شارح الدرس: حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية: الحلُّ بالنسبة إلى ضلع الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: إيجاد الطول المجهول في مثلث قائم الزاوية؛ حيث تقع القيمة المجهولة أعلى الكسر

أوجد لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

أول خطوة في حل أي مسألة تتضمَّن إيجاد أطوال مثلث قائم الزاوية، هي تسمية الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية المعلومة، وفي هذا المثال هي زاوية قياسها .

يمكننا أن نلاحظ هنا أننا لم نكن بحاجة إلى تسمية الضلع المجاور؛ فنحن لا نعرف طوله ولا نحاول إيجاده. الضلعان المهمان بالنسبة إلينا هنا هما الضلع المقابل والوتر، وهو ما يعني، بتذكُّر النسب المثلثية الثلاث، أنه علينا استخدام نسبة الجيب. نذكر أن:

إذن، إذا عوَّضنا بالقيم التي لدينا عن ، ، ، نحصل على:

لحل هذه المعادلة، نضرب الطرفين في ١٠ لنحصل على:

وبحساب ذلك، نجد أن:

مثال ٢: إيجاد الطول المجهول في مثلث قائم الزاوية؛ حيث تقع القيمة المجهولة أعلى الكسر

أوجد طول لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

خطوتنا الأولى عند حل أي مسألة تتضمَّن إيجاد أطوال مثلث قائم الزاوية هي تسمية الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية المعلومة، وهي في هذه الحالة . من المفيد في هذه الخطوة أيضًا أن نشير إلى الطول بالرمز .

يمكننا أن نلاحظ هنا أننا لم نكن بحاجة إلى تسمية الضلع المجاور؛ فنحن لا نعرف طوله ولا نحاول إيجاده. الضلعان المعنيان هنا هما الضلع المقابل والوتر، وهو ما يعني، بتذكُّر النسب المثلثية الثلاث، أنه علينا استخدام نسبة الجيب. نذكر أن:

وبالتعويض بالقيم الموجودة لدينا عن ، ، ، نحصل على:

لحل هذه المعادلة، نضرب الطرفين في ١٥ لنحصل على:

وبحساب ذلك، نجد أن:

مثال ٣: إيجاد الطول المجهول في مثلث قائم الزاوية؛ حيث تقع القيمة المجهولة أسفل الكسر

أوجد لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

أول خطوة في حل أي مسألة تتضمَّن إيجاد أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية هي تسمية الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية المعلومة، وهي في هذه الحالة زاوية قياسها .

يمكننا أن نلاحظ هنا أننا لم نكن بحاجة إلى تسمية الضلع المجاور؛ فنحن لا نعرف طوله ولا نحاول إيجاده. الضلعان المهمان بالنسبة لنا هنا هما الضلع المقابل والوتر، وهو ما يعني، بتذكُّر النسب المثلثية الثلاث، أنه علينا استخدام نسبة الجيب. نذكر أن:

وإذا عوَّضنا بالقيم الموجودة لدينا عن ، ، ، نحصل على:

هذه المعادلة أكثر صعوبةً قليلًا؛ لأنه علينا ضرب الطرفين في أولًا، لنحصل على: ومن ثَمَّ، قسمة الطرفين على لنجد أن:

ومن ثَمَّ، بحساب ذلك نستنتج أن:

مثال ٤: حل المسائل الكلامية باستخدام حساب المثلثات

رَصَد شخصٌ من أعلى تل ارتفاعه ١٫٥٦ كم نقطةً على الأرض. كان قياس زاوية الانخفاض . أوجد المسافة بين النقطة والشخص الراصد لها لأقرب متر.

الحل

أول ما علينا فعله عند حل مسألة كلامية في حساب المثلثات هو رسم المثلث الموضَّح في المسألة، وتحديد جميع الزوايا وأطوال الأضلاع المعلومة لدينا. قبل أن نفعل ذلك، من المهم أن نفهم ما نعنيه عند التحدث عن زاوية الانخفاض. زاوية الانخفاض هذه تمثِّل الزاوية أسفل خط مستقيم أفقي. ومن ثَمَّ، لتمييز هذه الزاوية في الشكل لدينا، علينا أن نرسم خطًّا مستقيمًا أفقيًّا من الشخص الراصد عند النقطة . بعد ذلك، نرسم خطًّا مستقيمًا يمتد من الراصد إلى النقطة على الأرض؛ بحيث يصنع زاوية قياسها مع هذا المستقيم الأفقي.

