الشارح للدرس: مقدمة في نظام المعادلات الخطية | نجوى الشارح للدرس: مقدمة في نظام المعادلات الخطية | نجوى

الشارح للدرس: مقدمة في نظام المعادلات الخطية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نعبِّر عن نظام معادلات خطية في صورة معادلة مصفوفية.

لعلَّ أحد أهم التطبيقات للعمليات على مصفوفة هو حلُّ نظام معادلات خطية. وعلى الرغم من أنه يُمكننا حلُّ نظام مكوَّن من معادلتين أو ثلاثٍ باستخدام طريقة التعويض أو طريقة الحذف، تصبح هذه الطُّرق صعبةً في حالة وجود عدد كبير من المعادلات والثوابت المجهولة. يُمكننا برمجة الكمبيوتر لحلِّ هذه المسائل، لكن كيف نبرمج الكمبيوتر لإجراء هذه العمليات؟

عندما نحوِّل نظام معادلات خطية إلى معادلة مصفوفية على الصورة 󰏡𞹎=𞸁، يُمكننا استخدام هذه الصورة لإدخال المصفوفة بشكل مختصر أكثر إلى الكمبيوتر. في هذا الشارح، لن نتطرَّق إلى إدخال المعادلة المصفوفية إلى الكمبيوتر، لكننا سنركِّز على كيفية كتابة المعادلة المصفوفية المكافئة لأيِّ نظام خطي من معادلات.

هيَّا نبدأ بمناقشة النظام الأبسط، الذي يتألَّف من معادلتين ومجهولين.

خطوات: كتابة المعادلة المصفوفية المكافئة لنظام مكوَّن من معادلتين

افترض أن لدينا نظام معادلات كالآتي: 𞸊𞸎+𞸐𞸑=𞸤،𞸢𞸎+𞸃𞸑=𞸇 حيث 𞸊، 𞸐، 𞸢، 𞸃، 𞸤، 𞸇 ثوابت معلومة. يُمكننا كتابة هذا النظام المكوَّن من معادلتين فى صورة معادلة مصفوفية واحدة: 󰂔𞸊𞸐𞸢𞸃󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔𞸤𞸇󰂓.

تُسمَّى المصفوفة التي رُتبتها ٢×٢ الموجودة في الطرف الأيمن مصفوفة المعاملات، بينما تُسمَّى مصفوفة العمود الموجودة في الطرف الأيمن مصفوفة المتغيِّرات، أمَّا مصفوفة العمود الموجودة في الطرف الأيسر فتُسمَّى مصفوفة الثوابت. يُمكننا التعبير عن هذه المعادلة باختصار لتصبح: 󰏡𞹎=𞸁، حيث 󰏡 مصفوفة المعاملات، 𞹎 مصفوفة المتغيِّرات، 𞸁 مصفوفة الثوابت.

إذا أجرَيْنا عملية الضرب لمصفوفتي الطرف الأيمن من المعادلة المصفوفية، فإننا نحصل على: 󰃁𞸊𞸎+𞸐𞸑𞸢𞸎+𞸃𞸑󰃀=󰂔𞸤𞸇󰂓.

وبمساواة العناصر المتناظِرة للمصفوفتين في طرفَيْ هذه المعادلة، نحصل مرَّة أخرى على النظام المكوَّن من معادلتين خطيتين. ومن ثَمَّ، فهذه المعادلة المصفوفية تُكافئ النظام المكوَّن من المعادلتين الخطيتين.

نلاحِظ أن معاملات 𞸎، 𞸑 في نظام المعادلات قد كوَّنت عناصر المصفوفة التي من الرُّتبة ٢×٢؛ ولذلك سُمِّيت مصفوفة المعاملات. عند كتابة مصفوفة المعاملات، علينا أن ننتبه إلى ترتيب العناصر، الذي يجب أن يتَّفِق مع ترتيب العناصر في مصفوفة المتغيِّرات. وبما أن 𞸎 هو العنصر الأول في مصفوفة المتغيِّرات، فهذا يعني أن معاملات 𞸎 تقع في العمود الأول. ولذلك نستخدم نفس مصفوفة المعاملات حتى إذا كُتِبت المعادلة الأولى في النظام على الصورة 𞸐𞸑+𞸊𞸎=𞸤. وبدلًا من اتِّباع ترتيب المعاملات المكتوبة في المعادلة المُعطاة، علينا تحديد كلِّ متغيِّر ومعاملاته.

نلاحِظ أيضًا أن مصفوفة العمود الموجودة في الطرف الأيسر من المعادلة المصفوفية تحتوي على الحدود الثابتة من كلِّ طرف أيسر من نظام المعادلات؛ ولذلك سُمِّيت مصفوفة الثوابت. ويجب أن يتوافق ترتيب هذه الثوابت مع ترتيب الصفوف في مصفوفة المعاملات. وبما أن معاملات المعادلة الأولى، 𞸊𞸎+𞸐𞸑=𞸤، مكتوبة في الصف الأول من مصفوفة المعاملات، فإن الثابت 𞸤 في هذه المعادلة يجب أن يَظهَر أيضًا في الصف الأول من مصفوفة الثوابت.

في المثال الأول، سنكتب معادلة مصفوفية تُكافئ نظامًا مكوَّنًا من معادلتين.

مثال ١: التعبير عن زوج من المعادلات الآنية في صورة معادلة مصفوفية

عبِّر عن المعادلتين الآنيتين: ٣𞸎+٢𞸑=٢١،٣𞸎+𞸑=٧ في صورة معادلة مصفوفية.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد معادلة مصفوفية تُكافئ الزوج المُعطَى من المعادلات الآنية. تذكَّر أن أيَّ زوج من المعادلات الآنية: 𞸊𞸎+𞸐𞸑=𞸤،𞸢𞸎+𞸃𞸑=𞸇 يُمكن كتابته في صورة المعادلة المصفوفية: 󰂔𞸊𞸐𞸢𞸃󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔𞸤𞸇󰂓.

نلاحِظ أن الزوج المُعطَى من المعادلات الآنية له نفس صورة المعادلات التي لدينا. وتحديدًا:

  • جميع المتغيِّرات في الطرف الأيمن
  • جميع الثوابت في الطرف الأيسر
  • المتغيِّرات مُرتَّبة أبجديًّا.

وبذلك يُمكننا تكوين مصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت عن طريق كتابة الأعداد الموجودة في المواضع المناظِرة في المعادلتين الآنيتين. الجزء الوحيد الذي يجب الانتباه إليه هنا هو ملاحَظة أن معامل 𞸑 في المعادلة الثانية يساوي ١؛ نظرًا لعدم وجود معامل مرئي. لتوضيح هذه الحقيقة، يُمكننا كتابة واحد باعتباره معامله: ٣𞸎+٢𞸑=٢١،٣𞸎+١𞸑=٧.

وهذا تَنتُج عنه مصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت على الترتيب: 󰂔٣٢٣١󰂓،󰂔٢١٧󰂓.

بالتعويض بهذه المصفوفات في المعادلة المصفوفية، نحصل على: 󰂔٣٢٣١󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔٢١٧󰂓.

في المثال السابق، كوَّنَّا معادلة مصفوفية باستخدام زوج من المعادلات الآنية على الصورة القياسية.

تعريف: الصورة القياسية لنظام المعادلات

يكون نظام المعادلات على الصورة القياسية إذا كانت:

  • جميع المتغيِّرات في الطرف الأيمن
  • جميع الثوابت في الطرف الأيسر
  • المتغيِّرات مُرتَّبة أبجديًّا (أو بالترتيب المُحدَّد في مصفوفة المتغيِّرات).

إن البدء بنظام معادلات على الصورة القياسية يُفيد كثيرًا عندما يكون علينا إيجاد معادلة مصفوفية مكافئة. وإذا كان لدينا نظام معادلات ليس على الصورة القياسية، فيُمكننا البدء بإعادة ترتيب النظام ليصبح على الصورة القياسية.

في المثال الآتي، سنكتب أولًا نظامًا مكوَّنًا من معادلتين على صورته القياسية، ثم نُوجِد المعادلة المصفوفية المناظِرة للنظام.

مثال ٢: التعبير عن زوج من المعادلات الآنية في صورة معادلة مصفوفية

عبِّر عن المعادلتين الآنيتين: ٣𞸎٤٢=٨𞸑،𞸎=٣𞸑 في صورة معادلة مصفوفية.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد معادلة مصفوفية مكافئة للزوج المُعطَى من المعادلات الآنية. تذكَّر أن أيَّ زوج من المعادلات الآنية على الصورة: 𞸊𞸎+𞸐𞸑=𞸤،𞸢𞸎+𞸃𞸑=𞸇 يُمكن كتابته في صورة المعادلة المصفوفية: 󰂔𞸊𞸐𞸢𞸃󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔𞸤𞸇󰂓.

ومن المُهِمِّ هنا أن نلاحِظ أن عناصر مصفوفة المعاملات 󰂔𞸊𞸐𞸢𞸃󰂓 تمثِّل معاملات المعادلتين الآنيتين بنفس الترتيب المُعطَى في مصفوفة المتغيِّرات 󰂔𞸎𞸑󰂓. وهذا يعني أن العمود الأول من مصفوفة المعاملات يحتوي على معاملات المتغيِّر 𞸎، بينما يحتوي العمود الثاني على معاملات المتغيِّر 𞸑.

وهاتان المعادلتان غير مكتوبتين بالصورة الصحيحة؛ لأن بعض المتغيِّرات تَظهَر في الطرف الأيسر من المعادلتين، وبعض الثوابت تَظهَر في الطرف الأيمن. وتذكَّر أن نظام المعادلات يكون على الصورة القياسية إذا كانت:

  • جميع المتغيِّرات في الطرف الأيمن
  • جميع الثوابت في الطرف الأيسر
  • المتغيِّرات مُرتَّبة أبجديًّا (أو بالترتيب المُحدَّد في مصفوفة المتغيِّرات).

نبدأ بإعادة ترتيب الزوج المُعطَى من المعادلات الآنية ليصبح على الصورة القياسية: ٣𞸎+٨𞸑=٤٢،𞸎+𞸑=٣.

ومن ثَمَّ، يُمكننا تكوين مصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت عن طريق كتابة الأعداد في المواضع المناظِرة في المعادلتين الآنيتين. والشيء الوحيد الذي علينا الانتباه إليه هنا هو ملاحَظة أن المعاملات في المعادلة الثانية تساوي ١. لتوضيح هذه الحقيقة، يُمكننا كتابة ١ باعتباره المعامل: ٣𞸎+٨𞸑=٤٢،١𞸎+١𞸑=٣.

وهذا يُعطينا مصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت، على الترتيب: 󰂔٣٨١١󰂓،󰂔٤٢٣󰂓.

بالتعويض بمصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت في المعادلة المصفوفية، نحصل على: 󰂔٣٨١١󰂓󰂔𞸎𞸑󰂓=󰂔٤٢٣󰂓.

والآن بعد أن تعرَّفنا على كيفية كتابة معادلة مصفوفية مناظِرة لنظام مكوَّن من معادلتين خطيتين، دعونا نناقش كيفية كتابة المعادلة المصفوفية لنظام أكبر. قبل أن نناقش أمثلة على الأنظمة الكُبرى، علينا أن نَفهَم العلاقة بين عدد المعادلات وعدد المجاهيل في نظام معادلات وبين رُتبة مصفوفة المعاملات.

تضمَّن المثالان السابقان نظامًا مكوَّنًا من معادلتين ومجهولين. ونتيجة لذلك، فإن المصفوفات المكافئة لهذه الأنظمة كانت مصفوفات المعاملات رُتبتها ٢×٢. في الأنظمة الكُبرى، لدينا العلاقة الآتية.

تعريف: رُتبة مصفوفة المعاملات

افترض أن 󰏡𞹎=𞸁 هي الصورة المصفوفية لنظام المعادلات الخطية المُكافئ. إذن رُتبة مصفوفة المعاملات 󰏡 تكون عبارة عن: ()×󰁓󰁒.دادتدا

هذا يعني أننا يُمكننا إيجاد عدد المعادلات والمجاهيل في نظام معادلات بمعلومية رُتبة مصفوفة المعاملات به. وبالمثل، إذا كان لدينا نظام مكوَّن من عدد 𞸌 من المعادلات الخطية، وعدد 𞸍 من المجاهيل، فهذا يعني أن مصفوفة المعاملات ستكون من الرُّتبة 𞸌×𞸍. وبناء على ذلك، وبما أنه يُوجَد عدد 𞸍 من المجاهيل، فإن مصفوفة المتغيِّرات 𞹎 ستكون من الرُّتبة 𞸍×١. وأخيرًا: بما أنه يُوجَد عدد 𞸌 من المعادلات، ومن ثَمَّ عدد 𞸌 من الثوابت في الطرف الأيسر، فإن مصفوفة الثوابت 𞸁 ستكون من الرُّتبة 𞸌×١. وإجمالًا: فإن رُتَب المصفوفات في المعادلة 󰏡𞹎=𞸁 تكون كما يأتي: (𞸌×𞸍)×(𞸍×١)=(𞸌×١).

ومن ثَمَّ، يُمكننا أن نؤكِّد بأن عملية ضرب المصفوفات هنا صحيحة. نلاحِظ أن كلًّا من 𞹎، 𞸁 يمثِّلان دائمًا مصفوفتَيْ عمود في هذه الحالة.

في المثال الآتي، سنُوجِد عدد المعادلات في نظام بمعلومية رُتبة مصفوفة المعاملات لهذا النظام.

مثال ٣: رُتبة نظام المعادلات

افترض نظامًا من المعادلات الخطية مكتوبًا في الصورة المصفوفية: 󰏡𞹎=𞸁. إذا كانت رُتبة المصفوفة 󰏡 هي 𞸌×𞸍، ورُتبة المصفوفة 𞹎 هي 𞸍×١، فكم معادلة موجودة في النظام؟

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد عدد المعادلات في نظام معادلات بمعلومية رُتبة المصفوفات التي تحتوي عليها المعادلة المصفوفية. في المعادلة المصفوفية 󰏡𞹎=𞸁، نعلم أن 󰏡 هي مصفوفة المعاملات، 𞹎 هي مصفوفة المتغيِّرات، 𞸁 هي مصفوفة الثوابت. تذكَّر أن رُتبة مصفوفة المعاملات في المعادلة المصفوفية تُحسَب بواسطة: ()×󰁓󰁒.دادتدا

نحن نعلم أن مصفوفة المعاملات، 󰏡، رُتبتها 𞸌×𞸍. وبذلك يكون عدد المعادلات في النظام المناظِر هو 𞸌.

في المثال الآتي، سنُجري عملية ضرب المصفوفات لتحديد مصفوفة المعاملات من معادلة مصفوفية مُعطاة.

مثال ٤: إيجاد مصفوفة مجهولة في معادلة مصفوفية

أوجد المصفوفة 󰏡؛ حيث: 󰏡𞸎𞸎𞸎𞸎=𞸎+٣𞸎+٢𞸎٢𞸎+𞸎٦𞸎𞸎+٣𞸎+𞸎.١٢٣٤١٢٣٣١٣٤٢١

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد المصفوفة 󰏡 التي تحقِّق المعادلة المصفوفية المُعطاة. لنبدأ بإيجاد رُتبة المصفوفة. نعلم أنه لضرب مصفوفتين، يجب أن يتساوى عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية. وبما أن المصفوفة الثانية تحتوي على ٤ صفوف، فإن المصفوفة 󰏡 يجب أن تحتوي على ٤ أعمدة.

نعلم أن ضرب مصفوفة من الرُّتبة 𞸌×𞸍 في مصفوفة من الرُّتبة 𞸍×𞸋 تَنتُج عنه مصفوفة من الرُّتبة 𞸌×𞸋. نلاحِظ أن رُتبة المصفوفة الموجودة في الطرف الأيسر من المعادلة المُعطاة هي ٤×١. هذا يُعطينا 𞸌=٤. وبالإضافة إلى عدد الأعمدة التي أوجدناها من قبلُ، نحصل على رُتبة المصفوفة 󰏡، وهي ٤×٤.

يُمكننا كتابة: 𞸎𞸎𞸎𞸎=𞸎+٣𞸎+٢𞸎٢𞸎+𞸎٦𞸎𞸎+٣𞸎+𞸎.١٢٣٤١٢٣٣١٣٤٢١

ولضرب المصفوفة التي رُتبتها ٤×٤ في مصفوفة عمود، علينا أولًا ضرب كلِّ صفٍّ من المصفوفة التي رُتبتها ٤×٤ في مصفوفة العمود. لضرب صفٍّ في مصفوفة عمود، نضرب العناصر المتناظِرة من كلِّ مصفوفة ونجمع النواتج. باستخدام ألوان مختلفة، يُمكننا تحديد العناصر المتناظِرة من الصف الأول: 𞸎𞸎𞸎𞸎=𞸎+٣𞸎+٢𞸎٢𞸎+𞸎٦𞸎𞸎+٣𞸎+𞸎.١٢٣٤١٢٣٣١٣٤٢١

بضرب الصف في العمود، نحصل على: 𞸎+𞸎+𞸎+𞸎=𞸎+٣𞸎+٢𞸎.١٢٣٤١٢٣

يُمكننا الآن مطابقة معاملات الحدود المتناظِرة من طرفي المعادلة. لكن معامل 𞸎١ غير مرئي، كما أنه لا يُوجَد حدٌّ في الطرف الأيسر يحتوي على 𞸎٤. هذا يعني أن معامل 𞸎١ يساوي ١، ومعامل 𞸎٤ يساوي ٠. يُمكننا كتابة هذه المعاملات في المعادلة لنحصل على: 𞸎+𞸎+𞸎+𞸎=١𞸎+٣𞸎+٢𞸎+٠𞸎.١٢٣٤١٢٣٤

وهذا يُخبرنا بالعناصر الموجودة في الصف الأول من المصفوفة 󰏡: 󰏡=١٣٢٠.

يُمكننا مواصلة هذه العملية لملء جميع صفوف المصفوفة 󰏡. ضرب الصف الثاني من 󰏡 في العمود لا بدَّ أن يَنتُج عنه ٢𞸎+𞸎٣١. علينا إعادة ترتيب ذلك بحيث يُكتَب 𞸎١ أولًا، ونُضيف أصفارًا أيضًا باعتبارها معاملات للحدود التي لا تَظهَر في المعادلة. ومن ثَمَّ، نحصل على: ١𞸎+٠𞸎+٢𞸎+٠𞸎.١٢٣٤

هذا يُعطينا الصف الثاني في 󰏡: 󰏡=١٣٢٠١٠٢٠.

ضرب الصفين الثالث والرابع في مصفوفة العمود لا بدَّ أن يُعطينا: ٠𞸎+٠𞸎+٦𞸎+٠𞸎،١𞸎+٣𞸎+٠𞸎+١𞸎.١٢٣٤١٢٣٤ على الترتيب.

وهذا يقودنا إلى المصفوفة: 󰏡=١٣٢٠١٠٢٠٠٠٦٠١٣٠١.

في المثال السابق، أوجدنا المصفوفة 󰏡 بمعلومية المعادلة المصفوفية المُعطاة عن طريق ضرب المصفوفات بطريقة عكسية. يُمكن استخدام هذه العملية لكتابة معادلة مصفوفية بمعلومية نظام معادلات خطية مُعطًى. المصفوفة 󰏡 في هذا المثال مصفوفة معاملات. لقد استطعنا إيجاد مصفوفة المعاملات هذه عن طريق إعادة كتابة حدود المتغيِّرات بالترتيب الصحيح، كما هو موضَّح في مصفوفة المتغيِّرات، وكتابة معاملات المتغيِّرات في صورة عناصر للمصفوفة.

في المثال الآتي، سنُوجِد نظام معادلات بمعلومية المعادلة المصفوفية.

مثال ٥: تحديد مجموعة من المعادلات الآنية بمعلومية معادلة مصفوفية

اكتب مجموعة المعادلات الآنية التي يُمكن حلُّها باستخدام المعادلة المصفوفية المُعطاة: 󰃭١٢٤١٠١٣٤٨󰃬󰃭𞸋𞸒𞸓󰃬=󰃭١١٦٠١󰃬.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد مجموعة من المعادلات الآنية التي تُكافئ المعادلة المصفوفية المُعطاة. يُمكننا فعل ذلك عن طريق ضرب مصفوفتي الطرف الأيمن من المعادلة السابقة. لكنْ قبل أن نضرب المصفوفتين، دعونا نتحقَّق أن عملية الضرب مُعرَّفة تمامًا. تذكَّر أنه لضرب مصفوفتين، يجب أن يتساوى عدد أعمدة المصفوفة الأولى مع عدد صفوف المصفوفة الثانية. نلاحِظ أن المصفوفة الأولى الموجودة في الطرف الأيمن تحتوي على ٣ أعمدة، ومصفوفة المتغيِّرات تحتوي على ثلاثة صفوف. وبذلك تكون عملية الضرب مُعرَّفة تمامًا.

وبضرب المصفوفتين، نحصل على: 󰃭١٢٤١٠١٣٤٨󰃬󰃭𞸋𞸒𞸓󰃬=𞸋٢𞸒٤𞸓𞸋+𞸓٣𞸋+٤𞸒٨𞸓.

وبالتعويض بهذه المصفوفة في الطرف الأيمن للمعادلة المُعطاة: 𞸋٢𞸒٤𞸓𞸋+𞸓٣𞸋+٤𞸒٨𞸓=󰃭١١٦٠١󰃬.

تذكَّر أن المصفوفتين تكونان متساويتين إذا تساوت العناصر المتناظِرة كلُّها في المصفوفتين. ومن ثَمَّ، نحصل على مجموعة المعادلات الآنية: 𞸋٢𞸒٤𞸓=١١،𞸋+𞸓=٦،٣𞸋+٤𞸒٨𞸓=٠١.

في المثال السابق، أوجدنا نظامًا من المعادلات يُكافئ معادلة مصفوفية مُعطاة. وبإجراء هذه العملية بطريقة عكسية، نحصل على طريقة لكتابة معادلة مصفوفية بمعلومية نظام مُعطًى من المعادلات. نلاحِظ أن هذه العملية تُشبِه كثيرًا الطريقة التي كتبنا بها المعادلة المصفوفية المناظِرة لنظام مكوَّن من معادلتين وبه مجهولان.

خطوات: كتابة معادلات مصفوفية مكافئة لنظام مكوَّن من عدد م من المعادلات

افترض نظامًا مكوَّنًا من عدد 𞸌 من المعادلات الخطية، وعدد 𞸍 من المجاهيل 𞸎،𞸎،،𞸎١٢𞸍، على الصورة: 𞸐،+𞸊𞸎𞸊𞸎=𞸊𞸎𞸐،+𞸊𞸎𞸊𞸎=𞸊𞸎𞸐.+𞸊𞸎𞸊𞸎=𞸊𞸎١١𞸍𞸍١٢٢١١١٢٢𞸍𞸍٢٢٢٢١١𞸌𞸌𞸍𞸍𞸌٢٢𞸌١١

ويُمكن كتابة نظام المعادلات هذا في صورة المعادلة المصفوفية: 𞸊𞸊𞸊𞸊𞸊𞸊𞸊𞸊𞸊𞸎𞸎𞸎=𞸐𞸐𞸐.١١١٢١𞸍٢١٢٢٢𞸍𞸌١𞸌٢𞸌𞸍١٢𞸍١٢𞸌

يُمكننا التعبير عن هذه المعادلة باختصار على الصورة: 󰏡𞹎=𞸁، حيث 󰏡 مصفوفة المعاملات، 𞹎 مصفوفة المتغيِّرات، 𞸁 مصفوفة الثوابت.

وكما هو الحال في النظام المكوَّن من معادلتين، من المُفيد أن نكتب أولًا نظام المعادلات على الصورة القياسية بعد التأكُّد من الآتي:

  • جميع المتغيِّرات في الطرف الأيمن
  • جميع الثوابت في الطرف الأيسر
  • المتغيِّرات مُرتَّبة بالترتيب المحدَّد في مصفوفة المتغيِّرات.

إضافة إلى ذلك، من المُفيد أيضًا محاذاة الحدود المناظِرة للمتغيِّر نفسه رأسيًّا. على سبيل المثال، انظر نظام المعادلات هذا: ١،٣𞸅+٢𞸑=𞸎٠،+٧𞸅+٥𞸏١١𞸑=٣𞸎٣.٥٢𞸅١١𞸏+٤٢𞸑=٧𞸎

نلاحِظ أن هذه المعادلات تُكتَب على الصورة القياسية إذا كانت مصفوفة المتغيِّرات على الصورة 𞸎𞸑𞸏𞸅. نلاحِظ أيضًا وجود مساحة فارغة في المعادلة الأولى؛ نظرًا لعدم احتوائها على حدِّ 𞸏. وهذا يعني أن معامل 𞸏 يساوي صفرًا في هذه الحالة. وهذا يقودنا إلى المعادلة المصفوفية: 󰃭١٢٠٣٣١١٥٧٧٤٢١١٥٢󰃬𞸎𞸑𞸏𞸅=󰃁١٠٣󰃀.

ومن ثَمَّ، بمجرد أن نكتب نظام المعادلات الخطية على الصورة القياسية، وبمحاذاة الحدود رأسيًّا، تسهل كتابة المعادلة المصفوفية المناظِرة للنظام.

في المثال الأخير، سنُوجِد المعادلة المصفوفية المناظِرة لنظام مكوَّن من ثلاث معادلات خطية.

مثال ٦: التعبير عن مجموعة من المعادلات الآنية في صورة معادلة مصفوفية

عبِّر عن مجموعة المعادلات الآنية الآتية في صورة معادلة مصفوفية: ٧𞸎٣𞸑+٦𞸏=٥،٥𞸎٢𞸑+٢𞸏=١١،٢𞸎٣𞸑+٨𞸏=٠١.

الحل

قبل أن نبدأ، علينا ملاحَظة أنه تُوجَد ٣ معادلات و٣ متغيِّرات: 𞸎، 𞸑، 𞸏. هذا يعني أن مصفوفة المعاملات ستكون من الرُّتبة ٣×٣. هدفنا هو إيجاد المعادلة المصفوفية على الصورة: 󰃁󰃀󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬=󰃁󰃀، التي يَنتُج عنها مرَّة أخرى نظام المعادلات الخطية المذكور في نص المسألة.

نبدأ بكتابة المعادلة الأولى من المعادلات الثلاث، وهي: ٥.٦𞸏+٣𞸑=٧𞸎

باستخدام تعريف ضرب المصفوفات، يُمكننا ملء الصف الأول من مصفوفة المعاملات ليصبح على الصورة: 󰃁٧٣٦󰃀󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬=󰃁٥󰃀.

مازال علينا كتابة الصفين الثاني والثالث في نظام المعادلات، وملء مصفوفة المعاملات. المعادلة الثانية هي: ١١،٢𞸏+٢𞸑=٥𞸎 وهذه يُمكننا إدخالها في الصف الثاني من مصفوفة المعاملات، دون الحاجة إلى تغيير الصف الأول. نحصل من ذلك على: 󰃭٧٣٦٥٢٢󰃬󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬=󰃭٥١١󰃬.

لم يتبقَّ لدينا الآن سوى المعادلة الثالثة: ٠١،٨𞸏+٣𞸑=٢𞸎 وهذه يُمكننا كتابتها في الصف الثالث من مصفوفة المعاملات دون التأثير على عناصر الصفين السابقين. نحصل من ذلك على: 󰃭٧٣٦٥٢٢٢٣٨󰃬󰃭𞸎𞸑𞸏󰃬=󰃭٥١١٠١󰃬.

يعبِّر ذلك عن التمثيل الكامل لنظام المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات.

دعونا نختتم بتلخيص بعض المفاهيم المُهِمَّة من هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • بمعلومية نظام معادلات، يُمكننا كتابة معادلة مصفوفية مكافئة على الصورة 󰏡𞹎=𞸁. 󰏡 هنا يمثِّل مصفوفة المعاملات، 𞹎 يمثِّل مصفوفة المتغيِّرات، 𞸁 يمثِّل مصفوفة الثوابت.
  • يكون نظام المعادلات على الصورة القياسية إذا كانت:
    • جميع المتغيِّرات في الطرف الأيمن
    • جميع الثوابت في الطرف الأيسر
    • المتغيِّرات مُرتَّبة أبجديًّا (أو بالترتيب المُحدَّد في مصفوفة المتغيِّرات).
  • تُحدَّد رُتبة مصفوفة المعاملات من نظام المعادلات المُكافئ بواسطة: ()×󰁓󰁒.دادتدا
  • افترض نظامًا مكوَّنًا من عدد 𞸌 من المعادلات الخطية، وعدد 𞸍 من المجاهيل 𞸎،𞸎،،𞸎١٢𞸍 على الصورة: 𞸐،+𞸊𞸎𞸊𞸎=𞸊𞸎𞸐،+𞸊𞸎𞸊𞸎=𞸊𞸎𞸐.+𞸊𞸎𞸊𞸎=𞸊𞸎١١𞸍𞸍١٢٢١١١٢٢𞸍𞸍٢٢٢٢١١𞸌𞸌𞸍𞸍𞸌٢٢𞸌١١ يُمكن كتابة نظام المعادلات هذا في صورة المعادلة المصفوفية: 𞸊𞸊𞸊𞸊𞸊𞸊𞸊𞸊𞸊𞸎𞸎𞸎=𞸐𞸐𞸐.١١١٢١𞸍٢١٢٢٢𞸍𞸌١𞸌٢𞸌𞸍١٢𞸍١٢𞸌

حمِّل تطبيق Nagwa Classes

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق Nagwa Classes اليوم!

التحميل على الحاسوب

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.