شارح الدرس: متباينات القيمة المطلقة في متغيِّر واحد الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَحُلُّ متباينات في متغيِّر واحد تتضمَّن قِيَمًا مطلقة.

لا يمكن حل معادلات القيمة المطلقة بالطريقة نفسها التي نَحُل بها المعادلات الخطية. وبالمثل، تتطلَّب متباينات القيمة المطلقة طريقة محدَّدة لحلها.

نلاحظ من تعريف القيمة المطلقة أن هناك دائمًا عددين، القيمة المطلقة لكلٍّ منهما لا تساوي صفرًا، لكن القيمة المطلقة للصفر فقط تساوي صفرًا. على سبيل المثال، نجد أن حلَّيْ هما عددان يبعُدان عن الصفر مسافة مقدارها ٤ في كلا الاتجاهين؛ أيْ ٤، . ويمكننا تحويل هذه المعادلة جبريًّا إلى معادلتين، وهما لكل ، لكل .

متباينات القيمة المطلقة عبارة عن متباينات تتضمَّن القيمة المطلقة لعدد بدلالة المجهول . وأبسط صورة لمتباينات القيمة المطلقة هي: حيث عدد ثابت.

على سبيل المثال، هيا ننظر إلى . باستخدام تعريف القيمة المطلقة لأي عدد بأنها المسافة بين الصفر والعدد، نجد أن حل هذه المتباينة هو مجموعة الأعداد التي تبعُد عن الصفر مسافة أقل من أو تساوي ٤. ويمكننا تمثيل ذلك على خط الأعداد.

مجموعة الأعداد هذه هي . يمكننا أيضًا كتابة ذلك على الصورة .

تجدر الإشارة إلى أنه إذا كان عددًا سالبًا، فلا توجد إذن حلول للمتباينة؛ لأن القيمة المطلقة لأي عدد غير سالبة.

وتتضمَّن الصور الأكثر تعقيدًا لمتباينة القيمة المطلقة ما يأتي: حيث عدد ثابت.

فبدلًا من أن يكون لدينا القيمة المطلقة لـ ، لدينا هنا القيمة المطلقة لـ . هيا نرمز إلى هذا العدد بالحرف . ومن ثمَّ، يصبح لدينا ، ويمكننا إعادة ترتيب ذلك لنحصل على . إذن هو العدد الذي نضيفه إلى لنحصل على .

هيا نفترض أن لدينا مؤشرًا يقع عند على خط الأعداد، وبتحريك هذا المؤشر بمقدار ، سيتغيَّر موضعه إلى . إذا كان موجبًا، فإن يكون أكبر من (أي إنه يقع على اليمين بالنسبة إلى )، وإذا كان سالبًا، فإن يكون أقل من (أي إنه يقع على اليسار بالنسبة إلى ).

ومن ثمَّ، يمكننا تفسير القيمة المطلقة لـ ؛ أي ، بأنها المسافة بين ، . على سبيل المثال، هيا نتناول المتباينة الآتية:

مجموعة حل هذه المتباينة هي مجموعة الأعداد التي تبعُد عن العدد ٢ مسافة أقل من أو تساوي ٣. والعددان اللذان يبعُدان عن العدد ٢ مسافة مقدارها ٣ بالضبط هما و٥. لذا، فإن جميع الأعداد التي تقع بين و٥ تبعُد عن ٢ مسافة مقدارها ٣ بحد أقصى. إذن مجموعة الحل هي .

هيا الآن نعكس المتباينة لنحصل على . حَل هذه المتباينة هو مجموعة الأعداد التي تبعُد عن ٢ مسافة «أكبر» من ٣. وهي جميع الأعداد الأقل من أو الأكبر من ٥. باستخدام ترميز المجموعة، نجد أن الحل هو .

والآن، هيا نلخِّص النتائج التي توصَّلنا إليها.

نتيجة قياسية: مجموعة الحل لمتباينة قيمة مطلقة بسيطة

مجموعة حل متباينات القيمة المطلقة المُعطاة على الصورة (حيث ) هي فترة مركزها يقع عند ، وطولها يساوي :

وبالمثل، مجموعة حل (حيث ) هي:

مجموعة حل متباينات القيمة المطلقة المُعطاة على الصورة تكون مكمِّلة لمجموعة حل المتباينة العكسية التي ذكرناها سابقًا:

وبالمثل، نجد أن مجموعة حل هي:

يمكننا تمثيل ذلك على خط الأعداد.

ينطبق هذا النوع من المتباينات على المواقف الحياتية التي تتفاوت فيها سمةٌ ما قابلة للقياس لأحد العناصر. على سبيل المثال، هيا نتخيَّل أن نجَّارًا يقطع قطعًا من الخشب طولها ٢٫٥٤ م، ويمكن أن يتفاوت هذا الطول بمقدار ١ سم. هذا يعني أن الطول ليس ضروريًّا أن يساوي ٢٫٥٤ م بالضبط، بل يمكن أن يقل أو يزيد بمقدار يصل إلى ١ سم عن ٢٫٥٤ م. ومن ثَمَّ، فإن أي قطعة يقع طولها بين ٢٫٥٣ م و٢٫٥٥ م يكون لها الطول المطلوب؛ لذا، نقول إن هذين الطولين يقعان ضمن مدى التفاوت.

هيا نرَ في المثال الأول كيف يمكن وصف مثل هذا الموقف باستخدام متباينة قيمة مطلقة.

في المثال السابق، تناولنا موقفًا يهدف فيه مصنع إلى إنتاج علبٍ وزنُ كلٍّ منها ١٨٣ جم؛ ومن ثمَّ، فإن هذا الوزن يُسمَّى الوزن الاسمي. لكن بما أنه قد يكون من الصعب إنتاج علب بوزن محدَّد، يُسمَح بوجود بعض الاختلافات في الوزن الاسمي، وهذا الاختلاف هنا هو ٦ جرامات؛ لذا، نقول إن هناك تفاوتًا بمقدار ٦ جرامات. الفرق بين الوزن الفعلي والوزن الاسمي لكل علبة يُسمَّى الانحراف عن الوزن الاسمي.

هيا نَحُل الآن في المثال الآتي المسألة العكسية للمثال السابق، وهي كتابة متباينة قيمة مطلقة لوصف فترة ما.

في المثال الآتي، سنرى كيف يمكن أن يكون بعض المتباينات المركبة مكافئًا لمتباينة قيمة مطلقة بسيطة.

في المثال السابق، من خلال التمثيل البياني للقطع المكافئ والمستقيم الأفقي ، يمكننا أن نلاحظ، بمعلومية خط تماثل القطع المكافئ، أن مجموعة حل متباينة على الصورة يقع مركزها دائمًا عند الإحداثي لرأس القطع المكافئ.

ومن الجدير بالذكر أنه يمكننا أيضًا حل المتباينة بإيجاد حدَّي الفترة؛ أي الإحداثيين لنقطتَي تقاطع القطع المكافئ مع المستقيم . وبذلك، يمكننا الحصول على حلَّي المعادلة بالطريقة الآتية: وسنجد أنهما و٦.

بما أن معامل الحد المشتمل على في موجب، إذن القطع المكافئ يكون مفتوحًا لأعلى، وهذا يعني أن مجموعة حل المتباينة ، كما يتضح من التمثيل البياني، هي .

أما إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا لأسفل ولا يزال يتقاطع مع المستقيم عند نفس النقطتين، فسيكون الحل أسفل المستقيم لجميع قيم التي تقع في المجموعة .

سنتعلَّم الآن كيف يمكننا حل هذه المتباينات بيانيًّا وجبريًّا. وباستخدام هاتين الطريقتين، يمكننا بعد ذلك حل المتباينات الأكثر تعقيدًا. هيا نسترجع أولًا كيف نمثِّل دالة القيمة المطلقة بيانيًّا. لنفعل ذلك، نُكمِل جدول القيم لـ :

بعد ذلك، يمكننا تحديد الإحداثيات على محورَي الإحداثيات لتمثيل الدالة بيانيًّا بالشكل الآتي:

تُعَد القدرة على تطبيق تعريف القيمة المطلقة وتمثيلها بيانيًّا مفيدة للغاية عند حل متباينات القيمة المطلقة. ومن ثمَّ، فإن ممارسة هذه المهارات مهمة للغاية.

على سبيل المثال، هيا نتناول المتباينة:

هيا نَحُلُّها بيانيًّا أولًا. نمثِّل كلًّا من ، بيانيًّا على مجموعة المحاور نفسها بالطريقة الآتية:

من هذا التمثيل البياني، نلاحظ أن قيم الدالة الممثَّلة بيانيًّا باللون الأحمر، ، تكون أقل من أو تساوي ٣ عندما يكون أكبر من أو يساوي ، وأقل من أو يساوي ٢. ومن ثمَّ، حل المتباينة هو:

ومجموعة الحل هي .

نلاحظ أيضًا أن الرسم البياني متماثل بالنسبة إلى ، وهذا يتفق مع تفسير بأنه المسافة بين و كما تعلَّمنا من قبلُ.

يمكننا أن نرى أيضًا من التمثيل البياني كيف يمكننا حل هذه المتباينة بيانيًّا. تتضمَّن قيم الدالة الممثلة بيانيًّا باللون الأحمر جزءًا من التمثيل البياني لكلٍّ من ، . هذا يعني أن حل يكافئ حل مجموعة المتباينتين المركبتين ، . وإذا ضربنا كلا طرفَي المتباينة الأخيرة في ، نجد أن:

ومن ثمَّ، فإن المتباينة تكافئ:

يمكننا حل هذه المتباينة جبريًّا بطرح ١ من الحدود الثلاثة أولًا، لنحصل على:

وهذا يتفق مع النواتج الأوَّلية التي توصَّلنا إليها بالنظر إلى التمثيل البياني.

يمكن استخدام كلتا الطريقتين في حل متباينات القيمة المطلقة، لكن من المفيد التدرُّب على كلتيهما، وتحديدًا طريقة الحل بيانيًّا؛ لأنها تساعدنا في تصور الحل. ومن المفيد أيضًا إعطاء الإجابات بصور مختلفة، ويشمل ذلك المتباينات المبسَّطة الممثَّلة على خط الأعداد والفترات.

هيا نتناول الآن مثالين آخرين.

مثال ٤: حل متباينات القيمة المطلقة

أوجد مجموعة حل المتباينة .

الحل

سنحل هذا السؤال أولًا باستخدام الطريقة البيانية ثم باستخدام الطريقة الجبرية. لحل المتباينة بيانيًّا، علينا تمثيل كلٍّ من ، بيانيًّا على مجموعة المحاور نفسها.

لتمثيل بيانيًّا، سنَحُل أولًا ، لنجد أن . عندما يكون ، نجد أن ؛ ومن ثمَّ، فإن ، وهذا يعني أن الرسم البياني لدينا هو نفس الرسم الذي يمثِّل بيانيًّا في هذه المنطقة. وعندما يكون ، نجد أن ؛ ومن ثمَّ، فإن ، وهذا يعني أن الرسم البياني هو نفس الرسم البياني في هذه المنطقة. وبرسم هذين المستقيمين، بالإضافة إلى على التمثيل البياني، نحصل على الشكل الآتي.

نلاحظ أن الرسمين البيانيين يتقاطعان عند ، ، والرسم البياني يقع أسفل المستقيم لكل . لذا، نستنتج أن حل المتباينة هو:

مطلوبٌ منا في السؤال إيجاد مجموعة حل المتباينة، وسنكتبها على الصورة .

أما إذا أردنا حل المتباينة جبريًّا، فسنعيد كتابة على صورة المتباينة المركبة:

وبطرح ٤ من كل طرف، نحصل على:

إذن مجموعة الحل هي .

هيا نتناول الآن مثالًا علينا فيه إعادة ترتيب المتباينة قبل حلها كما فعلنا للتو.

مثال ٥: حل متباينات القيمة المطلقة

أوجد جبريًّا مجموعة حل المتباينة .

الحل

نلاحظ أن السؤال يطلب منا حساب مجموعة الحل جبريًّا، لكننا سنمثِّل ذلك بيانيًّا أيضًا لشرح الحل. إذا بدأنا بطرح ٣ من كلا طرفَي المتباينة، فسنحصل على:

الطرف الأيمن من المتباينة هو قيمة مطلقة تكون دائمًا أكبر من أو تساوي صفرًا، والطرف الأيسر هو عدد سالب؛ لذا، لا يوجد حل؛ حيث لا يمكن أن يكون الطرف الأيمن أقل من أو يساوي الطرف الأيسر. ويمكننا ملاحظة ذلك بوضوح عن طريق تمثيل كلٍّ من ، بيانيًّا على مجموعة المحاور نفسها بالشكل الآتي:

من الواضح هنا أن قيم الدالة الممثلة بيانيًّا باللون الأحمر لا يمكن أن تكون أقل من قيم الدالة الممثَّلة بيانيًّا باللون الأزرق. ومن ثَمَّ، فإن مجموعة حل المتباينة هي المجموعة الخالية .

في المثال الأخير، سنحل جبريًّا متباينة قيمة مطلقة أكثر تعقيدًا.

هيا نلخِّص الآن ما تعلَّمناه في هذا الشارح.