شارح الدرس: حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية: الحلُّ بالنسبة إلى ضلع الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد طول ضلع ناقص في مثلث قائم الزاوية من خلال اختيار النسبة المثلثية المناسبة لزاوية معطاة.

نذكر أنه عند التعامل مع حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، سيفيدنا تذكر الاختصار «جاقو جتاجو ظاقج». سيساعدنا هذا على تذكُّر تعريفات النسب المثلثية، وهي الجيب وجيب التمام والظل، بدلالة تسمية الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية المعطاة بأنها ضلع مقابل، وضلع مجاور، ووتر. هيا نكتب النسب هنا.

النسب المثلثية

الوتر هو أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية دائمًا (الضلع المقابل مباشرةً للزاوية القائمة)، أما الضلع المقابل، فهو الضلع المقابل للزاوية المعنية مباشرةً، والضلع المجاور هو الضلع المجاور للزاوية (وهو ليس الوتر). فيما يلي مثال على ذلك.

عندما نكون واثقين من تذكُّرنا للنسب المثلثية الثلاث، وواثقين من قدرتنا على تسمية أضلاع المثلث القائم الزاوية على نحو صحيح، يمكننا البدء في معرفة طريقة حساب الأطوال المجهولة في المثلث القائم. عند حساب هذه الأطوال، يمكننا تصنيفها إلى نوعين مختلفين من الأسئلة. يرجع هذا إلى أنه بعد تسمية عناصر المثلث القائم الزاوية والتعويض بالقيم في النسبة المثلثية الصحيحة، نجد أن القيمة المجهولة تقع أعلى الكسر في بعض الأسئلة، وتقع أسفله في البعض الآخر. نتناول مثالين مفصَّلين لكلتا الحالتين. ثمة خطأ شائع جدًّا، وهو افتراض ظهور القيمة المجهولة دائمًا أعلى الكسر؛ وهذا خطأ يُرتكَب بسبب عدم تسمية عناصر المثلث على نحو صحيح.

نبدأ بتناول مثال تظهر فيه القيمة المجهولة أعلى الكسر.

مثال ١: إيجاد الطول المجهول في مثلث قائم الزاوية؛ حيث تقع القيمة المجهولة أعلى الكسر

أوجد 𞸎 لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

أول خطوة في حل أي مسألة تتضمَّن إيجاد أطوال مثلث قائم الزاوية، هي تسمية الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية المعلومة، وفي هذا المثال هي زاوية قياسها ٥٥.

يمكننا أن نلاحظ هنا أننا لم نكن بحاجة إلى تسمية الضلع المجاور؛ فنحن لا نعرف طوله ولا نحاول إيجاده. الضلعان المهمان بالنسبة إلينا هنا هما الضلع المقابل والوتر، وهو ما يعني، بتذكُّر النسب المثلثية الثلاث، أنه علينا استخدام نسبة الجيب. نذكر أن: 𝜃=𞸒𞸅.

إذن، إذا عوَّضنا بالقيم التي لدينا عن 𞸒، 𞸅، 𝜃، نحصل على: ٥٥=𞸎٠١.

لحل هذه المعادلة، نضرب الطرفين في ١٠ لنحصل على: 𞸎=٠١×٥٥.

وبحساب ذلك، نجد أن: 𞸎=٩١٫٨.(ب)

نلقي نظرة على مثال ثانٍ كهذا يُوصَف فيه المثلث حسب رءوسه.

مثال ٢: إيجاد الطول المجهول في مثلث قائم الزاوية؛ حيث تقع القيمة المجهولة أعلى الكسر

أوجد طول 𞸁𞸌 لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

خطوتنا الأولى عند حل أي مسألة تتضمَّن إيجاد أطوال مثلث قائم الزاوية هي تسمية الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية المعلومة، وهي في هذه الحالة 󰌑𞸁󰏡𞸌. من المفيد في هذه الخطوة أيضًا أن نشير إلى الطول 𞸁𞸌 بالرمز 𞸎.

يمكننا أن نلاحظ هنا أننا لم نكن بحاجة إلى تسمية الضلع المجاور؛ فنحن لا نعرف طوله ولا نحاول إيجاده. الضلعان المعنيان هنا هما الضلع المقابل والوتر، وهو ما يعني، بتذكُّر النسب المثلثية الثلاث، أنه علينا استخدام نسبة الجيب. نذكر أن: 𝜃=𞸒𞸅.

وبالتعويض بالقيم الموجودة لدينا عن 𞸒، 𞸅، 𝜃، نحصل على: ٧٤=𞸎٥١.

لحل هذه المعادلة، نضرب الطرفين في ١٥ لنحصل على: 𞸎=٥١×٧٤.

وبحساب ذلك، نجد أن: 𞸎=٧٩٫٠١.(ب)

والآن، ننتقل إلى أمثلة الأسئلة التي تقع فيها القيمة المجهولة أسفل الكسر. في هذه الأسئلة تكون لدينا خطوة إضافية في الحل؛ لذا يتعيَّن علينا الانتباه قليلًا إلى العمليات الحسابية التي نُجريها.

مثال ٣: إيجاد الطول المجهول في مثلث قائم الزاوية؛ حيث تقع القيمة المجهولة أسفل الكسر

أوجد 𞸎 لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

أول خطوة في حل أي مسألة تتضمَّن إيجاد أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية هي تسمية الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية المعلومة، وهي في هذه الحالة زاوية قياسها ٠٢.

يمكننا أن نلاحظ هنا أننا لم نكن بحاجة إلى تسمية الضلع المجاور؛ فنحن لا نعرف طوله ولا نحاول إيجاده. الضلعان المهمان بالنسبة لنا هنا هما الضلع المقابل والوتر، وهو ما يعني، بتذكُّر النسب المثلثية الثلاث، أنه علينا استخدام نسبة الجيب. نذكر أن: 𝜃=𞸒𞸅.

وإذا عوَّضنا بالقيم الموجودة لدينا عن 𞸒، 𞸅، 𝜃، نحصل على: ٠٢=٢١𞸎.

هذه المعادلة أكثر صعوبةً قليلًا؛ لأنه علينا ضرب الطرفين في 𞸎 أولًا، لنحصل على: 𞸎×٠٢=٢١، ومن ثَمَّ، قسمة الطرفين على ٠٢ لنجد أن: 𞸎=٢١٠٢.

ومن ثَمَّ، بحساب ذلك نستنتج أن: 𞸎=٩٠٫٥٣.(ب)

والآن، نلقي نظرة على بعض الأسئلة المطروحة على صورة مسائل كلامية. هذا النوع من الأسئلة يتضمَّن خطوة إضافية، وهي رسم شكل توضيحي، مع الانتباه إلى تفسير معطيات السؤال بشكل صحيح.

مثال ٤: حل المسائل الكلامية باستخدام حساب المثلثات

رَصَد شخصٌ من أعلى تل ارتفاعه ١٫٥٦ كم نقطةً على الأرض. كان قياس زاوية الانخفاض ٩٢. أوجد المسافة بين النقطة والشخص الراصد لها لأقرب متر.

الحل

أول ما علينا فعله عند حل مسألة كلامية في حساب المثلثات هو رسم المثلث الموضَّح في المسألة، وتحديد جميع الزوايا وأطوال الأضلاع المعلومة لدينا. قبل أن نفعل ذلك، من المهم أن نفهم ما نعنيه عند التحدث عن زاوية الانخفاض. زاوية الانخفاض هذه تمثِّل الزاوية أسفل خط مستقيم أفقي. ومن ثَمَّ، لتمييز هذه الزاوية في الشكل لدينا، علينا أن نرسم خطًّا مستقيمًا أفقيًّا من الشخص الراصد عند النقطة 𞸔. بعد ذلك، نرسم خطًّا مستقيمًا يمتد من الراصد إلى النقطة 𞸋 على الأرض؛ بحيث يصنع زاوية قياسها ٩٢ مع هذا المستقيم الأفقي.

بالنظر إلى المثلث 𞸔𞸋𞸁، يمكننا إيجاد قياس 󰌑𞸁𞸔𞸋 بطرح ٩٢ من ٠٩. ومن ثَمَّ، نحصل على: 𞹟󰌑𞸁𞸔𞸋=٠٩٩٢=١٦.

يمكننا الآن استخدام حساب المثلثات لإيجاد المسافة بين الراصد والنقطة. وهذا يُعطى بالطول 𞸔𞸋. للتأكُّد من أننا نستخدم النسبة المثلثية الصحيحة، علينا تسمية أضلاع المثلث بشكل صحيح. الوتر هو 𞸔𞸋؛ لأن هذا هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. وبما أننا نرغب في تسمية الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية المعلومة، إذن نلاحظ أن 𞸔𞸁 هو الضلع المجاور.

نريد إذن إيجاد طول الوتر؛ حيث نعلم طول الضلع المجاور. النسبة المثلثية التي تربط بين هذين الضلعين هي نسبة جيب التمام. على وجه التحديد: 𝜃=𞸢𞸅=𞸔𞸁𞸔𞸋.

وبما أننا نريد حساب الطول 𞸔𞸋، إذن يمكننا جعله وحده أحد طرفَي المعادلة بضرب طرفيها في 𞸔𞸋 على النحو الآتي: 𞸔𞸋𝜃=𞸔𞸁.

الآن نقسم طرفَي المعادلة على 𝜃 لعزل 𞸔𞸋 في الطرف الأيمن كما يلي: 𞸔𞸋=𞸔𞸁𝜃.

نعوِّض بـ 𞸔𞸁=٦٥٫١، 𝜃=١٦، لنحصل على: 𞸔𞸋=٦٥٫١١٦.

وباستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا إيجاد قيمة المقدار في الطرف الأيسر، لنجد أن: 𞸔𞸋=٧٥٧٧١٢٫٣.

لكن، بما أن المطلوب منا هو تقريب الناتج لأقرب متر، إذن علينا ضربه في ١‎ ‎٠٠٠ ثم تقريبه كما يلي لأقرب متر: 𞸔𞸋=٧٥٫٧٧١٢٣=٨١٢٣م

مثال ٥: إيجاد الطول المجهول في مثلث قائم الزاوية؛ حيث تقع القيمة المجهولة أعلى الكسر

حَاوَل شخصٌ تقديرَ ارتفاع برج إيفل. كانت المسافة التي قاسها من قاعدة البرج ٢٥٠ م. من تلك النقطة، قاس زاوية الارتفاع حتى قمة البرج، فكانت ٢٥. استخدم هذه القياسات لتقريب ارتفاع البرج لأقرب متر.

الحل

نبدأ برسم شكل يمثِّل الحالة لدينا، ونُسمِّي أضلاع المثلث الضلع المقابل، والضلع المجاور، والوتر.

كما نرى، يمثِّل الارتفاع المجهول الضلع المقابل للزاوية، لكن الضلع المعلوم لدينا هو الضلع المجاور. إذن، علينا استخدام النسبة المثلثية التي تربط بين الضلعين؛ المقابل والمجاور؛ أي نسبة الظل. 𝜃=𞸒𞸢.

نريد إيجاد الارتفاع الذي يمثِّله الضلع المقابل للزاوية. لذلك، نضرب في 𞸢 لنجعل 𞸒 وحده أحد طرفَي المعادلة كما يلي: 𞸒=𞸢𝜃.

وبالتعويض عن طول الضلع المجاور بـ ٢٥٠، والزاوية بـ 𝜃=٢٥، نحصل على: 𞸒=٠٥٢٢٥=٨٩٫٩١٣=٠٢٣م لأقرب متر. ومن ثَمَّ، وفقًا للعمليات الحسابية، نجد أن ارتفاع برج إيفل يساوي ٣٢٠ مترًا لأقرب متر.

مثال ٦: إيجاد الطول المجهول في مثلث قائم الزاوية؛ حيث تقع القيمة المجهولة أعلى الكسر

سُلَّمٌ طوله ٢٣ قدمًا يميل على مبنى؛ حيث قياس الزاوية بين الأرض والسُّلَّم يساوي ٠٨. ما الارتفاع الذي وصل إليه السُّلَّم على جانب المبنى؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

أول خطوة في حل هذه المسألة هي رسم شكل توضيحي وتسمية الضلع المقابل والضلع المجاور والوتر على الشكل.

الضلعان المهمان بالنسبة إلينا هنا هما الضلع المقابل والوتر، وهو ما يعني، بتذكُّر النسب المثلثية الثلاث، أنه علينا استخدام نسبة الجيب. نذكر أن: 𝜃=𞸒𞸅.

وإذا عوَّضنا بالقيم الموجودة لدينا عن 𞸒، 𞸅، 𝜃، نحصل على: ٠٨=𞸎٣٢.

لحل هذه المعادلة، نضرب الطرفين في ٢٣ لنحصل على: 𞸎=٣٢×٠٨.

وبحساب ذلك، نجد أن: 𞸎=٥٦٫٢٢.(ب)

مثال ٧: إيجاد الطول المجهول في مثلث قائم الزاوية؛ حيث تقع القيمة المجهولة أعلى الكسر

طائرة ورقية، على ارتفاع عمودي ٤٤ م، مربوطة في خيط يميل على المستوى الأفقي بزاوية قياسها٠٦. أوجد طول الخيط لأقرب منزلة عشرية.

الحل

خطوتنا الأولى في حل هذه المسألة هي رسم شكل توضيحي، وتسمية الضلع المقابل والضلع المجاور والوتر على الشكل.

الضلعان المهمان بالنسبة إلينا هنا هما الضلع المقابل والوتر، وهو ما يعني، بتذكُّر النسب المثلثية الثلاث، أنه علينا استخدام نسبة الجيب. نذكر أن: 𝜃=𞸒𞸅.

وبالتعويض بالقيم التي لدينا عن 𞸒، 𞸅، 𝜃، نحصل على: ٠٦=٤٤𞸎.

لحل هذه المعادلة، نبدأ بضرب الطرفين في 𞸎 لنحصل على: ٤٤=𞸎×٠٦، ثم نقسم الطرفين على ٠٦ لنجد أن: 𞸎=٤٤٠٦.

وبحساب ذلك، نجد أن: 𞸎=٨٫٠٥.(ب)

النقاط الرئيسية

  • عند العمل مع المثلثات القائمة الزاوية، نستخدم المصطلحات مقابل ومجاور ووتر للإشارة إلى أضلاع المثلث. الوتر هو الضلع المقابل دائمًا للزاوية القائمة، وهو أطول ضلع. أما الضلعان المجاور والمقابل، فنسميهما بالنسبة إلى الزاوية المعلومة والتي يُشار إليها عادةً بـ 𝜃. المجاور هو الضلع المجاور للزاوية 𝜃، وهو ليس الوتر. أما الضلع المقابل، فهو الضلع الأخير من المثلث، ويُسمَّى الضلع المقابل؛ لأنه مقابل للزاوية المعلومة.
  • نذكر الاختصار جاقو جتاجو ظاقج؛ حيث يرمز 𞸒 إلى الضلع المقابل، ويرمز 𞸢 للضلع المجاور، ويرمز 𞸅 إلى وتر المثلث، 𝜃 هي الزاوية. أما النسب المثلثية فهي: 𝜃=𞸒𞸅،𝜃=𞸢𞸅،𝜃=𞸒𞸢.
  • لإيجاد طول ضلع ناقص، نتبع مجموعة الخطوات الآتية:
    • نُسمِّي أضلاع المثلث باستخدام المصطلحات المقابل، والمجاور، والوتر، بالنسبة إلى الزاوية المعلومة.
    • نختار النسبة المثلثية الصحيحة التي تربط بين الضلع المعروف والضلع المجهول.
    • نُعيد ترتيب النسبة لجعل الضلع المجهول وحده أحد طرفَي المعادلة.
    • نعوِّض بقيمتَي الضلع والزاوية المعلومتين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.