شارح الدرس: التكامل بالتعويض: التكامل غير المحدَّد الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم التكامل بالتعويض للتكاملات غير المحدَّدة.

التكامل بالتعويض، ويُعرَف أيضًا بـ «التعويض باستخدام 𞸏» أو «تغيير المتغيِّرات»، هو طريقة لإيجاد التكاملات المجهولة عن طريق التعويض عن متغيِّر بمتغيِّر آخر، وتغيير الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل إلى دالة معروف تكاملها أو يمكن تكاملها بسهولة باستخدام طرق أخرى. وبعد إجراء التكامل، نرجع عادةً إلى المتغيِّر الأصلي عن طريق عكس خطوة التعويض لإيجاد الناتج النهائي بدلالة هذا المتغيِّر.

القدرة على إجراء التكامل بالتعويض مهارة تتطوَّر مع التدريب والممارسة. لهذا السبب، من الأفضل أن نتناول العديد من الأمثلة ونتدرَّب على أكبر قدر ممكن منها. في بعض الأحيان، قد يبدو استخدام التعويض منطقيًّا، لكنه لا يَنتج عنه تكامل يسهل إيجاد قيمته، ويجب أن نكون مستعدين لتجربة تغيير آخر للمتغيِّر.

يجب أن نكون قادرين على كتابة الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل بطريقة معيَّنة؛ وذلك لأن التكامل بالتعويض يُطبَّق عادةً على التكامل عندما يكون على الصورة الخاصة: 󰏅󰎨(𞸓(𞸎))𞸓(𞸎)𞸃𞸎.

يمكننا استخدام قاعدة السلسلة والنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لاستنتاج قاعدة تعويض للتكاملات من هذا النوع. نتذكَّر الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل: إذا كانت 󰎨(𞸎) دالة متصلة قيمها حقيقية على فترة ما، 𞹒(𞸎)=󰎨(𞸎) (أي إن 𞹒 هي المشتقة العكسية لـ 󰎨)، فإننا نحصل على التكامل غير المحدَّد: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=𞹒(𞸎)+𞸖، حيث يُعرَف 𞸖 بثابت التكامل. نتذكَّر أيضًا قاعدة السلسلة لمشتقات الدوال المركَّبة: إذا كانت 󰎨، 𞸓 دالتين قابلتين للاشتقاق، فإن قاعدة السلسلة تُعبِّر عن مشتقة دالتهما المركَّبة 󰎨(𞸓(𞸎)) على الصورة: 𞸃𞸃𞸎(󰎨(𞸓(𞸎)))=󰎨(𞸓(𞸎))𞸓(𞸎).

نفترض الآن أن 𞹒(𞸏) هي المشتقة العكسية لـ 󰎨(𞸏)، وأن 𞸏=𞸓(𞸎) دالة قابلة للاشتقاق. يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة للحصول على: 𞸃𞸃𞸎(𞹒(𞸏))=𞸃𞸃𞸎(𞹒(𞸓(𞸎)))=𞹒(𞸓(𞸎))𞸓(𞸎)=󰎨(𞸓(𞸎))𞸓(𞸎).

من ثَمَّ، من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، نستنتج أن: 󰏅󰎨(𞸓(𞸎))𞸓(𞸎)𞸃𞸎=𞹒(𞸏)+𞸖=󰏅󰎨(𞸏)𞸃𞸏.

وهذا يقودنا إلى قاعدة التعويض التالية، التي تشبه قاعدة السلسلة للاشتقاق، ولكن بالعكس.

تعريف: قاعدة التعويض

إذا كانت 𞸏=𞸓(𞸎) دالة قابلة للاشتقاق مداها فترة 𞸐𞹇، وكانت 󰎨(𞸎) دالة متصلة على الفترة 𞸐، فإن: 󰏅󰎨(𞸓(𞸎))𞸓(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸏)𞸃𞸏، حيث 𞸃𞸏=𞸓(𞸎)𞸃𞸎.

مفتاح إيجاد التعويض الصحيح، 𞸏=𞸓(𞸎)، هو إيجاد جزء من الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل، وتكون مشتقته موجودة أيضًا في هذه الدالة. نختار هذا الجزء عادةً من الجزء «المعقَّد» في الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل، والتي نريد تبسيطها، ويمكننا كتابة هذا الجزء على صورة الدالة المركَّبة 󰎨(𞸓(𞸎)) لدالة ما 󰎨(𞸎) متصلة على مجموعة جزئية من مدى 𞸓(𞸎).

عند تطبيق قاعدة التعويض هذه على التكاملات غير المحدَّدة، فإننا نعوِّض بـ 𞸏=𞸓(𞸎)، ونكامل بالنسبة إلى المتغيِّر 𞸏، ثم نعكس التعويض في المشتقة العكسية الناتجة للتعبير عن الناتج النهائي بدلالة المتغيِّر 𞸎.

يمكننا أيضًا إعادة صياغة المعاملات التفاضلية للمشتقات بالتعامل معها باعتبارها كسورًا، وهي طريقة رياضية مختصرة مفيدة، لكنها قد لا تكون دقيقة رياضيًّا. يمكننا أن نفعل ذلك بسبب قاعدة السلسلة: 𞸃𞸏=󰃁𞸃𞸏𞸃𞸎󰃀𞸃𞸎 أو: 𞸃𞸎=󰃁𞸃𞸎𞸃𞸏󰃀𞸃𞸏.

لكن، لأغراض موضوع هذا الشارح والتبسيط، يمكننا التعامل مع المشتقة باعتبارها كسرًا؛ لأن ذلك يكون مناسبًا مع المسائل التي تتضمَّن التكامل بالتعويض.

أفضل وسيلة لفهم هذه الطريقة هي رؤيتها عمليًّا. انظر إلى التكامل غير المحدَّد: 󰏅(𞸎+١)𞸃𞸎.٥

لإيجاد قيمة هذا التكامل، يمكننا فك الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل واستخدام قاعدة القوة للتكامل، لكننا سنستخدم هنا قاعدة التعويض. نلاحظ أن جزءًا من الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل يحتوي على دالة مركَّبة: 󰎨(𞸓(𞸎))=(𞸎+١)،٥ حيث 󰎨(𞸎)=𞸎٥، 𞸓(𞸎)=𞸎+١. وبما أن 󰎨(𞸎) كثيرة حدود، إذن فهي متصلة على مدى 𞸓(𞸎)، ويمكننا استخدام التعويض: 𞸏=𞸓(𞸎)=𞸎+١.

بإيجاد المشتقة، فإننا نحصل على: 𞸃𞸏𞸃𞸎=١ وبإعادة صياغة المعامل التفاضلي، نحصل على: 𞸃𞸎=𞸃𞸏.

ومن ثَمَّ، يمكن كتابة التكامل على الصورة: 󰏅(𞸎+١)𞸃𞸎=󰏅𞸏𞸃𞸏=١٦𞸏+𞸖.٥٥٦

يمكننا الآن التعويض بـ 𞸏=𞸎+١ لإجراء تعويض بصورة عكسية للحصول على الناتج النهائي بدلالة 𞸎. وأخيرًا، يصبح لدينا: 󰏅(𞸎+١)𞸃𞸎=١٦(𞸎+١)+𞸖.٥٦

من الممكن أن يصبح التكامل الذي يبدو صعبًا في البداية، سهلًا للغاية في بعض الأحيان عند استخدام التعويض المناسب. هيا ننظر إلى التكامل التالي الذي يبدو أكثر تعقيدًا: 󰏅𞸎󰁓𞸎+٢󰁒𞸃𞸎.٢٣٨

بالنسبة إلى هذا التكامل، يمكننا فك التعبير 󰁓𞸎+٢󰁒٣٨ باستخدام نظرية ذات الحدين، ثم ضرب الناتج في 𞸎٢، وإجراء التكامل باستخدام قاعدة القوة للتكامل. لكن، قد يكون هذا مملًّا وعرضةً للأخطاء. لذا، فمن الأفضل إيجاد التكامل بالتعويض.

لكن قبل أن نتحدَّث عن التعويض، علينا ملاحظة ما يحدث عند اشتقاق 󰁓𞸎+٢󰁒٣٩ باستخدام قاعدة السلسلة (أو قاعدة القوة العامة): 𞸃𞸃𞸎󰁓󰁓𞸎+٢󰁒󰁒=٩󰁓٣𞸎󰁒󰁓𞸎+٢󰁒=٧٢𞸎󰁓𞸎+٢󰁒.٣٩٢٣٨٢٣٨

وهذا يساوي الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل مضروبةً في عامل ثابت. على وجه التحديد، يمكننا القسمة على ٢٧ للحصول على: 𞸃𞸃𞸎󰂔١٧٢󰁓𞸎+٢󰁒󰂓=𞸎󰁓𞸎+٢󰁒.٣٩٢٣٨

يمكننا إيجاد تكامل طرفَي التعبير باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل للحصول على: 󰏅𞸎󰁓𞸎+٢󰁒𞸃𞸎=١٧٢󰁓𞸎+٢󰁒+𞸖.٢٣٨٣٩

تُسمَّى هذه الطريقة بالتعرُّف، لكن التكامل بالتعويض يفعل ذلك تلقائيًّا دون الحاجة إلى إيجاد المشتقة والمقارنة بين الحدود. نلاحِظ أن جزءًا من الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل يحتوي على دالة مركَّبة: 󰎨(𞸓(𞸎))=󰁓𞸎+٢󰁒،٣٨ حيث 󰎨(𞸎)=𞸎٨، 𞸓(𞸎)=𞸎+٢٣. وبما أن 󰎨(𞸎) كثيرة حدود، إذن فهي متصلة على مدى 𞸓(𞸎)، ويمكننا استخدام التعويض: 𞸏=𞸓(𞸎)=𞸎+٢.٣

بأخذ مشتقة ذلك بالنسبة إلى 𞸎، فإننا نحصل على: 𞸃𞸏𞸃𞸎=٣𞸎٢ وبإعادة صياغة التفاضل، نحصل على: 𞸃𞸎=𞸃𞸏٣𞸎.٢

يمكننا الآن إعادة كتابة التكامل بدلالة المتغيِّر 𞸏 باستخدام قاعدة التعويض، ثم تكامل الناتج باستخدام قاعدة القوة للتكامل: 󰏅𞸎󰁓𞸎+٢󰁒𞸃𞸎=󰏅𞸏𞸎󰃁𞸃𞸏٣𞸎󰃀=١٣󰏅𞸏𞸃𞸏=١٣󰂔١٩𞸏󰂓+𞸖=١٧٢𞸏+𞸖.٢٣٨٨٢٢٨٩٩

وأخيرًا، نعوِّض بـ 𞸏=𞸎+٢٣ للحصول على الناتج النهائي بدلالة 𞸎: 󰏅𞸎󰁓𞸎+٢󰁒𞸃𞸎=١٧٢󰁓𞸎+٢󰁒+𞸖،٢٣٨٣٩ وهو الناتج نفسه الذي نحصل عليه باستخدام طريقة التعرُّف.

في معظم الأحيان، عندما نقوم بالتعويض، علينا فقط التعويض عن أحد أجزاء الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل؛ لأن الجزء الآخر، الذي يتضمَّن 𞸎، سيُحذف بواسطة التعبير 𞸃𞸎. لكن إذا لم يحدث هذا، فقد يكون علينا التعويض عن أي 𞸎 بجعله المتغيِّر التابع في التعويض. لنرى ذلك عمليًّا، انظر إلى التكامل: 󰏅𞸎󰁓𞸎+١󰁒𞸃𞸎.٣٢٥

نلاحظ أن جزءًا من الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل يتضمَّن دالة مركَّبة: 󰎨(𞸓(𞸎))=󰁓𞸎+١󰁒،٢٥ حيث 󰎨(𞸎)=𞸎٥، 𞸓(𞸎)=𞸎+١٢. وبما أن 󰎨(𞸎) كثيرة حدود، إذن فهي متصلة على مدى 𞸓(𞸎)، ويمكننا استخدام التعويض: 𞸏=𞸓(𞸎)=𞸎+١.٢

بإيجاد المشتقة، نحصل على: 𞸃𞸏𞸃𞸎=٢𞸎 وبإعادة صياغة المعامل التفاضلي، نحصل على: 𞸃𞸎=𞸃𞸏٢𞸎.

يمكننا الآن إعادة كتابة التكامل بدلالة المتغيِّر 𞸏 باستخدام قاعدة التعويض: 󰏅𞸎󰁓𞸎+١󰁒𞸃𞸎=󰏅𞸎𞸏󰃁𞸃𞸏٢𞸎󰃀=١٢󰏅𞸎𞸏𞸃𞸏.٣٢٥٣٥٢٥

نلاحِظ أنه ما زال لدينا 𞸎٢ في الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل وأنه لم يُحذف؛ لذا، علينا التعويض عنه بدلالة 𞸏؛ بأن نجعل 𞸎٢ المتغيِّر التابع في التعويض: 𞸎=𞸏١.٢

من ثَمَّ، يمكننا التعويض عن كل ما لدينا بدلالة 𞸏، وتكامل الناتج باستخدام قاعدة القوة للتكامل: 󰏅𞸎󰁓𞸎+١󰁒𞸃𞸎=١٢󰏅𞸎𞸏𞸃𞸏=١٢󰏅(𞸏١)𞸏𞸃𞸏=١٢󰏅󰁓𞸏𞸏󰁒𞸃𞸏=١٤١𞸏١٢١𞸏+𞸖.٣٢٥٢٥٥٦٥٧٦

وأخيرًا، يمكننا إجراء التعويض بصورة عكسية 𞸏=𞸎+١٢ لإعادة كتابة الناتج بدلالة 𞸎: 󰏅𞸎󰁓𞸎+١󰁒𞸃𞸎=١٤١󰁓𞸎+١󰁒١٢١󰁓𞸎+١󰁒+𞸖.٣٢٥٢٧٢٦

هيا نلقِ نظرة الآن على بعض الأمثلة التدريبية لنعمِّق فهمنا. يتناول أول مثالين إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة تتضمَّن كثيرات حدود في المتغيِّر 𞸎.

مثال ١: إيجاد تكامل الدالة باستخدام التكامل بالتعويض

أوجد 󰏅𞸎󰁓𞸎+٩󰁒𞸃𞸎٥٦٧.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة كثيرة الحدود باستخدام التكامل بالتعويض.

نلاحِظ أولًا أن جزءًا من الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل يتضمَّن دالة مركَّبة: 󰎨(𞸓(𞸎))=󰁓𞸎+٩󰁒،٦٧ حيث 󰎨(𞸎)=𞸎٧، 𞸓(𞸎)=𞸎+٩٦. وبما أن 󰎨(𞸎) كثيرة حدود، إذن فهي متصلة على مدى 𞸓(𞸎)، ويمكننا استخدام التعويض: 𞸏=𞸓(𞸎)=𞸎+٩.٦

مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى 𞸎 هي: 𞸃𞸏𞸃𞸎=٦𞸎،٥ وبإعادة صياغة المعامل التفاضلي، نحصل على: 𞸃𞸎=𞸃𞸏٦𞸎.٥

بعد ذلك، نُطبِّق هذا التعويض على التكامل لتغيير المتغيِّر من 𞸎 إلى 𞸏، ثم نُوجِد تكامل المقدار الناتج باستخدام قاعدة القوة للتكامل: 󰏅𞸎󰁓𞸎+٩󰁒𞸃𞸎=󰏅𞸎𞸏󰃁𞸃𞸏٦𞸎󰃀=١٦󰏅𞸏𞸃𞸏=١٦󰃁𞸏٨󰃀+𞸖=١٨٤𞸏+𞸖.٥٦٧٥٧٥٧٨٨

وأخيرًا، نُطبِّق التعويض بصورة عكسية 𞸏=𞸎+٩٦ لنحصل على الناتج النهائي بدلالة 𞸎: 󰏅𞸎󰁓𞸎+٩󰁒𞸃𞸎=١٨٤󰁓𞸎+٩󰁒+𞸖.٥٦٧٦٨

مثال ٢: إيجاد تكامل الدالة باستخدام التكامل بالتعويض

أوجد 󰏅٨𞸎(٨𞸎+٩)𞸃𞸎٢ باستخدام طريقة التعويض.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة كثيرة الحدود باستخدام التكامل بالتعويض.

نلاحِظ أولًا أن جزءًا من الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل يتضمَّن دالة مركَّبة: 󰎨(𞸓(𞸎))=(٨𞸎+٩)،٢ حيث 󰎨(𞸎)=𞸎٢، 𞸓(𞸎)=٨𞸎+٩. وبما أن 󰎨(𞸎) كثيرة حدود، إذن فهي متصلة على مدى 𞸓(𞸎)، ويمكننا استخدام التعويض: 𞸏=𞸓(𞸎)=٨𞸎+٩.

مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى 𞸎 هي: 𞸃𞸏𞸃𞸎=٨ وبإعادة صياغة المعامل التفاضلي، نحصل على: 𞸃𞸎=𞸃𞸏٨.

بعد ذلك، نُطبِّق هذا التعويض على التكامل لتغيير المتغيِّر من 𞸎 إلى 𞸏: 󰏅٨𞸎(٨𞸎+٩)𞸃𞸎=󰏅٨𞸎𞸏󰂔𞸃𞸏٨󰂓=󰏅𞸎𞸏𞸃𞸏.٢٢٢

نلاحِظ أنه ما زال لدينا 𞸎 في الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل، وأنه لم يُحذف؛ لذا، علينا التعويض عن 𞸎 بدلالة 𞸏؛ بأن نجعل 𞸎 المتغيِّر التابع في التعويض: 𞸎=١٨(𞸏٩).

يمكننا استخدام هذا الناتج لحذف أي 𞸎 يظهر في الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل؛ ومن ثَمَّ، نُوجِد تكامل المقدار الناتج باستخدام قاعدة القوة للتكامل: 󰏅٨𞸎(٨𞸎+٩)𞸃𞸎=󰏅𞸎𞸏𞸃𞸏=󰏅󰂔١٨(𞸏٩)󰂓𞸏𞸃𞸏=١٨󰏅󰁓𞸏٩𞸏󰁒𞸃𞸏=١٨󰃁𞸏٤٩𞸏٣󰃀+𞸖=١٢٣𞸏٣٨𞸏+𞸖.٢٢٢٣٢٤٣٤٣

وأخيرًا، نُطبِّق التعويض بصورة عكسية 𞸏=٨𞸎+٩ لنحصل على الناتج النهائي بدلالة 𞸎: 󰏅٨𞸎(٨𞸎+٩)𞸃𞸎=١٢٣(٨𞸎+٩)٣٨(٨𞸎+٩)+𞸖.٢٤٣

يتضمَّن المثال التالي إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة جذرية.

مثال ٣: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن دالة جذرية باستخدام التكامل بالتعويض

أوجد 󰏅٨٤٦𞸎󰋴٦١٢𞸎𞸃𞸎٥.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة تتضمَّن جذرًا باستخدام التكامل بالتعويض.

نلاحِظ أولًا أن جزءًا من الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل يتضمَّن دالة مركَّبة: 󰎨(𞸓(𞸎))=١󰋴٦١٢𞸎،٥ حيث 󰎨(𞸎)=١󰋴𞸎٥، 𞸓(𞸎)=٦١٢𞸎. وبما أن 󰎨(𞸎) دالة متصلة على مجموعة جزئية من مدى 𞸓(𞸎) (باستثناء 𞸎=٠ بالنسبة إلى 󰎨)، إذن يمكننا استخدام التعويض: 𞸏=𞸓(𞸎)=٦١٢𞸎.

مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى 𞸎 هي: 𞸃𞸏𞸃𞸎=٢ وبإعادة صياغة العامل التفاضلي، نحصل على: 𞸃𞸎=𞸃𞸏٢.

بعد ذلك، نُطبِّق هذا التعويض على التكامل لتغيير المتغيِّر من 𞸎 إلى 𞸏، علمًا بأن ٣𞸏=٨٤٦𞸎 يظهر في الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل. في الخطوة التالية، نُوجِد تكامل المقدار الناتج باستخدام قاعدة القوة للتكامل: 󰏅٨٤٦𞸎󰋴٦١٢𞸎𞸃𞸎=󰏅٣𞸏󰋴𞸏󰂔𞸃𞸏٢󰂓=٣٢󰏅𞸏𞸃𞸏=٣٢󰃭٥𞸏٩󰃬+𞸖=٥٦𞸏+𞸖.٥٥٤٥٩٥٩٥

وأخيرًا، نُطبِّق التعويض بصورة عكسية 𞸏=٦١٢𞸎 لنحصل على الناتج النهائي بدلالة 𞸎: 󰏅٨٤٦𞸎󰋴٦١٢𞸎𞸃𞸎=٥٦(٦١٢𞸎)+𞸖.٥٩٥

يتضمَّن المثال التالي إيجاد التكامل غير المحدَّد للدوال المثلثية.

مثال ٤: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن دوالَّ مثلثية باستخدام التكامل بالتعويض

أوجد 󰏅󰁓󰁓٤٢𞸎+٠٣٦𞸎󰁒󰁓٦𞸎٥٦𞸎󰁒󰁒𞸃𞸎٣٤٥.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة مثلثية باستخدام التكامل بالتعويض.

نلاحِظ أولًا أن جزءًا من الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل يتضمَّن دالة مركَّبة: 󰎨(𞸓(𞸎))=󰁓٦𞸎٥٦𞸎󰁒،٤٥ حيث 󰎨(𞸎)=𞸎٥، 𞸓(𞸎)=٦𞸎٥٦𞸎٤. وبما أن 󰎨(𞸎) كثيرة حدود، إذن فهي متصلة على مدى 𞸓(𞸎)، ويمكننا استخدام التعويض: 𞸏=𞸓(𞸎)=٦𞸎٥٦𞸎.٤

مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى 𞸎 هي: 𞸃𞸏𞸃𞸎=٤٢𞸎+٠٣٦𞸎٣ وبإعادة صياغة العامل التفاضلي، نحصل على: 𞸃𞸎=𞸃𞸏(٤٢𞸎+٠٣٦𞸎).٣

نُطبِّق الآن هذا التعويض على التكامل لتغيير المتغيِّر من 𞸎 إلى 𞸏، ونُوجِد تكامل المقدار الناتج باستخدام قاعدة القوة للتكامل: 󰏅󰁓󰁓٤٢𞸎+٠٣٦𞸎󰁒󰁓٦𞸎٥٦𞸎󰁒󰁒𞸃𞸎=󰏅󰁓٤٢𞸎+٠٣٦𞸎󰁒𞸏󰃁𞸃𞸏(٤٢𞸎+٠٣٦𞸎)󰃀=󰏅𞸏𞸃𞸏=١٦𞸏+𞸖.٣٤٥٣٥٣٥٦

وأخيرًا، نُطبِّق التعويض بصورة عكسية 𞸏=٦𞸎٥٦𞸎٤ لنحصل على الناتج النهائي بدلالة 𞸎: 󰏅󰁓󰁓٤٢𞸎+٠٣٦𞸎󰁒󰁓٦𞸎٥٦𞸎󰁒󰁒𞸃𞸎=١٦󰁓٦𞸎٥٦𞸎󰁒+𞸖.٣٤٥٤٦

يتضمَّن المثال التالي إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة لوغاريتمية.

مثال ٥: إيجاد التكامل لدالة تتضمَّن دالة لوغاريتمية باستخدام التكامل بالتعويض

أوجد 󰏅١١٦𞸎󰋷𞸎𞸃𞸎٣𞸤.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة تتضمَّن لوغاريتمات باستخدام التكامل بالتعويض.

نلاحِظ أولًا أن جزءًا من الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل يتضمَّن دالة مركَّبة: 󰎨(𞸓(𞸎))=󰋷𞸎،٣𞸤 حيث 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎٣، 𞸓(𞸎)=𞸎𞸤. وبما أن 󰎨(𞸎) دالة متصلة على مدى 𞸓(𞸎)، إذن يمكننا استخدام التعويض: 𞸏=𞸓(𞸎)=𞸎.𞸤

مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى 𞸎 هي: 𞸃𞸏𞸃𞸎=١𞸎 وبإعادة صياغة المعامل التفاضلي، نحصل على: 𞸃𞸎=𞸎𞸃𞸏.

نُطبِّق الآن هذا التعويض على التكامل لتغيير المتغيِّر من 𞸎 إلى 𞸏، ونُوجِد تكامل المقدار الناتج باستخدام قاعدة القوة للتكامل: 󰏅١١٦𞸎󰋷𞸎𞸃𞸎=󰏅١١٦𞸎𞸏(𞸎𞸃𞸏)=١١٦󰏅𞸏𞸃𞸏=١١٦󰃭٣𞸏٤󰃬+𞸖=١١٨𞸏+𞸖.٣١٣١٣٤٣٤٣𞸤

وأخيرًا، نُطبِّق التعويض بصورة عكسية 𞸏=𞸎𞸤 لنحصل على الناتج النهائي بدلالة 𞸎: 󰏅١١٦𞸎󰋷𞸎𞸃𞸎=١١٨󰁓𞸎󰁒+𞸖.٣٤٣𞸤𞸤

يتضمَّن المثال التالي إيجاد التكامل غير المحدَّد لمقلوب الدوال المثلثية.

مثال ٦: تكامل مقلوبات دوال مثلثية

أوجد 󰏅٤٧󰂔٧𞸎٥+١󰂓𞸃𞸎٢.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التكامل غير المحدَّد لمقلوب دالة مثلثية باستخدام التكامل بالتعويض.

نلاحِظ أولًا أن جزءًا من الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل يتضمَّن دالة مركَّبة: 󰎨(𞸓(𞸎))=󰂔٧𞸎٥+١󰂓،٢ حيث 󰎨(𞸎)=𞸎٢، 𞸓(𞸎)=٧𞸎٥+١. وبما أن 󰎨(𞸎) دالة متصلة على مجموعة جزئية من مدى 𞸓(𞸎)، إذن يمكننا استخدام التعويض: 𞸏=𞸓(𞸎)=٧𞸎٥+١.

مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى 𞸎 هي: 𞸃𞸏𞸃𞸎=٧٥ وبإعادة صياغة المعامل التفاضلي، نحصل على: 𞸃𞸎=٥٧𞸃𞸏.

نُطبِّق الآن هذا التعويض على التكامل لتغيير المتغيِّر من 𞸎 إلى 𞸏، ونُوجِد تكامل المقدار الناتج باستخدام قاعدة القوة للتكامل: 󰏅٤٧󰂔٧𞸎٥+١󰂓𞸃𞸎=󰏅٤٧𞸏󰂔٥٧𞸃𞸏󰂓=٠٢٩٤󰏅𞸏𞸃𞸏=٠٢٩٤𞸏+𞸖.٢٢٢

وأخيرًا، نُطبِّق التعويض بصورة عكسية 𞸏=٧𞸎٥+١ لنحصل على الناتج النهائي بدلالة 𞸎: 󰏅٤٧󰂔٧𞸎٥+١󰂓𞸃𞸎=٠٢٩٤󰂔٧𞸎٥+١󰂓+𞸖.٢

يتناول المثال الأخير كيفية إيجاد التكامل غير المحدَّد الذي يتضمَّن الدوال الأسية والدوال المثلثية.

مثال ٧: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن دوالَّ مثلثية وأسية باستخدام التكامل بالتعويض

أوجد 󰏅(٧٩٩𞸎)𞸤𞸃𞸎(٧𞸎+٩𞸎).

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة سيُجرَى عليها التكامل تتضمَّن دالة أسية ودالة مثلثية باستخدام التكامل بالتعويض.

نلاحِظ أولًا أن جزءًا من الدالة التي سيُجرى عليها التكامل يتضمَّن دالة مركَّبة: 󰎨(𞸓(𞸎))=𞸤،(٧𞸎+٩𞸎) حيث 󰎨(𞸎)=𞸤𞸎، 𞸓(𞸎)=٧𞸎+٩𞸎. وبما أن 󰎨(𞸎) دالة أسية، إذن فهي متصلة على مدى 𞸓(𞸎)، ويمكننا استخدام التعويض: 𞸏=𞸓(𞸎)=٧𞸎+٩𞸎.

مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى 𞸎 هي: 𞸃𞸏𞸃𞸎=٧٩٩𞸎 وبإعادة صياغة العامل التفاضلي، نحصل على: 𞸃𞸎=𞸃𞸏(٧٩٩𞸎).

نُطبِّق الآن هذا التعويض على التكامل لتغيير المتغيِّر من 𞸎 إلى 𞸏، ونُوجِد تكامل المقدار الناتج باستخدام قاعدة القوة للتكامل: 󰏅(٧٩٩𞸎)𞸤𞸃𞸎=󰏅(٧٩٩𞸎)𞸤󰃁𞸃𞸏(٧٩٩𞸎)󰃀=󰏅𞸤𞸃𞸏=𞸤+𞸖.(٧𞸎+٩𞸎)𞸏𞸏𞸏

وأخيرًا، نُطبِّق التعويض بصورة عكسية 𞸏=٧𞸎+٩𞸎 لنحصل على الناتج النهائي بدلالة 𞸎: 󰏅(٧٩٩𞸎)𞸤𞸃𞸎=𞸤+𞸖.(٧𞸎+٩𞸎)(٧𞸎+٩𞸎)

النقاط الرئيسية

  • يمكن استخدام التكامل بالتعويض لإيجاد التكامل غير المحدَّد للدوال المعقَّدة التي تتضمَّن جذورًا، ودوالَّ مثلثية، ودوالَّ لوغاريتمية، وغير ذلك الكثير.
  • قاعدة التعويض التي نستخدمها تشبه قاعدة السلسلة للاشتقاق، ولكن بصورة عكسية: 󰏅󰎨(𞸓(𞸎))𞸓(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸏)𞸃𞸏.
  • لاختيار تعويض مناسب، باستخدام 𞸏، نبحث عن عامل للدالة التي سيُجرَى عليها التكامل، وتكون مشتقته موجودة أيضًا في هذه الدالة، أو نبحث الدالة الداخلية من الجزء «المعقَّد» من الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل.
    على وجه التحديد، إذا كان جزء الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل يتضمَّن مشتقة 𞸓(𞸎) أو دالة مركَّبة على الصورة 󰎨(𞸓(𞸎)) أو هما معًا، فإننا نستخدم التعويض 𞸏=𞸓(𞸎).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.