شارح الدرس: تبسيط المقادير المثلثية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُبسِّط مقدارًا يحتوي على دوال مثلثية.

عادةً ما تبسَّط هذه المقادير عند تطبيق متطابقة واحدة أو أكثر من المتطابقات المثلثية، التي تربط بين الدوال المثلثية المختلفة ومقلوباتها وسعاتها. ولهذه المقادير استخدامات رياضية، إلا أن لها تطبيقات في الحياة الواقعية أيضًا.

للمتطابقات المثلثية تطبيقات عديدة في مجالات مختلفة في الحياة الواقعية، مثل الفيزياء والهندسة والعمارة وعلم الروبوتات ونظرية الموسيقى والملاحة، وذلك على سبيل المثال لا الحصر. ففي الفيزياء، يمكن استخدامها في دراسة حركة المقذوفات، وتمثيل ميكانيكا الموجات الكهرومغناطيسية، وتحليل التيارات المترددة والمستمرة، وتحديد مسار كتلة تدور حول جسم كبير تحت تأثير قوة الجاذبية.

دعونا نبدأ بتذكر الدوال المثلثية، والتي سنتناول متطابقات فيثاغورس المرتبطة بها في هذا الشارح. انظر إلى المثلث القائم الزاوية الآتي.

يمكن التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة النسبة بين أضلاع المثلث كما يلي:

هذه الدوال تحقق المتطابقة المثلثية التالية:

نلاحظ أن هذه النسب المثلثية مُعرَّفة للزوايا الحادة ، وأن الدوال المثلثية لكل قيم مُعرَّفة على دائرة الوحدة.

افترض أن لدينا نقطة تتحرك على دائرة الوحدة في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. عند نقطة معينة على دائرة الوحدة بزاوية قياسها ، تكون دالة الجيب مُعرَّفة على الصورة ودالة جيب التمام مُعرَّفة على الصورة ، كما هو موضح في الشكل السابق. بعبارة أخرى، تُعرَّف الدوال المثلثية باستخدام إحداثيات نقطة تقاطع دائرة الوحدة مع الضلع النهائي للزاوية في الوضع القياسي.

يُعرَّف مقلوب المعادلات المثلثية بدلالة المعادلات المثلثية القياسية على النحو التالي.

والدوال المثلثية دوال دورية، وهو ما يعني أنه إذا أضفنا أحد المضاعفات الصحيحة لـ ، بالرديان، أو إلى الزاوية ، فستظل قيمة الدالة كما هي:

يمكننا ملاحظة ذلك مباشرة من تعريف دائرة الوحدة للدوال المثلثية. وفي الحقيقة، تكون دالة الظل دورية وطول دورتها ، بالرديان، أو ؛ حيث:

وبالمثل، بالنسبة إلى مقلوب الدوال المثلثية، يكون لدينا:

وكما هو الحال مع دالة الظل، تكون دالة ظل التمام دالة دورية وطول دورتها ، بالرديان أو ؛ حيث:

تنطبق المتطابقات المثلثية التي سنتناولها في هذا الشارح على أي زاوية في مجال الدوال، سواء كانت مقيسة بالدرجات، أو بالرديان. وعلى وجه التحديد، يمكننا تحويل قياس أي زاوية بين الدرجات والرديان باستخدام القاعدة التالية: إذا كانت لدينا زاوية قياسها ، فإنه يمكننا تحويلها إلى راديان باستخدام الصيغة:

عند التعامل مع المقادير المثلثية، من المفيد إعادة كتابة متطابقات المقلوب للدوال المثلثية بدلالة الجيب وجيب التمام للتبسيط.

دعونا نتناول مثالًا علينا فيه استخدام مقلوب الدوال المثلثية لإيجاد قيمة مقدار دالة مثلثية.

والآن، لنتناول مثالًا يمكننا فيه تبسيط مقدار دالة مثلثية معين.

في المثال التالي، سنبسط مقدار دالة مثلثية بكتابته بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام.

يتضمن المثال التالي حاصل ضرب دوال مثلثية ومقلوبها، وهو ما يمكننا تبسيطه باستخدام تعريف دوال المقلوب ثم إعادة كتابة الإجابة النهائية بدلالة دالة مقلوب آخر.

