شارح الدرس: المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المتشابهة | نجوى شارح الدرس: المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المتشابهة | نجوى

شارح الدرس: المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المتشابهة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلُّ المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المتشابهة، باستخدام قوانين الأُسُس واللوغاريتمات.

المعادلة اللوغاريتمية عبارة عن معادلة تحتوي على متغيِّر مجهول في جزء اللوغاريتم؛ عادةً ما يكون المُدخَل. في حالة المعادلات اللوغاريتمية التي تحتوي على لوغاريتم واحد فقط، يمكن إعادة كتابتها على صورة أسية لتسهيل حلها. هيا نتذكَّر تعريف اللوغاريتم لتوضيح كيف نفعل ذلك.

تعريف: اللوغاريتمات

كل معادلة أسية على الصورة 𞸀=𞸍𞸎؛ حيث 𞸀>٠، يمكن كتابتها على صورة المعادلة اللوغاريتمية: 𞸀𞸍=𞸎، حيث 𞸀 هو أساس اللوغاريتم، 𞸍 هو المُدخَل، 𞸎 هو الأس.

ومن ثَمَّ، فإن 𞸀=𞸍𞸍=𞸎𞸎𞸀.

نلاحظ من التعريف السابق أنه إذا كان هناك متغيِّر مجهول في المُدخَل، 𞸍، فيمكننا بإعادة كتابة 𞸀𞸍=𞸎 على الصورة 𞸀=𞸍𞸎 أن نجعل 𞸍 المتغيِّر التابع للمعادلة، وبذلك يمكننا الحل لإيجاد قيمة المتغيِّر المجهول.

في المثال الأول، سنناقش كيفية إيجاد متغيِّر مجهول في المُدخَل من خلال إعادة كتابة اللوغاريتم على صورته الأسية، كما هو مفصَّل في السابق.

مثال ١: حل المعادلات اللوغاريتمية التي تحتوي على لوغاريتم واحد

إذا كان ٢١(󰏡+٣)=١، فأوجد قيمة 󰏡.

الحل

بما أن لدينا معادلة لوغاريتمية تحتوي على لوغاريتم واحد، يمكننا إذن إعادة ترتيب اللوغاريتم؛ بحيث يكون المُدخل، 󰏡+٣، هو المتغيِّر التابع، وذلك بإعادة كتابة اللوغاريتم على صورة معادلة أسية. لعلنا نتذكَّر أن: 𞸀𞸎𞸍=𞸎𞸀=𞸍، حيث 𞸀>٠، 𞸍>٠.

ومن ثَمَّ، بالنسبة إلى المعادلة اللوغاريتمية ٢١(󰏡+٣)=١، يمكن إعادة كتابتها على الصورة: ٢١=󰏡+٣.١

بإيجاد قيمة ١٢ أس ١، ثم الحل لإيجاد قيمة 󰏡، نحصل على الآتي: ٢١=󰏡+٣٢١=󰏡+٣󰏡=٢١٣=٩.١

ومن ثَمَّ، فإن قيمة 󰏡 في المعادلة اللوغاريتمية ٢١(󰏡+٣)=١ تساوي ٩.

في المثال الآتي، سنحل معادلة لوغاريتمية أخرى تحتوي على لوغاريتم واحد بإعادة كتابتها على صورة معادلة أسية، لكن هذه المرة سيكون المجهول في الأساس.

مثال ٢: حل معادلة لوغاريتمية تحتوي على لوغاريتم واحد

ما مجموعة حل المعادلة 𞸎+٢٤٦=٢؟

الحل

بما أن لدينا معادلة لوغاريتمية تحتوي على لوغاريتم واحد؛ حيث يوجد متغيِّر مجهول في الأساس، إذن يمكننا من خلال إعادة كتابتها على صورة معادلة أسية أن نحلَّها بسهولة. لعلنا نتذكَّر أن: 𞸀𞸎𞸍=𞸎𞸀=𞸍، حيث 𞸀>٠، 𞸍>٠.

ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة 𞸎+٢٤٦=٢ بكتابتها على صورة المعادلة الأسية الآتية: (𞸎+٢)=٤٦.٢

يمكننا حل هذه المعادلة بأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفَي المعادلة، وهو ما يُعطينا: 𞸎+٢=±٨.

بما أن الأساس، 𞸎+٢، يجب أن يكون أكبر من صفر، فإن +٨ هو الحل الوحيد الممكن؛ ولذا نستبعد ٨. بالحل لإيجاد 𞸎، نحصل إذن على الآتي: 𞸎+٢=٨𞸎=٨٢=٦.

إذن مجموعة حل المعادلة 𞸎+٢٤٦=٢ هي {٦}.

لقد تناولنا حتى الآن المعادلات اللوغاريتمية التي تحتوي على لوغاريتم واحد. بعد ذلك سنناقش كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية التي تحتوي على لوغاريتمات متعدِّدة لها الأساس نفسه.

هيا نتذكَّر قوانين اللوغاريتمات للأساسات المتشابهة والقيم الخاصة.

قوانين اللوغاريتمات للأساسات المتشابهة والقيم الخاصة

لكل لوغاريتم له الأساس 𞸀؛ حيث 𞸀>٠، يتحقَّق الآتي:

  • 𞸀𞸀=١؛
  • 𞸀١=٠؛
  • قانون الضرب: 𞸀𞸀𞸀𞸎𞸑=𞸎+𞸑، حيث 𞸎>٠، 𞸑>٠.
  • قانون القسمة: 𞸀𞸀𞸀𞸎𞸑=𞸎𞸑، حيث 𞸎>٠، 𞸑>٠.
  • قانون القوة: 𞸀𞸍𞸀𞸎=𞸍𞸎، حيث 𞸎>٠.

عندما تكون الأساسات متشابهة، يمكننا استخدام قوانين اللوغاريتمات لدمج اللوغاريتمات أولًا، ثم حلها من خلال إعادة الترتيب أو جعل المُدخَلات متساوية، حسب المعادلة التي لدينا.

سنشرح كيف نستخدم قوانين اللوغاريتمات للأساسات المتشابهة لحل معادلة لوغاريتمية في المثال الآتي.

مثال ٣: إيجاد مجموعة حلول معادلة لوغاريتمية ذات أساسات متشابهة

أوجد مجموعة حل المعادلة ٨٨٨(𞸎٦)+(𞸎+٦)=٤٦ في 𞹇.

الحل

في المعادلة اللوغاريتمية ٨٨٨(𞸎٦)+(𞸎+٦)=٤٦، بما أن جميع أجزاء المعادلة تحتوي على لوغاريتمات لها الأساس نفسه، وهو ٨، إذن يمكننا تطبيق قوانين اللوغاريتمات للأساسات المتشابهة للتبسيط والحل.

بما أننا نجمع لوغاريتمين في الطرف الأيمن من المعادلة، إذن يمكننا استخدام قانون الضرب للوغاريتمات لتبسيط ذلك. ينص القانون على: 𞸀𞸀𞸀𞸎𞸑=𞸎+𞸑، حيث 𞸀>٠، 𞸎>٠، 𞸑>٠.

بتطبيق هذا على الطرف الأيمن، نحصل على الآتي: ٨٨٨٨٨(𞸎٦)+(𞸎+٦)=٤٦(𞸎٦)(𞸎+٦)=٤٦.

بما أن كلًّا من الطرف الأيمن والطرف الأيسر من المعادلة يحتوي الآن على لوغاريتم واحد له الأساس نفسه، فلا بد أن يتساوى مُدخلاهما، وهو ما يُعطينا: (𞸎٦)(𞸎+٦)=٤٦.

بفك الأقواس وإعادة الترتيب بحيث يساوي الطرف الأيسر صفرًا، نحصل على الآتي: 𞸎٦𞸎+٦𞸎٦٣=٤٦𞸎٠٠١=٠.٢٢

بالتحليل والحل، نحصل على الآتي: 𞸎٠٠١=٠(𞸎٠١)(𞸎+٠١)=٠𞸎=٠١𞸎=٠١.٢أو

وبما أن مُدخَل أي لوغاريتم لا بد أن يكون أكبر من صفر، فإن كلًّا من 𞸎٦، 𞸎+٦ لا بد أن يكون أكبر من صفر. ولذلك فإن ٠١ ليس حلًّا صحيحًا؛ إذن 𞸎 يجب أن يساوي ١٠.

ومن ثَمَّ، فإن مجموعة حل المعادلة ٨٨٨(𞸎٦)+(𞸎+٦)=٤٦ هي {٠١}.

في المثال الآتي، سنتناول كيفية استخدام عدة قوانين للوغاريتمات ذات الأساسات المتشابهة لحل معادلة لوغاريتمية.

مثال ٤: إيجاد مجموعة حل معادلة لوغاريتمية ذات أساسات متشابهة

أوجد مجموعة حل ٤(𞸎+٥)(𞸎٣)=٥٢٦٢٢٤٢ في 𞹇.

الحل

في المعادلة اللوغاريتمية ٤(𞸎+٥)(𞸎٣)=٥٢٦٢٢٤٢، بما أن جميع أجزاء المعادلة تحتوي على لوغاريتمات لها الأساس نفسه، وهو ٢، إذن يمكننا تطبيق قوانين اللوغاريتمات للأساسات المتشابهة للتبسيط والحل.

نظرًا لأن لدينا عددًا مضروبًا في لوغاريتم في الحد الأول، علينا استخدام قانون القوة للوغاريتمات، الذي ينص على الآتي: 𞸀𞸍𞸀𞸎=𞸍𞸎، حيث 𞸀>٠، 𞸎>٠.

إذن ٤(𞸎+٥)=(𞸎+٥)٢٢٤، وهو ما يُعطينا الآتي: ٤(𞸎+٥)(𞸎٣)=٥٢٦(𞸎+٥)(𞸎٣)=٥٢٦.٢٢٤٢٢٤٢٤٢

بعد ذلك، بما أننا نطرح لوغاريتمًا من آخر، وكلٌّ منهما له الأساس نفسه في الطرف الأيمن من المعادلة، يمكننا إذن تبسيط ذلك باستخدام قانون القسمة للوغاريتمات، الذي ينص على الآتي: 𞸀𞸀𞸀𞸎𞸑=𞸎𞸑، حيث 𞸀>٠، 𞸎>٠، 𞸑>٠.

بتطبيق هذا القانون، نحصل على الآتي: ٢٤٢٤٢٢٤٤٢(𞸎+٥)(𞸎٣)=٥٢٦(𞸎+٥)(𞸎٣)=٥٢٦.

الآن، بما أنه في كلٍّ من الطرف الأيمن والطرف الأيسر من المعادلة يوجد لوغاريتم واحد له الأساس نفسه، إذن لا بد أن يتساوى مُدخلاهما، وهو ما يُعطينا: 󰃁𞸎+٥𞸎٣󰃀=٥٢٦.٤

بما أن كلًّا من بسط ومقام الطرف الأيمن مرفوعان للقوة ٤، إذن يمكننا أن نأخذ الجذر الرابع الموجب والسالب، وهو ما يُعطينا الآتي: 𞸎+٥𞸎٣=±󰋴٥٢٦=±٥.٤

نحل بالنسبة إلى +٥، فنحصل على: 𞸎+٥𞸎٣=٥𞸎+٥=٥(𞸎٣)𞸎+٥=٥𞸎٥١٤𞸎=٠٢𞸎=٥.

نحل بالنسبة إلى ٥، فنحصل على: 𞸎+٥𞸎٣=٥𞸎+٥=٥(𞸎٣)𞸎+٥=٥𞸎+٥١٦𞸎=٠١𞸎=٥٣.

إذن مجموعة حل المعادلة ٤(𞸎+٥)(𞸎٣)=٥٢٦٢٢٤٢ هي 󰂚٥٣،٥󰂙.

في المثال الأخير، سنناقش كيف نستخدم قوانين اللوغاريتمات في حل مسألة هندسية.

مثال ٥: استخدام قوانين اللوغاريتمات لحل مسألة هندسية

إذا كان 𞸀𞸁𞸀𞸢، 𞸀𞸃𞸁𞸢، فأوجد قيمة 𞸎. قرِّب إجابتك لأقرب جزء من عشرة.

الحل

نلاحظ من الشكل أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية كبيرًا، 𞸀𞸁𞸢، مُعطى فيه طول كلٍّ من الضلع 𞸀𞸁 والوتر 𞸁𞸢=𞸁𞸃+𞸃𞸢؛ حيث 𞸁𞸃، 𞸃𞸢 مُعطيان، ولدينا أيضًا مثلثًا قائم الزاوية أصغر، 𞸀𞸁𞸃، داخل المثلث الأكبر، مُعطى فيه طول كلٍّ من الضلع 𞸁𞸃 والوتر 𞸀𞸁. بما أن المثلثين قائمان وفيهما زاوية مشتركة، 𞸁، إذن لا بد أن يكونا مثلثين متشابهين. ومن ثَمَّ، فإن نسب أطوال الأضلاع متساوية، وهو ما يُعطينا الآتي: 𞸁𞸢𞸀𞸁=𞸀𞸁𞸁𞸃، وهذا يساوي: [𞸀𞸁]=𞸁𞸢×𞸁𞸃.٢

نلاحظ من الشكل أن: 𞸀𞸁=٨󰋴٣،𞸁𞸃=٤٢٠١=٢=٠١٢،𞸃𞸢=٢٣=٢=٥٢،𞸎𞸎٠١𞸎𞸎𞸎٥𞸎𞸁𞸢=𞸁𞸃+𞸃𞸢=٠١٢+٥٢=٥١٢.𞸎𞸎𞸎

ومن ثَمَّ، بالتعويض في [𞸀𞸁]=𞸁𞸢×𞸁𞸃٢، نحصل على: 󰂔٨󰋴٣󰂓=󰁓٠١٢󰁒󰁓٥١٢󰁒٢٩١=٠٥١󰁓٢󰁒󰁓٢󰁒=٢٩١٠٥١󰁓٢󰁒=٢٣٥٢٢=±󰋺٢٣٥٢٢=±٤󰋴٢٥.٢𞸎𞸎𞸎٢𞸎٢𞸎٢𞸎𞸎

ولأننا نتعامل مع أطوال أضلاع مثلثات، يجب أن يكون 𞸎٢ موجبًا، إذن: 𞸎٢=٤󰋴٢٥.

لإيجاد 𞸎، يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة معادلة أسية بما أن: 𞸀𞸎𞸍=𞸎𞸀=𞸍، حيث 𞸀>٠، 𞸍>٠.

إذن: 𞸎٢=٤󰋴٢٥𞸎=٢.٤󰋴٢٥

لإيجاد قيمة 𞸎، نتذكَّر أنه إذا كان 𞸎=𞸑𞸍، فإن 𞸎=𞸑١𞸍، وهو ما يُعطينا: 𞸎=٢𞸎=٢𞸎=٢𞸎=٨٫١.٤󰋴٢٥٥٤󰋴٢٥󰋴٢٨بءة

ومن ثَمَّ، فإن قيمة 𞸎 تساوي ١٫٨ لأقرب جزء من عشرة.

في هذا الشارح، تناولنا كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام صورها الأسية، واستخدام قوانين اللوغاريتمات مع المعادلات ذات الأساسات المتشابهة. نلخِّص الآن النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • المعادلة اللوغاريتمية عبارة عن معادلة تحتوي على مجهول في جزء اللوغاريتم.
  • إذا كانت المعادلة اللوغاريتمية تتضمَّن مجهولًا في أساسها أو مُدخَلها، وكانت تحتوي على لوغاريتم واحد، فيمكننا إعادة ترتيبها باستخدام صورتها الأسية.
  • إذا كانت المعادلة اللوغاريتمية تحتوي على لوغاريتمات متعدِّدة لها الأساس نفسه، فيمكننا استخدام قوانين اللوغاريتمات لتبسيطها؛ وإما أن نساوي بين المُدخَلات إذا كان هناك لوغاريتم واحد في كلا الطرفين وإما أن نكتبها في صورتها الأسية إذا كان هناك لوغاريتم في طرف واحد فقط.

حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز»

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز» اليوم!

التحميل على الكمبيوتر

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية