مصفوفة المعاملات في المعادلة المصفوفية تُحسَب بواسطة:

نحن نعلم أن مصفوفة المعاملات، ، رُتبتها . وبذلك يكون عدد المعادلات في النظام المناظِر هو .

مثال ٤: إيجاد مصفوفة مجهولة في معادلة مصفوفية

أوجد المصفوفة ؛ حيث:

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد المصفوفة التي تحقِّق المعادلة المصفوفية المُعطاة. لنبدأ بإيجاد رُتبة المصفوفة. نعلم أنه لضرب مصفوفتين، يجب أن يتساوى عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية. وبما أن المصفوفة الثانية تحتوي على ٤ صفوف، فإن المصفوفة يجب أن تحتوي على ٤ أعمدة.

نعلم أن ضرب مصفوفة من الرُّتبة في مصفوفة من الرُّتبة تَنتُج عنه مصفوفة من الرُّتبة . نلاحِظ أن رُتبة المصفوفة الموجودة في الطرف الأيسر من المعادلة المُعطاة هي . هذا يُعطينا . وبالإضافة إلى عدد الأعمدة التي أوجدناها من قبلُ، نحصل على رُتبة المصفوفة ، وهي .

يُمكننا كتابة:

ولضرب المصفوفة التي رُتبتها في مصفوفة عمود، علينا أولًا ضرب كلِّ صفٍّ من المصفوفة التي رُتبتها في مصفوفة العمود. لضرب صفٍّ في مصفوفة عمود، نضرب العناصر المتناظِرة من كلِّ مصفوفة ونجمع النواتج. باستخدام ألوان مختلفة، يُمكننا تحديد العناصر المتناظِرة من الصف الأول:

بضرب الصف في العمود، نحصل على:

يُمكننا الآن مطابقة معاملات الحدود المتناظِرة من طرفي المعادلة. لكن معامل غير مرئي، كما أنه لا يُوجَد حدٌّ في الطرف الأيسر يحتوي على . هذا يعني أن معامل يساوي ١، ومعامل يساوي ٠. يُمكننا كتابة هذه المعاملات في المعادلة لنحصل على:

وهذا يُخبرنا بالعناصر الموجودة في الصف الأول من المصفوفة :

يُمكننا مواصلة هذه العملية لملء جميع صفوف المصفوفة . ضرب الصف الثاني من في العمود لا بدَّ أن يَنتُج عنه . علينا إعادة ترتيب ذلك بحيث يُكتَب أولًا، ونُضيف أصفارًا أيضًا باعتبارها معاملات للحدود التي لا تَظهَر في المعادلة. ومن ثَمَّ، نحصل على:

هذا يُعطينا الصف الثاني في :

ضرب الصفين الثالث والرابع في مصفوفة العمود لا بدَّ أن يُعطينا: على الترتيب.

وهذا يقودنا إلى المصفوفة:

مثال ٥: تحديد مجموعة من المعادلات الآنية بمعلومية معادلة مصفوفية

اكتب مجموعة المعادلات الآنية التي يُمكن حلُّها باستخدام المعادلة المصفوفية المُعطاة:

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد مجموعة من المعادلات الآنية التي تُكافئ المعادلة المصفوفية المُعطاة. يُمكننا فعل ذلك عن طريق ضرب مصفوفتي الطرف الأيمن من المعادلة السابقة. لكنْ قبل أن نضرب المصفوفتين، دعونا نتحقَّق أن عملية الضرب مُعرَّفة تمامًا. تذكَّر أنه لضرب مصفوفتين، يجب أن يتساوى عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية. نلاحِظ أن المصفوفة الأولى الموجودة في الطرف الأيمن تحتوي على ٣ أعمدة، ومصفوفة المتغيِّرات تحتوي على ثلاثة صفوف. وبذلك تكون عملية الضرب مُعرَّفة تمامًا.

وبضرب المصفوفتين، نحصل على:

وبالتعويض بهذه المصفوفة في الطرف الأيمن للمعادلة المُعطاة:

تذكَّر أن المصفوفتين تكونان متساويتين إذا تساوت العناصر المتناظِرة كلُّها في المصفوفتين. ومن ثَمَّ، نحصل على مجموعة المعادلات الآنية:

مثال ٦: التعبير عن مجموعة من المعادلات الآنية في صورة معادلة مصفوفية

عبِّر عن مجموعة المعادلات الآنية الآتية في صورة معادلة مصفوفية:

الحل

قبل أن نبدأ، علينا ملاحَظة أنه تُوجَد ٣ معادلات و٣ متغيِّرات: ، ، . هذا يعني أن مصفوفة المعاملات ستكون من الرُّتبة . هدفنا هو إيجاد المعادلة المصفوفية على الصورة: التي يَنتُج عنها مرَّة أخرى نظام المعادلات الخطية المذكور في نص المسألة.

نبدأ بكتابة المعادلة الأولى من المعادلات الثلاث، وهي:

باستخدام تعريف ضرب المصفوفات، يُمكننا ملء الصف الأول من مصفوفة المعاملات ليصبح على الصورة:

مازال علينا كتابة الصفين الثاني والثالث في نظام المعادلات، وملء مصفوفة المعاملات. المعادلة الثانية هي: وهذه يُمكننا إدخالها في الصف الثاني من مصفوفة المعاملات، دون الحاجة إلى تغيير الصف الأول. نحصل من ذلك على:

لم يتبقَّ لدينا الآن سوى المعادلة الثالثة: وهذه يُمكننا كتابتها في الصف الثالث من مصفوفة المعاملات دون التأثير على عناصر الصفين السابقين. نحصل من ذلك على:

يعبِّر ذلك عن التمثيل الكامل لنظام المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات.