شارح الدرس: نظرية قوة النقطة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قوة نقطة بالنسبة إلى دائرة.

في الهندسة المستوية، غالبًا ما نواجه مشكلات في التعامل مع أطوال القطع المستقيمة المرتبطة بدوائر. وترتبط العديد من الأدوات المستخدَمة لحل هذا النوع من المسائل بمفهوم قوة النقطة. قوة النقطة هي عدد حقيقي يُحدِّد مقدار العلاقة الهندسية بين نقطة ودائرة. ويُعرَّف هذا العدد باستخدام نصف قطر الدائرة والمسافة بين النقطة ومركز الدائرة. وكما سنرى في هذا الشارح، يرتبط هذا العدد أيضًا بأطوال الأضلاع التي تتضمَّن القواطع والمماسات والأوتار في الدائرة.

في المثال الأول، نحسب قوة نقطة بمعلومية هذين الطولين.

في المثال السابق، حسبنا قوة نقطة باستخدام الطولَيْن المُعطيَيْن. يمكننا أن نرى أن طول الضلع المُعطى أكبر من نصف قطر الدائرة، ، وهو ما يعني أن النقطة تقع خارج الدائرة . وفي هذه الحالة، بما أن ، إذن نجد أيضًا أن . إذن قوة النقطة:

وبشكل عام، يخبرنا ذلك أن قوة النقطة تكون موجبة إذا كانت النقطة تقع خارج الدائرة. هيا نرسم شكلًا يتضمَّن أطوال الأضلاع المتضمَّنة في حساب قوة نقطة في ٣ حالات مختلفة.

إذا كانت النقطة تقع خارج الدائرة؛ أي إن ، فإن قوة النقطة في هذه الحالة تكون موجبة. إذا كانت النقطة تقع على الدائرة؛ أي إن ، فإن قوة النقطة في هذه الحالة تساوي صفرًا. وفي الحالة الأخيرة، إذا كانت النقطة تقع داخل الدائرة؛ أي إن ، فإن قوة النقطة تكون سالبة.

في المثال التالي، نُحدِّد الموضع النسبي لنقطة بالنسبة إلى دائرة بمعلومية قوة النقطة.

مثال ٢: تحديد موضع نقطة بالنسبة إلى دائرة بمعلومية قوة النقطة

أوجد موضع النقطة بالنسبة إلى الدائرة ، إذا كانت .

الحل

قوة النقطة بالنسبة إلى الدائرة التي نصف قطرها ، ومركزها ، تُعطى بالصيغة:

ويخبرنا السؤال أن . وهذا يعني أن قوة النقطة موجبة. ويخبرنا ذلك أن:

ومن ثَمَّ، فإن المسافة بين النقطة ومركز الدائرة أكبر من نصف قطر الدائرة. وهذا يعني أن النقطة تقع خارج الدائرة. على سبيل المثال، يمكننا تمثيل هذه الحقيقة من خلال الشكل الآتي:

موضع النقطة خارج الدائرة.

في المثال التالي، نُوجِد نصف قطر دائرة بمعلومية قوة نقطة والمسافة بين هذه النقطة ومركز الدائرة.

حتى الآن، تناولنا بعض الأمثلة بهدف أن نكون أكثر دراية بمفهوم قوة نقطة بالنسبة إلى دائرة. ننتقل الآن إلى تطبيقات مختلفة لقوة النقطة. الخاصية الأولى تربط قوة نقطة بطول مماس من النقطة إلى الدائرة.

هيا نثبت هذه الخاصية. يمكننا أن نبدأ بالنظر إلى الشكل الآتي الذي يوضِّح العلاقة بين قوة نقطة وطول المماس.

نحن نعلم أن نصف قطر الدائرة يتقاطع عموديًّا مع أي مماس. إذن المثلث في هذا الشكل مثلث قائم الزاوية، وتخبرنا نظرية فيثاغورس أن:

والطرف الأيسر من هذه المعادلة هو قوة النقطة . ويثبت هذا صحة الخاصية المذكورة سابقًا.

الخاصية التالية تربط قوة نقطة ما بطول قاطع من النقطة عبر الدائرة.

هيا نثبت هذه الخاصية. انظر إلى الشكل التالي؛ حيث نقطة تقع خارج الدائرة التي مركزها ، مماس للدائرة عند ، قاطع يقطع الدائرة عند النقطتين ، على الترتيب.

وقد أضفنا أيضًا الوترين ، الملوَّنين باللون الأزرق على الشكل السابق. نحن نزعم أن المثلث مشابه للمثلث . بما أن الزاوية عند الرأس مشتركة بين المثلثين، إذن علينا فقط إثبات تطابُق زوج آخر من زوايا المثلثين لإثبات التشابه المزعوم.

تذكَّر أن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها. إذن، إذا كان قياس القوس يُرمَز له بـ ، فإن قياس الزاوية المحيطية هو:

ونَعرف أيضًا أن قياس الزاوية التي يصنعها المماس مع وتر يساوي نصف قياس القوس الذي يقطعه الوتر. ومن ثَمَّ، يساوي قياس الزاوية المحصورة بين المماس والوتر نصف قياس القوس ، وهو . وهذا يُعطينا:

ويخبرنا هذا أن و متطابقتان، وهو ما يثبت التشابه:

باستخدام تشابه هذين المثلثين، يمكننا كتابة معادلة تتضمَّن النسبتين:

بملاحظة أن الطرف الأيمن من هذه المعادلة يساوي قوة نقطة، نكون قد أثبتنا الخاصية التي ذكرناها سابقًا.

عندما تقع نقطة خارج دائرة، فإن قوة النقطة تكوِّن علاقة بين أطوال المماسات والقطع المستقيمة من القواطع. وتُعرَف بنظرية قوة النقطة. تتكوَّن نظرية قوة النقطة من ثلاث عبارات مختلفة، لكنها جميعها ترتبط بمفهوم قوة النقطة. هيا أولًا نتناول نظرية قوة النقطة لمماس دائرة وقاطعها.

لإثبات هذه النظرية، تذكَّر أنه إذا كانت لدينا نقطة تقع خارج دائرة، فإن قوة هذه النقطة تساوي مربع طول المماس. بالإضافة إلى ذلك، لاحظنا أن قوة النقطة تساوي أيضًا حاصل ضرب طول في طول ، وهما جزآن من القاطع للدائرة عند النقطتين ، ، والذي يمر بالنقطة الخارجية . بما أن كلتا الكميتين تساويان قوة النقطة، يمكننا استنتاج أنهما متساويتان، وهو ما يؤدِّي إلى نص النظرية المذكورة سابقًا.

هيا نتناول مثالًا نستخدم فيه هذا النص لإيجاد طول مجهول يرتبط بمماس دائرة وقاطعها.

مثال ٤: استخدام نظرية قوة النقطة لمماس وقاطع لإيجاد الأطوال المجهولة

دائرة لها المماس والقاطع الذي يقطع الدائرة عند . إذا كان ، ، فأوجد طول . قرِّب إجابتك لأقرب جزء من مائة.

الحل

تذكَّر نظرية قوة النقطة التي تربط بين أطوال المماسات والقطع المستقيمة من القواطع: نفترض أن نقطة تقع خارج الدائرة، وأن ، ، نقاط على الدائرة؛ حيث مماس للدائرة، قاطع لها. إذن:

ولدينا أن ، وأن . بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة السابقة، نحصل على:

نريد إيجاد طول ، ويمكننا ملاحظة أن . بالتعويض بـ وبـ في هذه المعادلة، نحصل على:

إذن طول مقرَّبًا لأقرب جزء من مائة يساوي ٤٫٨٠ سم.

في المثال السابق، استخدمنا نظرية قوة النقطة التي تربط بين أطوال المماسات والقطع المستقيمة من القواطع للدائرة. العبارة الثانية لنظرية قوة النقطة تتناول أطوال القطع المستقيمة من قاطعين مختلفين.

لإثبات هذه النظرية، انظر إلى الشكل الآتي الذي يحتوي على قاطعين، ، .

بتطبيق خاصية قوة النقطة على القاطع ، نعرف أن:

إذا طبَّقنا الخاصية نفسها على القاطع ، فسنجد أن:

وبما أن كلتا الكميتين تساويان قوة النقطة، إذن لا بد أنهما متساويتان. وهو ما يثبت نص النظرية المذكورة سابقًا.

هيا نتناول مثالًا علينا فيه تطبيق هذه الحالة من نظرية قوة النقطة لإيجاد الطول الناقص في شكل به قاطعان.

مثال ٥: استخدام نظرية قوة النقطة لقاطعين لإيجاد أطوال مجهولة

دائرة فيها القاطعان ، تقاطعا عند . إذا كان ، ، ، فأوجد طول ، لأقرب جزء من عشرة.

الحل

تذكَّر نظرية قوة النقطة التي تربط أطوال القطع المستقيمة في قاطعين مختلفين: افترض أن نقطة تقع خارج الدائرة. إذا كانت ، ، ، نقاطًا على الدائرة؛ حيث قاطع للدائرة عند النقطتين ، على الترتيب، قاطع للدائرة نفسها عند النقطتين ، على الترتيب، فإن:

لدينا في السؤال أطوال القطع المستقيمة:

وبما أن ، إذن يمكننا الحصول على:

نحن نريد إيجاد طول ، وهو جزء من . بما أننا نعرف طول ، وبما أن ، إذن يمكننا إيجاد طول بإيجاد طول أولًا. إذا عوَّضنا بقيم ، في المعادلة الناتجة عن نظرية قوة النقطة، يمكننا إيجاد طول كالآتي:

وبالتعويض بهذه القيمة في المعادلة ، نحصل على:

إذن طول ، مقرَّبًا لأقرب جزء من عشرة، يساوي ٦٫٣ سم.

استخدمت العبارتان السابقتان لنظرية قوة النقطة خواص قوة نقطة تقع خارج الدائرة. ننتقل الآن إلى خاصية قوة النقطة عندما تقع النقطة داخل الدائرة.

خاصية: قوة النقطة وأطوال القطع المستقيمة من وتر

نفترض أن لدينا الدائرة ، والنقطة تقع داخل الدائرة. نفترض أيضًا أن وتر في الدائرة يمر بالنقطة ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

إذن:

هيا نثبت هذه الخاصية. انظر إلى الشكل الآتي الذي يتقاطع فيه الوتر مع قطر بالدائرة.

أُضيف الوتران ، الملوَّنان باللون الأخضر إلى الشكل. نحن نزعم أن:

بما أن الزاويتين ، زاويتان متقابلتان، إذن نعرف أنهما متطابقتان. وأيضًا الزاويتان ، زاويتان محيطيتان مقابلتان لنفس القوس . وبما أننا نعلم أن قياسات جميع الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس متساوية، إذن هاتان الزاويتان متطابقتان أيضًا. ويثبت هذا التشابه المزعوم.

باستخدام المثلثين المتشابهين، يمكننا كتابة المعادلة التالية للنسب الناتجة من عبارة التشابه الصحيحة على الصورة: وهو ما يؤدِّي إلى:

هيا الآن نتناول العلاقة بين هذه المتطابقة ومفهوم قوة النقطة. تذكَّر أن قوة النقطة بالنسبة إلى الدائرة تُعطى بالصيغة:

ونحن نعلم أن هذه القيمة ستكون سالبة؛ لأن النقطة تقع داخل الدائرة . لكي نناقش هذه الكمية بدلالة الأطوال الموجبة للقطع المستقيمة، هيا نفكِّر بدلًا من ذلك في سالب هذا المقدار:

يمكننا استخدام صيغة الفرق بين مربعين، ، لتبسيط هذا المقدار إلى:

بالنظر إلى الشكل، نرى أن ، وبطرح من ، نحصل على طول . وبالمثل، يمكننا ملاحظة أن ، وبإضافة إلى نحصل على طول . بعبارة أخرى:

بالتعويض بهذين المقدارين في معادلة السابقة، نجد أن:

نلاحظ أن الطرف الأيسر من هذه المعادلة يساوي الطرف الأيسر من المعادلة (١). ويخبرنا هذا أن سالب قوة النقطة يساوي الطرف الأيمن من المعادلة (١). وهذا يثبت الخاصية المذكورة سابقًا.

وتقودنا هذه الخاصية إلى العبارة الأخيرة من نظرية قوة النقطة، التي تتضمَّن وترين متقاطعين.

لإثبات هذه النظرية، انظر إلى الشكل الآتي:

إذا طبَّقنا خاصية قوة النقطة على النقطة التي تقع على الوتر ، يصبح لدينا:

إذا طبَّقنا الخاصية نفسها على الوتر ، فإن:

بما أن كلتا الكميتين في الطرف الأيسر من كل معادلة تساويان ، إذن لا بد أن تكون الكميتان متساويتين. وهذا يثبت آخر عبارة من نظرية قوة النقطة.

هيا نتناول مثالًا علينا فيه تطبيق هذه الحالة من نظرية قوة النقطة لإيجاد طول ناقص في شكل يتضمَّن وترين متقاطعين.

مثال ٦: استخدام نظرية قوة النقطة لوترين لإيجاد أطوال مجهولة

دائرة فيها وتران، ، ، يتقاطعان عند . إذا كان ، ، فأوجد طول .

الحل

تذكَّر نظرية قوة النقطة التي تربط أطوال القطع المستقيمة من وترين مختلفين: نفترض أن نقطة تقع داخل الدائرة. إذا كانت ، ، ، نقاط على الدائرة؛ حيث ، وتران في الدائرة، فإن:

لدينا هنا طول ، ولكن ليس لدينا سوى النسبة بين طول وطول . نرمز لطول بـ سم. بما أن ، إذن طول لا بد أن يساوي سم. إذن يصبح لدينا:

بالتعويض بهذه المقادير في المعادلة الناتجة عن نظرية قوة النقطة، نحصل على:

وبما أن ، إذن يمكننا قسمة طرفَي هذه المعادلة على ، وهو ما يؤدِّي إلى:

ويُعطينا هذا .

إذن طول هو ٢ سم.

في هذا الشارح، تناولنا مجموعة متنوعة من الخصائص الهندسية المفيدة التي تقوم على قوة النقطة. هيا نختتم ذلك بتلخيص بعض المفاهيم الأساسية في هذا الشارح.