تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: تبسيط المقادير المثلثية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُبسِّط مقدارًا يحتوي على دوال مثلثية.

عادةً ما تبسَّط هذه المقادير عند تطبيق متطابقة واحدة أو أكثر من المتطابقات المثلثية، التي تربط بين الدوال المثلثية المختلفة ومقلوباتها وسعاتها. ولهذه المقادير استخدامات رياضية، إلا أن لها تطبيقات في الحياة الواقعية أيضًا.

للمتطابقات المثلثية تطبيقات عديدة في مجالات مختلفة في الحياة الواقعية، مثل الفيزياء والهندسة والعمارة وعلم الروبوتات ونظرية الموسيقى والملاحة، وذلك على سبيل المثال لا الحصر. ففي الفيزياء، يمكن استخدامها في دراسة حركة المقذوفات، وتمثيل ميكانيكا الموجات الكهرومغناطيسية، وتحليل التيارات المترددة والمستمرة، وتحديد مسار كتلة تدور حول جسم كبير تحت تأثير قوة الجاذبية.

دعونا نبدأ بتذكر الدوال المثلثية، والتي سنتناول متطابقات فيثاغورس المرتبطة بها في هذا الشارح. انظر إلى المثلث القائم الزاوية الآتي.

يمكن التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة النسبة بين أضلاع المثلث كما يلي: 𝜃=𞸒𞸅،𝜃=𞸂𞸅،𝜃=𞸒𞸂.

هذه الدوال تحقق المتطابقة المثلثية التالية: 𝜃=𝜃𝜃.

نلاحظ أن هذه النسب المثلثية مُعرَّفة للزوايا الحادة ٠<𝜃<٠٩، وأن الدوال المثلثية لكل قيم 𝜃 مُعرَّفة على دائرة الوحدة.

افترض أن لدينا نقطة تتحرك على دائرة الوحدة في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. عند نقطة معينة (𞸎،𞸑) على دائرة الوحدة بزاوية قياسها 𝜃، تكون دالة الجيب مُعرَّفة على الصورة 𞸑=𝜃 ودالة جيب التمام مُعرَّفة على الصورة 𞸎=𝜃، كما هو موضح في الشكل السابق. بعبارة أخرى، تُعرَّف الدوال المثلثية باستخدام إحداثيات نقطة تقاطع دائرة الوحدة مع الضلع النهائي للزاوية 𝜃 في الوضع القياسي.

يُعرَّف مقلوب المعادلات المثلثية بدلالة المعادلات المثلثية القياسية على النحو التالي.

تعريف: مقلوب الدوال المثلثية

تُعرَّف دوال قاطع التمام والقاطع وظل التمام على الصورة: 𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃=𝜃𝜃.

والدوال المثلثية دوال دورية، وهو ما يعني أنه إذا أضفنا أحد المضاعفات الصحيحة لـ ٢𝜋، بالرديان، أو ٠٦٣ إلى الزاوية 𝜃، فستظل قيمة الدالة كما هي: (٠٦٣+𝜃)=𝜃،(٠٦٣+𝜃)=𝜃،(٠٦٣+𝜃)=𝜃.

يمكننا ملاحظة ذلك مباشرة من تعريف دائرة الوحدة للدوال المثلثية. وفي الحقيقة، تكون دالة الظل دورية وطول دورتها 𝜋، بالرديان، أو ٠٨١؛ حيث: (٠٨١+𝜃)=𝜃.

وبالمثل، بالنسبة إلى مقلوب الدوال المثلثية، يكون لدينا: (٠٦٣+𝜃)=𝜃،(٠٦٣+𝜃)=𝜃،(٠٦٣+𝜃)=𝜃.

وكما هو الحال مع دالة الظل، تكون دالة ظل التمام دالة دورية وطول دورتها 𝜋، بالرديان أو ٠٨١؛ حيث: (٠٨١+𝜃)=𝜃.

تنطبق المتطابقات المثلثية التي سنتناولها في هذا الشارح على أي زاوية 𝜃 في مجال الدوال، سواء كانت مقيسة بالدرجات، أو بالرديان. وعلى وجه التحديد، يمكننا تحويل قياس أي زاوية بين الدرجات والرديان باستخدام القاعدة التالية: إذا كانت لدينا زاوية قياسها 𝜃در، فإنه يمكننا تحويلها إلى راديان باستخدام الصيغة: 𝜃=𝜋٠٨١𝜃.رادندر

عند التعامل مع المقادير المثلثية، من المفيد إعادة كتابة متطابقات المقلوب للدوال المثلثية بدلالة الجيب وجيب التمام للتبسيط.

دعونا نتناول مثالًا علينا فيه استخدام مقلوب الدوال المثلثية لإيجاد قيمة مقدار دالة مثلثية.

مثال ١: استخدام متطابقات المقلوب لإيجاد قيمة المقادير المثلثية

أوجد قيمة ٨𝜃×٥𝜃.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة مقدار معين يتضمن الدوال المثلثية ومقلوباتها.

إحدى طرق إيجاد قيمة مقدار دالة مثلثية هي كتابته بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام باستخدام التعريف التالي لدالة قاطع التمام الواردة في المقدار المُعطى: 𝜃=١𝜃.

ومن ثم، يمكننا تبسيط المقدار ليعطينا: ٨𝜃×٥𝜃=٨𝜃×٥=٨𝜃×٥𝜃=٠٤×𝜃𝜃=٠٤.١𝜃

والآن، لنتناول مثالًا يمكننا فيه تبسيط مقدار دالة مثلثية معين.

مثال ٢: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام المتطابقات المثلثية

بسِّط 𝜃𝜃𝜃.

الحل

في هذا المثال، نريد تبسيط مقدار معين يتضمن دوال مثلثية ومقلوبها.

إحدى طرق تبسيط مقدار دالة مثلثية هي كتابته بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام باستخدام التعريف الآتي لدالة قاطع التمام الواردة في المقدار المُعطى: 𝜃=١𝜃.

يصبح مقدار الدالة المثلثية المعطى: 𝜃𝜃𝜃=𝜃×١𝜃×𝜃=𝜃.

في المثال التالي، سنبسط مقدار دالة مثلثية بكتابته بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام.

مثال ٣: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام المتطابقات المثلثية

بسِّط 𝜃𝜃𝜃.

الحل

في هذا المثال، نريد تبسيط مقدار معين يتضمن دوال مثلثية ومقلوبها.

إحدى طرق تبسيط مقدار دالة مثلثية هي كتابته بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام باستخدام التعريفين التاليين لدالتَي الظل والقاطع، الواردتين في المقدار المُعطى: 𝜃=𝜃𝜃𝜃=١𝜃.

يصبح مقدار الدالة المثلثية المُعطى: 𝜃𝜃𝜃=𝜃𝜃÷١𝜃=𝜃𝜃×𝜃𝜃=𝜃×𝜃𝜃=𝜃.٢٢

يتضمن المثال التالي حاصل ضرب دوال مثلثية ومقلوبها، وهو ما يمكننا تبسيطه باستخدام تعريف دوال المقلوب ثم إعادة كتابة الإجابة النهائية بدلالة دالة مقلوب آخر.

مثال ٤: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات المقلوب

بسِّط ٢𝜃𝜃𝜃.

الحل

في هذا المثال، نريد تبسيط مقدار معين يتضمن دوال مثلثية ومقلوبها.

إحدى طرق تبسيط مقدار دالة مثلثية هي كتابته بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام باستخدام التعريفين التاليين لدالتَي قاطع التمام والقاطع الواردتين في المقدار المُعطى: 𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃.

ومن ثم، يمكن تبسيط المقدار على الصورة: ٢٢𝜃𝜃𝜃=𝜃×١𝜃×١𝜃=𝜃𝜃.

والآن، باستخدام تعريف دالة ظل التمام: 𝜃=𝜃𝜃.

يمكن التعبير عن المقدار المُعطى بدلالة دالة ظل التمام كما يلي: ٢𝜃𝜃𝜃=𝜃𝜃=𝜃.

الدوال المثلثية ومقلوبها هي دوال زوجية وفردية لأنها تحقق الخاصية 󰎨(𝜃)=󰎨(𝜃)، في الدوال الزوجية، والخاصية 󰎨(𝜃)=󰎨(𝜃)، في الدوال الفردية. وعلى وجه التحديد، دالة الجيب دالة فردية، بينما دالة جيب التمام دالة زوجية؛ لأنهما تحققان: (𝜃)=𝜃،(𝜃)=𝜃، لأي قيمة للزاوية 𝜃 إما بالدرجات أو بالرديان. بناءً على ذلك، يمكننا أيضًا تحديد زوجية أو فردية الدوال المثلثية الأخرى المعرَّفة بدلالة هذه الدوال. على وجه التحديد، بالنسبة إلى دالة الظل، يكون لدينا: (𝜃)=(𝜃)(𝜃)=𝜃𝜃=𝜃.

وبذلك، تكون دالة الظل فردية، ويمكننا استنتاج زوجية أو فردية الدوال المثلثية الأخرى بطريقة مشابهة. يمكننا تلخيص ذلك كما يلي.

متطابقات الدوال المثلثية الزوجية والفردية

تكون دالتا جيب التمام والقاطع زوجيتين، وهو ما يعني أنه لأي قيمة لقياس الزاوية 𝜃 في مجاليهما المناظرين، تتحقق المتطابقتان: (𝜃)=𝜃،(𝜃)=𝜃.

وتكون دوال الجيب، والظل، وقاطع التمام، وظل التمام فردية؛ ما يعني أنها تحقق المتطابقات التالية لأي قيمة لقياس الزاوية 𝜃 في مجالاتها المناظرة: (𝜃)=𝜃،(𝜃)=𝜃،(𝜃)=𝜃،(𝜃)=𝜃.

والآن، دعونا نتناول مثالًا علينا فيه تطبيق زوجية أو فردية الدالة المثلثية لتبسيط مقدار دالة مثلثية معين.

مثال ٥: تبسيط المقادير المثلثية التي تتضمن متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية

بسِّط (𝜃)𝜃.

الحل

في هذا المثال، نريد تبسيط مقدار معين يتضمن دوال مثلثية ومقلوبها باستخدام متطابقة الدوال الزوجية والفردية.

إحدى طرق تبسيط مقدار دالة مثلثية هي كتابته بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام باستخدام التعريف التالي لدالة قاطع التمام، الواردة في المقدار المُعطى: 𝜃=١𝜃.

تكون دالة الظل فردية، ومن ثم تتحقق المتطابقة: (𝜃)=𝜃.

يمكننا إعادة كتابة دالة الظل باستخدام تعريفها بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام: 𝜃=𝜃𝜃.

ومن ثم، يمكن تبسيط المقدار على الصورة: (𝜃)𝜃=𝜃𝜃=𝜃𝜃×١𝜃=١𝜃.

وأخيرًا، يمكننا إعادة كتابة هذا المقدار بدلالة دالة القاطع الُمعرَّفة على الصورة: 𝜃=١𝜃.

ومن ثم، يصبح المقدار: (𝜃)𝜃=𝜃.

دالة الجيب تكافئ دالة جيب التمام بانتقال مقداره ٠٩ إلى اليسار، وهو ما يمكن تصوره بالمقارنة بين التمثيل البياني لكلتا الدالتين.

على وجه التحديد، لدينا متطابقات الإزاحة للزاويتين 𝜃، ٠٩+𝜃: (٠٩+𝜃)=𝜃،(٠٩+𝜃)=𝜃.

يمكننا أيضًا تمثيل ذلك على دائرة الوحدة كما هو موضح.

وبالمثل، باستبعاد 𝜃 واستخدام 𝜃 بدلًا منها، نحصل على متطابقتَي الزاويتين المتتامتين التاليتين 𝜃، ٠٩𝜃: (٠٩𝜃)=𝜃،(٠٩𝜃)=𝜃.

ويمكننا تمثيل ذلك كما هو موضح:

يوضح الشكل مثلثًا قائم الزاوية فيه زاوية 󰏡𞸅𞸁 في الوضع القياسي، وهو يتقاطع مع دائرة الوحدة عند النقطة 𞸁(𞸎،𞸑) ويتضمن زاوية حادة القياس ٠<𝜃<٠٩.

يمكننا تجميع هاتين المتطابقتين واستخدامهما لإيجاد متطابقات الدوال المثلثية الأخرى المُعرَّفة بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام.

تعريف: المتطابقات المثلثية للزوايا المنتسبة

تحقق الدوال المثلثية المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامتين لكل قيم 𝜃 في مجالاتها. على وجه التحديد، لدينا: (٠٩±𝜃)=𝜃،(٠٩±𝜃)=𝜃،(٠٩±𝜃)=𝜃،(٠٩±𝜃)=𝜃،(٠٩±𝜃)=𝜃،(٠٩±𝜃)=𝜃.

على سبيل المثال، بالنسبة إلى دالة الظل، لدينا: (٠٩±𝜃)=(٠٩±𝜃)(٠٩±𝜃)=𝜃𝜃=𝜃𝜃=𝜃.

