شارح الدرس: التمثيلات البيانية للدوال الكسرية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نرسم التمثيلات البيانية للدوالِّ الكسرية البسيطة، ونحدِّد الدوالَّ الكسرية البسيطة من تمثيلاتها البيانية.

إنها الدوالُّ التي صيغتها: ؛ حيث ، ثوابت.

لتُمثِّل دالة كسرية بالفعل، يجب أن يكون . إن أبسط مثال على ذلك هو عندما يكون ، ، دالة المقلوب. يوضِّح الشكل المنحنى .

هندسيًّا، هذا قطع زائد. لاحِظ خطَّيِ التقارب:

1. خط التقارب الأفقي: الخط ، الذي يقترب منه التمثيل البياني عندما تئول إلى ، .
2. خط التقارب الرأسي: الخط ، الذي يمثِّل القيمة ٠، غير المنتمية لمجال الدالة ، والذي يجعل المنحنى يقترب من هذا الخط عندما تئول إلى صفر، إمَّا من أعلى، وإمَّا من أسفل.

انظر المنحنى:

الذي هو نفسه:

سنستخدم كلتا المعادلتين لنرى كيف سيبدو التمثيل البياني:

1. المقام في كلتا الصورتين يُخبرنا بأن الدالة غير مُعرَّفة عند . وهو ما يحدِّد موقع خط التقارب الرأسي.
2. تُخبرنا الصورة الموجودة في (١) بأنه عندما تكون قيمة كبيرة جدًّا (موجبة أو سالبة)، يكون الحدُّ صغيرًا جدًّا؛ حيث . وهو ما يحدِّد موقع خط التقارب الأفقي بوصْفه الخط .

يوضِّح الشكل الآتي المنحنى ، بالإضافة إلى خطَّيْ تقاربه.

لاحِظ أن هذا المنحنى عبارة عن قطع زائد، يُشبه إلى حدٍّ كبير . إذا كتبنا (١) على الصورة: ، بدلًا من الصورة: ، فستُشبه بشكلٍ كبير. والأفضل من ذلك، . يناظِر مضاعف العدد السالب المنحنى الواقع في الرُّبعين الثاني والرابع.

ولعلَّ أسهل طريقة لتحديد ذلك هي أن تتساءل قائلًا: «بما أن يتَّجِه إلى ما لا نهاية، فهل يقع المنحنى أعلى خط التقارب الأفقي أم أسفله؟» وهو ما يُمكننا الإجابة عنه بقليل من علم الجبر، باستخدام الصيغة (٢):

ومن هذا نستنتج الآتي:

1. إذا كانت قيمة كبيرة جدًّا وموجبة (بفرض أن )، فإن ، وسيكون قيمة موجبة، وسيكون قيمة موجبة أيضًا تقترب من ٣. ومن ثَمَّ، يئول إلى ٣؛ حيث إن يتَّجه إلى ما لا نهاية، وسيكون خط التقارب الأفقي .
2. كيف تُقارَن قيمة عندما يكون مع ٣؟ هل هذه القيمة أكبر أم أصغر من ٣؟ بما أن ، إذن:
   . وسيقع المنحنى أسفل خط التقارب.

خلاصة القول: لنفترض أننا نُعرِّف المنحنى .

مثال ١: تحديد التمثيلات البيانية لدوالَّ كسرية بسيطة

أيُّ التمثيلات البيانية الآتية يُمثِّل ؟

الحل

من المقام ، نجد أن خط التقارب الرأسي لا بدَّ أن يكون عندما يكون . ومن ثَمَّ، فإن التمثيل البياني (د) لا يُمكن أن يكون الإجابة الصحيحة. فالخط الأفقي يأتي من القسمة على : الذي يئول إلى عندما تكون قيمة كبيرة. وبما أن هذه الأعداد موجبة أيضًا عندما تكون قيمة كبيرة وموجبة، فإن المنحنى يجب أن يقع أعلى المحور . التمثيل البياني (ج) يُمثِّل .

والخيار الصحيح الوحيد هو (ج).

لنفترض أنَّنا، بدلًا من ذلك، أردنا العمل في الاتجاه الآخَر. لدينا تمثيل بياني، ونريد معرفة الدالة الكسرية التي يمثِّلها التمثيل البياني. بافتراض أن التمثيل البياني «يأتي من» الدالة ، فستكون لدينا طريقتان لتحديد الدالة:

• بالنظر إلى تحويلات منحنيات الدوالِّ: عمليات الانتقال، والتمدُّد، والانعكاس حول المحاور
• بالنظر إلى الصورة الجبرية ، وتحديد المعاملات.

وبما أن الطريقة الثانية أكثر قابلية للتطبيق بشكل عام، فلنُلقِ نظرةً عليها.

1. لاحِظ أنه يُمكننا دائمًا كتابة على الصورة: بقسمة البسط والمقام على ، التي لا تساوي ٠؛ حيث إن التمثيل البياني عبارة عن قطع زائد، وليس خطًّا مستقيمًا. ولذا سنفترض أن .
2. نعرف ما يساويه ؛ وذلك لأن المقام يساوي ٠ عندما يكون ؛ حيث يُوجَد خط التقارب الرأسي.
3. نعلم أيضًا أنه في الصورة السالفة الذكر، يقع خط التقارب الأفقي عند ؛ حيث إنه بالقسمة على ، نحصل على: إذن يُخبرنا التمثيل البياني بما يجب أن يساويه أيضًا.
4. تتبقَّى معلومة إضافية واحدة يجب أن يقدِّمها لنا التمثيل البياني: قيمة . تتمثَّل إحدى طُرق إيجادها في تحديد نقطة واحدة على التمثيل البياني، سواءً أكان الجزء المقطوع من المحور أو أيِّ نقطة أخرى يُمكن تحديدها بوضوح. وهذا لأننا نحصل من الصيغة: على المعادلة: التي يكون المجهول الوحيد بها. ثم نحلُّ تلك المعادلة لإيجاد قيمة ، وبذلك نكون قد انتهينا.

مثال ٢: إيجاد معادلة دالة من تمثيلها البياني

ما الدالة الممثَّلة في الشكل الآتي؟

الحل

خط التقارب الرأسي هو ؛ ومن ثَمَّ فإن صيغة الدالة هي: مع الثابت .

خط التقارب الأفقي هو المستقيم ، الذي يجعل ، ويصبح المقدار الكسري في هذه الحالة:

يُمكننا أن نلاحِظ أن النقطة موجودة على التمثيل البياني؛ لذا سنُوجِد قيمة في المعادلة:

الدالة الممثَّلة بيانيًّا هي: