في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نمثِّل حركة السوائل اللزجة التي لها سريان طبقي منتظم أو سريان مضطرب غير منتظم.
يُمثَّل السريان الطبقي للمائع باعتبار المائع عند سريانه مكوَّنًا من طبقات مستقرة متمايزة.
أبسط مثال على السريان الطبقي هو انتقال المائع في كل طبقة في الاتجاه نفسه بالسرعة الثابتة نفسها. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.
بالنسبة إلى سريان بتلك البساطة، ليس هناك فرق واضح بين حركة المائع والحركة المنتظمة لجسم صلب.
هذا المثال المُبسَّط للغاية موضَّح في الشكل مع عدم وجود حدود واضحة للمائع. وعدم وجود الحدود مقصود؛ لأن وجود حدود للمائع المتحرِّك سيؤثِّر على سريان طبقات المائع إذا كانت لزوجته لا تساوي صفرًا.
نتذكَّر أن لزوجة المائع مرتبطة بميل المائع إلى التأثير بقوى على الأجسام التي يلامسها. وباستخدام وصف غير علمي، تناظر اللزوجة مدى تلاصق جزيئات المائع بعضها ببعض.
نتعرَّف على تأثير لزوجة المائع على السريان الطبقي للمائع.
نفترض أننا نتناول جزءًا طويلًا جدًّا من مائع سارٍ له شكل المستطيل. يُمثَّل المائع باعتباره مكوَّنًا من طبقات لكلٍّ منها سرعة معيَّنة. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.
من المهم أن نعرف أنه رغم قدرتنا الآن على ملاحظة حدود محدَّدة للسريان موازية لاتجاه السريان، فإنه لا تُوجَد أي حدود من هذا النوع عمودية على اتجاه السريان. ويحدث هذا لتجنُّب الحاجة إلى التفكير في نقاط يبدأ منها السريان أو يتوقَّف عندها؛ فهذه النقاط ستتضمَّن تغيُّرات في سرعة السريان. يُمثَّل المائع بأنه يسري سريانًا مستمرًّا دون أي نقطة بداية أو توقُّف.
إذا كانت لزوجة المائع في الوعاء لا تساوي صفرًا، فإن الطبقتين الملامِستين لجدارَي الوعاء (الطبقة الأولى والطبقة الخامسة) تؤثِّر عليهما قوى احتكاك لزجة بين المائع والسطح الداخلي لجدار الوعاء.
ومثل جميع قوى الاحتكاك، تؤثِّر قوى الاحتكاك اللزج على جسم متحرِّك في الاتجاه المعاكس لحركة الجسم. قد لا يبدو منطقيًّا أن نفكِّر في طبقة المائع باعتبارها جسمًا، ولكن يمكننا تمثيلها كجسم تستطيع قوى الاحتكاك أن تؤثِّر عليه.
تقلِّل قوى الاحتكاك المؤثِّرة على الطبقتين الأولى والخامسة من سرعتَيْهما. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.
لا تُنتِج لزوجة المائع احتكاكًا لزجًا فقط عندما يكون المائع ملامِسًا للجدران الداخلية للوعاء.
فعندما لا يكون لطبقتين متجاورتين للمائع السرعة نفسها؛ فإن هذا يكافئ جسمين متلامِسين يتحرَّك أحدهما مرورًا بالآخر. ومن ثَمَّ، يُوجَد احتكاك لزج بين طبقات المائع المتجاورة التي لها سرعات غير متساوية.
نلاحظ أن الاحتكاك بين الطبقة الأولى والطبقة الثانية يقلِّل من سرعة الطبقة الثانية، والاحتكاك بين الطبقة الخامسة والطبقة الرابعة يقلِّل من سرعة الطبقة الرابعة.
من المهم أن نفهم أن مقدار قوة الاحتكاك المؤثِّرة على طبقة مائع تسري على سطح مُعيَّن يعتمد على السرعة التي يسري بها المائع على السطح.
يرجع الاحتكاك بين الطبقة الأولى والجدار الداخلي للوعاء إلى سريان الطبقة الأولى مرورًا بجدار داخلي لا يتحرَّك. ويقلِّل هذا الاحتكاك من سرعة الطبقة الأولى، لكنه لا يقلِّل السرعة إلى صفر.
ويرجع الاحتكاك بين الطبقة الثانية والطبقة الأولى إلى سريان الطبقة الثانية فوق طبقة تتحرَّك في نفس اتجاه الطبقة الثانية، ولكن بسرعة أبطأ. ويقلِّل هذا الاحتكاك من سرعة الطبقة الثانية، لكن بدرجةٍ أقل من تقليل السرعة في الطبقة الأولى. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.
في هذا المثال، نفترض أن السرعة التي تتحرَّك بها الطبقة الثالثة فوق الطبقات المجاورة لها صغيرة جدًّا؛ بحيث تقل سرعة الطبقة الثالثة بمقدار ضئيل فقط.
تُقارَن سرعات سريان طبقات المائع للحصول على ما يُسمَّى نموذج سرعة السريان. وهذا موضَّح بالمنحنى الأحمر المتقطِّع في الشكل الآتي.
نُلقي نظرة الآن على مثال يتناول طبقات مائع عند سريانه.
مثال ١: تحديد تركيب طبقات السريان لمائع لزج في وعاء أسطواني
يمثِّل الشكلان الموضَّحان حدود طبقات سائل لزج تتحرَّك بسرعات مختلفة عندما يسري السائل عبر أنبوب. أيُّ الشكلين يمثِّل حدود طبقات السائل؟
الحل
يتأثَّر السائل اللزج باحتكاك لزج عند سريانه فوق سطحٍ ما. ويؤدِّي الاحتكاك بين الأنبوب والسائل إلى حدوث هذا الاحتكاك؛ ما يقلِّل سرعة الطبقات الملامِسة للأنبوب من الداخل. وتُنتِج الطبقات ذات السرعة المنخفضة احتكاكًا مع الطبقات المجاورة لها؛ ممَّا يقلِّل من سرعة هذه الطبقات كذلك. لهذه الأسباب، يسري المائع سريانًا أبطأ بالقرب من جدران الأنبوب، وسريانًا أسرع بعيدًا عن جدران الأنبوب.
ننظر أولًا إلى الخيار الذي تكون فيه الطبقات عمودية على محيط طرفَي الأنبوب. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.
إذا كان هذا هو الخيار الصحيح، فلا بد أن يكون هناك أمران صحيحان:
- سرعة المائع في الطبقة الموضَّحة باللون الأحمر، ، لا بد ألَّا تساوي سرعة المائع في الطبقة الموضَّحة باللون الأخضر، .
- يجب أن تكون سرعة سريان المائع ثابتة عبر كل طبقة.
يمكننا ملاحظة وجود الطبقة الموضَّحة باللون الأحمر في الجزء الأوسع من الأنبوب. ولذا، يبعُد مركز هذه الطبقة عن جدران الأنبوب مسافةً أكبر من المسافة التي يبعُدها مركز الطبقة الخضراء. وقد يؤدِّي هذا الاختلاف إلى اختلاف سرعات السريان في الطبقات.
ومع ذلك، ففي كلٍّ من الطبقتين الحمراء والخضراء، تتغيَّر المسافة بين المائع وجدران الأنبوب عبر الطبقة الواحدة في الاتجاه العمودي على سريان المائع. ويجب أن يسري المائع سريانًا أسرع حين يكون بعيدًا عن جدران الأنبوب، مقارنةً بسرعة سريانه عند جدران الأنبوب. إذن، من غير المنطقي أن تكون سرعة السريان ثابتة عبر الطبقة الواحدة.
ننظر الآن إلى الخيار الذي تناظِر فيه طبقات السريان الأغلفة الأسطوانية المتحدة المركز.
يوضِّح الشكل الآتي سرعات ممكنة للسريان في كل طبقة. تناظِر السرعة في كل طبقة سهمًا مختلف اللون.
يمكننا ملاحظة أن سرعات السريان تصبح أكبر كلما زاد بُعد المسافة عن جدران الأنبوب. وينطبق هذا على أي قطر نختاره لطرف الأنبوب.
إذن هذا هو الخيار الصحيح.
هيا الآن نُلقِ نظرة على مثال يتناول طبقات مائع يسري نتيجة قوة مؤثِّرة عليه.
مثال ٢: تحديد تركيب طبقات السريان لمائع لزج يسري نتيجة قوة مؤثِّرة
يمثِّل الشكلان الموضَّحان حدود طبقات سائل لزج، وتتحرَّك الطبقات بسرعات مختلفة عندما يسري السائل عبر حاوية. أيُّ الشكلين يمثِّل حدود طبقات السائل الذي يسري عبر حاوية يتحرَّك فيها الجزء العلوي من الحاوية بالنسبة إلى قاعدة الحاوية؟
الحل
يوضِّح الشكلان السابقان منطقة صغيرة يحدث فيها السريان. وتوضِّح الأشكال الآتية هذه المنطقة. لا تُوجَد أي حدود مُحدَّدة عمودية على اتجاه السريان. ولا يلامِس اللوحُ المائعَ في الشكل الآتي؛ ولذا يكون المائع ثابتًا.
يُوضَع اللوحُ بعد ذلك ملامِسًا للطبقة العلوية من المائع.
ثم يُحرَّك اللوح أفقيًّا بفعل قوة ثابتة.
تَنتج عن الاحتكاك بين الطبقة العلوية للمائع واللوح قوةٌ تؤثِّر على اللوح في الاتجاه المعاكس للقوة الثابتة المؤثِّرة على اللوح.
ووفقًا لقانون نيوتن الثالث للحركة، عندما يؤثِّر المائع بقوة على اللوح، يؤثِّر اللوح على المائع بقوة مساوية في المقدار ومعاكِسة في الاتجاه. ومن ثَمَّ، نلاحظ أن حركة اللوح تؤدِّي إلى تحرُّك الطبقة العلوية للمائع في نفس اتجاه اللوح.
من المهم أن نفهم أن الطبقة العلوية من المائع فقط هي التي تتحرَّك تحت تأثير القوة. ولا تُوجَد أيُّ حركة مكافِئة مُستحثَّة على جانبَي المائع أو أسفله.
لذا، نلاحظ أن أي حركة لطبقات المائع بخلاف الطبقة العلوية لا بد أن تكون ناتجة عن حركة الطبقة العلوية. وتؤدي حركة الطبقة العلوية إلى احتكاك بين الطبقة العلوية والطبقة الآتية أسفلها. ويتكرَّر هذا الأمر بالنسبة إلى الطبقة الموجودة أسفل تلك الطبقة أيضًا، وهكذا حتى تصل جميع الطبقات إلى سرعات اتزانها.
عندما يتحرَّك اللوح فوق الطبقة العلوية من المائع، يتحرَّك المائع في الطبقة العلوية أبطأ من اللوح. ولذا، يكون الاحتكاك بين الطبقة العلوية والطبقة التي أسفل منها أقل من الاحتكاك بين اللوح والطبقة العلوية. ونلاحظ بعد ذلك أن الطبقة الموجودة أسفل الطبقة العلوية يؤثِّر عليها احتكاكٌ أقل من الطبقة العلوية؛ ومن ثَمَّ لا تتحرَّك بنفس سرعة الطبقة العلوية.
فلا بد إذن أن تصبح سرعات طبقات المائع أقل كلما زادت المسافة التي تبعُدها عن اللوح.
نتناول الآن نماذج السرعة الممكنة لنموذجَيْ طبقات السريان الموضَّحَين في السؤال. تناظِر سرعة السريان في كل طبقة سهمًا مختلف اللون.
يمكننا ملاحظة أنه بالنسبة إلى ترتيب المستطيلات المتحدة المركز، تكون سرعتا سريان المائع في القمة والقاع متساويتين. وهذا لا يمكن أن يكون صحيحًا؛ لأن سرعات سريان الطبقات يجب أن تقل مع زيادة المسافة التي تبعُدها طبقة ما عن اللوح. وهذا يتسق مع نموذج المستطيلات المتراصة، وهو إذن الخيار الصحيح.
من المهم أن نفهم أن العجلة الثابتة للمائع المتحرِّك بواسطة اللوح، التي نتجت عن القوة الثابتة المصاحبة لحركة اللوح، ليست عجلة دائمة. يتسارع المائع حتى تصل كل طبقة من طبقاته إلى سرعة اتزانها. ومن ثَمَّ، فإن الشغل المبذول عن طريق اللوح بعد توقُّف المائع عن تسارعه يتبدَّد. لقد كان ذلك متوقَّعًا، ولنتذكَّر هنا أن قوى الاحتكاك دائمًا ما تكون قوى متبدِّدَة.
يمكن استخدام اللوح الذي يُدفَع بطول سطحِ مائعٍ مستطيل الشكل وطويل جدًّا؛ لتحديد لزوجة ذلك المائع. ولكي نكون أكثر دقةً، يمكن تحديد اللزوجة الديناميكية للمائع بهذه الطريقة.
يمكن حساب قيمة اللزوجة الديناميكية للمائع باستخدام المتغيِّرات الآتية:
- ، وهي القوة المؤثِّرة على اللوح.
- ، وهي مساحة اللوح.
- ، وهي التغيُّر في السرعة بين طبقات المائع المتجاورة.
- ، وهي ارتفاع كل طبقة من طبقات المائع.
من المهم ملاحظة أن هذا النموذج لسريان المائع يفترض وجود تغيُّر متساوٍ في السرعة بين طبقات المائع المتجاورة. ومن ثَمَّ، يبدو نموذج السرعة لمثل هذا السريان مُماثلًا للنموذج الموضَّح في الشكل الآتي.
صيغة: اللزوجة الديناميكية لمائع يتحرَّك نتيجة الاحتكاك بلوح مستطيل
اللزوجة الديناميكية، ، للمائع مُعطاة بهذه الصيغة: حيث هي القوة الثابتة المؤثِّرة على اللوح، و هي مساحة اللوح، و هي ارتفاع طبقة المائع، و هي الفرق في سرعة السريان بين طبقات المائع المتجاورة.
وتُعطى وحدة اللزوجة الديناميكية بدلالة الصيغة:
القيمة القياسية للزوجة الديناميكية للماء هي Pa⋅s.
نتناول الآن مثالًا نحدِّد فيه اللزوجة الديناميكية لمائع.
مثال ٣: حساب اللزوجة الديناميكية للموائع
لوح رقيق كتلته 2.5 g دُفِع بالقوة الثابتة ، فتحرَّك بسرعة ثابتة 1.32 cm/s على سطح سائل لزج عمقه 2.5 mm، كما هو موضَّح في الشكل. سرعة طبقات السائل بين اللوح وأدنى طبقة موضَّحة في الشكل. يتحرَّك السائل المُلامِس للَّوحين العلوي والسفلي بنفس سرعة اللوحين. ما مُعامِل اللزوجة الديناميكية للسائل؟ أجِب بالصيغة العلمية لأقرب منزلة عشرية.
الحل
يمكن حساب قيمة اللزوجة الديناميكية للمائع باستخدام المتغيِّرات الآتية:
- ، وهي القوة المؤثِّرة على اللوح.
- ، وهي مساحة اللوح.
- ، وهي التغيُّر في السرعة بين طبقات المائع المتجاورة.
- ، وهي ارتفاع كل طبقة من طبقات المائع.
وتُستخدَم الصيغة الآتية:
وتُعطى قيمة القوة على الصورة:
مساحة اللوح هي حاصل ضرب طولَي ضلعَيْه، وتُعطى بالصيغة:
تُوجَد خمس طبقات من المائع، والارتفاع الكلي لهذه الطبقات 2.5 mm. ومن ثَمَّ، يُعطى ارتفاع الطبقة بالصيغة:
بأخذ سرعتَي طبقتين متجاورتين، نلاحظ أن الفرق بينهما مُعطى بالصيغة:
ومن ثَمَّ، فإن قيمة تُعطى بالصيغة:
وهذا يُعطينا:
وهذا يقترب من القيمة القياسية للُّزوجة الديناميكية للماء.
حتى هذه النقطة، تناول الشارح فقط السريان الطبقي للمائع.
يمكننا أيضًا تناول السريان المضطرب. في الموائع التي تسري سريانًا مضطربًا، تتقاطع طبقات المائع، كما يوضِّح الشكل الآتي.
يحدث الاضطراب بسهولة أكبر عندما تكون سرعة سريان المائع أكبر. وقد لاحظنا أن قوى الاحتكاك بين الطبقات تعتمد على السرعة التي تسري بها الطبقات بعضها مرورًا ببعض. فكلما زادت سرعة السريان الكلي للمائع، زاد الفرق في السرعات بين الطبقات؛ ومن ثَمَّ زادت قوى الاحتكاك بين الطبقات.
يمكننا تمثيل طبقة المائع باعتبارها مكوَّنة من أجزاء من الطبقة. نفكِّر في مثل هذا الجزء من الطبقة التي يُوجَد على جانبَيْها طبقتان؛ إحداهما أبطأ والأخرى أسرع. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.
نلاحظ أن الطبقة الأسرع تجذب جزء الطبقة الوسطى في اتجاه السريان الكلي، أما الطبقة الأبطأ فتجذب ذلك الجزء في الاتجاه المعاكس. يؤدِّي تأثير القوتين في اتجاهين معاكسين أعلى وأسفل الطبقة الوسطى إلى تأثير دوراني، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
يختلف مقدار التأثير الدوراني بوجهٍ عام باختلاف الطبقات؛ ولذا، قد تدور الطبقة بما يكفي للعبور إلى داخل طبقة أخرى. ومن ثَمَّ، يُلاحَظ الاضطراب.
وكلما زادت لزوجة المائع، زاد ميل طبقات المائع إلى الدوران بمقادير مماثلة. وهذا يعني أنه كلما زادت لزوجة المائع، زادت صعوبة سريان المائع بشكل مضطرب.
نتناول الآن مثالًا يتضمَّن السريان المضطرب لمائع لزج.
مثال ٤: تفسير الانتقال بين السريان الطبقي والمضطرب في مائع لزج
يوضِّح الشكل مقطعًا عرضيًّا لخطوط انسياب سائل يسري حول أسطوانة. قبل وصول السائل إلى الأسطوانة، يكون السريان طبقيًّا. بعد سريان السائل خلف الأسطوانة، تُوجَد منطقة سريان مضطرب. ومع ذلك، يعود السريان طبقيًّا مرةً أخرى بعد منطقة السريان المضطرب. أيُّ الجمل الآتية تُفسِّر تفسيرًا صحيحًا لماذا يعود السريان المضطرب ليكون سريانًا طبقيًّا؟
- في منطقة السريان المضطرب، تتبدَّد طاقة حركة السائل بسبب الاحتكاك اللزج، فيقلُّ مُتوسِّط سرعة السائل. عندما يتباطأ السائل، يصبح أقلَّ اضطرابًا.
- يتمدَّد السائل عندما يسري في منطقة السريان المضطرب. ينضغط السائل عند خروجه من منطقة السريان المضطرب.
- تزداد اللزوجة الديناميكية للسائل في منطقة السريان المضطرب. تقلُّ لزوجة السائل عند خروجه من منطقة السريان المضطرب.
الحل
لا تتغيَّر لزوجة السائل حسب سرعة سريانه. ومن ثَمَّ، يمكن استبعاد الخيار الذي يتطلَّب تغيُّرات في اللزوجة.
السوائل غير قابلة فعليًّا للانضغاط. فيمكننا إهمال المقدار الضئيل الذي يمكن ضغطها به في معظم الحالات؛ ومن ذلك الانتقالات بين السريان الطبقي والسريان المضطرب. إذن نستطيع استبعاد الخيار الذي يتطلَّب ضغط السائل وتمدُّده.
يمكننا تذكُّر أن الاحتكاك قوة متبدِّدة. وبالنسبة إلى مائع يتحرَّك بتأثير قوة ثابتة ينتجها لَوحٌ ما، سيصل المائع إلى سرعة سريان الاتزان أثناء تأثير القوة الثابتة عليه، ولن يستمر في التسارع بلا حدود. ونستنتج هنا أن الاحتكاك اللزج سيؤدِّي إلى تبدُّد طاقة الموائع السارية.
في الموائع التي تسري سريانًا مضطربًا، يؤدِّي تداخل طبقات الموائع ذات السرعات المختلفة إلى احتكاك لزج بين الطبقات المتداخلة بمقدار أكبر ممَّا يحدث في السريان الطبقي.
ويقلِّل تبدُّد الطاقة الذي يُسبِّبه المائع المضطرب من سرعة سريان الطبقات. وبما أن الطبقات تسري سريانًا أبطأ بعضها مرورًا ببعض، فإنها تؤثِّر بقوة احتكاك أقل بعضها على بعض، وهذا يقلِّل من الاضطراب الناتج عن هذه القوى.
إذن الخيار الأول هو الخيار الصحيح.
نلخِّص الآن ما تعلَّمناه في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- يمكن تمثيل المائع ذي السريان الطبقي بأنه مكوَّن من طبقات متوازية تؤثِّر بقوى احتكاك لزج بعضها على بعض.
- قوى الاحتكاك اللزج تبدِّد طاقة المائع الساري.
- المائع الذي يسري بفعل قوة ثابتة تؤثِّر على لوح يتحرَّك على سطح المائع، تكون له لزوجة ديناميكية، ، تُعطى بدلالة الصيغة: حيث هي القوة الثابتة المؤثِّرة على اللوح، و هي مساحة اللوح، و هي ارتفاع طبقة المائع، و هو الفرق في سرعة السريان بين طبقات المائع المتجاورة.
- وحدة اللزوجة الديناميكية هي باسكال · ثانية (Pa⋅s).
- القيمة القياسية للُّزوجة الديناميكية للماء هي Pa⋅s.
- يمكن أن يتسبَّب الاحتكاك اللزج بين طبقات المائع في تداخل الطبقات تداخلًا مضطربًا.
- يؤدِّي تبدُّد طاقة مائع يسري سريانًا مضطربًا إلى استعادة حالة السريان الطبقي للمائع.