وتُقاس كل هذه المتطابقات أيضًا بالرديان، وبالتحديد، عن طريق استبعاد ٠٩ واستخدام 𝜋٢ بالرديان بدلًا منها.

والآن، دعونا نتناول مثالًا نستخدم فيه هذه المتطابقة مع زوجية أو فردية الدالة المثلثية لتبسيط مقدار.

مثال ٦: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات الزوايا المنتسبة والدوال الزوجية

بسِّط 󰂔𝜋٢+𝜃󰂓(𝜃).

الحل

في هذا المثال، نريد تبسيط مقدار معين يتضمن مقلوب الدوال المثلثية.

سنستخدم أيضًا متطابقة الزوايا المنتسبة: 󰂔𝜋٢+𝜃󰂓=𝜃 ومتطابقة الدوال الزوجية: (𝜃)=𝜃.

إحدى طرق تبسيط مقدار دالة مثلثية هي كتابته بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام باستخدام التعريف التالي لدالة القاطع: 𝜃=١𝜃.

باستخدام هذه الطريقة، يصبح المقدار: 󰂔𝜋٢+𝜃󰂓(𝜃)=𝜃𝜃=𝜃×١𝜃=١.

والآن، نفترض أننا نريد إيجاد (٠٨١𝜃). يمكننا إيجاد ذلك باستخدام المتطابقات أعلاه أكثر من مرة. إذا افترضنا أن 𝜃=٠٩𞸎، فإن: (٠٨١𝜃)=(٠٨١[٠٩𞸎])=(٠٩+𞸎)=𞸎.

والآن، بالتعويض بـ 𞸎=٠٩𝜃، نحصل على: (٠٨١𝜃)=(٠٩𝜃)=𝜃.

وبالمثل، نجد أن: (٠٨١𝜃)=𝜃.

وبتطبيق هذه المتطابقات بصورة متكررة أو باستخدام دائرة الوحدة، نحصل أيضًا على متطابقتين للزاويتين 𝜃، 𝜃±٠٨١: (٠٨١±𝜃)=𝜃،(٠٨١±𝜃)=𝜃.

بالنسبة إلى 𝜃، ٠٨١𝜃، يكون لدينا الآتي.

وبالنسبة إلى 𝜃، ٠٨١+𝜃، يكون لدينا الآتي.

نحصل أيضًا على متطابقات للدوال المثلثية الأخرى، الناتجة عن دالتَي الجيب وجيب التمام، من تعريفهما: (٠٨١±𝜃)=±𝜃،(٠٨١±𝜃)=±𝜃،(٠٨١±𝜃)=𝜃،(٠٨١±𝜃)=𝜃.

يتضمن المثال التالي استخدام تعريفات مقلوب الدوال المثلثية بالإضافة إلى متطابقات الزاويتين المتتامتين بالرديان لتبسيط مقدار.

مثال ٧: استخدام المتطابقات الدورية ومتطابقة الزاويتين المتتامتين لتبسيط مقدار دالة مثلثية

بسط 󰂔𝜃󰂓(𝜋𝜃)𝜋٢.

الحل

في هذا المثال، نريد تبسيط مقدار معين يتضمن مقلوب الدوال المثلثية.

سنستخدم أيضًا متطابقات الزاويتين المتتامتين والزوايا المنتسبة: 󰂔𝜋٢𝜃󰂓=𝜃،(𝜋𝜃)=𝜃.

إحدى طرق تبسيط مقدار دالة مثلثية هي كتابته بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام، باستخدام التعريفات التالية لدالتَي قاطع التمام وظل التمام، الواردتين في البسط والمقام: 𝜃=١𝜃،𝜃=𝜃𝜃.

يمكن تبسيط بسط المقدار على الصورة: 󰂔𝜋٢𝜃󰂓=𝜃=١𝜃.

والمقام على الصورة: (𝜋𝜃)=𝜃=𝜃𝜃.

إذن، يمكن تبسيط المقدار على الصورة: 󰂔𝜃󰂓(𝜋𝜃)=١𝜃×𝜃𝜃=١𝜃.𝜋٢

وأخيرًا، يمكننا إعادة كتابة هذا المقدار بدلالة دالة القاطع المُعرَّفة على الصورة: 𝜃=١𝜃.

وبذلك، نحصل على: 󰂔𝜃󰂓(𝜋𝜃)=𝜃.𝜋٢

وبالمثل، بالنسبة إلى الزاويتين 𝜃، ٠٧٢±𝜃، نحصل على: (٠٧٢±𝜃)=𝜃،(٠٧٢±𝜃)=±𝜃.(٠٧٢±𝜃)=𝜃،(٠٧٢±𝜃)=𝜃،(٠٧٢±𝜃)=𝜃،(٠٧٢±𝜃)=±𝜃.

يمكن تمثيل ذلك على النحو التالي.

باستخدام دورية الدوال المثلثية ودائرة الوحدة، نحصل على: (٠٦٣±𝜃)=±𝜃،(٠٦٣±𝜃)=𝜃،(٠٦٣±𝜃)=±𝜃،(٠٦٣±𝜃)=±𝜃،(٠٦٣±𝜃)=±𝜃،(٠٦٣±𝜃)=𝜃.

تُقاس كل المتطابقات أيضًا بالرديان عن طريق استبعاد ٠٦٣ واستخدام ٢𝜋 بالرديان بدلًا منها. يمكن أيضًا تمثيلها باستخدام دائرة الوحدة كما هو موضح.

يمكن تمثيل جميع متطابقات الزوايا المنتسبة باستخدام الآتي.

والآن، دعونا نتناول بعض الأمثلة التي علينا فيها تطبيق متطابقات الزاويتين المتتامتين لتبسيط مقدار دالة مثلثية. في المثال التالي، سنستخدم هذه المتطابقة بشكل متكرر في دالتَي جيب التمام والجيب بالدرجات.

مثال ٨: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات الزاويتين المتتامتين

بسِّط 𝜃+(٠٧٢+𝜃).

الحل

في هذا المثال، نريد تبسيط مقدار معين يتضمن دوال مثلثية.

لتبسيط المقدار المعطى، سنستخدم متطابقة الزوايا المنتسبة (٠٧٢+𝜃)=𝜃.

ومن ثم، نحصل على: 𝜃+(٠٧٢+𝜃)=𝜃+𝜃=٢𝜃.

في المثال التالي، علينا تطبيق متطابقات الزاويتين المتتامتين على دالتَي الظل وظل التمام بشكل متكرر بالدرجات، لتبسيط مقدار دالة مثلثية.

مثال ٩: استخدام المتطابقات المثلثية لتبسيط مقدار دالة مثلثية

بسِّط 𝜃𝜃(٠٧٢+𝜃).

الحل

في هذا المثال، نريد تبسيط مقدار معين يتضمن دوال مثلثية ومقلوبها.

سنستخدم أيضًا متطابقة الزوايا المنتسبة: (٠٧٢+𝜃)=𝜃.

بما أن لدينا، وفقًا لتعريف دالة ظل التمام: 𝜃=١𝜃، فإنه يمكن كتابة متطابقة الزوايا المنتسبة بدلالة دالة الظل كالآتي: (٠٧٢+𝜃)=𝜃=١𝜃.

ومن ثم، يمكن تبسيط المقدار على الصورة: 𝜃𝜃(٠٧٢+𝜃)=𝜃𝜃×١𝜃=𝜃×𝜃𝜃=𝜃.

دعونا نختتم هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية المستخلصة منه.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا التعبير عن دالة الظل ومقلوب الدوال المثلثية بدلالة الجيب وجيب التمام كالآتي: 𝜃=𝜃𝜃،𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃=𝜃𝜃. ويمكننا استخدام ذلك لتبسيط المقادير المثلثية.
  • تكون جميع هذه الدوال المثلثية إما زوجية وإما فردية. على وجه التحديد، بالنسبة إلى دالتَي الجيب وجيب التمام، يكون لدينا: (𝜃)=𝜃،(𝜃)=𝜃، وبالمثل في الدوال المثلثية الأخرى الناتجة عن التعريفات. يمكننا استخدام زوجية أو فردية الدوال المثلثية لمساعدتنا في تبسيط المقادير المثلثية.
  • تتيح لنا دائرة الوحدة تحديد متطابقات الزوايا المنتسبة لكلٍّ من الجيب وجيب التمام.
    على سبيل المثال، متطابقات الزاويتين المتتامتين (بالرديان) هما: 󰂔𝜋٢𝜃󰂓=𝜃،󰂔𝜋٢𝜃󰂓=𝜃. نوجد المتطابقات المتناظرة لدالة الظل ومقلوب الدوال المثلثية باستخدام تعريفاتها بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام.
  • عادةً ما نحتاج إلى تطبيق أكثر من متطابقة واحدة، أو نوع منها، لتبسيط مقدار دالة مثلثية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.