في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم خواص الدائرة وأجزاءها في حل المسائل.
يمكننا البدء بتعريف الدائرة.
التعريف: الدائرة
الدائرة هي شكل يتكوَّن من جميع النقاط الموجودة في مستوًى، والتي تكون على مسافة متساوية من نقطة معيَّنة، وهي المركز.
نسترجع المصطلحات الأساسية المتعلِّقة بالأجزاء المختلفة للدائرة.
محيط الدائرة هو المسافة حول الدائرة. إنه قياس الحد الخارجي للدائرة.
نصف قطر الدائرة هو الخط المستقيم الذي يمتد من مركز الدائرة إلى المحيط. صيغة الجمع لنصف القطر هي أنصاف أقطار. يُوجَد عدد لا نهائي من أنصاف الأقطار في أي دائرة. عادةً ما نستخدم نصف القطر باعتباره الطول؛ فعلى سبيل المثال، يمكن وصف الدائرة بأنها «دائرة نصف قطرها ٣ سم».
قطر الدائرة قطعة مستقيمة تمر بالمركز وتصل بين نقطتين على الدائرة. وكما هو الحال مع نصف القطر، يُستخدم القطر عادةً ليعني طول هذه القطعة المستقيمة.
وبما أن لدينا طولين في قطر الدائرة يتكوَّن كلٌّ منهما من خط يمتد من المركز إلى المحيط، إذن يصبح لدينا نصفا قطر في القطر الواحد؛ لذا، فإن طول القطر يساوي ضعف طول نصف القطر.
يمكننا الآن تناول المصطلحات الناتجة عن أجزاء من مساحة الدائرة أو محيطها.
وتر الدائرة هو قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين مختلفتين على محيط الدائرة.
يُوجَد عدد لا نهائي من الأوتار التي يمكن رسمها في أي دائرة. وأطول وتر في الدائرة هو الناتج عن القطر، وهو الخط الذي يصل بين نقطتين على محيط الدائرة ويمر بمركزها.
نُطبِّق في الأمثلة الآتية ما نعرفه عن أجزاء الدائرة، ومن ذلك العلاقة بين نصف القطر والقطر. في المثال الأول، نَعرِف كيف يمكننا تطبيق المُعطيات حول أنصاف أقطار دائرتين لإيجاد طول قطعة مستقيمة تصل بين مركزيهما.
مثال ١: حل مسألة تتضمَّن العلاقة بين نصف قطر الدائرة ومحيطها
إذا كان طولا قطرَي الدائرتين ، هما ٢ سم، ٦ سم على الترتيب، فأوجد طول .
الحل
يمكننا بدء حل هذه المسألة بملاحظة أن الدائرتين المُعطاتين يلتقيان عند نقطة يمكننا تسميتها .
لدينا قطر كل دائرة. ويمكننا أن نتذكَّر أن قطر الدائرة هو طول القطعة المستقيمة التي تمر بالمركز وتصل بين نقطتين على المحيط.
لكننا نلاحظ من الشكل أن طولَي ، هما نصفا قطرين للدائرتين لدينا. نصف قطر الدائرة هو خط يمر بمركز الدائرة إلى محيطها. ويرتبط نصف قطر أي دائرة بقطرها؛ حيث إن نصف قطر الدائرة يساوي نصف طول القطر.
إذن، إذا كان طول قطر الدائرة التي مركزها يساوي ٢ سم، فإن نصف قطر الدائرة ؛ أي طول ، هو .
وبالمثل، إذا كان طول قطر الدائرة التي مركزها يساوي ٦ سم، فإن نصف قطرها؛ أي طول ، هو .
يمكننا بعد ذلك حساب طول بجمع نصفَي القطرين:
ومن ثَمَّ، يمكننا الإجابة بأن طول يساوي ٤ سم.
نتناول الآن مثالًا آخر على استخدام خواص الدوائر لإيجاد الطول. وكما هو الحال في العديد من مسائل الهندسة، فإن إضافة أي أطوال مُعطاة أو محسوبة إلى الشكل يمكن أن تساعدنا في حل المسألة.
مثال ٢: إيجاد مسافة غير معلومة باستخدام الأطوال بين مركزَي دائرتين
قطر الدائرة التي مركزها يساوي ٢٣؛ حيث . أوجد طول .
الحل
علمنا من المُعطيات أن طول قطر الدائرة التي مركزها يساوي ٢٣. ولعلنا نتذكَّر أن قطر الدائرة هو طول القطعة المستقيمة التي تمر بالمركز وتصل بين نقطتين على المحيط. نلاحظ في الشكل أنه لا يوجد خط يمثِّل قطر ، لكن هناك خطًّا مستقيمًا يمثِّل نصف القطر. نصف قطر الدائرة هو الخط الذي يمر بمركز الدائرة حتى محيطها. وهذا يعني أن هو نصف قطر الدائرة التي مركزها . نصف قطر الدائرة هو نصف طول قطرها. إذن:
يمكننا إضافة هذا الطول إلى الشكل، وأيضًا إضافة المُعطى الذي يفيد بأن ، وذلك لمساعدتنا في تصوُّر المسألة.