الدوال المثلثية ومقلوبها هي دوال زوجية وفردية لأنها تحقق الخاصية ، في الدوال الزوجية، والخاصية ، في الدوال الفردية. وعلى وجه التحديد، دالة الجيب دالة فردية، بينما دالة جيب التمام دالة زوجية؛ لأنهما تحققان: لأي قيمة للزاوية إما بالدرجات أو بالرديان. بناءً على ذلك، يمكننا أيضًا تحديد زوجية أو فردية الدوال المثلثية الأخرى المعرَّفة بدلالة هذه الدوال. على وجه التحديد، بالنسبة إلى دالة الظل، يكون لدينا:

وبذلك، تكون دالة الظل فردية، ويمكننا استنتاج زوجية أو فردية الدوال المثلثية الأخرى بطريقة مشابهة. يمكننا تلخيص ذلك كما يلي.

والآن، دعونا نتناول مثالًا علينا فيه تطبيق زوجية أو فردية الدالة المثلثية لتبسيط مقدار دالة مثلثية معين.

دالة الجيب تكافئ دالة جيب التمام بانتقال مقداره إلى اليسار، وهو ما يمكن تصوره بالمقارنة بين التمثيل البياني لكلتا الدالتين.

على وجه التحديد، لدينا متطابقات الإزاحة للزاويتين ، :

يمكننا أيضًا تمثيل ذلك على دائرة الوحدة كما هو موضح.

وبالمثل، باستبعاد واستخدام بدلًا منها، نحصل على متطابقتَي الزاويتين المتتامتين التاليتين ، :

ويمكننا تمثيل ذلك كما هو موضح:

يوضح الشكل مثلثًا قائم الزاوية فيه زاوية في الوضع القياسي، وهو يتقاطع مع دائرة الوحدة عند النقطة ويتضمن زاوية حادة القياس .

يمكننا تجميع هاتين المتطابقتين واستخدامهما لإيجاد متطابقات الدوال المثلثية الأخرى المُعرَّفة بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام.

على سبيل المثال، بالنسبة إلى دالة الظل، لدينا:

وتُقاس كل هذه المتطابقات أيضًا بالرديان، وبالتحديد، عن طريق استبعاد واستخدام بالرديان بدلًا منها.

والآن، دعونا نتناول مثالًا نستخدم فيه هذه المتطابقة مع زوجية أو فردية الدالة المثلثية لتبسيط مقدار.

والآن، نفترض أننا نريد إيجاد . يمكننا إيجاد ذلك باستخدام المتطابقات أعلاه أكثر من مرة. إذا افترضنا أن ، فإن:

والآن، بالتعويض بـ ، نحصل على:

وبالمثل، نجد أن:

وبتطبيق هذه المتطابقات بصورة متكررة أو باستخدام دائرة الوحدة، نحصل أيضًا على متطابقتين للزاويتين ، :

بالنسبة إلى ، ، يكون لدينا الآتي.

وبالنسبة إلى ، ، يكون لدينا الآتي.

نحصل أيضًا على متطابقات للدوال المثلثية الأخرى، الناتجة عن دالتَي الجيب وجيب التمام، من تعريفهما:

يتضمن المثال التالي استخدام تعريفات مقلوب الدوال المثلثية بالإضافة إلى متطابقات الزاويتين المتتامتين بالرديان لتبسيط مقدار.

وبالمثل، بالنسبة إلى الزاويتين ، ، نحصل على:

يمكن تمثيل ذلك على النحو التالي.

باستخدام دورية الدوال المثلثية ودائرة الوحدة، نحصل على:

تُقاس كل المتطابقات أيضًا بالرديان عن طريق استبعاد واستخدام بالرديان بدلًا منها. يمكن أيضًا تمثيلها باستخدام دائرة الوحدة كما هو موضح.

يمكن تمثيل جميع متطابقات الزوايا المنتسبة باستخدام الآتي.

والآن، دعونا نتناول بعض الأمثلة التي علينا فيها تطبيق متطابقات الزاويتين المتتامتين لتبسيط مقدار دالة مثلثية. في المثال التالي، سنستخدم هذه المتطابقة بشكل متكرر في دالتَي جيب التمام والجيب بالدرجات.

في المثال التالي، علينا تطبيق متطابقات الزاويتين المتتامتين على دالتَي الظل وظل التمام بشكل متكرر بالدرجات، لتبسيط مقدار دالة مثلثية.

دعونا نختتم هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية المستخلصة منه.