شارح الدرس: نظرية ذات الحدَّيْن الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: تطبيق نظرية ذات الحدين

استخدم نظرية ذات الحدين لإيجاد مفكوك .

الحل

نذكر نظرية ذات الحدين التي تنص على أنه لكل عدد صحيح ، فإن:

بفرض أن ، يصير لدينا:

وباستخدام الآلة الحاسبة، أو مثلث باسكال، يمكننا إيجاد قيمتي التوافيق؛ وإعادة كتابة هذا الجزء على الصورة:

مثال ٢: استخدام نظرية ذات الحدين

أوجد مفكوك .

الحل

قبل أن نطبق نظرية ذات الحدين. سنبحث عن العوامل المشتركة في الحدين لتساعدنا. في هذه الحالة، هناك عامل مشترك وهو اثنان. ومن ثم، قبل أن نتناول مفكوك ذات الحدين، علينا أخذ العدد اثنين كعامل مشترك كما يلي:

يمكننا الآن تطبيق نظرية ذات الحدين على . نذكر أن نظرية ذات الحدين تنص على أنه لكل عدد صحيح ، فإن:

وإذا افترضنا أن ، ، ، يصير لدينا:

يمكننا استخدام مثلث باسكال أو الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة التوافيق . يمكننا الآن إعادة كتابة هذا الجزء على الصورة:

وبما أن: يمكننا استخدام مفكوك لإعادة كتابة هذا المقدار على الصورة:

مثال ٣: إيجاد معامل الحد العام

أوجد معامل الحد الرابع في مفكوك .

الحل

عندما نصادف سؤالًا كهذا، سيكون من المنطقي تمامًا أن نكتب المفكوك بالكامل؛ ومن ثَمَّ نأخذ المعامل من الحد المناسب. مع ذلك، ستسهِّل علينا صيغة الحد العام هذه الحسابات. وهذه هي الطريقة التي سنشرحها هنا. نذكر أن صيغة الحد العام لمفكوك هي:

لكن علينا التذكر أن الحد الأول يبدأ من . إذن، يمكن الحصول على الحد الرابع حيث وليس كما قد نظن حيث . وعليه، يمكننا الحصول على معامله حيث .

مثال ٤: إيجاد معامل الحد العام

أوجد معامل في مفكوك .

الحل

أسهل طريقة لحل هذه المسألة هي التفكير في الحد العام لمفكوك :

سنبدأ بالافتراض أن ، ، وهو ما يعطينا الحد العام:

يمكننا تبسيط ذلك لنحصل على:

وبما أننا نبحث عن معامل الحد ، يمكننا حل:

لإيجاد قيمة ، وهو ما يعطينا . ومن ثم، يُعطى معامل هذا الحد بواسطة:

بإيجاد قيمة هذا الجزء باستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن معامل الحد في مفكوك هو ٢‎ ‎٨٨٠.

مثال ٥: إيجاد قيمة ثابت مجهول

أجب عن الأسئلة الآتية بشأن مفكوك .

1. إذا كان معامل يساوي ٦٠، وكان موجبًا، فأوجد .
2. من ثَمَّ، باستخدام قيمة ، أوجد معامل في المفكوك.

الحل

الجزء الأول

نذكر أن الحد العام لمفكوك هو:

وبفرض أن ، ، ، نجد أن الحد العام لمفكوك يساوي:

ما يعنينا هنا هو إيجاد معامل حيث . وبذلك، نجد أن:

بالتبسيط نحصل على:

وبالتالي، نجد أن:

وبما أننا نعرف أن موجب، يمكننا أخذ الجذر التربيعي الموجب لنحصل على:

الجزء الثاني

يمكننا الآن استخدام قيمة هذه لإيجاد معامل في مفكوك . نحن نعلم أن الحد العام في المفكوك يُعطى بالصيغة:

ونلاحظ هنا أن عندما . ومن ثم، نستنتج أن معامل يُعطى بالصيغة:

بإيجاد قيمة هذا المقدار، نجد أن معامله في مفكوك يساوي .

مثال ٦: إيجاد قوة مجهولة

أجب عن الأسئلة الآتية بشأن مفكوك: .

1. إذا كان معامل يساوي ٣‎ ‎٨٤٠، فأوجد .
2. من ثم، أوجد قيمة معامل .

الحل

الجزء الأول

أسهل طريقة لحل هذه المسألة هي باستخدام صيغة الحد العام لمفكوك ذات الحدين. نذكر أن يُعطى بالصيغة:

وبفرض أن ،، نجد أن الحد العام لمفكوك يساوي:

عندما ، نحصل على تعبير لمعامل الحد الذي به . بالتالي:

باستخدام تعريف ، يمكننا إعادة كتابة هذا الجزء على الصورة:

لحل هذه المعادلة والحصول على ، سنفكر في العوامل الأولية لـ ٣‎ ‎٨٤٠. بالقسمة تباعًا على اثنين، نجد أن . وهذا الشكل ليس ما نريده، لأننا نبحث عن عددين صحيحين متتاليين مضروبين معًا في قوة للعدد اثنين. بنقل إحدى قوى العدد اثنين وضربها في ثلاثة، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: . وبمقارنة هذا بـ ، فسنجد أن هو حل هذه المعادلة.

الجزء الثاني

بعد أن أوجدنا قيمة ، يمكننا إيجاد معامل باستخدام الحد العام: وبافتراض أن . هذا يعطينا المعامل على صورة

بحساب هذه القيمة، نجد أن معامل في مفكوك هو ١٢‎ ‎٢٨٨.

مثال ٧: التعامل مع الأقواس ذات الثلاثة حدود

إذا كان أول ثلاثة حدود في مفكوك هي ١، ، ، فأوجد قيمة كلٍّ من ، .

الحل

في هذا السؤال، معطى لنا مقدار ثلاثي الحدود مطلوب منا فكه. ومن ثم، لا يمكننا ببساطة تطبيق نظرية ذات الحدين. بدلًا من ذلك، سنكتب ؛ وهو ما يعطينا ذا حدين يمكننا فكه باستخدام نظرية ذات الحدين. ما يعنينا هنا فقط هو أول ثلاثة حدود في المقدار المفكوك بالكامل. ومن ثم، سنبدأ باستخدام نظرية ذات الحدين لكتابة الحدود الثلاثة الأولى في مفكوك :

نلاحظ أن كل الحدود بعد هذه الحدود الثلاثة تحتوي على قوى أكبر لـ . هذا يعني أنها لن تكون جزءًا من الحد الثابت وأول قوتين من قوى . بفك الأقواس في الحدين الثاني والثالث، نحصل على:

وبما أن ما يعنينا فقط الحد الثابت ومعاملي و، يمكننا تجاهل الحدود ذات القوى الأكبر لـ وتجميع الحدود المتشابهة كما يلي:

وبالمقارنة بين حدود ، نجد أن . ومن ثم، نستنتج أن . يمكننا الآن التفكير في الحد ، باستخدام القيمة لنحصل على:

ومن ثم، نجد أن:

بطرح ٦٦ من الطرفين، نحصل على:

وبالقسمة على ١٢ بعد ذلك، نجد أن: . ومن ثم، نستنتج أن ، .

مثال ٨: تطبيق نظرية ذات الحدين بالعكس

أوجد جميع قيم الحقيقية الممكنة التي تحقق:

الحل

يعتمد حل مسألة كهذه على قدرتنا على إيجاد مقدار على صورة ذات حدين. أول ما نلاحظه هو أن الحدود المتتالية مكتوبة بترتيب تنازلي لقوى وترتيب تصاعدي لقوى اثنين. لكن علينا الانتباه إلى أن الحدود متناوبة الإشارة. ومن ثَمَّ، سيكون أحد الحدود في مفكوك ذات الحدين سالبًا. في الواقع، قد يكون من المفيد أخذ عاملًا مشتركًا في أحد الحدود. نلاحظ أن الحدود السالبة تناظر القوى الفردية للعدد اثنين؛ ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة المقدار في الطرف الأيمن على الصورة:

نلاحظ كذلك أن المعاملات هي بالضبط معاملات مفكوك ذات الحدين المرفوعة للقوة التاسعة. إذا لم يكن الأمر كذلك، فسنرى ما إذا كان بإمكاننا إيجاد عوامل مشتركة لتحويلها إلى معاملات ذات الحدين. باستخدام ترميز معاملات ذات الحدين، يمكننا إعادة كتابة هذا الجزء على الصورة

ومن ثَمَّ، سيكون بإمكاننا تحليل المقدار في الطرف الأيمن إلى

بأخذ الجذر التاسع، نحصل على

ومن ثم، نستنتج أن

مثال ٩: عكس نظرية ذات الحدين

أوجد معامل في مفكوك .

الحل

يمكننا حل هذه المسألة بفك كل قوس على حدة. لكن سيكون هذا شاقًّا وعرضة للخطأ، بينما إذا نظرنا جيدًا إلى المقدار المعطى، فسنصل إلى الحل الأمثل. المقدار الموجود لدينا هو مفكوك ذات حدين بدلالة ، . ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة المقدار على الصورة:

يمكننا الآن استخدام الحد العام لإيجاد معامل . نذكر أنه في مفكوك ، يُعطى الحد العام بواسطة الصيغة

وبفرض أن ، ، ، ، نحصل على الحد الذي يحتوي على بواسطة

بإيجاد قيمة هذا التعبير العددي، نجد أن معامل يساوي ٧٠‎ ‎٠٠٠.