تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: التمثيلات البيانية للدوال الكسرية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نرسم التمثيلات البيانية للدوالِّ الكسرية البسيطة، ونحدِّد الدوالَّ الكسرية البسيطة من تمثيلاتها البيانية.

إنها الدوالُّ التي صيغتها: 󰎨(𞸎)=𞸀𞸎+𞸁𞸢𞸎+𞸃؛ حيث 𞸀،𞸁،𞸢، 𞸃 ثوابت.

لتُمثِّل 󰎨(𞸎) دالة كسرية بالفعل، يجب أن يكون 𞸢٠. إن أبسط مثال على ذلك هو 󰎨(𞸎)=١𞸎 عندما يكون 𞸀=𞸃=٠، 𞸁=𞸢=١، دالة المقلوب. يوضِّح الشكل المنحنى 𞸑=١𞸎.

هندسيًّا، هذا قطع زائد. لاحِظ خطَّيِ التقارب:

  1. خط التقارب الأفقي: الخط 𞸑=٠، الذي يقترب منه التمثيل البياني عندما تئول 𞸎 إلى ، .
  2. خط التقارب الرأسي: الخط 𞸎=٠، الذي يمثِّل القيمة ٠، غير المنتمية لمجال الدالة 󰎨، والذي يجعل المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) يقترب من هذا الخط عندما تئول 𞸎 إلى صفر، إمَّا من أعلى، وإمَّا من أسفل.

انظر المنحنى:

𞸑=٣٥𞸎٢()١

الذي هو نفسه:

𞸑=٣𞸎١١𞸎٢.()٢

سنستخدم كلتا المعادلتين لنرى كيف سيبدو التمثيل البياني:

  1. المقام 𞸎٢ في كلتا الصورتين يُخبرنا بأن الدالة غير مُعرَّفة عند 𞸎=٢. وهو ما يحدِّد موقع خط التقارب الرأسي.
  2. تُخبرنا الصورة الموجودة في (١) بأنه عندما تكون قيمة 𞸎 كبيرة جدًّا (موجبة أو سالبة)، يكون الحدُّ ٥𞸎٢ صغيرًا جدًّا؛ حيث 𞸑٣. وهو ما يحدِّد موقع خط التقارب الأفقي بوصْفه الخط 𞸑=٣.

يوضِّح الشكل الآتي المنحنى 𞸑=٣𞸎١١𞸎٢، بالإضافة إلى خطَّيْ تقاربه.

لاحِظ أن هذا المنحنى عبارة عن قطع زائد، يُشبه إلى حدٍّ كبير 𞸑=١𞸎. إذا كتبنا (١) على الصورة: 𞸑=٣+٥𞸎٢، بدلًا من الصورة: 𞸑=٣٥𞸎٢، فستُشبه 𞸑=٥𞸎 بشكلٍ كبير. والأفضل من ذلك، 𞸑=٥𞸎. يناظِر مضاعف العدد السالب المنحنى الواقع في الرُّبعين الثاني والرابع.

ولعلَّ أسهل طريقة لتحديد ذلك هي أن تتساءل قائلًا: «بما أن 𞸎 يتَّجِه إلى ما لا نهاية، فهل يقع المنحنى أعلى خط التقارب الأفقي أم أسفله؟» وهو ما يُمكننا الإجابة عنه بقليل من علم الجبر، باستخدام الصيغة (٢): 𞸑=٣𞸎١١𞸎٢=𞸎)=٣١.٣𞸎𞸎١١𞸎𞸎𞸎٢𞸎١١𞸎٢𞸎(وداوام

ومن هذا نستنتج الآتي:

  1. إذا كانت قيمة 𞸎 كبيرة جدًّا وموجبة (بفرض أن 𞸎=٠٠٠٠١)، فإن ١٢𞸎١، وسيكون قيمة موجبة، وسيكون ٣١١𞸎 قيمة موجبة أيضًا تقترب من ٣. ومن ثَمَّ، يئول 𞸑 إلى ٣؛ حيث إن 𞸎 يتَّجه إلى ما لا نهاية، وسيكون خط التقارب الأفقي 𞸑=٣.
  2. كيف تُقارَن قيمة 𞸑 عندما يكون 𞸎=٠٠٠٠١ مع ٣؟ هل هذه القيمة أكبر أم أصغر من ٣؟ بما أن ٣١١𞸎<٣، إذن: ٣١<٣١٣𞸎.١١𞸎٢𞸎٢𞸎َِاةاـ
    . وسيقع المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) أسفل خط التقارب.

خلاصة القول: لنفترض أننا نُعرِّف المنحنى 𞸑=𞸀𞸎+𞸁𞸢𞸎+𞸃.

العلاقة بين التمثيل البياني والتعبير(ا س + ب)/(ﺟ س + ء)؛ حيث س ≠ 0.

