في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلُّ المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المتشابهة، باستخدام قوانين الأُسُس واللوغاريتمات.
المعادلة اللوغاريتمية عبارة عن معادلة تحتوي على متغيِّر مجهول في جزء اللوغاريتم؛ عادةً ما يكون المُدخَل. في حالة المعادلات اللوغاريتمية التي تحتوي على لوغاريتم واحد فقط، يمكن إعادة كتابتها على صورة أسية لتسهيل حلها. هيا نتذكَّر تعريف اللوغاريتم لتوضيح كيف نفعل ذلك.
تعريف: اللوغاريتمات
كل معادلة أسية على الصورة ؛ حيث ، يمكن كتابتها على صورة المعادلة اللوغاريتمية: حيث هو أساس اللوغاريتم، هو المُدخَل، هو الأس.
ومن ثَمَّ، فإن .
نلاحظ من التعريف السابق أنه إذا كان هناك متغيِّر مجهول في المُدخَل، ، فيمكننا بإعادة كتابة على الصورة أن نجعل المتغيِّر التابع للمعادلة، وبذلك يمكننا الحل لإيجاد قيمة المتغيِّر المجهول.
في المثال الأول، سنناقش كيفية إيجاد متغيِّر مجهول في المُدخَل من خلال إعادة كتابة اللوغاريتم على صورته الأسية، كما هو مفصَّل في السابق.
مثال ١: حل المعادلات اللوغاريتمية التي تحتوي على لوغاريتم واحد
إذا كان ، فأوجد قيمة .
الحل
بما أن لدينا معادلة لوغاريتمية تحتوي على لوغاريتم واحد، يمكننا إذن إعادة ترتيب اللوغاريتم؛ بحيث يكون المُدخل، ، هو المتغيِّر التابع، وذلك بإعادة كتابة اللوغاريتم على صورة معادلة أسية. لعلنا نتذكَّر أن: حيث ، .
ومن ثَمَّ، بالنسبة إلى المعادلة اللوغاريتمية ، يمكن إعادة كتابتها على الصورة:
بإيجاد قيمة ١٢ أس ١، ثم الحل لإيجاد قيمة ، نحصل على الآتي:
ومن ثَمَّ، فإن قيمة في المعادلة اللوغاريتمية تساوي ٩.
في المثال الآتي، سنحل معادلة لوغاريتمية أخرى تحتوي على لوغاريتم واحد بإعادة كتابتها على صورة معادلة أسية، لكن هذه المرة سيكون المجهول في الأساس.
مثال ٢: حل معادلة لوغاريتمية تحتوي على لوغاريتم واحد
ما مجموعة حل المعادلة ؟
الحل
بما أن لدينا معادلة لوغاريتمية تحتوي على لوغاريتم واحد؛ حيث يوجد متغيِّر مجهول في الأساس، إذن يمكننا من خلال إعادة كتابتها على صورة معادلة أسية أن نحلَّها بسهولة. لعلنا نتذكَّر أن: حيث ، .
ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة بكتابتها على صورة المعادلة الأسية الآتية:
يمكننا حل هذه المعادلة بأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفَي المعادلة، وهو ما يُعطينا:
بما أن الأساس، ، يجب أن يكون أكبر من صفر، فإن هو الحل الوحيد الممكن؛ ولذا نستبعد . بالحل لإيجاد ، نحصل إذن على الآتي:
إذن مجموعة حل المعادلة هي .
لقد تناولنا حتى الآن المعادلات اللوغاريتمية التي تحتوي على لوغاريتم واحد. بعد ذلك سنناقش كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية التي تحتوي على لوغاريتمات متعدِّدة لها الأساس نفسه.
هيا نتذكَّر قوانين اللوغاريتمات للأساسات المتشابهة والقيم الخاصة.
قوانين اللوغاريتمات للأساسات المتشابهة والقيم الخاصة
لكل لوغاريتم له الأساس ؛ حيث ، يتحقَّق الآتي:
- ؛
- ؛
- قانون الضرب: حيث ، .
- قانون القسمة: حيث ، .
- قانون القوة: حيث .
عندما تكون الأساسات متشابهة، يمكننا استخدام قوانين اللوغاريتمات لدمج اللوغاريتمات أولًا، ثم حلها من خلال إعادة الترتيب أو جعل المُدخَلات متساوية، حسب المعادلة التي لدينا.
سنشرح كيف نستخدم قوانين اللوغاريتمات للأساسات المتشابهة لحل معادلة لوغاريتمية في المثال الآتي.
مثال ٣: إيجاد مجموعة حلول معادلة لوغاريتمية ذات أساسات متشابهة
أوجد مجموعة حل المعادلة في .
الحل
في المعادلة اللوغاريتمية ، بما أن جميع أجزاء المعادلة تحتوي على لوغاريتمات لها الأساس نفسه، وهو ٨، إذن يمكننا تطبيق قوانين اللوغاريتمات للأساسات المتشابهة للتبسيط والحل.
بما أننا نجمع لوغاريتمين في الطرف الأيمن من المعادلة، إذن يمكننا استخدام قانون الضرب للوغاريتمات لتبسيط ذلك. ينص القانون على: حيث ، ، .
