شارح الدرس: التحويل بين الصورة اللوغاريتمية والصورة الأُسِّية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُحوِّل بين الصورة اللوغاريتمية والصورة الأسية للمعادلات.

هذه عملية رياضية، إلا أن لها تطبيقات في الحياة الواقعية أيضًا؛ مثل قياس الصوت باستخدام مقياس الديسيبل، الذي يُستخدَم في المقارنة بين إشارات الصوتيات والإلكترونيات، وشدة الزلازل المختلفة باستخدام مقياس ريختر، أو سطوع النجوم، وذلك على سبيل المثال لا الحصر.

تعطينا هذه التحويلات صيغًا متكافئة تسمح لنا أيضًا بحل المعادلات الأسية أو اللوغاريتمية؛ حيث تظهر القيم المجهولة على صورة أسس أو لوغاريتمات. على سبيل المثال، افترض أننا نريد إيجاد قيمة ؛ حيث:

كيف يمكننا الحل لإيجاد قيمة ؟ إحدى طرق الحل هي التجربة والخطأ، لكن بما أن ٦٠٠ لا تساوي ١٠ مرفوعة لأيِّ أس، إذن لا يمكن أن تكون عددًا صحيحًا. ونعلم أن ، ، وبما أن دالة تزايدية، إذن لا بد أن تتراوح قيمة بين ٢ و٣. كما يمكننا تمثيل الدالتين ، بيانيًّا وملاحظة موضع تقاطعهما؛ وهذا يعطينا فكرة عن قيمة .

ثمة طريقة أفضل للتوصُّل إلى حل أكثر دقةً، وهي تحويل هذه المعادلة الأسية إلى معادلة على الصورة اللوغاريتمية لجعل المتغيِّر التابع؛ فبفعل ذلك يمكننا في الحال كتابة:

نتوقَّع هذه القيمة بناءً على نظرتنا العامة للدالة ؛ حيث .

هيا نذكِّر أنفسنا الآن بكيفية التعبير عن جميع الدوال الأسية على الصورة اللوغاريتمية والعكس.

تُعَدُّ الدالة الأسية ذات المجال والمدى الصورة العكسية للدالة اللوغاريتمية ؛ وهكذا، نجد أن مجال الدالة اللوغاريتمية ومداها متبادلان مع الدالة الأسية، وهما ، على الترتيب.

نفترض أننا نريد كتابة على الصورة اللوغاريتمية. أول ما علينا فعله هو مقارنة ذلك بـ ، وتحديد الثوابت ، ، ، وهي في هذه الحالة ، ، .

وتُعطَى الصورة اللوغاريتمية المكافئة بالصيغة ، وبمجرد التعويض فيها بهذه القيم، يمكن كتابتها على الصورة .

إذن على الصورة الأسية تكافئ الصورة اللوغاريتمية .

نتناول الآن العديد من الأمثلة لنعمِّق فهمنا للعلاقة بين هاتين الصورتين. بدايةً، هيا نتناول مثالًا بسيطًا على الأساس باستخدام تعبير مشابه.

والآن، نتناول مثالًا يجب علينا فيه حل معادلة لإيجاد قيمة مجهولة، ، باستخدام هذه الطريقة.

في المثال التالي، لدينا أساس مختلف عن أساس اللوغاريتم المعتاد، ، أو الطبيعي، ، ولدينا أيضًا أسس سالبة وكسر، ولكننا سنستخدم الطريقة نفسها.

نتناول الآن مثالًا نقوم فيه بالأمر نفسه لكن بالعكس، وهو التحويل من الصورة اللوغاريتمية إلى الصورة الأسية.

في المثال الأخير، هيا نلقِ نظرة على كيفية تحويل معادلة لوغاريتمية إلى الصورة الأسية.

والآن، نلقي نظرة على كيفية استخدام هذه التحويلات لحل مسألة من الحياة اليومية. افترض أنك تريد المقارنة بين الشدة، ، لزلزالين مختلفين أو درجتهما، ؛ حيث . يمكن التعبير عن العلاقة بينهما بالمعادلة: والتي يمكن إعادة كتابتها على الصورة:

وتُقاس الدرجة، ، بمقياس لوغاريتمي أساسه ١٠، يُعرَف بمقياس ريختر.

نفترض حدوث زلزال شدته ، وتزيد شدته ٦٠٠ مرة عن زلزال آخر شدته . جبريًّا، يمكن التعبير عن ذلك على الصورة: ومن ثَمَّ:

علينا حساب الفرق بين درجة الزلزالين، وهو ما نُعبِّر عنه بالمعادلة ، وبدمج المعادلتين اللتين علينا حلهما يصبح لدينا:

وبتحويل هذه المعادلة إلى الصورة اللوغاريتمية، يمكننا إيجاد قيمة على الصورة:

ثمة طريقة أخرى لحل هذه المسائل التي تحتوي على أسس، فبدلًا من مقارنة الصورة اللوغاريتمية بالصورة الأسية، نأخذ اللوغاريتمات المعتادة أو الطبيعية لطرفَي المعادلة. يمكن التعبير عن أيِّ لوغاريتم بأساس معيَّن بدلالة اللوغاريتم المعتاد أو الطبيعي على الصورة:

وبتطبيق اللوغاريتمات المعتادة على طرفَي المعادلة ، نحصل على: وهو ما يمكن إعادة ترتيبه لنحصل على:

ولكن في هذه الحالة، يتعيَّن علينا استخدام قوانين اللوغاريتمات أو الأسس، وهذا ليس ضمن نطاق الشارح، وستتناوله بالتفصيل في درس آخر.