  1. من 𞸢𞸎+𞸃=𞸢󰃁𞸎+𞸃𞸢󰃀، نلاحِظ أن خط التقارب الرأسي يقع عندما يكون 𞸎=𞸃𞸢.
  2. من 𞸀𞸎+𞸁𞸢𞸎+𞸃=𞸀+𞸢+𞸁𞸎𞸃𞸎، نلاحِظ أن خط التقارب الأفقي هو 𞸑=𞸀𞸢.
  3. بالنظر إلى التعبير السالف الذكر فيما يخصُّ قِيَم 𞸎 الكبيرة الموجبة؛ نحدِّد إذا ما كان المنحنى يقع أعلى خط التقارب 𞸑=𞸀𞸢، أو أسفله عندما يئول 𞸎 إلى .

مثال ١: تحديد التمثيلات البيانية لدوالَّ كسرية بسيطة

أيُّ التمثيلات البيانية الآتية يُمثِّل 󰎨(𞸎)=١𞸎+١؟

الحل

من المقام 𞸎+١، نجد أن خط التقارب الرأسي لا بدَّ أن يكون عندما يكون 𞸎=١. ومن ثَمَّ، فإن التمثيل البياني (د) لا يُمكن أن يكون الإجابة الصحيحة. فالخط الأفقي يأتي من القسمة على 𞸎: ١𞸎+١=١+١𞸎١𞸎 الذي يئول إلى ٠١=٠ عندما تكون قيمة 𞸎 كبيرة. وبما أن هذه الأعداد موجبة أيضًا عندما تكون قيمة 𞸎 كبيرة وموجبة، فإن المنحنى يجب أن يقع أعلى المحور 𞸎. التمثيل البياني (ج) يُمثِّل 󰎨(𞸎)=١𞸎+١.

والخيار الصحيح الوحيد هو (ج).

لنفترض أنَّنا، بدلًا من ذلك، أردنا العمل في الاتجاه الآخَر. لدينا تمثيل بياني، ونريد معرفة الدالة الكسرية التي يمثِّلها التمثيل البياني. بافتراض أن التمثيل البياني «يأتي من» الدالة 󰎨(𞸎)=١𞸎، فستكون لدينا طريقتان لتحديد الدالة:

  • بالنظر إلى تحويلات منحنيات الدوالِّ: عمليات الانتقال، والتمدُّد، والانعكاس حول المحاور
  • بالنظر إلى الصورة الجبرية 󰎨(𞸎)=𞸀𞸎+𞸁𞸢𞸎+𞸃، وتحديد المعاملات.

وبما أن الطريقة الثانية أكثر قابلية للتطبيق بشكل عام، فلنُلقِ نظرةً عليها.

  1. لاحِظ أنه يُمكننا دائمًا كتابة 󰎨(𞸎) على الصورة: 𞸀𞸎+𞸁𞸎+𞸃 بقسمة البسط والمقام على 𞸢، التي لا تساوي ٠؛ حيث إن التمثيل البياني عبارة عن قطع زائد، وليس خطًّا مستقيمًا. ولذا سنفترض أن 𞸢=١.
  2. نعرف ما يساويه 𞸃؛ وذلك لأن المقام يساوي ٠ عندما يكون 𞸎=𞸃؛ حيث يُوجَد خط التقارب الرأسي.
  3. نعلم أيضًا أنه في الصورة السالفة الذكر، يقع خط التقارب الأفقي عند 𞸑=𞸀؛ حيث إنه بالقسمة على 𞸎، نحصل على: 𞸀𞸎+𞸁𞸎+𞸃=𞸀+١+،𞸁𞸎𞸃𞸎 إذن يُخبرنا التمثيل البياني بما يجب أن يساويه 𞸀 أيضًا.
  4. تتبقَّى معلومة إضافية واحدة يجب أن يقدِّمها لنا التمثيل البياني: قيمة 𞸁. تتمثَّل إحدى طُرق إيجادها في تحديد نقطة واحدة (𞸋،𞸍) على التمثيل البياني، سواءً أكان الجزء المقطوع من المحور أو أيِّ نقطة أخرى يُمكن تحديدها بوضوح. وهذا لأننا نحصل من الصيغة: 𞸑=𞸀𞸎+𞸁𞸎+𞸃 على المعادلة: 𞸍=𞸀𞸋+𞸁𞸋+𞸃 التي يكون 𞸁 المجهول الوحيد بها. ثم نحلُّ تلك المعادلة لإيجاد قيمة 𞸁، وبذلك نكون قد انتهينا.

مثال ٢: إيجاد معادلة دالة من تمثيلها البياني

ما الدالة الممثَّلة في الشكل الآتي؟

الحل

خط التقارب الرأسي هو 𞸎=٠؛ ومن ثَمَّ فإن صيغة الدالة هي: 𞸀𞸎+𞸁𞸎 مع الثابت 𞸃=٠.

خط التقارب الأفقي هو المستقيم 𞸑=٣، الذي يجعل 𞸀=٣، ويصبح المقدار الكسري في هذه الحالة: ٣𞸎+𞸁𞸎.

يُمكننا أن نلاحِظ أن النقطة (١،٤) موجودة على التمثيل البياني؛ لذا سنُوجِد قيمة 𞸁 في المعادلة: ٤=(١)٣+𞸁١٤=٣+𞸁١=𞸁.إذن

الدالة الممثَّلة بيانيًّا هي: 󰎨(𞸎)=٣𞸎١𞸎󰎨(𞸎)=٣١𞸎.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.