شارح الدرس: نظرية ذات الحدَّيْن الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نفك أي مقدار ذي حدين في صورة (󰏡+𞸁)𞸍.

عندما نتعلم العمليات الجبرية الأولية، فإننا نتعلم كيف نحلل ونفك ذوات الحدين المرفوعة إلى القوة الثانية. باستخدام الطرق المماثلة، يمكننا نظريًّا فك ذوات الحدين المرفوعة للقوى الكبيرة اعتباطيًّا. لكننا سنجد بعد فترة قصيرة أن الأمر يزداد صعوبة بالنسبة إلى القوى الصغيرة نسبيًّا. لحسن الحظ، نحن لسنا مقيدين بهذه الطريقة، وهناك نظرية مهمة، تعرف باسم نظرية ذات الحدين، تعطينا صورة عامة لفك ذوات الحدين.

نظرية ذات الحدين

لكل عدد صحيح 𞸍: (󰏡+𞸁)=𞹟󰏡+𞹟󰏡𞸁+𞹟󰏡𞸁++𞹟󰏡𞸁++𞹟󰏡𞸁+𞹟𞸁،𞸍𞸍٠𞸍𞸍١𞸍١١𞸍٢𞸍٢٢𞸍𞸓𞸍𞸓𞸓𞸍𞸍١١𞸍١𞸍𞸍𞸍 حيث: 𞸍𞸓𞹟=𞸍𞸍𞸓𞸓.

تُستخدَم الرموز التالية في بعض الأحيان بدلًا من: 𞸍𞸓𞹟: 󰃁𞸍𞸓󰃀، 𞹟𞸍𞸓، 𞹟𞸍،𞸓، 𞹟(𞸍،𞸓).

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نطبق هذه النظرية لفك ذوات الحدين، ونوجد معاملات حدود معينة في مفكوك. سنبدأ بتناول مثالين نطبق فيهما نظرية ذات الحدين لفك ذوات الحدين المرفوعة إلى قوة صحيحة موجبة بالكامل.

مثال ١: تطبيق نظرية ذات الحدين

استخدم نظرية ذات الحدين لإيجاد مفكوك (󰏡+𞸁)٤.

الحل

نذكر نظرية ذات الحدين التي تنص على أنه لكل عدد صحيح 𞸍، فإن: (󰏡+𞸁)=𞹟󰏡+𞹟󰏡𞸁+𞹟󰏡𞸁++𞹟󰏡𞸁++𞹟󰏡𞸁+𞹟𞸁.𞸍𞸍٠𞸍𞸍١𞸍١١𞸍٢𞸍٢٢𞸍𞸓𞸍𞸓𞸓𞸍𞸍١١𞸍١𞸍𞸍𞸍

بفرض أن 𞸍=٤، يصير لدينا: (󰏡+𞸁)=𞹟󰏡+𞹟󰏡𞸁+𞹟󰏡𞸁+𞹟󰏡𞸁+𞹟𞸁.٤٤٠٤٤١٣٤٢٢٢٤٣٣٤٤٤

وباستخدام الآلة الحاسبة، أو مثلث باسكال، يمكننا إيجاد قيمتي التوافيق؛ وإعادة كتابة هذا الجزء على الصورة: (󰏡+𞸁)=󰏡+٤󰏡𞸁+٦󰏡𞸁+٤󰏡𞸁+𞸁.٤٤٣٢٢٣٤

كما نرى، يسهُل تطبيق نظرية ذات الحدين كثيرًا من عملية فك ذوات الحدين. لكن علينا الانتباه جيدًا عندما يكون لدينا ثوابت مضروبة في كل حد، كما هو موضح في المثال التالي.

مثال ٢: استخدام نظرية ذات الحدين

أوجد مفكوك (٤𞸎+٢𞸑)٥.

الحل

قبل أن نطبق نظرية ذات الحدين. سنبحث عن العوامل المشتركة في الحدين لتساعدنا. في هذه الحالة، هناك عامل مشترك وهو اثنان. ومن ثم، قبل أن نتناول مفكوك ذات الحدين، علينا أخذ العدد اثنين كعامل مشترك كما يلي: (٤𞸎+٢𞸑)=٢(٢𞸎+𞸑)=٢٣(٢𞸎+𞸑).٥٥٥٥

يمكننا الآن تطبيق نظرية ذات الحدين على (٢𞸎+𞸑)٥. نذكر أن نظرية ذات الحدين تنص على أنه لكل عدد صحيح 𞸍، فإن: (󰏡+𞸁)=𞹟󰏡+𞹟󰏡𞸁+𞹟󰏡𞸁++𞹟󰏡𞸁++𞹟󰏡𞸁+𞹟𞸁.𞸍𞸍٠𞸍𞸍١𞸍١١𞸍٢𞸍٢٢𞸍𞸓𞸍𞸓𞸓𞸍𞸍١١𞸍١𞸍𞸍𞸍

وإذا افترضنا أن 𞸍=٥ ، 󰏡=٢𞸎، 𞸁=𞸑، يصير لدينا: (٢𞸎+𞸑)=𞹟(٢𞸎)+𞹟(٢𞸎)𞸑+𞹟(٢𞸎)𞸑+𞹟(٢𞸎)𞸑+𞹟(٢𞸎)𞸑+𞹟𞸑.٥٥٠٥٥١٤٥٢٣٢٥٣٢٣٥٤٤٥٥٥

يمكننا استخدام مثلث باسكال أو الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة التوافيق 𞸍𞸓𞹟. يمكننا الآن إعادة كتابة هذا الجزء على الصورة: (٢𞸎+𞸑)=٢𞸎+٥×٢𞸎𞸑+٠١×٢𞸎𞸑+٠١×٢𞸎𞸑+٥×٢𞸎𞸑+𞸑=٢٣𞸎+٠٨𞸎𞸑+٠٨𞸎𞸑+٠٤𞸎𞸑+٠١𞸎𞸑+𞸑.٥٥٥٤٤٣٣٢٢٢٣٤٥٥٤٣٢٢٣٤٥

وبما أن: (٤𞸎+٢𞸑)=٢٣(٢𞸎+𞸑)،٥٥ يمكننا استخدام مفكوك (٢𞸎+𞸑)٥ لإعادة كتابة هذا المقدار على الصورة: (٤𞸎+٢𞸑)=٢٣󰁓٢٣𞸎+٠٨𞸎𞸑+٠٨𞸎𞸑+٠٤𞸎𞸑+٠١𞸎𞸑+𞸑󰁒=٤٢٠١𞸎+٠٦٥٢𞸎𞸑+٩٦٥٢𞸎𞸑+٠٨٢١𞸎𞸑+٠٢٣𞸎𞸑+٢٣𞸑.٥٥٤٣٢٢٣٤٥٥٤٣٢٢٣٤٥

في بعض الأحيان، لا يُتوقع منا أن نحصل على المفكوك بأكمله، وقد يُطلب منا إيجاد أول 𞸊 من الحدود أو حد معين. وعندما يُطلب منا إيجاد حد معين، يكون من المفيد عادةً استخدام صيغة الحد العام.

الحد العام لمفكوك ذات الحدين

في مفكوك (󰏡+𞸁)𞸍، يُعطى الحد العام بواسطة الصيغة: 𞸍𞸓𞸍𞸓𞸓𞹟󰏡𞸁.

يشار إلى الحد العام برمزين مختلفين؛ إما 𞸇𞸓+١ وإما 󰏡𞸓+١. وأهم ما يجب ملاحظته عند الإشارة إلى الحدود حسب الترتيب هو أن الحد الأول هو الحد الذي فيه 𞸓=٠. وبالتالي: 𞸇=󰏡=𞹟󰏡𞸁.𞸓+١𞸓+١𞸍𞸓𞸍𞸓𞸓

في المثال التالي، سنتناول سؤالًا أفضل طريقة لحله هي باستخدام الحد العام.

مثال ٣: إيجاد معامل الحد العام

أوجد معامل الحد الرابع في مفكوك 󰃁𞸎+١𞸎󰃀٤.

الحل

عندما نصادف سؤالًا كهذا، سيكون من المنطقي تمامًا أن نكتب المفكوك بالكامل؛ ومن ثَمَّ نأخذ المعامل من الحد المناسب. مع ذلك، ستسهِّل علينا صيغة الحد العام هذه الحسابات. وهذه هي الطريقة التي سنشرحها هنا. نذكر أن صيغة الحد العام لمفكوك (󰏡+𞸁)𞸍 هي: 𞸍𞸓𞸍𞸓𞸓𞹟󰏡𞸁.

لكن علينا التذكر أن الحد الأول يبدأ من 𞸓=٠. إذن، يمكن الحصول على الحد الرابع حيث 𞸓=٣ وليس كما قد نظن حيث 𞸓=٤. وعليه، يمكننا الحصول على معامله حيث ٤٣𞹟=٤.

مثال ٤: إيجاد معامل الحد العام

أوجد معامل 󰃁𞸎𞸑󰃀٦ في مفكوك 󰃁٢𞸎𞸑+𞸑٢𞸎󰃀٠١.

الحل

أسهل طريقة لحل هذه المسألة هي التفكير في الحد العام لمفكوك (󰏡+𞸁)𞸍: 𞸍𞸓𞸍𞸓𞸓𞹟󰏡𞸁.

سنبدأ بالافتراض أن 𞸍=٠١، 󰏡=٢𞸎𞸑، 𞸁=𞸑٢𞸎 وهو ما يعطينا الحد العام: ٠١𞸓٠١𞸓𞸓٠١𞸓٠١𞸓٠١𞸓٠١𞸓𞸓𞸓𞸓𞹟󰃁٢𞸎𞸑󰃀󰃁𞸑٢𞸎󰃀=𞹟󰃁٢𞸎𞸑󰃀󰃁𞸑٢𞸎󰃀.

يمكننا تبسيط ذلك لنحصل على: ٠١𞸓٠١٢𞸓٠١٢𞸓٠١٢𞸓𞹟٢󰃁𞸎𞸑󰃀.

وبما أننا نبحث عن معامل الحد 󰃁𞸎𞸑󰃀٦، يمكننا حل: 󰃁𞸎𞸑󰃀=󰃁𞸎𞸑󰃀٠١٢𞸓٠١٢𞸓٦

لإيجاد قيمة 𞸓، وهو ما يعطينا 𞸓=٢. ومن ثم، يُعطى معامل هذا الحد بواسطة: ٠١٢٠١٤𞹟×٢.

بإيجاد قيمة هذا الجزء باستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن معامل الحد 󰃁𞸎𞸑󰃀٦ في مفكوك 󰃁٢𞸎𞸑+𞸑٢𞸎󰃀٠١ هو ٢‎ ‎٨٨٠.

وبعد أن عرفنا أساس التعامل مع مفكوك ذات الحدين، يمكننا التركيز الآن على المسائل التي تشمل إيجاد المجاهيل.

مثال ٥: إيجاد قيمة ثابت مجهول

أجب عن الأسئلة الآتية بشأن مفكوك (٢+𞸊𞸎)٦.

  1. إذا كان معامل 𞸎٢ يساوي ٦٠، وكان 𞸊 موجبًا، فأوجد 𞸊.
  2. من ثَمَّ، باستخدام قيمة 𞸊، أوجد معامل 𞸎٥ في المفكوك.

الحل

الجزء الأول

نذكر أن الحد العام لمفكوك (󰏡+𞸁)𞸍 هو: 𞸍𞸓𞸍𞸓𞸓𞹟󰏡𞸁.

وبفرض أن 𞸍=٦، 󰏡=٢، 𞸁=𞸊𞸎، نجد أن الحد العام لمفكوك (٢+𞸊𞸎)٦ يساوي: ٦𞸓٦𞸓𞸓𞹟٢(𞸊𞸎).

ما يعنينا هنا هو إيجاد معامل 𞸎٢ حيث 𞸓=٢. وبذلك، نجد أن: ٠٦=𞹟٢𞸊.٦٢٤٢

بالتبسيط نحصل على: ٠٦=٥١×٦١𞸊.٢

وبالتالي، نجد أن: 𞸊=١٤.٢

وبما أننا نعرف أن 𞸊 موجب، يمكننا أخذ الجذر التربيعي الموجب لنحصل على: 𞸊=١٢.

الجزء الثاني

يمكننا الآن استخدام قيمة 𞸊 هذه لإيجاد معامل 𞸎٥ في مفكوك (٢+𞸊𞸎)٦. نحن نعلم أن الحد العام في المفكوك يُعطى بالصيغة: ٦𞸓٦𞸓𞸓𞸓𞹟٢٢𞸎.

ونلاحظ هنا أن 𞸎=𞸎𞸓٥ عندما 𞸓=٥. ومن ثم، نستنتج أن معامل 𞸎٥ يُعطى بالصيغة: ٦٥٥𞹟٢٢.

بإيجاد قيمة هذا المقدار، نجد أن معامله في مفكوك (٢+𞸊𞸎)٦ يساوي ٣٨.

مثال ٦: إيجاد قوة مجهولة

أجب عن الأسئلة الآتية بشأن مفكوك: (٢+٤𞸎)𞸍.

  1. إذا كان معامل 𞸎٢ يساوي ٣‎ ‎٨٤٠، فأوجد 𞸍.
  2. من ثم، أوجد قيمة معامل 𞸎٥.

الحل

الجزء الأول

أسهل طريقة لحل هذه المسألة هي باستخدام صيغة الحد العام لمفكوك ذات الحدين. نذكر أن (󰏡+𞸁)𞸍 يُعطى بالصيغة: 𞸍𞸓𞸍𞸓𞸓𞹟󰏡𞸁.

وبفرض أن 󰏡=٢ ،𞸁=٤𞸎، نجد أن الحد العام لمفكوك (٢+٤𞸎)𞸍 يساوي: 𞸍𞸓𞸍𞸓𞸓𞸓𞹟٢٤𞸎.

عندما 𞸓=٢، نحصل على تعبير لمعامل الحد الذي به 𞸎٢. بالتالي: ٠٤٨٣=𞹟٢٤.𞸍٢𞸍٢٢

باستخدام تعريف 𞸍٢𞹟، يمكننا إعادة كتابة هذا الجزء على الصورة: ٠٤٨٣=𞸍(𞸍١)٢٢=٢𞸍(𞸍١).𞸍+٢𞸍+١

لحل هذه المعادلة والحصول على 𞸍، سنفكر في العوامل الأولية لـ ٣‎ ‎٨٤٠. بالقسمة تباعًا على اثنين، نجد أن ٠٤٨٣=٢×٣×٥٨. وهذا الشكل ليس ما نريده، لأننا نبحث عن عددين صحيحين متتاليين مضروبين معًا في قوة للعدد اثنين. بنقل إحدى قوى العدد اثنين وضربها في ثلاثة، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: ٠٦٨٣=٢×٦×٥٧. وبمقارنة هذا بـ ٢𞸍(𞸍١)𞸍+١، فسنجد أن 𞸍=٦ هو حل هذه المعادلة.

الجزء الثاني

بعد أن أوجدنا قيمة 𞸍، يمكننا إيجاد معامل 𞸎٥ باستخدام الحد العام: ٦𞸓٦𞸓𞸓𞸓𞹟٢٤𞸎، وبافتراض أن 𞸓=٥. هذا يعطينا المعامل على صورة ٦٥٥𞹟٢×٤.

بحساب هذه القيمة، نجد أن معامل 𞸎٥ في مفكوك (٢+٤𞸎)٦ هو ١٢‎ ‎٢٨٨.

تساعدنا نظرية ذات الحدين على فك قوى ذات الحدين. كذلك، قد تساعدنا أيضًا في فك المقادير الثلاثية الحدود. ولفعل ذلك، نتبع طريقة استخدام الأقواس للتعبير عن المقدار الثلاثي الحدود في صورة ذات حدين يمكن فكها. يوضح المثال التالي هذه الطريقة.

مثال ٧: التعامل مع الأقواس ذات الثلاثة حدود

إذا كان أول ثلاثة حدود في مفكوك 󰁓١+𞸎+𞸊𞸎󰁒٢𞸍 هي ١، ٢١𞸎، ٨١𞸎٢، فأوجد قيمة كلٍّ من 𞸍، 𞸊.

