تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الانحراف المعياري للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب الانحراف المعياري للمتغيِّرات العشوائية المتقطِّعة.

الانحراف المعياري لمتغيِّر عشوائي هو مقياس انتشار توزيع الاحتمال. إذا كان المتغيِّر العشوائي 𞹎، فالانحراف المعياري يُرمَز له بالرمز 𝜎 أو 𝜎𞹎. مربعه، الذي يُسمَّى التباين، (𞹎)، يُعرَّف بواسطة: 𝜎=(𞹎)=󰂔󰂔𞹎(𞹎)󰂓󰂓،٢٢ حيث يشير (𞹎) إلى القيمة المتوقَّعة للمتغيِّر العشوائي 𞹎. الانحراف المعياري 𝜎 يمكن الحصول عليه بأخذ الجذر التربيعي الموجب للتباين. وبالنظر إلى هذه الصيغة على نحوٍ أكثر قربًا، نجد أن (𞹎) هو قيمة متوسط المسافة المربعة لنقاط البيانات من القيمة المتوقَّعة. وحدة هذا المتوسط ستكون مربع وحدة المتغيِّر الأصلي؛ لذا، نأخذ الجذر التربيعي لنتأكَّد من أن الوحدة توافق المتغيِّر الأصلي 𞹎. باختصار، يمثِّل الانحراف المعياري متوسط المسافة التي تبعُدها نواتج المتغيِّر العشوائي عن القيمة المتوقَّعة.

في الصورة السابقة، التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر العشوائي 𞹎 مُعطى. يشير (𞹎) إلى القيمة المتوقَّعة، ويشير 𝜎 إلى الانحراف المعياري.

الصيغة المُعطاة للانحراف المعياري بالأعلى صعبة الاستخدام عمليًّا؛ لذا، نُدخِل متغيِّرًا في هذه الصيغة. بما أن هذه الصيغة البديلة أسهل استخدامًا، إذن نستخدمها باعتبارها التعريف.

تعريف: الانحراف المعياري

إذا كان المتغيِّر العشوائي 𞹎، يكون تباين الدالة 𞹎 مُعطى بواسطة: (𞹎)=󰁓𞹎󰁒((𞹎)).٢٢

والانحراف المعياري هو: 𝜎=𝜎=󰋷(𞹎).𞹎

يُستخدَم الحرف 𞹎 المكتوب في الأسفل في 𝜎𞹎 عندما يكون أكثرُ من متغيِّر عشوائي مضمَّنًا في مسألة. للمتغيِّر العشوائي 𞹑، ستشير 𝜎𞹑 إلى الانحراف المعياري. إذا كان هناك متغيِّر عشوائي واحد يجب مراعاته، فسنحذف الحرف المكتوب بالأسفل، ويُفضَّل استخدام الرمز الأبسط 𝜎.

لحساب الانحراف المعياري باستخدام هذه الصيغة، علينا أولًا حساب القيم المتوقَّعة لـ 𞹎، 𞹎٢. هيا نتدرَّب على ذلك باستخدام رمية حجر النرد. نفترض أن 𞹎 متغيِّر عشوائي يمثِّل نواتج إلقاء حجر نرد منتظم. إذن يكون لدينا التوزيع الاحتمالي الموضَّح.

𞸎١٢٣٤٥٦
𞸋(𞹎=𞸎)١٦١٦١٦١٦١٦١٦

نحن نتذكَّر أن القيمة المتوقَّعة لمتغيِّر عشوائي متقطِّع 𞹎، بأخذ القيم من {𞸎،𞸎،،𞸎}١٢𞸍، مُعطاة بواسطة: (𞹎)=𞸎𞸋󰁓𞹎=𞸎󰁒+𞸎𞸋󰁓𞹎=𞸎󰁒++𞸎𞸋󰁓𞹎=𞸎󰁒.١١٢٢𞸍𞸍

بما أن 𞹎 يأخذ قيمًا من {١،٢،٣،٤،٥،٦}، إذن يكون لدينا: (𞹎)=١×١٦+٢×١٦+٣×١٦+٤×١٦+٥×١٦+٦×١٦=٧٢.

هذا يعطينا جزءًا واحدًا من الصيغة أعلاه: (𞹎)=٧٢. بعد ذلك، علينا حساب القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎٢. بما أن 𞹎 يأخذ القيم ١،٢،٣،،٦، إذن لا بد أن يأخذ 𞹎٢ القيم ١،٤،٩،،٦٣. التوزيع الاحتمالي لـ 𞹎٢ يأتي من 𞹎. في هذا المثال، 𞸋󰁓𞹎=٦٣󰁒=𞸋(𞹎=٦)=١٦٢؛ أي إن احتمال القيمة المربعة يتوافق مع احتمال الناتج الأصلي. وبالمثل، يمكننا ملاحظة أن الصف الثاني من التوزيع الاحتمالي لـ 𞹎٢ مطابق لذلك الموجود في 𞹎.

𞸎٢١٤٩١٦٢٥٣٦
𞸋󰁓𞹎=𞸎󰁒٢٢١٦١٦١٦١٦١٦١٦

القيمة المتوقَّعة لـ 𞹎٢ تُحسَب بالصورة: 󰁓𞹎󰁒=١×١٦+٤×١٦+٩×١٦+٦١×١٦+٥٢×١٦+٦٣×١٦=١٩٦.٢

ونحن نلاحظ أن صيغة 󰁓𞹎󰁒٢ يمكن الحصول عليها من صيغة (𞹎) عن طريق التعويض عن النواتج {١،،٦} بمربعاتها {١،،٦}٢٢. بشكلٍ عام، بالنسبة إلى المتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎، بأخذ القيم من {𞸎،،𞸎}١𞸍 يكون لدينا: 󰁓𞹎󰁒=𞸎𞸋󰁓𞹎=𞸎󰁒+𞸎𞸋󰁓𞹎=𞸎󰁒++𞸎𞸋󰁓𞹎=𞸎󰁒.٢٢١١٢٢٢٢𞸍𞸍

هذه الصيغة صحيحة حتى عندما يكون لناتجين مختلفين القيمة المربعة نفسها (على سبيل المثال، 𞸎=١١، 𞸎=١٢). هذا يسمح لنا بتجاهل خطوة إيجاد التوزيع الاحتمالي لـ 𞹎٢ من أجل حساب 󰁓𞹎󰁒٢. وبذلك نحصل على: (𞹎)=󰁓𞹎󰁒󰁓(𞹎)󰁒=١٩٦󰂔٧٢󰂓=٥٣٢١.٢٢٢

بأخذ الجذر التربيعي للتباين، نحصل على: 𝜎=󰋺٥٣٢١١٧٫١.𞹎

الانحراف المعياري للفة حجر نرد يساوي ١٫٧١ تقريبًا، هذا يعني أن حجر النرد يبعُد، في المتوسط، ١٫٧١ تقريبًا عن ٣٫٥. نوضِّح هذه العملية في الآتي.

خطوات: حساب الانحراف المعياري لمتغيِّر عشوائي متقطِّع

افترض أن 𞹎 متغيِّر عشوائي متقطِّع. الانحراف المعياري 𝜎 نحصل عليه من خلال العملية الآتية:

  1. احسب (𞹎).
  2. احسب 󰁓𞹎󰁒٢.
  3. احسب (𞹎)=󰁓𞹎󰁒󰁓(𞹎)󰁒٢٢.
  4. احسب 𝜎=󰋷(𞹎).

نلاحظ أننا حذفنا خطوة تكوين التوزيع الاحتمالي لـ 𞹎٢. على الرغم من أنه من المفيد أن نراعي ذلك عند إجراء الخطوات المذكورة، فإنه ليس من الضروري الحصول على الحل النهائي الصحيح.

ومع هذا، تجدر الإشارة إلى أن ناتجين مختلفين قد تكون لهما القيمة المربعة نفسها. هيا نلقِ نظرة على بعض الأمثلة لنتعرَّف على السياقات المختلفة.

مثال ١: تحديد الانحراف المعياري لمتغيِّر عشوائي متقطِّع

الدالة في الجدول الموضَّح دالة احتمال لمتغيِّر عشوائي متقطِّع 𞹎. أوجد الانحراف المعياري للمتغيِّر العشوائي 𞹎. قرِّب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

𞸎𞸓٥٤٣١
󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓١٣١٨١٤٧٤٢

الحل

نتذكَّر عملية الخطوات الأربع المستخدَمة للحصول على الانحراف المعياري 𝜎:

  1. احسب (𞹎).
  2. احسب 󰁓𞹎󰁒٢.
  3. احسب (𞹎)=󰁓𞹎󰁒󰁓(𞹎)󰁒٢٢.
  4. احسب 𝜎=󰋷(𞹎).

ولعلنا نتذكَّر أن القيمة المتوقَّعة للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎، بأخذ القيم من {𞸎،𞸎،،𞸎}١٢𞸍، مُعطاة بواسطة: (𞹎)=𞸎𞸋󰁓𞹎=𞸎󰁒+𞸎𞸋󰁓𞹎=𞸎󰁒++𞸎𞸋󰁓𞹎=𞸎󰁒.١١٢٢𞸍𞸍

عرفنا أن المتغيِّر العشوائي 𞹎 يأخذ قيمًا من {٥،٤،٣،١}. بعد ذلك، يمكننا حساب: (𞹎)=(٥)×١٣+(٤)×١٨+(٣)×١٤+(١)×٧٤٢=٧٧٤٢.

كما نتذكَّر أنه إذا كان المتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎 يأخذ قيمًا من {𞸎،𞸎،،𞸎}١٢𞸍، فإذن 󰁓𞹎󰁒٢ مُعطى بواسطة: 󰁓𞹎󰁒=𞸎𞸋󰁓𞹎=𞸎󰁒+𞸎𞸋󰁓𞹎=𞸎󰁒++𞸎𞸋󰁓𞹎=𞸎󰁒.٢٢١١٢٢٢٢𞸍𞸍

إذن: 󰁓𞹎󰁒=٥٢×١٣+٦١×١٨+٩×١٤+١×٧٤٢=٩٠٣٤٢=٣٠١٨.٢

بعد ذلك، نحسب التباين: (𞹎)=󰁓𞹎󰁒󰁓(𞹎)󰁒=٣٠١٨󰂔٧٧٤٢󰂓=٧٨٤١٦٧٥.٢٢٢

بأخذ الجذر التربيعي: 𝜎=󰋺٧٨٤١٦٧٥=١٦٫١.ب

إذن الانحراف المعياري يساوي ١٫٦١ لأقرب منزلتين عشريتين.

مثال ٢: تحديد الانحراف المعياري لمتغيِّر عشوائي متقطِّع من وصف لفظي

افترض أن 𞹎 يرمز إلى المتغيِّر العشوائي المتقطِّع الذي يأخذ القيم: ٠، ٢، ٤، ٦. إذا كان 𞸋(𞹎=٠)=١٧، 𞸋(𞹎=٢)=٢٧، 𞸋(𞹎=٤)=٢٧، فأوجد الانحراف المعياري للمتغيِّر 𞹎، لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نلاحظ أنه على الرغم من وجود أربع قيم ممكنة لـ 𞹎، فإن لدينا ثلاثة نواتج فقط لها احتمالاتها المرتبطة. على وجه التحديد، احتمال الناتج ٦ ناقص. وباستخدام حقيقة أن مجموع احتمالات جميع النواتج لا بد أن يساوي ١، فإننا نعرف أن: 𞸋(𞹎=٠)+𞸋(𞹎=٢)+𞸋(𞹎=٤)+𞸋(𞹎=٦)=١.

هذا يعني: ١٧+٢٧+٢٧+𞸋(𞹎=٦)=١، وهو ما يؤدِّي إلى 𞸋(𞹎=٦)=٢٧.

نتذكَّر خطوات حساب الانحراف المعياري:

  1. احسب (𞹎).
  2. احسب 󰁓𞹎󰁒٢.
  3. احسب (𞹎)=󰁓𞹎󰁒󰁓(𞹎)󰁒٢٢.
  4. احسب 𝜎=󰋷(𞹎).

لذا، نبدأ بحساب: (𞹎)=٠×١٧+٢×٢٧+٤×٢٧+٦×٢٧=٤٢٧.

كما نحسب: 󰁓𞹎󰁒=٠×١٧+٢×٢٧+٤×٢٧+٦×٢٧=٢١١٧=٦١.٢٢٢٢٢

بعد ذلك: (𞹎)=󰁓𞹎󰁒󰁓(𞹎)󰁒=٦١󰂔٤٢٧󰂓=٨٠٢٩٤.٢٢٢

وأخيرًا، بأخذ الجذر التربيعي: 𝜎=󰋷(𞹎)=󰋺٨٠٢٩٤=٦٠٫٢.ب

إذن، الانحراف المعياري لأقرب منزلتين عشريتين هو ٢٫٠٦.

في السؤالين التاليين، نتناول أمثلة تتضمَّن بارامترات مجهولة في التوزيع الاحتمالي.

مثال ٣: تحديد الانحراف المعياري لمتغيِّر عشوائي متقطِّع

افترض أن 𞹎 يُعبِّر عن متغيِّر عشوائي متقطِّع يُمكِن أن يأخذ القيم: ٠، ٢، ٥. إذا كانت دالة توزيع 𞹎 الاحتمالية 󰎨(𞸎)=󰏡٦𞸎+٦، فأوجد الانحراف المعياري لـ 𞹎. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

في هذه المسألة، يمكننا إيجاد البارامتر المجهول باستخدام حقيقة أن مجموع احتمالات جميع النواتج لا بد أن يساوي ١. بما أن ٠، ٢، ٥ هي النواتج الممكنة الوحيدة، إذن نعرف أن: 󰎨(٠)+󰎨(٢)+󰎨(٥)=١.

أولًا، نُوجِد قيمة 󰎨(٠)، 󰎨(٢)، 󰎨(٥): 󰎨(٠)=󰏡٦×٠+٦=󰏡٦،󰎨(٢)=󰏡٦×٢+٦=󰏡٨١،󰎨(٥)=󰏡٦×٥+٦=󰏡٦٣.

وهذا يؤدِّي إلى: 󰏡٦+󰏡٨١+󰏡٦٣=١.

بضرب طرفَي المعادلة في ٣٦، نحصل على: ٦󰏡+٢󰏡+󰏡=٦٣.

وهذا يؤدِّي إلى ٩󰏡=٦٣، إذن 󰏡=٤. إذن التوزيع الاحتمالي مُعطى بواسطة: 󰎨(٠)=٤٦×٠+٦=٢٣،󰎨(٢)=٤٦×٢+٦=٢٩،󰎨(٥)=٤٦×٥+٦=١٩.

نحن نتبع الخطوات التي تساعدنا على الحصول على الانحراف المعياري:

  1. احسب (𞹎).
  2. احسب 󰁓𞹎󰁒٢.
  3. احسب (𞹎)=󰁓𞹎󰁒󰁓(𞹎)󰁒٢٢.
  4. احسب 𝜎=󰋷(𞹎).

بدايةً لدينا: (𞹎)=٠×󰎨(٠)+٢×󰎨(٢)+٥×󰎨(٥)=٢×٢٩+٥×١٩=١.

بعد ذلك نحسب: 󰁓𞹎󰁒=٠×󰎨(٠)+٢×󰎨(٢)+٥×󰎨(٥)=٤×٢٩+٥٢×١٩=١١٣.٢٢٢٢

إذن: (𞹎)=󰁓𞹎󰁒󰁓(𞹎)󰁒=١١٣١=٨٣.٢٢٢

وأخيرًا، بأخذ الجذر التربيعي والتقريب لأقرب منزلتين عشريتين: 𝜎=󰋺٨٣=٣٦٫١.ب

إذن الانحراف المعياري لأقرب منزلتين عشريتين هو ١٫٦٣.

مثال ٤: تحديد الانحراف المعياري لمتغيِّر عشوائي متقطِّع

الدالة الموضَّحة في الجدول التالي دالة احتمال للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎. إذا كانت قيمة 𞹎 المتوقَّعة ٦٫٥، فأوجد انحراف 𞹎 المعياري. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

𞸎𞸓٣𞸀٦٨
󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓٠٫٢٠٫١٠٫١٠٫٦

الحل

في هذه المسألة، لدينا القيمة المتوقَّعة (𞹎)=٥٫٦. يمكننا كتابة صيغة القيمة المتوقَّعة لتحديد البارامتر المجهول 𞸀: (𞹎)=٣×٢٫٠+𞸀×١٫٠+٦×١٫٠+٨×٦٫٠.

