شارح الدرس: حل المعادلات التربيعية باستخدام التمثيلات البيانية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نمثِّل دالة تربيعية على الصورة: بيانيًّا، لحلِّ المعادلة .

عند التعامل مع أيِّ دالة تربيعية، قد يكون من المفيد أن نذكِّر أنفسنا ببعض الخواص الأساسية التي تتَّسم بها هذه الدوال، وكذلك الخواص الأساسية التي يمكن استخدامها لتصنيف الدوال أو التعبير عنها. لدينا الدالة التربيعية العامة الآتية: حيث ، ، أعداد حقيقية، . عند تمثيل هذه الدالة، يكون هناك شكلان أساسيَّان للمنحنى يمكن أن نراهما؛ وذلك حسب إشارة البارامتر . إذا كانت قيمة موجبة، فسيكون منحنى الدالة على شكل الحرف u، وإذا كانت قيمة سالبة، فسيكون منحنى الدالة على شكل الحرف n. ويتضح ذلك من خلال التمثيلين البيانيين الآتيين؛ فالتمثيل البياني على اليسار هو تمثيلٌ لدالة تربيعية قيمة بها موجبة، والتمثيل البياني على اليمين هو تمثيلٌ لدالة تربيعية قيمة بها سالبة. لقد حذفنا المحورين ، وكذلك خطوط الشبكة الإحداثية.

من المؤكد أن قيمتَي البارامترين الآخرين ، ستؤثِّران على التمثيل البياني عند رسم دالة تربيعية، وإحدى طرق فَهْم ذلك هي تصنيف كيفية تأثير جميع البارامترات على جذرَي الدالة، وهو ما سنركِّز عليه لاحقًا. لكن تركيزنا الأساسي في هذا الشارح سيكون متعلقًا بفَهْم كيفية إيجاد جذرَي دالةٍ تربيعيةٍ برسم تمثيلها البياني. وهذا يجعلنا نقسِّم المسألة إلى ثلاث فئات مختلفة، وسنتناول كلًّا منها من خلال أمثلة قصيرة. وقبل أن نفعل ذلك، سنستعرض تعريف مجموعة حل الدالة التربيعية على النحو الآتي.

افترض أن لديك الدالة التربيعية . هناك طريقة جيدة لفَهْم سلوك هذه الدالة (أو أي دالة)؛ وهي تمثيلها بيانيًّا أو رسم شكل توضيحي دقيق لها. يمكننا البدء في ذلك عن طريق إنشاء جدول قِيَم، ثم استخدام هذه المعلومات كإحداثيات على المستوى الإحداثي . بالنسبة إلى الدالة التربيعية ، نحن لا نعرف سلوكها، وعليه فإننا ليس لدينا أيُّ معلومات عن موضع سلوك الدالة الذي يعنينا (مثل موضعَي جذرَيها). ونظرًا لأننا ليس لدينا أيُّ تخمينات، فسنُنشئ جدول قِيَم لبعض النقاط القريبة من المحور . بالتحديد، سنُنشئ جدول قِيَم حيث ، والذي نحصل من خلاله على ما يأتي.

والآن بعد أن أصبحت لدينا هذه المعلومات عن الدالة، يمكننا رسم سبعة إحداثيات لفَهْم سلوك الدالة بشكل أفضل. سنبدأ بالإحداثيات ، ثم وهكذا إلى أن نحصل على التمثيل البياني الآتي.

تساعدنا هذه المعلومات في فَهْم سلوك الدالة بشكل أفضل. إذا نظرنا إلى جدول القِيَم السابق أو الإحداثيات المرسومة، فسنلاحظ أن هناك نقطتين تَقْطع عندهما الدالةُ المحورَ . قد يكون الأمر أكثر وضوحًا إذا رسمنا الدالة التربيعية بالكامل أولًا في هذه المنطقة، وهذا هو ما فعلناه في الشكل الآتي.

في التمثيل البياني السابق، حددنا النقطتين اللتين تقطع عندهما الدالةُ المحورَ ، وهما النقطتان المحدَّدتان باللون الأحمر. ومن الواضح أن هذا يحدُث في موضعين؛ عند ، . وبذلك، يمكننا قول إن إحداثيات الجذرين هي و. وأخيرًا، يمكننا استخدام طريقة كتابة مجموعة الحل كما هو موضَّح في التعريف السابق، ونقول إن مجموعة الحل هي . وإذا أردنا، يمكننا التأكد من أن هذين هما الجذران الصحيحان بتحليل ؛ حيث نحصل بذلك على . إننا نحصل على جذرَي الدالة عند ، وهذا يحدُث عندما يكون أو عند ؛ أيْ عند أو .

والآن، سنتناول مثالًا على دالة تربيعية يكون فيها جذر واحد فقط، وسنرى كيف سنستخدم خاصية مهمة سنتناولها عدة مرات في هذا الشارح. سنفترض أن لدينا الدالة التربيعية . الخطوة الأولى التي ستساعدنا في فَهْم هذه الدالة هي استعراض جدول القِيَم الآتي.

على عكس المثال السابق، سنجد هنا أن كل قيمة لـ تساوي صفرًا أو عددًا موجبًا، وهذا قد يشير إلى وجود سلوك مختلف. في التمثيل البياني الآتي، مثَّلنا القِيَم الموجودة في جدول القِيَم، وكذلك الدالة التربيعية في هذه المنطقة. وكان علينا ضبط مقياس المحور لتوضيح السلوك بالنسبة إلى المحور ؛ فهو المحور الذي سيقع عليه الجذران.

من الواضح هنا أن هناك جذرًا واحدًا عند ، وهو محدَّد بالعلامة الحمراء. وبدلًا من ذلك، يمكننا قول إن هذا الجذر الوحيد له الإحداثيات ، أو إن مجموعة الحل هي . لاحظ كيف أن الجذر الوحيد هو أيضًا نقطة القيمة الصغرى للدالة التربيعية. هذا مثال على نتيجة عامة؛ وهي أنه عندما تتضمن مجموعة الحل عنصرًا واحدًا، فإن رأس المنحنى يكون الجذر الوحيد للدالة. إذا اخترنا تحليل المعادلة التربيعية، فسنجد أن ، ولن يكون إلا عند .

في المثال الأخير، سنتناول الدالة التربيعية التي لها جدول القِيَم الآتي. علينا أن نلاحظ هنا أن جميع القِيَم المُعطاة لـ سالبة، ولا يوجد أيُّ قِيَم تساوي صفرًا، وهذا يشير إلى أن سلوك الدالة هنا مختلف عما ورد في المثال السابق.

لقد مثَّلنا قِيَم هذه الدالة بالأسفل، ويمكننا على الفور ملاحظة عدم وجود نقاط تقطع عندها الدالةُ المحورَ ، وهذا يعني عدم وجود جذور للدالة. بمعلومية ذلك، سنكتب مجموعة الحل على الصورة . إذا حاولنا تحليل هذه الدالة التربيعية بإكمال المربع أو بأيِّ طريقة أخرى، فسنجد أن هذا غير ممكن لأننا، في مرحلةٍ ما، سنحاول أخْذ الجذر التربيعي لعدد سالب. سنتناول ذلك بشكل أكثر تفصيلًا لاحقًا في هذا الشارح.

لقد تناولنا حتى الآن مثالًا لمجموعة حل بها عنصران، وآخر لمجموعة حل بها عنصر واحد، ومثالًا آخر لمجموعة حل لا يوجد بها أيُّ عناصر. هناك علاقات متنوعة بين البارامترات يمكن توضيحها، وهي تحدِّد سلوكيات مهمة للدوال التربيعية. سنتناول في هذا الشارح العديد من الأمثلة، لكننا سنتناول الآن باختصارٍ الدالةَ المرسومة سابقًا. لاحظ أن رأس المنحنى (نقطة القيمة العظمى) يقع أسفل المحور . بمعلومية أن منحنى هذه الدالة التربيعية على شكل الحرف n، نجد أن هذا يعني أنه لا توجد أيُّ نقطة تقطع عندها الدالةُ المحورَ لأنه، وفقًا للتعريف، لا يمكن للدالة أن تتجاوز قيمتها العظمى. من الممكن أن نفكِّر في هذه النتائج من منظور جبري، لكننا نفضِّل قيام القارئ بذلك كتدريب.

قد يُطلب منا أيضًا في بعض الأسئلة رسم تمثيل بياني لدالة تربيعية، ثم استخدامه لتقدير قِيَم جذورها (وبالتبعية، إيجاد مجموعة الحل). ومن الجيد دائمًا رسم التمثيل البياني لأيِّ دالة، بغض النظر عن المطلوب عند التعامل مع هذه الدالة. وفي الأغلب، سيعطينا هذا مؤشرًا قويًّا على سلوك الدالة وطبيعة أيِّ خواص محددة (مثل الجذور ونقاط التحول).

سنتناول الآن الدالة في الفترة من إلى للقِيَم الصحيحة لـ . وبرسم التمثيل البياني للدالة، يمكننا استخدام ذلك لتقدير حلول المعادلة . سنكوِّن جدول القِيَم الآتي للدالة.

يمكننا استخدام الجدول لرسم التمثيل البياني كما يأتي.

ولتوضيح السلوك بالنسبة إلى الخط ، يمكننا ضبط مقياسَي المحورين. وكما نرى، يوضِّح هذا التمثيل البياني أن جذرَي يقعان عند ، ، وهذا يعني أنه يمكن كتابة مجموعة الحل على الصورة: . وفي الواقع، يمكننا أن نرى بوضوح من خلال جدول القِيَم أن .

في المثال الأول، سنجد أن التمثيل البياني مُعطًى لنا بالفعل. ولن يكون هذا هو الوضع دائمًا، ففي كثير من الأحيان سيكون علينا رسم المنحنى بأنفسنا، أو أفضل من ذلك استخدامُ موقع عبر الإنترنت لرسم التمثيل البياني، مما يساعدك على استيعاب الأمر بصورة أدق وأسرع.

مثال ١: إيجاد مجموعة حل معادلة تربيعية بيانيًّا

يوضِّح الشكل الآتي التمثيل البياني للدالة . ما مجموعة حل المعادلة ؟

الحل

من هذا التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن هناك جذرًا واحدًا فقط لهذه المعادلة التربيعية، ويوجد عند . إحداثيَّا هذا الجذر هما ، وهو أيضًا موضع نقطة القيمة الصغرى للدالة. إذن، مجموعة الحل هي .

على الرغم من أن الدالة التربيعية لم تُذكر في المثال السابق، لكن يمكننا قول إنها . وبما أننا نعلم أن جذر هذه الدالة يكون عند ، يمكننا تكوين جدول القِيَم لهذه المنطقة.

في التمثيل البياني الآتي، مثَّلنا هذه النقاط وحدَّدنا أيضًا موضع الجذر الوحيد لدينا باللون الأحمر. ونجد أن المحور محدَّد أيضًا باللون الأحمر، ونلاحظ أنه يتقاطع مع الدالة عند النقطة .

مثال ٢: إيجاد مجموعة حل معادلة تربيعية بيانيًّا

يوضِّح الشكل التمثيل البياني للدالة . ما مجموعة حل المعادلة ؟

الحل

يظهر في الشكل أن التمثيل البياني يقطع المحور عند ، ، أو بدلًا من ذلك عند النقاط و. هذا يعني أن مجموعة الحل تحتوي على عنصرين، وتُكتب كاملةً على الصورة: .

مثال ٣: إيجاد مجموعات الحل لمعادلات تربيعية من تمثيلاتها البيانية

يوضِّح التمثيل البياني منحنًى معادلته . ما مجموعة حل المعادلة ؟

الحل

من الواضح أن هذه الدالة التربيعية لها جذران عند ، ، أو بدلًا من ذلك عند الإحداثيات و. وعليه، فإن مجموعة الحل تتضمن عنصرين، وتُكتب على الصورة: .

مثال ٤: تحديد مجموعة حل دالة تربيعية بمعلومية تمثيلها البياني

يوضِّح التمثيل البياني الدالة . ما مجموعة حل المعادلة ؟

الحل

يتضح هنا أنه لا توجد نقاط يقطع عندها المنحنى المحور ، وهذا يعني أنه لا يوجد جذور لـ . إذن، مجموعة الحل هي .

على الرغم من أن السؤال لم يطلب منا توضيح أنه لا توجد حلول لـ ، لكننا سنشرح ذلك سريعًا. افترض أننا نحاول إيجاد جذرَي بإكمال المربع. إذن، يمكننا كتابة كالآتي:

إذا لم نحاول إيجاد النقاط التي عندها ، فذلك يعني أننا عندئذٍ نحاول حل هذه المعادلة:

وهذا يكافئ: ويتضح هنا سبب عدم وجود قِيَم حقيقية لـ لتسمح بوجود جذور. إذا حاولنا حل المعادلة السابقة لإيجاد قيمة ، فسنجد أن علينا أولًا حذف الحد المربع في الطرف الأيمن بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. لكن هذا ليس ممكنًا لأن القيمة في الطرف الأيسر سالبة، ولا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب. لهذا السبب، لا توجد قِيَم حقيقية لـ يمكن أن تحل المعادلة السابقة، ومن ثمَّ لا توجد حلول للمعادلة . يمكننا قول ذلك بطريقة مختلفة قليلًا؛ وهي أنه لا توجد جذور لـ ، ومن ثمَّ فإن مجموعة الحل خالية.

في الأمثلة السابقة، كانت لدينا منحنيات لدوال تربيعية مختلفة ، وذلك ساعدَنا في تحديد نقاط تقاطُع هذه المنحنيات مع المحور بمجرد النظر. وأتاحت لنا هذه المعلومات كتابة جذور الدالة باستخدام مجموعة الحل ذات الصلة، وهي ، والتي قد تتضمن عنصرين مختلفين أو عنصرًا واحدًا أو لا تتضمن أيَّ عناصر على الإطلاق. في حالة وجود عنصر واحد فقط، فعادةً ما يكون موضع الجذر عند الرأس الوحيد لمنحنى الدالة.

على الرغم من أننا قد حصلنا على التمثيلات البيانية للدوال التربيعية، لكن هذه المعلومات لا تكون ضرورية إلا إذا كنا مهتمين بكتابة مجموعة الحل. لكن المعلومات التي تساعدنا في تحديد مجموعة الحل هي الإحداثيات الدقيقة للجذور، وإشارة معامل الحد الرئيسي (التي تحدِّد إذا ما كان المنحنى على شكل الحرف u أم الحرف n)، وموضع رأس المنحنى. من المهم ملاحظة أن معرفة هذه المعلومات ليست كمعرفة المعاملات أو أو للدالة . للتوضيح، معرفة مجموعة الحل لدالة تربيعية لا يعني بالضرورة أننا نعرف الدالة نفسها. وذلك لأنه يمكن لدالتين تربيعيتين أو أكثر أن يكون لهما مجموعة الحل نفسها، وهذا يعني أن معرفة مجموعة الحل ليس كافيًا لمعرفة الدالة التربيعية نفسها (بالرغم من أننا نعرف من خلالها معظم المعلومات التي نحتاج إليها).

على سبيل المثال، سنتناول هاتين الدالتين التربيعيتين:

هاتان الدالتان ممثَّلتان بيانيًّا في الشكل بالأسفل؛ لدينا ممثَّلة باللون الأحمر و ممثَّلة باللون الأزرق. يمكننا ملاحظة أن كلتيهما لهما مجموعة الحل ؛ وذلك لأن الجذور لدينا محدَّدة عند و، على الترتيب. هاتان الدالتان ليستا مختلفتين فحسب، لكن شكل المنحنى لكلٍّ منهما يختلف عن الآخر، وذلك بسبب اختلاف إشارة معامل الحد الرئيسي بكل دالة. في الواقع، هاتان الدالتان مرتبطتان إحداهما بالأخرى بهذه الصيغة ، والتي تفسِّر السبب في أن هاتين الدالتين لهما مجموعة الحل نفسها، حيث إن الجذور الموجودة في مجموعة الحل يجب أن تحل المعادلة . وبوجهٍ عام، سيكون لأيِّ دالتين تربيعيتين نفس مجموعة الحل لأيِّ ثابت . وهذا يؤكد ما ذكرناه سابقًا؛ وهو أن معرفة مجموعة الحل ليس كافيًا لوصف الدالة التربيعية نفسها بشكلٍ كامل.

على الرغم من أن ما سنتناوله الآن مناسب أكثر لمستوًى أعلى من مستوى هذا الشارح، لكن من المفيد أن تنتبه إلى طريقة التصنيف الآتية لمجموعة الحل. لأيِّ دالة تربيعية عامة، يمكن إيجاد جذورها (رياضيًّا) باستخدام القانون العام لحل المعادلات التربيعية:

سنجد هنا أن قِيَم ، ، لن تؤثر على قِيَم الجذور فقط، بل ستحدِّد أيضًا عدد الجذور في الدالة التربيعية (وبالتبعية، نوع مجموعة الحل). في القانون العام لحل المعادلات التربيعية الذي ذكرناه سابقًا، لدينا التعبير . إذا كان ، فسيكون الحد في دالة الجذر التربيعي سالبًا، وهذا يعني أننا نحاول أخْذ الجذر التربيعي لعدد سالب. وهذا يكون غير ممكن عند التعامل مع الأعداد الحقيقية فقط؛ أيْ لن تكون هناك أية جذور للمعادلة التربيعية العامة. وإذا كان ، فسنجد أننا سنأخذ الجذر التربيعي لصفر، ومن ثم ستكون الإشارة غير مهمة في هذه الحالة، وهذا يعني أنه سيكون لدينا جذر واحد عند . وإذا كان ، فإننا سنأخذ الجذر التربيعي لعدد موجب، وهذا سيعطينا حلَّيْن ممكنين بالإشارتين . بالرغم من أن ذلك خارج نطاق هذا الشارح، لكن من المفيد استخدام القانون العام لحل المعادلات التربيعية للتصنيف كما أوضحنا.

سنتناول الآن طريقة أبسط لفهم ذلك، لكنها أقل دقة. افترض أن لديك دالة تربيعية ومجموعة الحل هي حيث . في هذه الحالة، يتضح أن مجموعة الحل للدالة هي ؛ لأن . وهو الحال أيضًا مع أيِّ دالة ؛ حيث ستكون مجموعة الحل هي لأيِّ ؛ وذلك لأن هذه الدالة الجديدة ما هي إلا الدالة الأصلية مضروبة في عدد ثابت.

إذا كانت مجموعة الحل تتكون من عنصر واحد ، فإن الجذر الوحيد الذي نحصل عليه يكون عند رأس منحنى الدالة. وفي هذه الحالة، فإن الدالة تعطينا مجموعة الحل المحددة عند وفقًا للتعريف. وكما رأينا سابقًا، يمكننا ضرب الدالة الأصلية في ثابت غير صفري، وهذا يعني أن الدالة الجديدة سيكون لها نفس مجموعة الحل.

في الواقع، يمكننا كتابة عبارة أكثر شمولًا عن الدوال التربيعية التي لها مجموعة الحل . لأيِّ دالة تربيعية عامة ؛ حيث ، ، أعداد حقيقية، ، لن تكون هناك جذور حقيقية لـ إذا كان ، وذلك وفقًا للقانون العام لحل المعادلات التربيعية الذي ذكرناه سابقًا. وهذا لأننا عندئذٍ سنحاول أخْذ الجذر التربيعي لعدد سالب، وهو أمر غير ممكن مع الأعداد الحقيقية. وفي هذه الحالة، دائمًا ما تكون مجموعة الحل هي المجموعة الخالية . لذلك، يمكننا قول إن الدوال التربيعية التي بها ، يكون لها نفس مجموعة الحل.

في الأمثلة الآتية، سنحاول حل الأسئلة بطريقة سريعة إلى حدٍّ ما، لكننا سنركِّز مرة أخرى على النقطة التي تناولناها سابقًا من خلال تناوُل مجموعة من الدوال التربيعية التي تتضمن الخواص المطلوبة.