مطلوب منا إيجاد طول . ويمكن فعل ذلك بطرح طول من طول ، إذن:
ومن ثَمَّ، يمكننا الإجابة بأن يساوي ٦٫٥.
يمكننا الآن تناول الانعكاس أو التماثل الخطي للدائرة.
التعريف: التماثل الخطي للدائرة
أيُّ خط مستقيم يمر بمركز الدائرة هو محور تماثل؛ لأنه يقسم الدائرة إلى جزأين متطابقين.
وبما أنه يُوجَد عدد لا نهائي من الخطوط التي يمكن أن تمر بالمركز، إذن الدائرة لها عدد لا نهائي من خطوط التماثل.
في السؤال التالي، نتناول التماثل الانعكاسي للدائرة.
مثال ٣: تحديد خطوط تماثل الدائرة
أيُّ الخطوط الآتية خطوط تماثل الدائرة؟
الحل
نلاحظ في الشكل أن هناك ثلاثة خطوط مختلفة في الدائرة، وهي ، ، .
خط التماثل هو خط يقسم شكلًا إلى نصفين. وللحصول على خط تماثل في دائرة، علينا تحديد الخط الذي يمر بمركز هذه الدائرة. هذا الخط يقسم الدائرة إلى نصفين. ويتحقَّق هذا عن طريق طي الدائرة عند الخط .
بصفة عامة، أيُّ خط يمر بمركز الدائرة هو خط تماثل. والدائرة لها عدد لا نهائي من خطوط التماثل. إذن خط التماثل في هذا الشكل هو الخط فقط.
عرفنا أن الدائرة لها عدد لا نهائي من خطوط التماثل. لاحظ أيضًا التماثل الدوراني للدائرة. رتبة التماثل الدوراني لأي شكل هندسي هي عدد المرات التي يكون فيها الشكل بنفس صورته خلال دورانه دورة كاملة مقدارها حول مركزه. والدائرة لها رتبة لا نهائية للتماثل الدوراني. ويرجع ذلك إلى أن الدائرة تكون دائمًا بنفس الشكل في وضعها الأصلي، دون النظر إلى مقدار دورانها.
يُطلَب منا عادةً حل مجموعة من المسائل الهندسية التي تتضمَّن دوائر. وإحدى الحقائق الأساسية في الهندسة التي علينا تذكُّرها هي نظرية فيثاغورس.
ملخَّص: نظرية فيثاغورس
تنص نظرية فيثاغورس على أنه في أي مثلث قائم الزاوية، فإن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعَي طولَي الضلعين القصيرين.
بالنسبة إلى الوتر والضلعين القصيرين ، ، تنص نظرية فيثاغورس على الآتي:
سنعرف كيف يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس في المثال الآتي.
مثال ٤: إيجاد طول مجهول باستخدام تَساوي نصفَي قطرَي دائرة ونظرية فيثاغورس
إذا كان ، فأوجد طول .
الحل
في هذه المسألة، لدينا طول أحد الأضلاع في المثلث القائم الزاوية . ولعلنا نتذكَّر أنه يمكن إيجاد طول ضلع مجهول في مثلث قائم الزاوية باستخدام نظرية فيثاغورس، التي تنص على أنه في أي مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعَي طولَي الضلعين القصيرين.
قد يبدو في البداية أنه لا تُوجَد مُعطيات كافية لإيجاد طول الضلع ؛ لأن لدينا طول ضلع واحد فقط؛ أي . ولكن، يمكننا استخدام خواص الدائرة التي تحتوي على المثلث . ، هما نصفا قطرَي الدائرة؛ فكلٌّ منهما خط مستقيم يمتد من المركز إلى نقطة على المحيط. ومن ثَمَّ، يمكننا القول إن . يمكن الإشارة إلى هذين الطولين بالحرف وكتابة الأطوال في الشكل الآتي.
بتطبيق نظرية فيثاغورس، يمكننا كتابة معادلة والتبسيط بمعلومية أن . وهذا يُعطينا:
يمكننا الآن أخذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة، مع ملاحظة أن قيمة يجب أن تكون موجبة؛ لأنها تمثِّل طولًا. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:
إذن يمكننا الإجابة بأن نصف قطر هذه الدائرة؛ أي طول ، يساوي .
تناولنا في المثال السابق مثلثًا قائم الزاوية. لاحظ أن هذا المثلث هو مثلث متساوي الساقين أيضًا؛ حيث يُوجَد ضلعان متساويان في الطول يمثِّلان نصفَي قطرين في الدائرة. عادةً ما نجد مثلثات متساوية الساقين في مسائل الهندسة المتعلِّقة بالدوائر، ومن المفيد ملاحظة أن أي نصفَي قطرين في دائرة والوتر الذي يصل بينهما يكوِّنان معًا مثلثًا متساوي الساقين.
نتناول مثالًا على ذلك في السؤال الآتي.
مثال ٥: إيجاد قياس زاوية مجهولة حول مركز الدائرة لحل مسألة
ما ؟
الحل
يمكننا بدء حل هذا السؤال بتذكُّر أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة يساوي . ومن ثَمَّ، يمكننا حساب كالآتي: 
نلاحظ بعد ذلك أن ، نصفا قطرَين في الدائرة. وهذا يعني أنه سيكون لهما الطول نفسه، كما أنه لا بد أن يكون مثلثًا متساوي الساقين؛ حيث يحتوي على ضلعَيْن متساويين في الطول. إذن لدينا زاويتان متطابقتان:
يمكننا تعريف هاتين الزاويتين على أنهما .
لإيجاد قياس الزاوية الناقصة، نتذكَّر أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي . ومن ثَمَّ، يكون لدينا:
بالتعويض بقيم الزوايا، يكون لدينا:
وبما أننا قد عرَّفنا على أنه ، إذن يمكننا الإجابة بأن يساوي .
نتناول الآن تشابه الدوائر وتطابُقها. بصفة عامة، أيُّ شكلين هندسيين يكونان متشابهين إذا كان لهما الشكل نفسه، لكن حجمَيْهما مختلفان. وبما أن جميع الدوائر لها نفس الشكل، إذن جميع الدوائر متشابهة.
يكون أيُّ شكلين هندسيين متطابقين إذا كان لهما الشكل نفسه والحجم نفسه. وعلى الرغم من أن الدوائر لها نفس الشكل، فإنها لا تكون بالحجم نفسه دائمًا. ولإثبات أن أيَّ دائرتين متطابقتان، علينا التأكُّد من تطابق قياس مشترك في كلٍّ منهما.
كيفية إثبات تطابُق دائرتين
الدوائر المتطابقة لها نفس الشكل ونفس الحجم. وتكون أيُّ دائرتين متطابقتين إذا تحقَّق أي شرط من الشروط الآتية:
- تطابقت أنصاف الأقطار.
- تطابقت الأقطار.
- تطابق المحيطان.
في المثال الأخير، سنتناول مسألة تتضمَّن وترين متساويين في دائرتين متطابقتين.
مثال ٦: إيجاد قياس زوايا مجهولة بمعلومية الأوتار المتساوية في الدوائر المتطابقة
افترض أن الدائرتين ، متطابقتان، وأن .
- أوجد قيمة .
- أوجد قيمة .
الحل
الجزء الأول
في الدائرة التي مركزها ، بما أن ، نصفا قطرين في الدائرة، إذن فهما متساويان في الطول. إذن مثلث متساوي الساقين. والمثلث المتساوي الساقين له ضلعان متساويان في الطول وزاويتان متساويتان في القياس. ومن ثَمَّ:
باستخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ، يكون لدينا:
ومن ثَمَّ، نحصل على .
الجزء الثاني
بمعلومية أن الدائرتين اللتين مركزاهما ، متطابقتان، فإن أنصاف أقطارهما تكون متطابقة. علمنا من المُعطيات أن ، إذن وفقًا لمسلَّمة التطابق بثلاثة أضلاع. بما أن هذين مثلثان متساويَا الساقين، إذن لاحظ أنه يمكننا أيضًا كتابة أن .
إذن:
ومن ثَمَّ، نحصل على .
في المثال السابق، أثبتنا أن الوترين المتصلين بأنصاف أقطار متطابقان، وذلك باستخدام مسلَّمة التطابق بثلاثة أضلاع. تنطبق هذه القاعدة على الحالات التي تكون فيها الأوتار المتطابقة في الدائرة نفسها أو في زوج من الدوائر المتطابقة. يمكننا تعريف ذلك في الآتي.
تعريف: الأوتار المتطابقة التي تربط بين نصفَي قطرَيْن
إذا كانت الأوتار التي لها الطول نفسه تربط بين أنصاف الأقطار في الدائرة نفسها أو في الدوائر المتطابقة، فإن المثلثين المتساويَي الساقين الناتجين يكونان متطابقين.
نلخِّص الآن بعض النقاط المهمة في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- الدائرة شكل يتكوَّن من جميع النقاط الموجودة في مستوًى، والتي تكون على مسافة متساوية من نقطة معيَّنة، وهي المركز.
- طول قطر الدائرة يساوي ضعف طول نصف قطرها.
- قطر الدائرة هو أطول وتر في الدائرة.
- الدائرة لها عدد لا نهائي من خطوط التماثل، وجميع محاور التماثل تمر بأقطار الدائرة.
- الدائرة لها رتبة لا نهائية للتماثل الدوراني حول مركزها.
- المثلث الذي يتكوَّن داخل دائرة من نصفَي قطرين ووتر يصل بينهما هو مثلث متساوي الساقين.
- جميع الدوائر متشابهة، فلها الشكل نفسه، ولكن تختلف أحجامها.
- يمكننا إثبات أن أيَّ دائرتين متطابقتين إذا كانت أقطارهما أو أنصاف أقطارهما متساوية في الطول، أو إذا كان محيطاهما متساويين.
- إذا كانت الأوتار التي لها الطول نفسه تربط بين أنصاف الأقطار في الدائرة نفسها، أو في الدوائر المتطابقة، فإن المثلثين المتساويَي الساقين الناتجين يكونان متطابقين.