بمساواة الطرف الأيسر بـ ٦٫٥، نحصل على ٦+١٫٠𞸀=٥٫٦، التي تؤدِّي إلى 𞸀=٥.

لحساب الانحراف المعياري، نتذكَّر الخطوات الآتية:

  1. احسب (𞹎).
  2. احسب 󰁓𞹎󰁒٢.
  3. احسب (𞹎)=󰁓𞹎󰁒󰁓(𞹎)󰁒٢٢.
  4. احسب 𝜎=󰋷(𞹎).

(𞹎) معلوم بالفعل؛ لذا، لا نحتاج إلى تكرار هذه الخطوة. لدينا: 󰁓𞹎󰁒=٣×٢٫٠+٥×١٫٠+٦×١٫٠+٨×٦٫٠=٣٫٦٤.٢٢٢٢٢

إذن (𞹎)=٣٫٦٤٥٫٦=٥٠٫٤٢ يؤدِّي إلى 𝜎=󰋴٥٠٫٤=١٠٫٢، لأقرب منزلتين عشريتين.

إذن الانحراف المعياري لأقرب منزلتين عشريتين هو ٢٫٠١.

معامل التغيُّر 𞸌𞸕 يعطينا الانحراف المعياري في صورة نسبة مئوية من القيمة المتوقَّعة.

تعريف: معامل الاختلاف

نفترض أن 𞹎 متغيِّر عشوائي متقطِّع، والوسط الحسابي (𞹎)، والانحراف المعياري 𝜎𞹎. نفترض أيضًا أن 𝜇٠. إذن معامل الاختلاف 𞸌𞸕 مُعطى بواسطة: 𞸌=𞸌(𞹎)=𝜎(𞹎)×٠٠١(٪).𞸕𞸕𞹎

بوضوح، 𞸌𞸕 غير معرَّفة عندما يساوي الوسط الحسابي صفرًا. أيضًا، يكون معامل الاختلاف سالبًا عندما تكون القيمة المتوقَّعة سالبة؛ لأن الانحراف المعياري يكون موجبًا دائمًا.

وفي حين أن الانحراف المعياري 𝜎 هو مقياس مطلق للانتشار، يكون معامل الاختلاف 𞸌𞸕 مقياسًا نسبيًّا للانتشار. ونظرًا لأن المتغيِّرات ذات القيم المتوقَّعة الأكبر من المحتمل جدًّا أن تكون أكثر انتشارًا، فمن المنطقي أن نستخدم مقياسًا نسبيًّا عند مقارنة عمليات الانتشار. يمثِّل معامل الاختلاف المسافة في المتوسط بين نقاط البيانات والوسط الحسابي بالنسبة إلى مقدار الوسط الحسابي.

على سبيل المثال، إذا كان 𞹎، 𞹑، على الترتيب، يمثِّلان عدد الأفيال وعدد الأيائل في محمية إفريقية. لنقل إن 𞹎، 𞹑 لهما الوسط الحسابي (𞹎)=٠٣، (𞹑)=٠٠٠٥، والانحراف المعياري 𝜎=٣𞹎 ،𝜎=٠٥٢𞹑. إذن معامل الاختلاف لعدد الأفيال هو: 𞸌(𞹎)=𝜎(𞹎)×٠٠١=٣٠٣×٠٠١=٠١٪.𞸕𞹎

من ناحية أخرى، معامل الاختلاف لعدد الأيائل هو: 𞸌(𞹑)=𝜎(𞹑)×٠٠١=٠٥٢٠٠٠٥×٠٠١=٥٪.𞸕𞹑

على الرغم من أن 𞹑 لها مقياس مطلق للانتشار 𝜎 أكبر من 𞹎 (٢٥٠ مقابل ٣)، فإن لها مقياسًا نسبيًّا للانتشار أصغر 𞸌𞸕 (٥٪ مقابل ٠١٪). بعبارةٍ أخرى، على الرغم من أن عدد الأيائل أكثر تنوعًا من عدد الأفيال في الأعداد البحتة، فإن التغيُّر في عدد الأيائل يكون نسبة مئوية أقل من متوسط عددها مقارنةً بعدد الأفيال.

هيا نَعْتَد على معامل الاختلاف باستخدام الأمثلة الآتية.

مثال ٥: حساب معامل الاختلاف لمتغيِّر عشوائي متقطِّع من تمثيلات بيانية

أوجد مُعامِل اختلاف المتغيِّر العشوائي 𞹎 الموضَّح توزيعه الاحتمالي. قرِّب إجابتك لأقرب نسبة مئوية.

الحل

لقد أُعطِينا التوزيع الاحتمالي في صورة تمثيل بياني. نتذكَّر أن معامل الاختلاف هو 𝜎(𞹎)×٠٠١٪؛ حيث 𝜎 هو الانحراف المعياري.

نبدأ بحساب الوسط الحسابي: (𞹎)=١×١٠١+٣×٢٠١+٥×٣٠١+٧×٤٠١=٥.

بعد ذلك نحسب الانحراف المعياري. لأننا حسبنا بالفعل (𞹎)، ننتقل إلى حساب 󰁓𞹎󰁒٢ بواسطة: ١×١٫٠+٣×٢٫٠+٥×٣٫٠+٧×٤٫٠=٩٢.٢٢٢٢

إذن: (𞹎)=󰁓𞹎󰁒󰁓(𞹎)󰁒=٩٢٥=٤،٢٢٢ تؤدِّي إلى الانحراف المعياري 𝜎=󰋴٤=٢. بحساب النسبة مع الوسط الحسابي: 𞸌=𝜎(𞹎)×٠٠١٪=٢٥×٠٠١٪=٠٤٪.𞸕

إذن معامل الاختلاف هو ٤٠٪.

مثال ٦: حساب معامل الاختلاف لمتغيِّر عشوائي متقطِّع من وصف لفظي

افترض أن 𞹎 يشير إلى متغيِّر عشوائي متقطِّع يمكن أن يأخذ القيم ٢، ٣، ٥، ٧. إذا كان 𞸋(𞹎=٢)=١٢١، 𞸋(𞹎=٣)=١٤، 𞸋(𞹎=٥)=١٣، 𞸋(𞹎=٧)=١٣، فأوجد معامل الاختلاف لأقرب نسبة مئوية.

الحل

نتذكَّر أن معامل الاختلاف مُعطى بواسطة 𝜎(𞹎)×٠٠١٪؛ حيث 𝜎 هو الانحراف المعياري.

نبدأ بحساب الوسط الحسابي: (𞹎)=٢×١٢١+٣×١٤+٥×١٣+٧×١٣=٩٥٢١.

بعد ذلك نحسب الانحراف المعياري. وبما أننا حسبنا بالفعل (𞹎)، إذن ننتقل إلى حساب 󰁓𞹎󰁒٢ بواسطة: ٢×١٢١+٣×١٤+٥×١٣+٧×١٣=٩٠١٤.٢٢٢٢

إذن (𞹎)=٩٠١٤󰂔٩٥٢١󰂓٤٦٧٠٫٣٢، والانحراف المعياري 𝜎=󰋴٤٦٧٠٫٣=٥٧٫١. وأخيرًا، بأخذ النسبة مع الوسط الحسابي: 𞸌=𝜎(𞹎)×٠٠١=٥٧٫١÷٩٥٢١×٠٠١٧٦٫٥٣(٪).𞸕

وبالتقريب إلى أقرب نسبة مئوية، يكون معامل الاختلاف ٣٦٪.

هيا نلخِّص بعض المفاهيم المهمة من هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • بمعلومية التوزيع الاحتمالي لمتغيِّر عشوائي 𞹎، يمكننا حساب الانحراف المعياري 𝜎 باتباع الخطوات الآتية:
    • احسب (𞹎).
    • احسب 󰁓𞹎󰁒٢.
    • احسب (𞹎)=󰁓𞹎󰁒󰁓(𞹎)󰁒٢٢.
    • احسب 𝜎=󰋷(𞹎).
  • التوزيع الاحتمالي لـ 𞹎٢ ينتج عن 𞹎.
  • معامل الاختلاف 𞸌𞸕 يمثِّل الانحراف المعياري 𝜎 في صورة نسبة مئوية لـ (𞹎): 𞸌=𝜎(𞹎)×٠٠١(٪).𞸕
  • الانحراف المعياري هو مقياس مطلق للانتشار، ومعامل الاختلاف هو مقياس نسبي (نسبة مئوية) للانتشار.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.