بتطبيق هذا على الطرف الأيمن، نحصل على الآتي:
بما أن كلًّا من الطرف الأيمن والطرف الأيسر من المعادلة يحتوي الآن على لوغاريتم واحد له الأساس نفسه، فلا بد أن يتساوى مُدخلاهما، وهو ما يُعطينا:
بفك الأقواس وإعادة الترتيب بحيث يساوي الطرف الأيسر صفرًا، نحصل على الآتي:
بالتحليل والحل، نحصل على الآتي:
وبما أن مُدخَل أي لوغاريتم لا بد أن يكون أكبر من صفر، فإن كلًّا من ، لا بد أن يكون أكبر من صفر. ولذلك فإن ليس حلًّا صحيحًا؛ إذن يجب أن يساوي ١٠.
ومن ثَمَّ، فإن مجموعة حل المعادلة هي .
في المثال الآتي، سنتناول كيفية استخدام عدة قوانين للوغاريتمات ذات الأساسات المتشابهة لحل معادلة لوغاريتمية.
مثال ٤: إيجاد مجموعة حل معادلة لوغاريتمية ذات أساسات متشابهة
أوجد مجموعة حل في .
الحل
في المعادلة اللوغاريتمية ، بما أن جميع أجزاء المعادلة تحتوي على لوغاريتمات لها الأساس نفسه، وهو ٢، إذن يمكننا تطبيق قوانين اللوغاريتمات للأساسات المتشابهة للتبسيط والحل.
نظرًا لأن لدينا عددًا مضروبًا في لوغاريتم في الحد الأول، علينا استخدام قانون القوة للوغاريتمات، الذي ينص على الآتي: حيث ، .
إذن ، وهو ما يُعطينا الآتي:
بعد ذلك، بما أننا نطرح لوغاريتمًا من آخر، وكلٌّ منهما له الأساس نفسه في الطرف الأيمن من المعادلة، يمكننا إذن تبسيط ذلك باستخدام قانون القسمة للوغاريتمات، الذي ينص على الآتي: حيث ، ، .
بتطبيق هذا القانون، نحصل على الآتي:
الآن، بما أنه في كلٍّ من الطرف الأيمن والطرف الأيسر من المعادلة يوجد لوغاريتم واحد له الأساس نفسه، إذن لا بد أن يتساوى مُدخلاهما، وهو ما يُعطينا:
بما أن كلًّا من بسط ومقام الطرف الأيمن مرفوعان للقوة ٤، إذن يمكننا أن نأخذ الجذر الرابع الموجب والسالب، وهو ما يُعطينا الآتي:
نحل بالنسبة إلى ، فنحصل على:
نحل بالنسبة إلى ، فنحصل على:
إذن مجموعة حل المعادلة هي .
في المثال الأخير، سنناقش كيف نستخدم قوانين اللوغاريتمات في حل مسألة هندسية.
مثال ٥: استخدام قوانين اللوغاريتمات لحل مسألة هندسية
إذا كان ، ، فأوجد قيمة . قرِّب إجابتك لأقرب جزء من عشرة.
الحل
نلاحظ من الشكل أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية كبيرًا، ، مُعطى فيه طول كلٍّ من الضلع والوتر ؛ حيث ، مُعطيان، ولدينا أيضًا مثلثًا قائم الزاوية أصغر، ، داخل المثلث الأكبر، مُعطى فيه طول كلٍّ من الضلع والوتر . بما أن المثلثين قائمان وفيهما زاوية مشتركة، ، إذن لا بد أن يكونا مثلثين متشابهين. ومن ثَمَّ، فإن نسب أطوال الأضلاع متساوية، وهو ما يُعطينا الآتي: وهذا يساوي:
نلاحظ من الشكل أن:
ومن ثَمَّ، بالتعويض في ، نحصل على:
ولأننا نتعامل مع أطوال أضلاع مثلثات، يجب أن يكون موجبًا، إذن:
لإيجاد ، يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة معادلة أسية بما أن: حيث ، .
إذن:
لإيجاد قيمة ، نتذكَّر أنه إذا كان ، فإن ، وهو ما يُعطينا:
ومن ثَمَّ، فإن قيمة تساوي ١٫٨ لأقرب جزء من عشرة.
في هذا الشارح، تناولنا كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام صورها الأسية، واستخدام قوانين اللوغاريتمات مع المعادلات ذات الأساسات المتشابهة. نلخِّص الآن النقاط الرئيسية.
النقاط الرئيسية
- المعادلة اللوغاريتمية عبارة عن معادلة تحتوي على مجهول في جزء اللوغاريتم.
- إذا كانت المعادلة اللوغاريتمية تتضمَّن مجهولًا في أساسها أو مُدخَلها، وكانت تحتوي على لوغاريتم واحد، فيمكننا إعادة ترتيبها باستخدام صورتها الأسية.
- إذا كانت المعادلة اللوغاريتمية تحتوي على لوغاريتمات متعدِّدة لها الأساس نفسه، فيمكننا استخدام قوانين اللوغاريتمات لتبسيطها؛ وإما أن نساوي بين المُدخَلات إذا كان هناك لوغاريتم واحد في كلا الطرفين وإما أن نكتبها في صورتها الأسية إذا كان هناك لوغاريتم في طرف واحد فقط.