الحل

في هذا السؤال، معطى لنا مقدار ثلاثي الحدود مطلوب منا فكه. ومن ثم، لا يمكننا ببساطة تطبيق نظرية ذات الحدين. بدلًا من ذلك، سنكتب ١+𞸎+𞸊𞸎=١+󰁓𞸎+𞸊𞸎󰁒٢٢؛ وهو ما يعطينا ذا حدين يمكننا فكه باستخدام نظرية ذات الحدين. ما يعنينا هنا فقط هو أول ثلاثة حدود في المقدار المفكوك بالكامل. ومن ثم، سنبدأ باستخدام نظرية ذات الحدين لكتابة الحدود الثلاثة الأولى في مفكوك 󰁓١+󰁓𞸎+𞸊𞸎󰁒󰁒٢𞸍: ١+𞸍󰁓𞸎+𞸊𞸎󰁒+𞸍(𞸍١)٢󰁓𞸎+𞸊𞸎󰁒.٢٢٢

نلاحظ أن كل الحدود بعد هذه الحدود الثلاثة تحتوي على قوى أكبر لـ 𞸎. هذا يعني أنها لن تكون جزءًا من الحد الثابت وأول قوتين من قوى 𞸎. بفك الأقواس في الحدين الثاني والثالث، نحصل على: ١+𞸍𞸎+𞸍𞸊𞸎+𞸍(𞸍١)٢󰁓𞸎+٢𞸊𞸎+𞸊𞸎󰁒.٢٢٣٢٤

وبما أن ما يعنينا فقط الحد الثابت ومعاملي 𞸎 و𞸎٢، يمكننا تجاهل الحدود ذات القوى الأكبر لـ 𞸎 وتجميع الحدود المتشابهة كما يلي: ١+𞸍𞸎+𞸍󰂔𞸊+𞸍١٢󰂓𞸎.٢

وبالمقارنة بين حدود 𞸎، نجد أن 𞸍𞸎=٢١𞸎. ومن ثم، نستنتج أن 𞸍=٢١. يمكننا الآن التفكير في الحد 𞸎٢، باستخدام القيمة 𞸍=٢١ لنحصل على: ٨١𞸎=٢١󰂔𞸊+١١٢󰂓𞸎.٢٢

ومن ثم، نجد أن: ٨١=٢١𞸊+٦٦.

بطرح ٦٦ من الطرفين، نحصل على: ٢١𞸊=٨٤.

وبالقسمة على ١٢ بعد ذلك، نجد أن: 𞸊=٤. ومن ثم، نستنتج أن 𞸍=٢١، 𞸊=٤.

وأخيرًا، سنتناول سؤالين سنطبق فيهما نظرية ذات الحدين بالعكس.

مثال ٨: تطبيق نظرية ذات الحدين بالعكس

أوجد جميع قيم 𞸎 الحقيقية الممكنة التي تحقق: 󰂔١٢𞸎󰂓٩×٢󰂔١٢𞸎󰂓+٦٣×٢󰂔١٢𞸎󰂓٤٨×٢󰂔١٢𞸎󰂓+٢=٢١٥.٩٨٢٧٣٦٩

الحل

يعتمد حل مسألة كهذه على قدرتنا على إيجاد مقدار على صورة ذات حدين. أول ما نلاحظه هو أن الحدود المتتالية مكتوبة بترتيب تنازلي لقوى ١٢𞸎 وترتيب تصاعدي لقوى اثنين. لكن علينا الانتباه إلى أن الحدود متناوبة الإشارة. ومن ثَمَّ، سيكون أحد الحدود في مفكوك ذات الحدين سالبًا. في الواقع، قد يكون من المفيد أخذ ١ عاملًا مشتركًا في أحد الحدود. نلاحظ أن الحدود السالبة تناظر القوى الفردية للعدد اثنين؛ ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة المقدار في الطرف الأيمن على الصورة: 󰂔١٢𞸎󰂓+٩×(٢)󰂔١٢𞸎󰂓+٦٣×(٢)󰂔١٢𞸎󰂓+٤٨×(٢)󰂔١٢𞸎󰂓++(٢)=٢١٥.٩٨٢٧٣٦٩

نلاحظ كذلك أن المعاملات هي بالضبط معاملات مفكوك ذات الحدين المرفوعة للقوة التاسعة. إذا لم يكن الأمر كذلك، فسنرى ما إذا كان بإمكاننا إيجاد عوامل مشتركة لتحويلها إلى معاملات ذات الحدين. باستخدام ترميز معاملات ذات الحدين، يمكننا إعادة كتابة هذا الجزء على الصورة ٩٠٩٩١٨٩٢٢٧٩٣٣٦٩٩٩𞹟󰂔١٢𞸎󰂓+𞹟×(٢)󰂔١٢𞸎󰂓+𞹟×(٢)󰂔١٢𞸎󰂓+𞹟×(٢)󰂔١٢𞸎󰂓++𞹟(٢)=٢١٥.

ومن ثَمَّ، سيكون بإمكاننا تحليل المقدار في الطرف الأيمن إلى 󰂔١٢𞸎٢󰂓=٢١٥.٩

بأخذ الجذر التاسع، نحصل على ١٢𞸎٢=٢.

ومن ثم، نستنتج أن 𞸎=٨.

مثال ٩: عكس نظرية ذات الحدين

أوجد معامل 𞸎٤ في مفكوك 󰁖(٢+𞸎)+٧(٢+𞸎)(٣+𞸎)+١٢(٢+𞸎)(٣+𞸎)++(٣+𞸎)󰁕٧٦٥٢٧.

الحل

يمكننا حل هذه المسألة بفك كل قوس على حدة. لكن سيكون هذا شاقًّا وعرضة للخطأ، بينما إذا نظرنا جيدًا إلى المقدار المعطى، فسنصل إلى الحل الأمثل. المقدار الموجود لدينا هو مفكوك ذات حدين بدلالة (٢+𞸎)، (٣+𞸎). ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة المقدار على الصورة: 󰁖(٢+𞸎)+٧(٢+𞸎)(٣+𞸎)+١٢(٢+𞸎)(٣+𞸎)++(٣+𞸎)󰁕=((٢+𞸎)+(٣+𞸎))=(٥+٢𞸎).٧٦٥٢٧٧٧

يمكننا الآن استخدام الحد العام لإيجاد معامل 𞸎٤. نذكر أنه في مفكوك (󰏡+𞸁)𞸍، يُعطى الحد العام بواسطة الصيغة 𞸍𞸓𞸍𞸓𞸓𞹟󰏡𞸁.

وبفرض أن 󰏡=٥، 𞸁=٢𞸎، 𞸍=٧، 𞸓=٤، نحصل على الحد الذي يحتوي على 𞸎٤ بواسطة ٧٤٣٤٧٤٣٤٤𞹟٥(٢𞸎)=𞹟٥٢𞸎.

بإيجاد قيمة هذا التعبير العددي، نجد أن معامل 𞸎٤ يساوي ٧٠‎ ‎٠٠٠.

النقاط الرئيسية

  • تنص نظرية ذات الحدين على أنه لكل عدد صحيح 𞸍، (󰏡+𞸁)=𞹟󰏡+𞹟󰏡𞸁+𞹟󰏡𞸁++𞹟󰏡𞸁++𞹟󰏡𞸁+𞹟𞸁،𞸍𞸍٠𞸍𞸍١𞸍١١𞸍٢𞸍٢٢𞸍𞸓𞸍𞸓𞸓𞸍𞸍١١𞸍١𞸍𞸍𞸍 حيث 𞸍𞸓𞹟=𞸍𞸍𞸓𞸓.
  • باستخدام نظرية ذات حدين، يمكننا فك ذوات الحدين المرفوعة إلى قوة كبيرة.
  • في مفكوك (󰏡+𞸁)𞸍، يُعطى الحد العام بالصيغة 𞸍𞸓𞸍𞸓𞸓𞹟󰏡𞸁. يشار إلى الحد العام برمزين مختلفين هما 𞸇𞸓+١ أو 󰏡𞸓+١.
  • قد تساعدنا المعرفة السابقة لمفكوك ذوات الحدين على معرفة المقادير المكتوبة على صورة مفكوك ذوات حدين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.