بالنظر إلى المثلث ، يمكننا إيجاد قياس بطرح من . ومن ثَمَّ، نحصل على:

يمكننا الآن استخدام حساب المثلثات لإيجاد المسافة بين الراصد والنقطة. وهذا يُعطى بالطول . للتأكُّد من أننا نستخدم النسبة المثلثية الصحيحة، علينا تسمية أضلاع المثلث بشكل صحيح. الوتر هو ؛ لأن هذا هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. وبما أننا نرغب في تسمية الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية المعلومة، إذن نلاحظ أن هو الضلع المجاور.

نريد إذن إيجاد طول الوتر؛ حيث نعلم طول الضلع المجاور. النسبة المثلثية التي تربط بين هذين الضلعين هي نسبة جيب التمام. على وجه التحديد:

وبما أننا نريد حساب الطول ، إذن يمكننا جعله وحده أحد طرفَي المعادلة بضرب طرفيها في على النحو الآتي:

الآن نقسم طرفَي المعادلة على لعزل في الطرف الأيمن كما يلي:

نعوِّض بـ ، ، لنحصل على:

وباستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا إيجاد قيمة المقدار في الطرف الأيسر، لنجد أن:

لكن، بما أن المطلوب منا هو تقريب الناتج لأقرب متر، إذن علينا ضربه في ١‎ ‎٠٠٠ ثم تقريبه كما يلي لأقرب متر:

مثال ٥: إيجاد الطول المجهول في مثلث قائم الزاوية؛ حيث تقع القيمة المجهولة أعلى الكسر

حَاوَل شخصٌ تقديرَ ارتفاع برج إيفل. كانت المسافة التي قاسها من قاعدة البرج ٢٥٠ م. من تلك النقطة، قاس زاوية الارتفاع حتى قمة البرج، فكانت . استخدم هذه القياسات لتقريب ارتفاع البرج لأقرب متر.

الحل

نبدأ برسم شكل يمثِّل الحالة لدينا، ونُسمِّي أضلاع المثلث الضلع المقابل، والضلع المجاور، والوتر.

كما نرى، يمثِّل الارتفاع المجهول الضلع المقابل للزاوية، لكن الضلع المعلوم لدينا هو الضلع المجاور. إذن، علينا استخدام النسبة المثلثية التي تربط بين الضلعين؛ المقابل والمجاور؛ أي نسبة الظل.

نريد إيجاد الارتفاع الذي يمثِّله الضلع المقابل للزاوية. لذلك، نضرب في لنجعل وحده أحد طرفَي المعادلة كما يلي:

وبالتعويض عن طول الضلع المجاور بـ ٢٥٠، والزاوية بـ ، نحصل على: لأقرب متر. ومن ثَمَّ، وفقًا للعمليات الحسابية، نجد أن ارتفاع برج إيفل يساوي ٣٢٠ مترًا لأقرب متر.

مثال ٦: إيجاد الطول المجهول في مثلث قائم الزاوية؛ حيث تقع القيمة المجهولة أعلى الكسر

سُلَّمٌ طوله ٢٣ قدمًا يميل على مبنى؛ حيث قياس الزاوية بين الأرض والسُّلَّم يساوي . ما الارتفاع الذي وصل إليه السُّلَّم على جانب المبنى؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

أول خطوة في حل هذه المسألة هي رسم شكل توضيحي وتسمية الضلع المقابل والضلع المجاور والوتر على الشكل.

الضلعان المهمان بالنسبة إلينا هنا هما الضلع المقابل والوتر، وهو ما يعني، بتذكُّر النسب المثلثية الثلاث، أنه علينا استخدام نسبة الجيب. نذكر أن:

وإذا عوَّضنا بالقيم الموجودة لدينا عن ، ، ، نحصل على:

لحل هذه المعادلة، نضرب الطرفين في ٢٣ لنحصل على:

وبحساب ذلك، نجد أن:

مثال ٧: إيجاد الطول المجهول في مثلث قائم الزاوية؛ حيث تقع القيمة المجهولة أعلى الكسر

طائرة ورقية، على ارتفاع عمودي ٤٤ م، مربوطة في خيط يميل على المستوى الأفقي بزاوية قياسها. أوجد طول الخيط لأقرب منزلة عشرية.

الحل

خطوتنا الأولى في حل هذه المسألة هي رسم شكل توضيحي، وتسمية الضلع المقابل والضلع المجاور والوتر على الشكل.

الضلعان المهمان بالنسبة إلينا هنا هما الضلع المقابل والوتر، وهو ما يعني، بتذكُّر النسب المثلثية الثلاث، أنه علينا استخدام نسبة الجيب. نذكر أن:

وبالتعويض بالقيم التي لدينا عن ، ، ، نحصل على:

لحل هذه المعادلة، نبدأ بضرب الطرفين في لنحصل على: ثم نقسم الطرفين على لنجد أن:

وبحساب ذلك، نجد أن: