شارح الدرس: متباينات القيمة المطلقة في متغيِّر واحد الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلُّ متباينات في متغيِّر واحد تتضمَّن قيمًا مُطلَقة.

قبل أن نتناول متباينات القيمة المُطلَقة، لنراجع تعريف دالة القيمة المُطلَقة.

تعريف: القيمة المُطلَقة

بالكلمات، يمكن وصف القيمة المُطلَقة لأيِّ عدد بأنها مقدار العدد بغض النظر عن إشارته. على سبيل المثال، العدد ٢ له مقدار ٢، والعدد ٢ له أيضًا مقدار ٢. بصورة رياضية، يمكننا تعريف القيمة المُطلَقة جبريًّا على النحو التالي: |𞸎|=󰃇𞸎𞸎٠،𞸎𞸎<٠.

لنتذكر أيضًا كيفية رسم تمثيل بياني لدالة القيمة المُطلَقة. لإجراء ذلك، يمكننا إكمال جدول القيمة لـ 𞸑=|𞸎|:

بعد ذلك، يمكننا تحديد الإحداثيات على محورَي الإحداثيات لرسم التمثيل البياني التالي:

تُعَدُّ القدرة على تطبيق تعريف القيمة المُطلَقة وتمثيلها بيانيًّا مفيدة للغاية عند حلِّ متباينات القيمة المُطلَقة. لذا فإن التدرُّب على هذه المهارات يُعَدُّ أمرًا مهمًّا للغاية.

لنتناول الآن مفهوم متباينات القيمة المُطلَقة. حُلَّ المتباينة: |𞸎+١|٣.

قبل أن نتناول حلَّ هذا السؤال جبريًّا، قد يكون من المفيد التفكير في المسألة بيانيًّا. إذن، لنمثِّل بيانيًّا 𞸑=|𞸎+١|، 𞸑=٣ على المحورَين نفسَيْهما:

من هذا التمثيل البياني، يمكننا أن نستنتج أن التمثيل البياني الأحمر، 𞸑=|𞸎+١|، أقلُّ من أو يساوي ثلاثة عند 𞸎 أكبر من أو يساوي ٤ وأقلُّ من أو يساوي ٢. إذن، حلُّ المتباينة هو: ٤𞸎٢.

يمكننا أن نستنتج أيضًا من التمثيل البياني كيف يمكننا حلُّ هذه المتباينة بيانيًّا. يتضمَّن التمثيل البياني الأحمر جزءًا من كلٍّ من التمثيلين البيانيين لـ 𞸑=𞸎+١، 𞸑=(𞸎+١). إذن، يمكننا حلُّ المتباينتين المركَّبتين 𞸎+١٣، (𞸎+١)٣ لمساعدتنا في إيجاد الحلِّ النهائي.

نبدأ بالمتباينة: 𞸎+١٣، إذا طرحنا ١ من كلا الطرفين، فسنجد أن: 𞸎٢.

ثمَّ بالنظر إلى: (𞸎+١)٣، نبدأ بفكِّ القوس لنحصل على: 𞸎١٣.

بعد ذلك، نضيف 𞸎 إلى كلا الطرفين لنحصل على: ١٣+𞸎 وأخيرًا، نطرح ٣ من كلا الطرفين لنجد أن: ٤𞸎.

بدمج هاتين المتباينتين، يمكننا ملاحظة أن الحلَّ النهائي هو: ٤𞸎٢، وهو ما يتفق مع النتائج الابتدائية من فحص التمثيلين البيانيين.

كلتا الطريقتين مقبولتين بصورة متساوية في حلِّ مسائل متباينات القيمة المُطلَقة، لكنَّ الأمر يستحقُّ التدرُّب عليهما كلتيهما، لا سيما حلُّها بيانيًّا لأن هذا سيساعدك على تصوُّر الحلِّ. ومن المفيد أيضًا أن تتدرَّب على إعطاء إجابتك بصور مختلفة، بما في ذلك المتباينات المبسَّطة على خطوط الأعداد وعلى صورة فترات.

لنلقِ نظرة على مثالين آخَرين.

مثال ١: حلُّ متباينات القيمة المُطلَقة

أوجد مجموعة حلِّ المتباينة |𞸎+٤|<٩.

الحل

سنحلُّ هذا السؤال أوَّلًا باستخدام طريقة بيانية، ثمَّ باستخدام طريقة جبرية. لحلِّ المتباينة بيانيًّا، علينا تحديد التمثيلين البيانيين 𞸑=|𞸎+٤|، 𞸑=٩ على المحورَين نفسَيْهما:

يمكننا أن نلاحظ أن التمثيل البياني الأحمر أقلُّ من ٩ عند 𞸎 أكبر من ٣١ وأقلُّ من ٥. إذن، فإن حلَّ المتباينة هو: ٣١<𞸎<٥.

ولكن، يطلب السؤال مجموعة حلِّ المتباينة، وهي التي ستُكتَب على الصورة: (٣١،٥).

إذا أردنا حلَّ المتباينة جبريًّا، فسننظر إلى المتباينتين المركَّبتين 𞸎+٤<٩، (𞸎+٤)<٩. لحلِّ المتباينة: 𞸎+٤<٩، علينا طرح ٤ من كلا طرفَي المتباينة لنحصل على: 𞸎<٥. ولحلِّ المتباينة: (𞸎+٤)<٩، علينا أوَّلًا فكُّ القوس لنحصل على: 𞸎٤<٩.

ثمَّ نضيف 𞸎 إلى كلا الطرفين لنحصل على: ٤<٩+𞸎.

وأخيرًا، نطرح ٩ من كلا الطرفين لنحصل على: ٣١<𞸎.

الخطوة الأخيرة هي دمج المتباينتين، وهو ما يعطينا: ٣١<𞸎<٥ كما فعلنا من قبل.

مثال ٢: حلُّ متباينات القيمة المُطلَقة

أوجد جبريًّا مجموعة حلِّ المتباينة |٧𞸎|+٣٦.

الحل

لاحظ هنا أن السؤال يطلب منَّا صراحةً حساب مجموعة الحلِّ جبريًّا، لكن لشرح الحلِّ، سنعرض التمثيل البياني أيضًا. إذا بدأنا بطرح ٣ من كلا طرفَي المتباينة، سنحصل على: |٧𞸎|٩.

الطرف الأيمن من المتباينة هو القيمة المُطلَقة التي تكون دائمًا أكبر من أو تساوي صفرًا، والطرف الأيسر يكون عددًا سالبًا، ومن ثمَّ لا يوجد حلٌّ لأن الطرف الأيمن لا يمكن أن يكون أقلَّ من أو يساوي الطرف الأيسر. ويمكن ملاحظة ذلك بوضوح عن طريق رسم التمثيل البياني لكلٍّ من 𞸑=٩، 𞸑=|٧𞸎| على المحورَين نفسَيْهما:

من الواضح أن التمثيل البياني الأحمر هنا لا يمكن أن يكون أصغر من التمثيل البياني الأزرق. إذن، مجموعة حلِّ المتباينة هي المجموعة الخالية، .

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.