شارح الدرس: الزوايا المركزية والأقواس الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُحدِّد الزوايا المركزية، وكيف نستخدم قياساتها لإيجاد قياسات الأقواس، وكيف نُحدِّد الأقواس المتجاورة، ونُوجِد أطوال الأقواس، ونُحدِّد الأقواس المتطابقة في الدوائر المتطابقة.

نبدأ بتحديد المقصود بالضبط بقوس الدائرة.

تعريف: قوس الدائرة

قوس الدائرة جزء من محيط الدائرة يقع بين نصفَي قطرين.

يمكننا رؤية بعض الأمثلة على أقواس الدوائر في الشكلين الآتيين.

لمساعدتنا فى التفرقة بين الأقواس المختلفة، نتعرَّف على فكرة الزاوية المركزية.

تعريف: الزاوية المركزية

الزاوية المركزية للدائرة هي الزاوية المحصورة بين نصفَي قطرين، ويكون رأسها عند مركز الدائرة. في الشكل الآتي، 󰌑󰏡𞸁𞸢 مثال لزاوية مركزية.

يمكننا توسيع نطاق هذه الفكرة لنقول إن الزاوية المركزية لقوس هي الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس.

على سبيل المثال، الزاويتان المركزيتان للقوسين المُعطيَيْن موضَّحتان في الشكلين الآتيين.

نلاحظ أنه كلما كانت الزاوية المركزية أكبر، زاد طول القوس. ومن ثَمَّ، سيكون من المفيد الحديث عن قياس الزاوية المركزية لقوس بالنسبة إلى طول هذا القوس. نفعل ذلك بتناول التعريف الآتي.

تعريف: قياس القوس

قياس القوس هو قياس زاويته المركزية.

على سبيل المثال، في الشكل الآتي، قياس القوس المحدَّد باللون الأحمر يساوي ٦٢.

نلاحظ شيئًا مثيرًا للاهتمام في هذا الشكل: هناك قوسان ممكنان من 󰏡 إلى 𞸁، أقصرهما محدَّد باللون الأحمر، وأطولهما محدَّد باللون الأخضر. ولمساعدتنا في التفرقة بين هاتين الحالتين، نُطلِق على القوس الأطول اسم القوس الأكبر، وعلى القوس الأقصر اسم القوس الأصغر.

تعريف: القوسان الأكبر والأصغر للدائرة

بمعلومية نصفَي قطرين، نُطلِق على القوس الأطول بين نصفَي القطرين القوس الأكبر، وعلى القوس الأقصر بينهما القوس الأصغر. بصورة مكافئة، يكون القوس الذي قياس زاويته المركزية أصغر هو القوس الأصغر، والقوس الذي قياس زاويته المركزية أكبر هو القوس الأكبر.

لمساعدتنا في التفرقة بين القوسين الأكبر والأصغر، نُشير إلى القوس الأصغر بالرمز 󰏡𞸁، ونكتب القوس الأكبر باستخدام نقطة إضافية (على سبيل المثال، 󰏡𞸢𞸁).

يمكننا أيضًا استخدام الرمز 𞹟󰏡𞸁 ليُشير إلى قياس القوس الأصغر من 󰏡 إلى 𞸁. في هذه الحالة، يمكننا استخدام 𞹟󰏡𞸢𞸁 ليُشير إلى قياس القوس الأكبر من 󰏡 إلى 𞸁.

إذا كان للقوسين الطول نفسه، فإننا نُسمِّيهما قوسين نصف دائريين. يحدث ذلك عندما يُكوِّن نصفا القطرين قطرًا، أو عندما يكون قياسا زاويتَيْهما المركزيتين متساويين.

وبما أن قياس الزاوية المركزية للقوس يُحدِّد قياس القوس، إذن نعرف القوسين الأكبر والأصغر بدلالة زاويتَيْهما المركزيتين. إذا كان قياس الزاوية المركزية أكبر من ٠٨١، يكون القوس هو القوس الأكبر. وإذا كان قياس الزاوية المركزية أصغر من ٠٨١، يكون القوس هو القوس الأصغر. وإذا كان قياس الزاوية المركزية يساوي ٠٨١، يكون القوس نصف دائري.

في المثال الأول، سنُوجِد قياس القوس بمعلومية زاويته المركزية.

مثال ١: إيجاد قياس القوس بمعلومية زاويته المركزية

أوجد 𞹟󰏡𞸃.

الحل

لعلنا نتذكَّر أن الرمز 𞹟󰏡𞸃 يعني قياس القوس الأصغر بين النقطة 󰏡 والنقطة 𞸃، وأن قياس القوس يُعرَف بأنه قياس زاويته المركزية. يمكننا تحديد هذا القوس في الشكل الآتي.

الزاوية المركزية للقوس هي الزاوية التي تقع عند مركز الدائرة بين نصفَي القطرين اللذين يحصران القوس. بالنسبة إلى القوس الأصغر 󰏡𞸃، فإنه يقابل ٣٣. يُعرَف قياس القوس بأنه يساوي هذه القيمة. إذن: 𞹟󰏡𞸃=٣٣.

قبل الانتقال إلى مزيد من الأمثلة، هناك تعريف آخر علينا تناوله، وهو الأقواس المتجاورة.

تعريف: الأقواس المتجاورة

نقول إن القوسين متجاوران إذا كانا يشتركان في نقطة واحدة، أو إذا كانا يشتركان معًا في طرفَيْهما فقط.

في الدائرة الموضَّحة سابقًا، 󰏡𞸁، 𞸁𞸢 متجاوران؛ لأنهما يشتركان في نقطة واحدة. وبالمثل، 󰏡𞸢، 󰏡𞸃𞸢 متجاوران؛ لأنهما يشتركان معًا في طرفَيْهما فقط.

القوسان الأكبر والأصغر للدائرة اللذان يقعان بين نقطتين يكونان متجاورين دائمًا.

وبما أن قياس القوس يساوي قياس زاويته المركزية، وسيكون للقوسين المتجاورين زاويتان مركزيتان متجاورتان، إذن يمكننا إيجاد قياس القوسين المتجاورين بجمع قياسَيْهما. على سبيل المثال، في الدائرة الموضَّحة سابقًا، لدينا: 𞹟󰏡𞸢=𞹟󰏡𞸁+𞹟𞸁𞸢.

هيا نرَ مثالًا لتحديد الأقواس المتجاورة في دائرة.

مثال ٢: تحديد الأقواس المتجاورة في دائرة

أيُّ قوسين من الأقواس الآتية متجاوران في الدائرة المُعطاة؟

  1. 󰏡𞸁، 𞸢𞸃
  2. 󰏡𞸁، 𞸁𞸢
  3. 󰏡𞸃، 𞸁𞸢
  4. 󰏡𞸢، 𞸃𞸁

الحل

نتذكَّر أن القوسين يكونان متجاورين إذا كانا يشتركان في نقطة واحدة مشتركة، وأن الرمز 󰏡𞸁 يعني القوس الأصغر (أو الأقصر) من 󰏡 إلى 𞸁. ومن ثَمَّ، يمكننا الإجابة عن هذا السؤال بتحديد كل قوس من الأقواس على الرسم. هيا نبدأ بالقوسين 󰏡𞸁، 𞸢𞸃.

نلاحظ أن القوسين لا يشتركان معًا في أي نقاط؛ لذا، لا يمكن أن يكونا متجاورين. بعد ذلك، نُحدِّد القوسين 󰏡𞸁، 𞸁𞸢.

نلاحظ أن القوسين 󰏡𞸁، 𞸁𞸢 يشتركان في النقطة 𞸁 فقط؛ وهي طرف لكلا القوسين، إذن هذان القوسان متجاوران. للتأكُّد، سنتحقَّق أيضًا من الخيارات الأخرى.

لدينا القوسان 󰏡𞸃، 𞸁𞸢.

نلاحظ أن هذين القوسين لا يشتركان معًا في أي نقاط؛ لذا، فهما غير متجاورين.

وأخيرًا، نتحقَّق من القوسين 󰏡𞸢، 𞸃𞸁.

نلاحظ أن كل نقطة على القوس 𞸁𞸢 تقع على كلا القوسين؛ لذا، فإن القوسين يشتركان معًا في أكثر من نقطة. ومن ثَمَّ، فإنهما ليسا متجاورين.

القوسان الوحيدان اللذان يشتركان معًا في نقطة واحدة هما القوسان 󰏡𞸁، 𞸁𞸢، وهذا هو الخيار (ب).

في المثال الآتي، نُوجِد قياس القوس باستخدام الشكل، وبمعلومية النسبة بين قياسين آخرين.

مثال ٣: إيجاد قياس قوس في دائرة بمعلومية قياسات الأقواس الأخرى عن طريق حل معادلات خطية

إذا كان 󰏡𞸁 قطرًا في دائرة مركزها 𞸌، 𞹟󰏡𞸢𞹟𞸃𞸁=٥٨٧٦، فأوجد 𞹟󰏡𞸢𞸃.

الحل

نريد إيجاد قيمة 𞹟󰏡𞸢𞸃. نتذكَّر أن هذا هو قياس القوس من 󰏡 إلى 𞸢 إلى 𞸃، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

نلاحظ أن هذا القوس يتكوَّن من قوسين متجاورين: 󰏡𞸢، 𞸢𞸃. إذن يمكننا إيجاد قياس 󰏡𞸢𞸃 بإيجاد مجموع قياسَي 󰏡𞸢، 𞸢𞸃.

بما أن قياس القوس يساوي قياس زاويته المركزية، فإن 𞹟𞸢𞸃=𞹟󰌑𞸢𞸌𞸃. نعلم من السؤال أن 𞹟󰌑𞸢𞸌𞸃=٨٢؛ لذا، يصبح لدينا: 𞹟𞸢𞸃=٨٢.

نحن نعرف أن مجموع قياسات جميع الأقواس التي تتكوَّن منها الدائرة يساوي ٠٦٣. وعلى وجه التحديد، مجموع قياسات الأقواس التي يتكوَّن منها 󰏡𞸁 سيساوي ٠٨١؛ لأن 󰏡𞸁 قطر. هذا يعني:

𞹟󰏡𞸢+𞹟𞸢𞸃+𞹟𞸁𞸃=٠٨١𞹟󰏡𞸢+٨٢+𞹟𞸁𞸃=٠٨١𞹟󰏡𞸢+𞹟𞸁𞸃=٢٥١.()١

علمنا من مُعطيات السؤال أن: 𞹟󰏡𞸢𞹟𞸃𞸁=٥٨٧٦.

إذن خارجا قسمة جزأَي النسبة يجب أن يكونا متساويين: 𞹟󰏡𞸢𞹟𞸃𞸁=٥٨٧٦.

يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لنحصل على: 𞹟𞸃𞸁=٧٦𞹟󰏡𞸢٥٨.

يمكننا التعويض بهذا المقدار عن 𞹟𞸃𞸁 في المعادلة (١) والتبسيط، لنحصل على: 𞹟󰏡𞸢+٧٦𞹟󰏡𞸢٥٨=٢٥١٢٥١𞹟󰏡𞸢٥٨=٢٥١𞹟󰏡𞸢=󰂔٥٨×٢٥١٢٥١󰂓𞹟󰏡𞸢=٥٨.

وأخيرًا: 𞹟󰏡𞸢𞸃=𞹟󰏡𞸢+𞹟𞸢𞸃=٥٨+٨٢=٣١١.

بما أن قوس الدائرة جزء من محيطها، إذن يمكننا استخدام محيط الدائرة لإيجاد طول القوس. يمكننا فعل ذلك باستخدام قياس القوس، أو بشكل مكافئ، قياس زاويته المركزية.

لمساعدتنا في إيجاد طول القوس، هيا نبدأ بمثال. نريد إيجاد طول القوس الأصغر في الشكل الآتي.

أولًا، تذكَّر أن الدائرة التي نصف قطرها ؈ يكون محيطها ٢𝜋؈. هذا يعني أن محيط هذه الدائرة يساوي ٢𝜋؈.

نلاحظ أن هذا القوس يمثِّل ربعًا واحدًا في الدائرة، لكن يُفضَّل معرفة سبب ذلك. الدورة الكاملة عبارة عن زاوية قياسها ٠٦٣، إذن الزاوية التي قياسها ٠٩ تساوي ٠٩٠٦٣=١٤ الدائرة.

ومن ثَمَّ، طول القوس يساوي ربع المحيط: لاس=١٤󰁓٢𝜋؈󰁒=𝜋؈٢.

بوجه عام، إذا كان قياس الزاوية المركزية (أو قياس قوسها) يساوي 𝜃، فإن طول القوس يساوي 𝜃٠٦٣󰁓٢𝜋؈󰁒. يمكننا كتابة ذلك رياضيًّا على النحو الآتي.

تعريف: طول القوس

إذا كان قياس الزاوية المركزية لقوس (أو قياس القوس) في دائرة نصف قطرها ؈ يساوي 𝜃، فإن طول القوس 𞸋 يُعطى بالصيغة: 𞸋=𝜃٠٦٣󰁓٢𝜋؈󰁒.

في المثال الآتي، نستخدم صيغة طول القوس لإيجاد قياس القوس الذي يمثِّل جزءًا محدَّدًا من محيط الدائرة.

مثال ٤: إيجاد قياس القوس الذي يمثِّل جزءًا معلومًا من محيط الدائرة

أوجد قياس القوس الذي يمثِّل ١٦ من محيط دائرة.

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، نتذكَّر أولًا أن الطول، 𞸋، لأي قوس قياسه 𞸎 في دائرة نصف قطرها ؈، يُعطى بالصيغة: 𞸋=𞸎٠٦٣󰁓٢𝜋؈󰁒.

نريد أن تساوي هذه القيمة ١٦ من محيط الدائرة، ونعرف أن أي دائرة نصف قطرها ؈ محيطها يساوي ٢𝜋؈. إذن نحن نريد: 𞸋=١٦󰁓٢𝜋؈󰁒=١٣󰁓𝜋؈󰁒.

بكتابة هذين المقدارين الدالَّيْن على 𞸋؛ بحيث يكونان متساويين، نحصل على: 𞸎٠٦٣󰁓٢𝜋؈󰁒=١٣󰁓𝜋؈󰁒.

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة 𞸎. نقسم الطرفين على 𝜋؈، لنحصل على: 𞸎٠٦٣(٢)=١٣.

وأخيرًا، نضرب الطرفين في ٠٨١، ونبسِّط: 𞸎=١٣(٠٨١)=٠٦.

تجدر الإشارة إلى أن هناك طريقة أخرى للإجابة عن هذا السؤال. يمكننا ملاحظة أن نسبة قياس القوس إلى ٠٦٣ تساوي تمامًا نسبة طول القوس إلى المحيط. أي: 𞸎٠٦٣=.لاسا

علمنا من السؤال أن: لاسا=١٦، إذن يصبح لدينا: 𞸎٠٦٣=١٦، ونحل ذلك لنحصل على 𞸎=٠٦.

هناك نتيجة مهمة لصيغة طول القوس تتضمَّن الأقواس المتطابقة في الدائرة، وهو ما نتناوله الآن.

خاصية: الأقواس المتطابقة

بما أن طول القوس يحدَّد بقياس زاويته المركزية (أو قياس القوس) ونصف قطر الدائرة، إذن نستنتج من ذلك أنه إذا كان هناك قوسان في دائرتين أنصاف أقطارهما متساوية في الطول، فسيكون قياسا زاويتَيهما المركزيتين (وقياسا القوسين) متساويين. بمعنى آخر، يكون القوسان متطابقين إذا — وفقط إذا — كان قياسا زاويتَيْهما المركزيتين (أو قياسا القوسين) متساويين.

على سبيل المثال، يمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد طول القوس في الشكل الآتي.

نصف قطر هذه الدائرة يساوي ٢، وقياس الزاوية المركزية يساوي ٠٣، إذن يصبح لدينا: 𞸋=٠٣٠٦٣(٢𝜋(٢))=𝜋٣.وةل

هذا يوضِّح أيضًا أن أي قوس طوله 𝜋٣ في هذه الدائرة، أو في أي دائرة نصف قطرها يساوي وحدتَي طول، يكون قياسه ٠٣.

نرى الآن مثالًا يوضِّح كيفية تطبيق خاصية تَطابُق الأقواس لإيجاد طول قوس في دائرة.

مثال ٥: فَهْم العلاقة بين الأقواس ذات الأطوال المتساوية

لدينا الدائرة 𞸌 بها القوسان 󰏡𞸁، 𞸢𞸃، اللذان لهما قياسان متساويان. 󰏡𞸁 طوله ٥ سم. ما طول 𞸢𞸃؟

الحل

علمنا من السؤال أن للقوسين 󰏡𞸁، 𞸢𞸃 القياس نفسه، ونتذكَّر أنه إذا كان للقوسين القياس نفسه، فإنهما متطابقان. إذن طولاهما متساويان. ومن ثَمَّ، 𞸢𞸃 طوله ٥ سم.

على الرغم من أنها ليست خطوة ضرورية للإجابة عن هذا السؤال، فإنه يجدر بنا معرفة سبب صحة ذلك باستخدام صيغة طول القوس. نتذكَّر أن الطول، 𞸋، للقوس الذي يقع بين 𞸏، 𞸐 في دائرة نصف قطرها ؈ يُعطى بالصيغة: 𞸋=𞹟𞸏𞸐٠٦٣󰁓٢𝜋؈󰁒.

إذن طول القوس 󰏡𞸁 يساوي: 𞸋=𞹟󰏡𞸁٠٦٣󰁓٢𝜋؈󰁒.

وبما أن 𞹟󰏡𞸁=𞹟𞸢𞸃، إذن نحصل على: 𞸋=𞹟󰏡𞸁٠٦٣󰁓٢𝜋؈󰁒=𞹟𞸢𞸃٠٦٣󰁓٢𝜋؈󰁒.

لكن هذا المقدار يمثِّل طول 𞸢𞸃؛ ومن ثَمَّ، يكون طولاهما متساويين.

إذن 𞸢𞸃 طوله ٥ سم.

هناك خاصية أخرى مشابهة لتلك التي في المثال السابق، وهي أنه إذا كان طولا وترَيْن بين أطراف قوسين متساويين في دائرة، فإن القوسين يكونان متساويين في القياس. والعكس صحيح؛ إذا كان القوسان متساويين في القياس، فإن الوترين بين أطرافهما، على الترتيب، يكونان متساويين في الطول.

لمعرفة سبب صحة ذلك، انظر إلى الدائرة الآتية.

نفترض أن 󰏡𞸁، 𞸢𞸃 متساويان في القياس. إذن الزاويتان المركزيتان متساويتان في القياس: 𞹟󰌑𞸃𞸌𞸢=𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁.

ونحن نعرف أيضًا أن 󰏡𞸌، 𞸁𞸌، 𞸢𞸌، 𞸃𞸌 أنصاف أقطار؛ لذا، فإنها متساوية في الطول. وبناءً عليه، يكون هذان المثلثان 󰏡𞸌𞸁، 𞸃𞸌𞸢 متطابقين وفق قاعدة مُسلَّمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما، إذن 󰏡𞸁، 𞸃𞸢 متساويان في الطول.

وبالمثل، إذا كان 󰏡𞸁، 𞸢𞸃 متساويين في الطول، فإنه باستخدام أنصاف أقطار الدائرة، نجد أن المثلثين 󰏡𞸌𞸁، 𞸃𞸌𞸢 متطابقان وفقًا لقاعدة مُسلَّمة التطابق بثلاثة أضلاع. إذن قياسا الزاويتين الداخليتين متساويان. وعلى وجه التحديد: 𞹟󰌑𞸃𞸌𞸢=𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁.

لذلك، بما أن الزاويتين المركزيتين متساويتان في القياس، إذن نعرف أن قياسَي قوسيَهْما (وطولَي القوسين) متساويان.

خاصية: الأوتار المتطابقة للأقواس المتطابقة

في الدائرة نفسها أو في الدوائر المتطابقة، إذا كان هناك قوسان متساويان في القياس، فإن الأوتار بين أطرافهما متساوية في القياس. والعكس صحيح؛ في الدائرة نفسها أو في الدوائر المتطابقة، إذا كان هناك وتران متطابقان بين أطراف قوسين، فإن القوسين متساويان في القياس. يمكننا ملاحظة ذلك في الشكل الآتي.

  1. إذا كان 𞹟󰏡𞸁=𞹟𞸃𞸢، فإن 󰏡𞸁=𞸃𞸢.
  2. إذا كان 󰏡𞸁=𞸃𞸢، فإن 𞹟󰏡𞸁=𞹟𞸃𞸢.

نرى مثالًا على كيفية تطبيق هذه الخاصية.

مثال ٦: فهم العلاقة بين الأقواس والأوتار

لدينا الدائرة 𞸌 التي فيها الوتران المتساويان في الطول، 󰏡𞸃، 𞸁𞸢. إذا كان 󰏡𞸃 طوله ٥ سم، فما طول 𞸁𞸢؟

الحل

نلاحظ أن 󰏡𞸃، 𞸁𞸢 وتران بين أطراف القوسين 󰏡𞸃، 𞸁𞸢، كما هو موضَّح.

نتذكَّر بعد ذلك أنه إذا كان طولا وترَيْن بين أطراف قوسين متساويين في دائرة، فإن القوسين متساويان في الطول والقياس. ومن ثَمَّ، بما أن 󰏡𞸃، 𞸁𞸢 متساويان في الطول، إذن 󰏡𞸃، 𞸁𞸢 متساويان أيضًا في الطول.

لذلك، بما أن 󰏡𞸃 طوله ٥ سم، إذن 𞸁𞸢 طوله أيضًا يساوي ٥ سم.

في المثال الآتي، نستخدم شكل الزوايا المركزية وخواصها لإيجاد قياس قوس معيَّن.

مثال ٧: إيجاد قياس قوس في دائرة بمعلومية القطر وقياسَي الزاويتين المركزيتين في صورة مقادير جبرية

إذا كان 󰏡𞸁 قطرًا في الدائرة 𞸌، 𞹟󰌑𞸃𞸌𞸁=(٥𞸎+٢١)، فأوجد 𞹟󰏡𞸢.

الحل

المطلوب منا هو إيجاد 𞹟󰏡𞸢، وهو قياس القوس الأصغر من 󰏡 إلى 𞸢؛ أي القوس الموضَّح في الشكل الآتي.

نتذكَّر أن قياس القوس يساوي قياس زاويته المركزية، ونلاحظ في الشكل أن قياس الزاوية المركزية لهذا القوس يساوي ٤𞸎. إذن 𞹟󰏡𞸢=٤𞸎. ومن ثَمَّ، علينا إيجاد قيمة 𞸎. لإيجاد قيمة 𞸎، نبدأ بإضافة قياس الزاوية المُعطاة في السؤال إلى الشكل.

نلاحظ بعد ذلك أن 󰏡𞸁 قطر في الدائرة، ما يعني أنه خط مستقيم. إذن لا بد أن يكون لدينا: 𞹟󰌑𞸃𞸌𞸁+𞹟󰌑𞸃𞸌󰏡=٠٨١(٥𞸎+٢١)+٢𞸎=٠٨١.

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة 𞸎: ٧𞸎+٢١=٠٨١٧𞸎=٨٦١𞸎=٤٢.

وأخيرًا، نعلم أن: 𞹟󰏡𞸢=٤𞸎.

بالتعويض بقيمة 𞸎، نحصل على: 𞹟󰏡𞸢=٤(٤٢)=٦٩.

هيا نختتم بتذكُّر بعض النقاط المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • قوس الدائرة جزء من محيط الدائرة يقع بين نصفَي قطرين.
  • الزاوية المركزية للدائرة هي الزاوية المحصورة بين نصفَي قطرين، ويكون رأسها عند مركز الدائرة.
  • الزاوية المركزية للقوس هي الزاوية المركزية المقابلة للقوس.
  • قياس القوس هو قياس زاويته المركزية.
  • بمعلومية نصفَي قطرين، نُشير إلى القوس الأطول بين نصفَي القطرين باعتباره القوس الأكبر، وإلى القوس الأقصر بينهما باعتباره القوس الأصغر. نُسمِّى القوسين اللذين لهما الطول نفسه قوسين نصف دائريين؛ ويحدث ذلك عندما يُكوِّن نصفا القطرين قطرًا.
  • يكون القوس هو القوس الأكبر إذا كان قياسه (أو قياس زاويته المركزية) أكبر من ٠٨١، ويكون القوس هو القوس الأصغر إذا كان قياسه (أو قياس زاويته المركزية) أصغر من ٠٨١، ويكون القوس نصف دائري إذا كان قياسه (أو قياس زاويته المركزية) يساوي ٠٨١.
  • نُشير إلى القوس الأصغر من 󰏡 إلى 𞸁 بالرمز 󰏡𞸁، ونكتب القوس الأكبر باستخدام نقطة إضافية (على سبيل المثال، 󰏡𞸢𞸁).
  • نستخدم الرمز 𞹟󰏡𞸁 لقياس القوس الأصغر من 󰏡 إلى 𞸁، والرمز 𞹟󰏡𞸢𞸁 لقياس القوس الأكبر من 󰏡 إلى 𞸁 الذي يمر بالنقطة 𞸢.
  • نقول إن القوسين متجاوران إذا كانا يشتركان في نقطة واحدة، أو إذا كانا يشتركان معًا في طرفَيْهما فقط.
  • إذا كان قياس الزاوية المركزية لقوس (أو قياس القوس) في دائرة نصف قطرها ؈ يساوي 𝜃، فإن طوله، 𞸋، يُعطى بالصيغة: 𞸋=𝜃٠٦٣󰁓٢𝜋؈󰁒.
  • إذا كان طولا قوسين في الدائرة نفسها متساويين، فإن قياسَي زاويتَيْهما المركزيتين وقياسَيْهما متساويين. والعكس صحيح؛ إذا كان طولا قوسين متساويين، فإن قياسَي زاويتَيْهما المركزيتين وقياسَيْهما متساويين.
  • إذا كان قياسا قوسين في الدائرة نفسها متساويين، فإن للوترين بين أطرافهما الطول نفسه. والعكس صحيح؛ إذا كان لوترين الطول نفسه، فلا بد أن يكون القوسان بين أطراف الأوتار متساويين في القياس.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.