في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُحدِّد مقدار المتجهات الثنائية الأبعاد.
القيمة المطلقة لأي عدد حقيقي توضِّح لنا مقدار العدد، أو المسافة بين صفر والعدد على خط الأعداد. مقدار المتجه تمثيلٌ للقيمة المطلقة للأعداد الحقيقية؛ ومن ثَمَّ، فإن رمز المقدار يرث استخدام القيمة المُطلَقة.
تعريف: مقدار المتجه
مقدار المتجه ، المُشار إليه بالرمز ، هو طول المتجه، أو المسافة بين نقطة بداية المتجه ونقطة نهايته.
على وجه التحديد، متجه الوحدة متجهٌ مقداره يساوي واحدًا. على سبيل المثال، نتذكَّر متجهات الوحدة الأساسية الثنائية الأبعاد:
مقدار متجهَي الوحدة هذين يساوي واحدًا؛ لأننا إذا قسنا طولَيْهما المرسومين على مستوًى ثنائي الأبعاد، فإنهما يساويان وحدة واحدة.
وهناك حالة خاصة أخرى، وهي متجه يساوي مقداره صفرًا. يوجد متجه واحد فقط يساوي طوله صفرًا، ونُطلِق على هذا المتجه «المتجه الصفري»:
نبدأ بتناول مثال بسيط لمقدار المتجه.
مثال ١: مقدار المتجه الرأسي
المتجه ممثَّل على شبكة الوحدات المربعة الموضَّحة. أوجد قيمة .
الحل
تذكَّر أن الرمز يمثِّل مقدار المتجه، وهو طول المتجه. من الشكل الموضَّح، يمكننا أن نرى المتجه المُعطى يمتد على طول وحدتَي شبكة عموديًّا. بما أن الشبكات وحدات مربعة، فإن طول أحد أضلاع المربع الأصغر يساوي وحدة واحدة. وهذا يُشير إلى أن طول يساوي وحدتَي طول.
ولأن المتجه يُشير لأسفل، قد يكون من المغري استنتاج أن إشارة المقدار سالبة. ولكن يجب أن نتذكَّر أن الطول؛ ومن ثَمَّ مقدار المتجه، لا يمكن أن يكون قيمة سالبة. ولذلك:
في المثال الأول، أوجدنا مقدار المتجه الرأسي من التمثيل البياني له. من السهل إيجاد مقدار متجه رأسي أو أفقي عندما يكون لدينا التمثيل البياني. إذا لم يكُن المتجه رأسيًّا أو أفقيًّا، يمكننا إيجاد مقداره بتطبيق نظرية فيثاغورس، كما سنرى في المثال الآتي.
مثال ٢: مقدار المتجه
المتجه ممثَّل في شبكة الوحدات المربعة الموضَّحة بالأسفل. أوجد قيمة .
الحل
تذكَّر أن الرمز يمثِّل مقدار المتجه، وهو طول المتجه. يمكننا أن نرى المتجه يمتد قطريًّا عبر مربعات متعدِّدة. يمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية؛ حيث يمثِّل المتجه وتر المثلث القائم الزاوية. بما أن الشبكات وحدات مربعة، فإن طول أحد أضلاع المربع الأصغر يساوي وحدة واحدة، وهو ما نستطيع من خلاله معرفة طولَي ضلعَي المثلث القائم الزاوية، كما هو موضَّح في الآتي.
هيا نطبِّق نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الوتر، الذي يساوي مقدار المتجه . طولا الضلعين الآخرين غير الوتر في المثلث القائم الزاوية هما ٣ و٤، وطول الوتر يساوي المقدار . ومن ثَمَّ:
هذا يعني أن:
بأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفَي هذه المعادلة، نحصل على . وبما أن المقدار يمثِّل طولًا، فلا يمكن أن يكون قيمة سالبة؛ لذا يمكننا تجاهل الناتج السالب. ومن ثَمَّ:
في المثال السابق، حسبنا مقدار المتجه بتطبيق نظرية فيثاغورس. يمكننا استخدام الطريقة نفسها لإيجاد مقدار أي متجه ثنائي الأبعاد، ما دام ليس رأسيًّا أو أفقيًّا.
نتناول المتجه ؛ حيث ، لا يساويان صفرًا. وكما في المثال السابق، يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية؛ حيث يساوي مقدار هذا المتجه طول وتر هذا المثلث القائم الزاوية.
بتطبيق نظرية فيثاغورس، نحصل على:
بأخذ الجذر التربيعي لطرفَي هذه المعادلة وتجاهُل الناتج السالب، نحصل على الصيغة الآتية.
تعريف: مقدار المتجه الثنائي الأبعاد
افترض أن متجه ثنائي الأبعاد. إذن مقدار هذا المتجه يُعطى بالصيغة:
على الرغم من أننا أوضحنا هذه الصيغة فقط للمتجهات التي تقع في الربع الأول، فإن الصيغة تنطبق على أي متجه ثنائي الأبعاد. على سبيل المثال، يمكننا أن نرى أنه إذا كان المتجه يقع في الربع الثالث، فإن لدينا التمثيل البياني الآتي:
في الشكل، يمكننا أن نلاحظ أن طولَي الضلعين الآخرين غير الوتر في المثلث القائم الزاوية مُعطيان بالقيمتين المُطلَقتين و. بتطبيق نظرية فيثاغورس وأخذ الجذر التربيعي الموجب، نحصل على:
لكننا نعلم أنه، لأي عدد حقيقي ، فإن . هذا يعني أن صيغة مقدار هذا المتجه تتوافق مع الصيغة المُعطاة سابقًا للمتجهات الثنائية الأبعاد العامة.
يمكننا أيضًا التحقُّق من صحة هذه الصيغة للمتجهات الرأسية والأفقية التي على الصورة أو . في هذه الحالة، كما رأينا في المثال الأول، يحدِّد طولُ الإحداثي أو مقدار المتجه. هذا يعني أن مقادير هذه المتجهات تُعطى بالصورتين و. بما أن الإحداثي أو الإحداثي لهذه المتجهات يساوي صفرًا، فإن هذا يتفق مع صيغة مقدار المتجهات الثنائية الأبعاد المُعطاة سابقًا.
في المثال الآتي، سنُطبِّق هذه الصيغة لإيجاد مقدار متجه على الصورة الإحداثية.
مثال ٣: مقدار المتجه
ما مقدار المتجه ؟
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد مقدار المتجه المُعطى في الصورة الإحداثية. تذكَّر أن مقدار المتجه يُعطى بالصيغة:
المتجه المُعطى هو ؛ لذا يمكننا التعويض بـ ، في هذه الصيغة، للحصول على:
ومن ثَمَّ، فإن مقدار المتجه المُعطى يساوي .
في المثال السابق، حسبنا مقدار متجه مُعطى في الصورة الإحداثية باستخدام صيغة. تذكَّر أنه يمكن التعبير عن أي متجه ثنائي الأبعاد بدلالة متجهَي الوحدة الأساسيين ، كالآتي:
هذا يعني أنه يمكننا تطبيق الصيغة نفسها لإيجاد مقدار المتجه معبَّرًا عنه بدلالة متجهَي وحدة أساسيين:
في المثال الآتي، سنوجد مقدار متجه معبَّر عنه بدلالة متجهَي وحدة أساسيين باستخدام هذه الصيغة.
مثال ٤: إيجاد معيار متجه مُعطى
إذا كان ؛ حيث ، متجها وحدة متعامدان، فأوجد .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد المقدار لمتجه مُعطى بدلالة متجهَي وحدة أساسيين. تذكَّر أنه إذا كان ، فإن مقداره يُعطى بالصيغة:
لدينا ؛ لذا يُمكِننا التعويض بـ ، في السابق، للحصول على:
ومن ثَمَّ، .
لقد ناقشنا حتى الآن كيفية إيجاد مقدار متجه مُعطى إما على الصورة الإحداثية وإما بدلالة متجهَي الوحدة الأساسيين. هناك طريقة أخرى يمكن بها تعريف المتجه، وهي تحديد نقطتَي طرفَيْه. تذكَّر أن المتجه الذي يبدأ من النقطة وينتهي عند النقطة يُشار إليه بالرمز . إذا كانت لدينا إحداثيات النقطتين ، ، فإن هذا المتجه يُعطى بالصيغة:
إذا طبَّقنا صيغة مقدار المتجه الثنائي الأبعاد على هذا المتجه، فسنحصل على:
في المثال الآتي، سنوجد أولًا مقدار متجه محدَّد بنقطتَيْه الطرفيتين.
مثال ٥: مقدار المتجه
ما مقدار المتجه ؛ حيث ، ؟
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد مقدار متجه محدَّد بنقطتَي نهايته. تذكَّر أن المتجه من النقطة إلى النقطة يُعرَّف كالآتي:
من إحداثيات ، المُعطاة، نعلم أن:
بالتعويض بهذه القيم السابقة، نحصل على:
والآن، علينا إيجاد مقدار هذا المتجه. تذكَّر أن مقدار المتجه يُعطى بالصيغة:
بما أن المتجه هو ، إذن يمكننا التعويض بـ ، في هذه الصيغة، للحصول على:
ومن ثَمَّ، مقدار يساوي .
في المثال الأخير، سنوجد ثابتًا مجهولًا باستخدام مفاهيم مقدار المتجه.
مثال ٦: إيجاد ثابت مجهول باستخدام مقدار المتجه
إذا كان ، ، وحدات طول، فإن .
الحل
في هذا المثال، علينا إيجاد ثابت مجهول عندما يكون لدينا مقدار متجه. نبدأ بإيجاد المتجه المحدَّد بنقطتَي طرفَيْه. تذكَّر أن المتجه من النقطة إلى النقطة يُعرَّف كالآتي:
من إحداثيات ، المُعطاة، نعلم أن:
بالتعويض بهذه القيم السابقة، نحصل على:
الآن، هيا نوجد مقدار هذا المتجه. تذكَّر أن مقدار المتجه مُعطى بالصيغة:
بما أن المتجه هو ، إذن يمكننا التعويض بـ ، في هذه الصيغة، للحصول على:
عرفنا أن هذا المقدار يساوي ٥ وحدات طول. ومن ثَمَّ:
بتربيع طرفَي هذه المعادلة والتبسيط:
ومن ثَمَّ، .
هيا نختتم بتلخيص بعض المفاهيم المهمة في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- مقدار المتجه ، المشار إليه بالرمز ، هو طول المتجه، أو المسافة بين نقطة بداية المتجه ونقطة نهايته.
- متجه الوحدة متجهٌ مقداره يساوي واحدًا. المتجه الصفري متجه مقداره يساوي صفرًا.
- افترض أن متجه ثنائي الأبعاد. إذن مقدار هذا المتجه يُعطى بالصيغة:
- إذا كان ، ، فإن:
