شارح الدرس: الزوايا المركزية والأقواس الرياضيات

مثال ١: إيجاد قياس القوس بمعلومية زاويته المركزية

أوجد .

الحل

لعلنا نتذكَّر أن الرمز يعني قياس القوس الأصغر بين النقطة والنقطة ، وأن قياس القوس يُعرَف بأنه قياس زاويته المركزية. يمكننا تحديد هذا القوس في الشكل الآتي.

الزاوية المركزية للقوس هي الزاوية التي تقع عند مركز الدائرة بين نصفَي القطرين اللذين يحصران القوس. بالنسبة إلى القوس الأصغر ، فإنه يقابل . يُعرَف قياس القوس بأنه يساوي هذه القيمة. إذن:

مثال ٢: تحديد الأقواس المتجاورة في دائرة

أيُّ قوسين من الأقواس الآتية متجاوران في الدائرة المُعطاة؟

1. ،
2. ،
3. ،
4. ،

الحل

نتذكَّر أن القوسين يكونان متجاورين إذا كانا يشتركان في نقطة واحدة مشتركة، وأن الرمز يعني القوس الأصغر (أو الأقصر) من إلى . ومن ثَمَّ، يمكننا الإجابة عن هذا السؤال بتحديد كل قوس من الأقواس على الرسم. هيا نبدأ بالقوسين ، .

نلاحظ أن القوسين لا يشتركان معًا في أي نقاط؛ لذا، لا يمكن أن يكونا متجاورين. بعد ذلك، نُحدِّد القوسين ، .

نلاحظ أن القوسين ، يشتركان في النقطة فقط؛ وهي طرف لكلا القوسين، إذن هذان القوسان متجاوران. للتأكُّد، سنتحقَّق أيضًا من الخيارات الأخرى.

لدينا القوسان ، .

نلاحظ أن هذين القوسين لا يشتركان معًا في أي نقاط؛ لذا، فهما غير متجاورين.

وأخيرًا، نتحقَّق من القوسين ، .

نلاحظ أن كل نقطة على القوس تقع على كلا القوسين؛ لذا، فإن القوسين يشتركان معًا في أكثر من نقطة. ومن ثَمَّ، فإنهما ليسا متجاورين.

القوسان الوحيدان اللذان يشتركان معًا في نقطة واحدة هما القوسان ، ، وهذا هو الخيار (ب).

مثال ٣: إيجاد قياس قوس في دائرة بمعلومية قياسات الأقواس الأخرى عن طريق حل معادلات خطية

إذا كان قطرًا في دائرة مركزها ، ، فأوجد .

الحل

نريد إيجاد قيمة . نتذكَّر أن هذا هو قياس القوس من إلى إلى ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

نلاحظ أن هذا القوس يتكوَّن من قوسين متجاورين: ، . إذن يمكننا إيجاد قياس بإيجاد مجموع قياسَي ، .

بما أن قياس القوس يساوي قياس زاويته المركزية، فإن . نعلم من السؤال أن ؛ لذا، يصبح لدينا:

نحن نعرف أن مجموع قياسات جميع الأقواس التي تتكوَّن منها الدائرة يساوي . وعلى وجه التحديد، مجموع قياسات الأقواس التي يتكوَّن منها سيساوي ؛ لأن قطر. هذا يعني:

علمنا من مُعطيات السؤال أن:

إذن خارجا قسمة جزأَي النسبة يجب أن يكونا متساويين:

يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لنحصل على:

يمكننا التعويض بهذا المقدار عن في المعادلة (١) والتبسيط، لنحصل على:

وأخيرًا:

مثال ٤: إيجاد قياس القوس الذي يمثِّل جزءًا معلومًا من محيط الدائرة

أوجد قياس القوس الذي يمثِّل من محيط دائرة.

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، نتذكَّر أولًا أن الطول، ، لأي قوس قياسه في دائرة نصف قطرها ، يُعطى بالصيغة:

نريد أن تساوي هذه القيمة من محيط الدائرة، ونعرف أن أي دائرة نصف قطرها محيطها يساوي . إذن نحن نريد:

بكتابة هذين المقدارين الدالَّيْن على ؛ بحيث يكونان متساويين، نحصل على:

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة . نقسم الطرفين على ، لنحصل على:

وأخيرًا، نضرب الطرفين في ، ونبسِّط:

تجدر الإشارة إلى أن هناك طريقة أخرى للإجابة عن هذا السؤال. يمكننا ملاحظة أن نسبة قياس القوس إلى تساوي تمامًا نسبة طول القوس إلى المحيط. أي:

علمنا من السؤال أن: إذن يصبح لدينا: ونحل ذلك لنحصل على .

مثال ٥: فَهْم العلاقة بين الأقواس ذات الأطوال المتساوية

لدينا الدائرة بها القوسان ، ، اللذان لهما قياسان متساويان. طوله ٥ سم. ما طول ؟

الحل

علمنا من السؤال أن للقوسين ، القياس نفسه، ونتذكَّر أنه إذا كان للقوسين القياس نفسه، فإنهما متطابقان. إذن طولاهما متساويان. ومن ثَمَّ، طوله ٥ سم.

على الرغم من أنها ليست خطوة ضرورية للإجابة عن هذا السؤال، فإنه يجدر بنا معرفة سبب صحة ذلك باستخدام صيغة طول القوس. نتذكَّر أن الطول، ، للقوس الذي يقع بين ، في دائرة نصف قطرها يُعطى بالصيغة:

إذن طول القوس يساوي:

وبما أن ، إذن نحصل على:

لكن هذا المقدار يمثِّل طول ؛ ومن ثَمَّ، يكون طولاهما متساويين.

إذن طوله ٥ سم.

مثال ٦: فهم العلاقة بين الأقواس والأوتار

لدينا الدائرة التي فيها الوتران المتساويان في الطول، ، . إذا كان طوله ٥ سم، فما طول ؟

الحل

نلاحظ أن ، وتران بين أطراف القوسين ، ، كما هو موضَّح.

نتذكَّر بعد ذلك أنه إذا كان طولا وترَيْن بين أطراف قوسين متساويين في دائرة، فإن القوسين متساويان في الطول والقياس. ومن ثَمَّ، بما أن ، متساويان في الطول، إذن ، متساويان أيضًا في الطول.

لذلك، بما أن طوله ٥ سم، إذن طوله أيضًا يساوي ٥ سم.

مثال ٧: إيجاد قياس قوس في دائرة بمعلومية القطر وقياسَي الزاويتين المركزيتين في صورة مقادير جبرية

إذا كان قطرًا في الدائرة ، ، فأوجد .

الحل

المطلوب منا هو إيجاد ، وهو قياس القوس الأصغر من إلى ؛ أي القوس الموضَّح في الشكل الآتي.

نتذكَّر أن قياس القوس يساوي قياس زاويته المركزية، ونلاحظ في الشكل أن قياس الزاوية المركزية لهذا القوس يساوي . إذن . ومن ثَمَّ، علينا إيجاد قيمة . لإيجاد قيمة ، نبدأ بإضافة قياس الزاوية المُعطاة في السؤال إلى الشكل.

نلاحظ بعد ذلك أن قطر في الدائرة، ما يعني أنه خط مستقيم. إذن لا بد أن يكون لدينا:

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة :

وأخيرًا، نعلم أن:

بالتعويض بقيمة ، نحصل على: