تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: جاذبية السطح الفيزياء

في هذا الشارح، سوف نحسب جاذبية السطح لكوكب أو قمر بمعلومية كتلته ونصف قطره.

وفقًا لقانون نيوتن الثاني للحركة، تذكَّر أنه عندما تؤثر قوة على جسم، فإن هذا الجسم يكتسب عجلة تتناسب طرديًّا مع مقدار القوة المحصلة. ويمكننا كتابة هذا القانون على الصورة:

𝐹=𝑚𝑎،()1

حيث 𝐹 القوة المؤثرة على الجسم، و𝑚 كتلة الجسم، و𝑎 العجلة. نلاحظ أن 𝐹، 𝑎 متجهان؛ ما يعني أن لهما مقدارًا واتجاهًا. وهذا يدل على أن العجلة المكتسَبة تكون في اتجاه القوة نفسه.

لنفترض وجود جسمين منعزلين في الفضاء السحيق، حيث لا نجوم أو كواكب أو أي شيء آخر بالقرب منهما، بحيث تكون القوة الوحيدة المؤثرة على كل منهما هي قوة الجاذبية التي يؤثر بها كل منهما على الآخر. تذكر من قانون نيوتن للجاذبية أن قوة الجاذبية، 𝐹، تُكتب على الصورة:

𝐹=𝐺𝑀𝑚𝑟𝑟،()2

حيث 𝐺 ثابت الجذب العام 𝐺=6.67×10/mkgs، و𝑀، 𝑚 كتلتا الجسمين، و𝑟 المسافة بين مركزي كتلتي الجسمين. يشير الرمز 𝑟 إلى مقدار المتجه؛ في هذه الحالة، 𝑟، هو المسافة. لتحديد الاتجاه، نستخدم 𝑟، وهو متجه الوحدة في الاتجاه الذي يصل بين مركزي كتلتي الجسمين. وهو ما يخبرنا بأن القوة، 𝐹، تؤثر على طول الخط الواصل بين مركزي كتلتي الجسمين.

لاحظ أن القوة المؤثرة على كلا الجسمين متساوية وأنها تتناسب مع حاصل ضرب كتلتيهما.

إذا كانت قوة الجاذبية هي القوة الوحيدة المؤثرة على الجسمين؛ إذن، فالقوة 𝐹، في المعادلة (٢) تساوي القوة المحصلة 𝐹، في المعادلة (١). وعليه، يمكننا مساواة الطرفين الأيمنين من هاتين المعادلتين على النحو الآتي: 𝑚𝑎=𝐺𝑀𝑚𝑟𝑟.

وهنا، يظهر 𝑚، وهو كتلة الجسم الذي ندرس عجلته، في كلا طرفي هذه المعادلة. يعني هذا أنه يمكننا قسمة الطرفين على 𝑚، فيتبقى لدينا:

𝑎=𝐺𝑀𝑟𝑟.()3

نستنتج من ذلك أن العجلة، 𝑎، تعتمد فقط على كتلة الجسم الآخر، التي أسميناها 𝑀 والمسافة، 𝑟، بين مركزي كتلتي الجسمين. يعني هذا أن العجلة الناتجة عن جاذبية جسم ما لا تعتمد على كتلة هذا الجسم، وإنما على كتلة الجسم الآخر الذي تؤثر قوة جاذبيته عليه.

لاحظ في هذه الحالة أيضًا أن كلًّا من 𝑎، 𝑟 متجهان؛ ومن ثَمَّ، فلهما مقدار واتجاه. نقيس 𝑟 بين مركز كتلة كل من الجسمين، وتؤثر العجلة على طول الخط نفسه: أي إن كل جسم يتحرك بعجلة باتجاه مركز كتلة الجسم الآخر.

في أغلب الحالات، لا يعنينا إلا مقدار العجلة. يمكننا أيضًا كتابة المعادلة (٣) على الصورة القياسية:

𝑎=𝐺𝑀𝑟،()4

حيث أشرنا إلى أن العجلة، 𝑎، والمسافة، 𝑟، كميتان قياسيتان بكتابتهما بدون أسهم. يكافئ الرمز 𝑟 الرمز 𝑟. وتعني كتابته على هذه الصورة أننا نحسب فقط مقدار العجلة، إلا أن الاتجاه يظل دائمًا في اتجاه مركز كتلة الجسم الآخر.

لنتناول مثالًا على ذلك.

مثال ١: إيجاد قوة الجاذبية وعجلة الجاذبية لأجسام مختلفة الكتلة

يوجد الجسمان؛ الجسم (أ) وكتلته 5 kg والجسم (ب) وكتلته 100 kg، بالقرب من جسم أكبر كتلته 10 kg. يقع الجسمان (أ)، (ب) على بعد مسافة مقدارها 100 km من مركز كتلة الجسم الأكبر.

  1. ما مقدار قوة الجاذبية التي يؤثر بها الجسم الأكبر على الجسم (أ)؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
  2. ما عجلة الجسم (أ) في اتجاه الجسم الأكبر؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
  3. ما مقدار قوة الجاذبية التي يؤثر بها الجسم الأكبر على الجسم (ب)؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
  4. ما عجلة الجسم (ب) في اتجاه الجسم الأكبر؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

في هذا المثال، لدينا جسم كبير للغاية كتلته أكبر بكثير من كتلة أي من الجسمين (أ)، (ب). على الرغم من أن هذا الجسم ممثَّل بمستطيل، فإننا نعلم أنه كُروي؛ لذا يجب أن يكون كبيرًا بما يكفي بحيث يمكننا رؤية جزء صغير منه فقط.

لإعطاء فكرة عن المقاييس المستخدمة، لنفترض أن كتلة الجسم الكبير تساوي كتلة قمر صغير، وكتلة الجسم (ب) تساوي كتلة شخص تقريبًا، وكتلة الجسم (أ) تساوي كتلة كتاب كبير تقريبًا. الجسم الأكبر له كتلة أكبر بكثير من الجسمين (أ)، (ب) لدرجة أنه يمكننا تجاهل أي قوى جاذبية يؤثر بها كل من الجسمين (أ)، (ب) على الآخر. وستكون القوى المهيمنة هي القوتين بين كل من الجسمين والجسم الأكبر.

الجزء الأول

يطلب منا الجزء الأول من السؤال إيجاد مقدار قوة الجاذبية التي يؤثر بها الجسم الأكبر على الجسم (أ)؛ لذا، علينا تذكر معادلة قوة الجاذبية (٢)، 𝐹، وهي: 𝐹=𝐺𝑀𝑚𝑟، حيث 𝐺=6.67×10/mkgs ثابت الجذب العام، و𝑀=10kg كتلة الجسم الأكبر، و𝑚=5kg كتلة الجسم (أ)، و𝑟=100km المسافة بين الجسم (أ) ومركز كتلة الجسم الأكبر.

ولكي تكون القوة بوحدة النيوتن، علينا التأكد من استخدام وحدات القياس الصحيحة لكل كمية. نلاحظ أن وحدات الكتلة المستخدمة في كل من 𝐺 والكتلتين 𝑀، 𝑚 هي الكيلوجرام، وهي وحدة القياس الصحيحة، إلا أن المسافة مقيسة 𝑟 بوحدة الكيلومتر وليس بوحدة المتر. ولتحويل 𝑟 إلى وحدة القياس الصحيحة، علينا أن نتذكر أن 1=1000kmm، إذن، 𝑟=100=100000kmm.

والآن يمكننا إدخال هذه القيم في معادلة إيجاد 𝐹، فنجد أن: 𝐹=𝐺𝑀𝑚𝑟=6.67×10/×10×5(100000)=3.335.mkgskgkgmN

بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، يصبح الناتج النهائي: 𝐹=3.34.N

الجزء الثاني

يطلب منا الجزء الثاني من السؤال إيجاد عجلة الجسم (أ) في اتجاه الجسم الأكبر. لإيجاد ذلك، علينا الرجوع إلى المعادلة(٤) لإيجاد العجلة، 𝑎، الناتجة عن الجاذبية: 𝑎=𝐺𝑀𝑟، حيث 𝐺=6.67×10/mkgs ثابت الجذب العام، و𝑀=10kg كتلة الجسم الأكبر، و𝑟=100000m. وكما ذكرنا سابقًا، نستخدم قيمة 𝑟 بوحدة قياس المتر للتأكد من أن العجلة، ،𝑎، بوحدة قياس المتر لكا ثانية مربعة ((m/s2) المطلوبة.

وباستخدام هذه القيم في معادلة إيجاد 𝑎، نجد أن: 𝑎=𝐺𝑀𝑟=6.67×10/×10(100000)=0.667/.mkgskgmms

وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على: 𝑎=0.67/.ms

الجزء الثالث

في الجزء الثالث من السؤال، علينا حساب مقدار قوة الجاذبية التي يؤثر بها الجسم الأكبر على الجسم (أ). سنتوصل إلى ذلك بالطريقة نفسها التي استخدمناها مع الجسم (أ)، باستخدام معادلة قوة الجاذبية: 𝐹=𝐺𝑀𝑚𝑟، لكن هذه المرة، 𝑚 تمثل كتلة الجسم (ب)؛ ومن ثم ، سنستخدم القيمة 100 kg. وبالتعويض بهذه القيمة، مع الاحتفاظ بقيم كل من 𝐺، 𝑀 ،𝑎 كما في الجزء الأول من السؤال، نجد أن: 𝐹=𝐺𝑀𝑚𝑟=6.67×10/×10×100(100000)=66.7.mkgskgkgmN

وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على: 𝐹=66.70.N

من المهم هنا أن نلاحظ أنه نظرًا لأن كتلة الجسم (ب) أكبر من كتلة الجسم (أ) بمقدار 20 ضعفًا، فإن قوة الجاذبية التي يتأثر بها الجسم (ب) أكبر من تلك التي يتأثر بها الجسم (أ) بمقدار 20 ضعفًا أيضًا.

الجزء الرابع

في الجزء الأخير من السؤال، علينا إيجاد عجلة الجسم (ب) في اتجاه الجسم الأكبر. كما فعلنا مع الجسم (أ)، سنستخدم المعادلة: 𝑎=𝐺𝑀𝑟، حيث 𝐺=6.67×10/mkgs ،𝑀=10kg، 𝑟=100000m. وبما أن كتلة الجسم (ب) لا تظهر في هذه المعادلة، فسنستخدم جميع القيم نفسها التي استخدمناها عند حساب عجلة الجسم (أ) سابقًا، فنجد مرة أخرى أن: 𝑎=0.67/ms، لأقرب منزلتين عشريتين.

إذن، نستنتج من ذلك أنه في حالة وجود جسمين مختلفي الكتلة يبعدان مسافة متساوية عن جسم آخر له كتلة أكبر بكثير، فإنهما يكتسبان عجلة الجاذبية نفسها.

تعني حقيقة أن عجلة الجاذبية لا تعتمد على كتلة الجسم الذي يكتسب العجلة، أنه عندما نتناول أي أجسام تقع بالقرب من جسم كتلته كبيرة مثل قمر أو كوكب، فسوف تكتسب جميعها عجلة الجاذبية نفسها.

تذكر أن عجلة الجاذبية على سطح الأرض تساوي 9.8 m/s2 تقريبًا. يمكننا الآن أن نعرف من أين أتت هذه القيمة، باستخدام المعادلة (٤) وبمعلومية كتلة الأرض، 𝑀=5.97×10kg. يقع أي جسم أو شخص على سطح الأرض على بعد مسافة من مركز كتلة الأرض تساوي تقريبًا نصف قطر الأرض، 𝑟=6370km. علينا أن نتذكر تحويل المسافة إلى وحدة المتر، بحيث يكون، 𝑟=6370000m. ويمكننا التعويض بهذه القيم في المعادلة: 𝑎=𝐺𝑀𝑟، ونحصل على: 𝑎=𝐺𝑀𝑟=6.67×10/×5.97×10(6370000)=9.81/mkgskgms، لأقرب منزلتين عشريتين.

وبصورة دقيقة، يجب أن تكون المسافة التي نستخدمها لإيجاد 𝑟 هي المسافة بين مركز الأرض ومركز كتلة الجسم. إلا أن كوكب الأرض كبير للغاية؛ لذا، فارتفاع مركز كتلة الجسم فوق سطح الأرض بالنسبة لأي جسم يقع على السطح أو بالقرب منها يكون ضئيلًا للغاية مقارنة بنصف قطر الأرض.

يمكننا إثبات ذلك بافتراض أن جسمًا ما يوجد أعلى قمة جبل إيفرست، أعلى جبل على الأرض، حيث يبلغ ارتفاعه 8‎ ‎848 m. لحساب العجلة الناتجة عن جاذبية هذا الجسم، علينا إضافة ارتفاع جبل إيفرست إلى نصف قطر الأرض؛ أي، 𝑟=6370000+8848=6378848m. وإذا عوضنا عن 𝑟 بهذه القيمة، نجد أن: 𝑎=𝐺𝑀𝑟=6.67×10/×5.97×10(6378848)=9.79/mkgskgmms، لأقرب منزلتين عشريتين.

وهذه القيمة أقل بقليل من العجلة المكتسبة على سطح الأرض، وبالتقريب لمنزلة عشرية واحدة نجد أنهما متساويتان، 𝑎=9.8/ms. إذا كانت هذه هي الدقة المطلوبة، فيمكننا استخدام هذه القيمة للتعبير عن عجلة الجاذبية في أي مكان على سطح الأرض، سواء كان الجسم الذي ندرسه عند مستوى سطح البحر أو فوق أعلى قمة جبلية.

نظرًا لأن عجلة الجاذبية على سطح الأرض تستخدم كثيرًا، فإننا نشير إليها بهذا الرمز الخاص 𝑔. بوجه عام، تسمى عجلة الجاذبية على سطح أي جسم كروي كبير أو بالقرب منه جاذبية السطح.

تعريف: جاذبية السطح

جاذبية السطح لأي جسم كروي كبير مثل قمر أو كوكب هي عجلة الجاذبية على سطح هذا الجسم أو بالقرب منه.

يمكننا حساب جاذبية السطح، 𝑎، لأي جسم باستخدام المعادلة: 𝑎=𝐺𝑀𝑟، حيث 𝐺=6.67×10/mkgs ثابت الجذب العام، و𝑀 كتلة الجسم الأكبر بوحدة الكيلوجرام، و𝑟 نصف القطر بوحدة المتر. جاذبية السطح هي عجلة، لذا، فإنها تُقاس بوحدة المتر لكا ثانية مربعة (m/s2).

كما أن جاذبية السطح ثابتة بالنسبة لجميع الأجسام الموجودة على سطح الجسم الأكبر أو بالقرب منه، بغَضِّ النظر عن كتلة الجسم.

في حالة كوكب الأرض، جاذبية السطح تساوي 𝑔=9.8/ms.

يمكننا حساب جاذبية السطح على الأجسام الكروية الكبيرة غير الأرض بمعلومية كتلة الجسم الكبير ونصف قطره. سنتناول فيما يلي مثالًا على جانيميد، أكبر أقمار كوكب المشتري.

مثال ٢: إيجاد جاذبية السطح لقمر

جانيميد هو أكبر قمر في النظام الشمسي، وكتلته 1.48×10 kg، ونصف قطره 2‎ ‎630 km. ما جاذبية السطح على جانيميد؟ قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

بما أن جانيميد قمر، فهو جسم كبير كروي الشكل تقريبًا؛ لذا، يمكننا إيجاد جاذبية السطح باستخدام المعادلة: 𝑎=𝐺𝑀𝑟، حيث ثابت الجذب العام 𝐺=6.67×10/mkgs، وكتلة جانيميد 𝑀=1.48×10kg ونصف قطره 𝑟=2630km.

أول ما علينا فعله هو تحويل نصف القطر إلى وحدة المتر سيصبح لدينا 𝑟=2630=2630000kmm. ويمكننا التعويض بهذه القيم في معادلة إيجاد 𝑎 أعلاه، لنحصل على: 𝑎=𝐺𝑀𝑟=6.67×10/×1.48×10(2630000)=1.427/.mkgskgms

وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على: 𝑎=1.43/.ms

بما أن عجلة الجاذبية التي يكتسبها الجسم لا تعتمد على كتلته، يمكننا القول إنها خاصية تتعلق بوجود الجسم في موضع معين في الفضاء بالقرب من جسم كروي كبير، وتعتمد فقط على كتلة الجسم الأكبر والمسافة من مركز كتلته.

يمكننا أن نلاحظ من المعادلة (٤) أنه كلما زادت المسافة بين الجسم ومركز كتلة الجسم الكبير، قلت عجلة الجاذبية. في كثير من الأحيان، تقع الأجسام على مسافة بعيدة للغاية من سطح جسم كبير، بحيث تتعرض لعجلة جاذبية أقل بكثير من تلك التي قد تتعرض لها عند السطح. المصطلح العام المستخدم للتعبير عن عجلة الجاذبية عند نقطة معينة هو عجلة الجاذبية المحلية.

كما يمكن الإشارة إلى جاذبية السطح بأنها عجلة الجاذبية المحلية على سطح جسم كروي كبير.

سنتناول مثالًا على عجلة الجاذبية المحلية لقمر صناعي.

مثال ٣: إيجاد عجلة الجاذبية المحلية عند موضع معين فوق سطح الأرض

تدور محطة الفضاء الدولية حول الأرض على ارتفاع 409 km فوق سطح الأرض. كتلة كوكب الأرض 5.97×10 kg ونصف قطره 6‎ ‎370 km. ما عجلة الجاذبية عند الارتفاع الذي تدور عنده محطة الفضاء الدولية؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

محطة الفضاء الدولية هي قمر صناعي مزود بطاقم يدور حول الأرض. تدور المحطة على ارتفاعٍ عالٍ بما يكفي فوق سطح الأرض؛ بحيث تكون عجلة الجاذبية المحلية أقل من جاذبية سطح الأرض.

ولكي نحسب عجلة الجاذبية عند ارتفاع محطة الفضاء الدولية، علينا أن نتذكر معادلة عجلة الجاذبية، 𝑎، وهي: 𝑎=𝐺𝑀𝑟، حيث 𝐺=6.67×10/mkgs ثابت الجذب العام، وكتلة الأرض 𝑀=5.97×10kg معلومة من معطيات السؤال. لمعرفة المسافة من مركز كتلة الأرض، 𝑟، علينا إيجاد المسافة بين محطة الفضاء الدولية ومركز كتلة الأرض.

نعلم من معطيات السؤال نصف قطر الأرض، وسنطلق عليه 𝑅=6370km، وارتفاع محطة الفضاء الدولية فوق سطح الأرض، وسنطلق عليه =409km. من المفيد هنا أن نرسم مخططًا توضيحيًّا (مرسوم دون مقياس رسم) لتصور الشكل.

بإمكاننا أن نلاحظ من المثال أن المسافة بين محطة الفضاء الدولية ومركز كتلة الأرض تساوي: 𝑟=𝑅+=6370+409=6779kmkm.

ولكي تكون العجلة الناتجة بوحدة المتر لكا ثانية مربعة ((m/s2) يجب أن يكون 𝑟 بوحدة المتر، أي أن يكون 𝑟=6779000m.

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه القيمة، بالإضافة إلى 𝐺، 𝑀، في معادلة إيجاد 𝑎، لنحصل على: 𝑎=𝐺𝑀𝑟=6.67×10/×5.97×10(6779000)=8.665/.mkgsms

بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على: 𝑎=8.67/.ms

وكما هو متوقع، تقل هذه القيمة عن الجاذبية على سطح الأرض 𝑔=9.81/ms، يعني هذا أن محطة الفضاء الدولية تتعرض لعجلة جاذبية أقل من تلك التي تتعرض لها الأجسام على سطح الأرض.

قد يكون من المفيد أحيانًا مقارنة عجلة الجاذبية في موضعين مختلفين. في المثال التالي، سنتناول عجلة جاذبية قمر صناعي بالنسبة إلى جاذبية سطح الأرض.

مثال ٤: إيجاد النسبة بين عجلة الجاذبية المحلية عند موضع وعجلة الجاذبية عند موضع آخر

تدور الأقمار الصناعية المتزامنة أرضيًّا حول الأرض على ارتفاع 35‎ ‎786 km فوق خط الاستواء. كتلة الأرض 5.97×10 kg، ونصف قطرها 6‎ ‎370 km. ما نسبة عجلة الجاذبية عند الارتفاع الذي توجد عنده الأقمار الصناعية إلى عجلة الجاذبية على سطح الأرض؟ قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

القمر الصناعي المتزامن أرضيًّا هو قمر صناعي يظل عند النقطة نفسها فوق سطح الأرض على طول مداره. سنناقش مدارات هذا النوع من الأقمار بمزيد من التفصيل في شوارح أخرى، لكننا نعلم في هذه الحالة أنها تدور فوق خط الاستواء على ارتفاع 53‎ ‎786 km.

في هذا السؤال، علينا إيجاد عجلة الجاذبية عند هذا الارتفاع بالنسبة إلى جاذبية سطح الأرض. إذا أطلقنا على نصف قطر الأرض 𝑅 وارتفاع مدار القمر الصناعي عن سطح الأرض ، إذن، المسافة بين القمر الصناعي ومركز كتلة الأرض هي 𝑟=𝑅+.

بالنسبة لعجلة الجاذبية التي يتعرض لها القمر الصناعي، فعلينا تذكر معادلة عجلة الجاذبية: 𝑎=𝐺𝑀𝑟، حيث 𝑀 كتلة الأرض، والتي علمنا من السؤال أنها تساوي 5.97×10 kg، و𝑟=𝑅+ المسافة بين القمر الصناعي ومركز كتلة الأرض.

يمكننا إيجاد جاذبية سطح الأرض من المعادلة نفسها، لكن باستخدام 𝑔 بدلًا من 𝑎 ونصف قطر الأرض، 𝑅، للتعبير عن المسافة، على النحو الآتي: 𝑔=𝐺𝑀𝑅.

ويمكننا إيجاد النسبة 𝑎𝑔 بقسمة طرفي المعادلة على بعضهما البعض. ولتبسيط ذلك، سنوجد أولًا 1𝑔، عن طريق قلب الطرف الأيمن للمعادلة رأسًا على عقب، لنحصل على: 1𝑔=𝑅𝐺𝑀.

ثم يمكننا استخدام حقيقة أن: 𝑎𝑔=𝑎×1𝑔 وضرب الطرف الأيمن من معادلة إيجاد 𝑎 في الطرف الأيمن من معادلة إيجاد 1𝑔: 𝑎𝑔=𝑎×1𝑔=𝐺𝑀𝑟𝑅𝐺𝑀.

يمكننا أن نلاحظ أن 𝐺𝑀 يظهر في كل من بسط الكسر ومقامه في الطرف الأيمن؛ ما يعني أنه يمكن حذفهما لنحصل على: 𝑎𝑔=𝑅𝑟=𝑅𝑟، حيث 𝑅 نصف قطر الأرض و𝑟 ارتفاع القمر الصناعي فوق مركز كتلة الأرض.

نعلم من معطيات السؤال أن 𝑅=6370km؛ ومن ثَمَّ، يمكننا حساب 𝑟=𝑅+=6370+53786=42156kmkmkm.

عادة ما نحول المسافات لتصبح بوحدة المتر قبل التعويض بالقيم في المعادلة، لكن في هذه الحالة، لدينا كسر بوحدة الكيلومتر في كل من البسط والمقام، ما يعني أن الوحدتين تُحذفان معًا.

في هذه الحالة، يمكننا التعويض بالقيمتين 𝑅=6370km، 𝑟=42156km في معادلة إيجاد 𝑎𝑔 لنحصل على: 𝑎𝑔=𝑅𝑟=637042156=0.0228.kmkm

بالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية، نحصل على: 𝑎𝑔=0.023.

وبما أن هذه الكمية تمثل نسبة بين كميتين لهما وحدة قياس العجلة نفسها، فإن القيمة الناتجة لن تكون لها وحدة قياس.

في المثال السابق، توصلنا إلى أن نسبة عجلة الجاذبية على بعد مسافتين مختلفتين من الجسم الكروي الكبير نفسه، بافتراض أن العجلة 𝑎 عند المسافة 𝑟 و𝑎 عند المسافة 𝑅، تعتمد فقط على النسبة بين المسافتين، أي إن: 𝑎𝑎=𝑅𝑟.

تذكر أن عجلة الجاذبية تتناسب عكسيًّا مع مربع المسافة وبالتالي، إذا كان 𝑎 في بسط الطرف الأيسر، فلا بد أن يظهر 𝑟 في مقام الطرف الأيمن، والعكس صحيح بالنسبة إلى: 𝑎، 𝑅.

حتى الآن، عند دراسة جسم صغير يقع بالقرب من جسم كُروي كبير مثل قمر أو كوكب، فإننا نهتم فقط بعجلة الجاذبية للجسم الأصغر. في الواقع، يتعرض كل من الجسم الصغير والجسم الكبير لعجلة نتيجة لتأثير كتلة كل منهما على الآخر.

إذا كان لدينا جسم كبير كتلته 𝑀، فإن العجلة التي يتحرك بها الجسم، 𝑎، ترتبط بالقوة المحصلة المؤثرة عليه طبقًا للعلاقة: 𝐹=𝑀𝑎، حيث القوة المحصلة، 𝐹، هي قوة الجاذبية الناتجة عن وجود جسم صغير كتلته 𝑚. تُعطى القوة باستخدام قانون نيوتن للجاذبية، كما في المعادلة (٢): 𝐹=𝐺𝑀𝑚𝑟.

وبمساواة الطرف الأيمن من كل معادلة، نحصل على: 𝑀𝑎=𝐺𝑀𝑚𝑟.

هذه المرة، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على 𝑀، لنحصل على: 𝑎=𝐺𝑚𝑟.

وهكذا، يتسارع الجسم الكبير بفعل الجاذبية الناتجة عن كتلة الجسم الصغير بالطريقة نفسها التي يتسارع بها الجسم الصغير في اتجاه الجسم الكبير.

وفي كلتا الحالتين، تؤثر العجلة على طول الخط الواصل بين مركزي كتلي الجسمين؛ ما يؤدي إلى تقارب بعضهما من بعض. وأهم ما يجب ملاحظته هو أنه على الرغم من أن قوتي الجاذبية لكلا الجسمين متساوية، فإن العجلتين التي يكتسبهما الجسمان ليست متساوية. تتناسب عجلة الجسم مع كتلة الجسم الآخر. يعني هذا أن الجسم ذا الكتلة الأقل يكتسب عجلة أكبر.

يمكن لهذا أن يساعدنا في تفسير لماذا تبدو الأرض ساكنة على الرغم من جاذبية الأشخاص والحافلات والأقمار الصناعية الموجودة على سطحها أو بالقرب منه. لكي نرى ذلك عمليًّا، يمكننا أن نتناول مثالًا على كيفية استجابة الأرض لجاذبية الأشخاص.

مثال ٥: إيجاد تسارع الكرة الأرضية الناتج عن جاذبية أحد الأشخاص

قفز شخص كتلته 75 kg من فوق طاولة ارتفاعها 1 m إلى سطح الأرض. إذا كان نصف قطر الأرض 6‎ ‎370 km، فما تسارع الكرة الأرضية الناتج عن قوة التجاذب بين الأرض والشخص لحظة قفزه في الهواء؟ اكتب إجابتك بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

ندرس في هذه الحالة تسارع الكرة الأرضية الناتج عن جاذبية أحد الأشخاص يقع على ارتفاع 1 m فوق سطح الأرض. يمكننا الاستعانة بشكل لتخيل المسافات الواردة في السؤال.

هذا الشكل ليس مقياسًا بالطبع، ففي الواقع، علينا تجاهل انحناء الأرض؛ لأن السطح يكون مستويًا في الأساس على مقياس الطاولة والشخص.

لإيجاد تسارع الكرة الأرضية الناتج عن الجاذبية، علينا تذكر المعادلة: 𝑎=𝐺𝑚𝑟، حيث 𝐺=6.67×10/mkgs ثابت الجذب العام، و𝑚 كتلة الشخص، وتساوي 𝑚=75kg كما ذُكر في معطيات السؤال، و𝑟 المسافة بين الشخص ومركز كتلة الأرض. في هذا الشكل، يمكننا أن نستنتج أنه إذا كان نصف قطر الأرض يساوي 𝑅=6370km أو 6‎ ‎370‎ ‎000 m وارتفاع الشخص فوق السطح يساوي 1 m، فإن 𝑟=𝑅+=6370001m.

وعمليًّا، يكون صغيرًا للغاية مقارنة بـ 𝑅 بحيث يمكننا استخدام 𝑟=𝑅 ونحصل على الإجابة نفسها بالدقة المطلوبة.

وإذا عوَّضنا بهذه القيم، فسنجد أن: 𝑎=𝐺𝑚𝑟=6.67×10/×75(6370000)=1.232×10/.mkgskgms

وبكتابة ذلك بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على: 𝑎=1.23×10/.ms

من ذلك نستنتج أن تسارع الكرة الأرضية الناتج عن جاذبية أحد الأشخاص صغير للغاية؛ وهذا يفسر سبب أن الأرض لا تتأثر بحركة الأشخاص والحافلات على سطحها.

مثلما تتسارع الكرة الأرضية قليلًا في اتجاه الأجسام الصغيرة، تتسارع الشمس بمقدار ضئيل أيضًا في اتجاه الكرة الأرضية بفعل جاذبيتها. تزيد كتلة الشمس عن كتلة الأرض بحوالي مليون ضعف تقريبًا؛ لذا، فالعجلة التي تكتسبها الشمس أصغر بكثير من تلك التي تكتسبها الأرض في اتجاه الشمس، ولكنها تكفي لقياسها على أنها تسبب تذبذبًا طفيفًا للغاية في موضع الشمس. إن العجلة التي يكتسبها نجم بسبب جاذبية كواكبه هي إحدى الطرق التي يستخدمها علماء الفلك لاكتشاف الكواكب التي تدور حول النجوم الأخرى بخلاف الشمس. أما الكواكب نفسها، فهي صغيرة للغاية وخافتة لدرجة لا يمكن رؤيتها، إلا أن التذبذب الطفيف الذي يحدث للنجم يُعد دليلًا كافيًا على وجودها.

النقاط الرئيسية

  • عجلة الجاذبية، 𝑎، لجسم يقع بالقرب من جسم كتلته 𝑀 تعتمد على الكتلة 𝑀 والمسافة بين مركزي كتلة الجسمين، طبقًا للعلاقة: 𝑎=𝐺𝑀𝑟.
  • عجلة الجاذبية التي يكتسبها جسم ما لا تعتمد على كتلة هذا الجسم.
  • جاذبية السطح هي عجلة الجاذبية على سطح جسم كروي كبير أو بالقرب منه.
  • جاذبية سطح الأرض، 𝑔9.8/ms، هي عجلة الجاذبية التي يكتسبها أي جسم على سطح الأرض أو بالقرب منه.
  • المصطلح العام المستخدم للتعبير عن العجلة عند مسافة معينة من جسم كبير هو عجلة الجاذبية المحلية.
  • الأجسام الكبيرة، مثل الأرض، تكتسب أيضًا عجلة نتيجة لجاذبية الأجسام الصغيرة الموجودة على سطحها والقريبة منه، لكن عادة ما تكون صغيرة للغاية لأن تُقاس.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.