في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحُلُّ المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام.
تذكَّر أن المعادلة التربيعية هي معادلة في متغير واحد، وتكون أعلى درجة لأي حد ٢. وفيما يأتي تعريف يوضِّح ذلك توضيحًا أكثر.
تعريف: المعادلة التربيعية
يطلق على المعادلة ؛ حيث في المتغير ، و ، ، ، ثوابت معادلة تربيعية (أو معادلة من الدرجة الثانية).
لحل المعادلات التربيعية، يمكننا استخدام الطرق الآتية:
- التحليل.
- إكمال المربع.
- القانون العام.
- الحل بيانيًّا.
حتى الآن، درسنا التحليل وإكمال المربع. وسنستخدم إكمال المربع لاستنتاج القانون العام، وهو الطريقة التي سنركِّز عليها في هذا الشارح.
إذا كان لدينا معادلة تربيعية ما على الصورة ؛ حيث في المتغير ، و ، ، ثوابت، يمكننا إعادة ترتيبها واستخدام إكمال المربع والحل لإيجاد كالآتي.
أولًا، سنقسم كل الحدود على ، وهو معامل :
بعد ذلك، نطرح من كلا الطرفين:
لجعله مربعًا تامًّا، نضيف إلى كلا الطرفين:
بما أن الطرف الأيمن من المعادلة على الصورة ، وهو مربع كامل؛ فيمكننا كتابته على الصورة :
بعد ذلك، نعيد ترتيب المعادلة لجعل في طرف بمفرده. أولًا، نوجد الجذر التربيعي للطرفين (إيجاد كلا الجذرين الموجب والسالب):
ثم نجعل في طرف بمفرده:
بعد ذلك، نبسِّط أكثر بفك الأقواس تحت الجذر وإعادة ترتيب المعادلة قليلًا:
يمكننا الآن نوحِّد مقامي التعبير تحت الجذر بأكمله وجعله مقامًا مشتركًا:
بما أن المقام تحت الجذر مربع كامل، فيمكننا ايجاد الجذر التربيعي له وكتابته خارج الجذر:
بدمج الحدين بما أن لهما المقام نفسه، نحصل على:
إذن، في صورته النهائية هو القانون العام الذي يُستخدَم لإيجاد حلول المعادلات التربيعية على الصورة ؛ حيث . وهذا مذكور في التعريف الآتي.
تعريف: القانون العام
لحل معادلة تربيعية على الصورة ؛ حيث في المتغير ، و ، ، ثوابت، يمكننا استخدام القانون العام في الحل لإيجاد :
حينما نريد استخدام القانون العام، علينا التأكُّد من أن المعادلة التربيعية تساوي صفرًا، وعلى صورتها المفككة ومبسَّطة قدر الإمكان، بحيث تكون على الصورة ؛ حيث . بعد ذلك، يتعين علينا تحديد ، ، . وعَقِبَ ذلك، يمكننا التعويض في القانون العام والحل لإيجاد . وعادةً ما تكون هناك قيمتان لـ مناظرتان للجذرين التربيعيين الموجب والسالب لـ ، ولكن في بعض الأحيان يكون هناك حل واحد فقط، أو لا يوجد حلول حقيقية؛ وذلك بناءً على قيم ، ، .
سنناقش كيفية حل معادلة تربيعية مكتوبة بالفعل على الصورة ؛ حيث في المثال الأول.
مثال ١: حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام
أوجد مجموعة حل المعادلة ، وقرِّب القِيَم لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
بما أن المعادلة معادلة تربيعية، بإمكاننا استخدام إحدى طرق حل المعادلات التربيعية. وفي هذه الحالة، سنستخدم القانون العام لحل هذه المعادلة. تذكر أنه إذا كانت لدينا معادلة تربيعية على الصورة ؛ حيث ، فإن:
بما أن مكتوبة بالفعل على الصورة ، وتساوي صفرًا، ومبسَّطة بالكامل، ومكتوبة بترتيب تنازلي لقوى ، فبإمكاننا تحديد قيم ، ، :
بالتعويض بهذه القيم في القانون العام والحل لإيجاد ، نحصل على:
وبما أنه مطلوب منَّا تقريب الحل لأقرب منزلتين عشريتين، نوجد قيمتي ، فنحصل على:
إذن، مجموعة حل المعادلة هي مُقرَّبةً لأقرب منزلتين عشريتين.
في المثال التالي، سنتناول كيفية حل معادلة تربيعية غير مكتوبة على الصورة في البداية، ولكن يمكن إعادة ترتيبها وحلها باستخدام القانون العام.
مثال ٢: حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام
أوجد مجموعة حل المعادلة في ، لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
بما أن المعادلة تحتوي على الحد ، يبدو أنها معادلة تربيعية. وللتأكد من ذلك، يمكننا تبسيطها بفك الأقواس ومساواتها بالصفر كالآتي:
بما أن أعلى قوة في المعادلة ٢، نستنتج أنها معادلة تربيعية. وبما أنها الآن مكتوبة على الصورة ؛ حيث ، فيمكننا تطبيق القانون العام الذي ينص على أن:
يمكننا ملاحظة أن ، ، ، . بالتعويض بتلك القيم في القانون العام، نحصل على:
وبالتبسيط، نحصل على:
وبما أنه مطلوب منَّا تقريب الحل لأقرب منزلتين عشريتين، نوجد قيمتي ، فنحصل على:
إذن، مجموعة حل المعادلة هي مُقرَّبةً لأقرب منزلتين عشريتين.
يمكننا استخدام حلول المعادلات التربيعية لإيجاد الأجزاء المجهولة في المعادلة، مثل المعاملات أو الثوابت. ويمكننا فعل ذلك بالتعويض عن الأجزاء المعلومة والمجهولة في القانون العام والحل لإيجاد الجزء المجهول. وسنرى كيفية فعل ذلك في المثال التالي.
مثال ٣: إيجاد القيم المجهولة في المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام
إذا كان جذر المعادلة ، فما مجموعة قيم الممكنة.
الحل
بما أن على صورة المعادلة التربيعية، فبإمكاننا استخدام القانون العام لإيجاد قيم .
ينص القانون العام على أنه إذا كانت لدينا معادلة تربيعية على الصورة: ؛ حيث ، فإن:
بمقارنة بـ ، نلاحظ أن ، ، . وبما أننا نعلم أيضًا أن أحد جذري المعادلة، فبإمكاننا التعويض عن ، ، ، في القانون العام:
وبالتبسيط، نحصل على:
يمكننا التبسيط أكثر بأخذ ٤ عاملًا مشتركًا وإخراجه خارج الجذر:
علينا بعد ذلك الحل لإيجاد قيمة . بما أن أحد أجزاء المعادلة يتضمن ، فبمجرد إعادة ترتيبها ستبدو على صورة معادلة تربيعية. ومن ثَمَّ، نريد إعادة ترتيبها لتصبح على الصورة ؛ حيث حتى يستنى لنا تطبيق القانون العام مرة أخرى (لكن هذه المرة بقيم ، ، مختلفة).
بإعادة ترتيب المعادلة، نحصل على:
والآن، بعد أن أصبحت المعادلة على الصورة ؛ حيث ، يمكننا إيجاد ، ، . بالمقارنة، نلاحظ أن ، ، . وبالتعويض في القانون العام، نحصل على:
وبالتبسيط، نحصل على:
إذن، مجموعة قيم الممكنة هي: .
بالإضافة إلى المعادلات التربيعية التي تحتوي على حدود تربيعية، يمكن أن تكون لدينا معادلات قد لا تبدو تربيعية للوهلة الأولى، ولكنها تصبح تربيعية إن أعدنا ترتيبها. فمثلًا، يمكن إعادة ترتيبها لتصبح ، وهي معادلة تربيعية. ومن ثَمَّ، يمكننا حل المعادلات التي تصبح تربيعية بعد إعادة ترتيبها باستخدام القانون العام. وفي المثال التالي، سنرى كيفية فعل ذلك.
مثال ٤: إعادة ترتيب معادلة لحلها باستخدام القانون العام
أوجد مجموعة حل المعادلة في ، مقرِّبًا الناتج لأقرب منزلة عشرية.
الحل
لحل ، سيكون من المفيد التخلُّص من أي متغيرات في المقام أولًا. ولفعل ذلك، علينا ضرب المعادلة في أعلى قوة لـ في المقام، وهي . وبفعل ذلك، نحصل على:
بما أن أعلى قوة في المعادلة هي ٢، نستنتج أنها معادلة تربيعية. ولاستخدام القانون العام، علينا إعادة ترتيب المعادلة على الصورة ؛ حيث . وفي هذه الحالة، من المفيد نقل الحدين في الطرف الأيمن إلى الطرف الأيسر بحيث تكون المعاملات موجبة (لكنه ليس ضروريًّا) حتى يُسهِّل علينا الحسابات لاحقًا:
والآن بعد أن أصبحت المعادلة على الصورة ؛ حيث ، يمكننا تطبيق القانون العام الذي ينص على أن:
بمقارنة بـ نلاحظ أن ، ، . وبالتعويض في القانون العام، نحصل على:
وبالتبسيط، نحصل على:
وبما أنه مطلوب منَّا في السؤال إيجاد مجموعة الحل لأقرب منزلة عشرية واحدة، نوجد قيمة هذا لنحصل على:
إذن، مجموعة حل معادلة هي مُقرَّبةً لأقرب منزلة عشرية.
بالإضافة إلى المعادلات التي يمكن إعادة ترتيبها لتصبح معادلة تربيعية، يمكن أن تكون لدينا معادلات ليست نفسها معادلات تربيعية صراحة، ولكن يمكن حلها باستخدام القانون العام لكونها على صورة المعادلة التربيعية نفسها. فمثلًا، معادلة من الدرجة الرابعة؛ لأن أعلى قوة فيها ٤، لكن لأنها تأخذ الصورة ؛ حيث ؛ حيث المتغير يمثِّل أو ، يمكن حلها باستخدام القانون العام لأنها تتضمَّن صورة المعادلة التربيعية.
وفي المثال التالي، سنتناول كيفية حل معادلة من الدرجة الرابعة عن طريق كتابتها على صورة المعادلة التربيعية واستخدام القانون العام.
مثال ٥: استخدام القانون العام لحل معادلة من الدرجة الرابعة
باستخدام القانون العام، أوجد جميع حلول .
الحل
لإيجاد حلول المعادلة باستخدام القانون العام، علينا كتابة المعادلة على صورة المعادلة التربيعية. يمكننا ملاحظة أن لها قوى زوجية؛ مما يعني أن بإمكاننا استبدال متغير آخر بـ ، لنقل ؛ مما يعطينا . وبذلك، نحصل على:
يمكننا الآن ملاحظة أن تأخذ صورة المعادلة تربيعية ؛ حيث . يمكننا بعد ذلك تطبيق القانون العام في الحل لإيجاد ، وهو ما ينص على أن:
بما أن ، ، ، بالتعويض نحصل على:
وبالتبسيط، نحصل على:
تذكر أننا فرضنا ؛ ومن ثَمَّ:
بإيجاد الجذر التربيعي لكلا الطرفين والحل لإيجاد نحصل على:
إذن، جميع حلول المعادلة هي:
في هذا الشارح، تناولنا كيفية حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام. ولكي نجعل المعادلات على الصورة المطلوبة، أعدنا ترتيبها، أو استخدمنا التعويض لجعلها على صورة المعادلة التربيعية. هيا نلخِّص النقاط الرئيسية.
النقاط الرئيسية
- يمكننا حل المعادلات التربيعية على الصورة ؛ حيث باستخدام القانون العام:
- يمكن كتابة بعض المعادلات بعد إعادة ترتيبها على الصورة التربيعية ؛ حيث ثم حلها باستخدام القانون العام.
- يمكن حل بعض المعادلات التي ليست نفسها معادلات تربيعية صراحة باستخدام القانون العام إذا كانت على الصورة ؛ حيث ؛ حيث يمكن أن يمثِّل دالة أخرى.
