شارح الدرس: التكامل بالتعويض: التكامل غير المحدَّد الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم التكامل بالتعويض للتكاملات غير المحدَّدة.

التكامل بالتعويض، ويُعرَف أيضًا بـ «التعويض باستخدام » أو «تغيير المتغيِّرات»، هو طريقة لإيجاد التكاملات المجهولة عن طريق التعويض عن متغيِّر بمتغيِّر آخر، وتغيير الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل إلى دالة معروف تكاملها أو يمكن تكاملها بسهولة باستخدام طرق أخرى. وبعد إجراء التكامل، نرجع عادةً إلى المتغيِّر الأصلي عن طريق عكس خطوة التعويض لإيجاد الناتج النهائي بدلالة هذا المتغيِّر.

القدرة على إجراء التكامل بالتعويض مهارة تتطوَّر مع التدريب والممارسة. لهذا السبب، من الأفضل أن نتناول العديد من الأمثلة ونتدرَّب على أكبر قدر ممكن منها. في بعض الأحيان، قد يبدو استخدام التعويض منطقيًّا، لكنه لا يَنتج عنه تكامل يسهل إيجاد قيمته، ويجب أن نكون مستعدين لتجربة تغيير آخر للمتغيِّر.

يجب أن نكون قادرين على كتابة الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل بطريقة معيَّنة؛ وذلك لأن التكامل بالتعويض يُطبَّق عادةً على التكامل عندما يكون على الصورة الخاصة:

يمكننا استخدام قاعدة السلسلة والنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لاستنتاج قاعدة تعويض للتكاملات من هذا النوع. نتذكَّر الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل: إذا كانت دالة متصلة قيمها حقيقية على فترة ما، (أي إن هي المشتقة العكسية لـ )، فإننا نحصل على التكامل غير المحدَّد: حيث يُعرَف بثابت التكامل. نتذكَّر أيضًا قاعدة السلسلة لمشتقات الدوال المركَّبة: إذا كانت ، دالتين قابلتين للاشتقاق، فإن قاعدة السلسلة تُعبِّر عن مشتقة دالتهما المركَّبة على الصورة:

نفترض الآن أن هي المشتقة العكسية لـ ، وأن دالة قابلة للاشتقاق. يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة للحصول على:

من ثَمَّ، من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، نستنتج أن:

وهذا يقودنا إلى قاعدة التعويض التالية، التي تشبه قاعدة السلسلة للاشتقاق، ولكن بالعكس.

مفتاح إيجاد التعويض الصحيح، ، هو إيجاد جزء من الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل، وتكون مشتقته موجودة أيضًا في هذه الدالة. نختار هذا الجزء عادةً من الجزء «المعقَّد» في الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل، والتي نريد تبسيطها، ويمكننا كتابة هذا الجزء على صورة الدالة المركَّبة لدالة ما متصلة على مجموعة جزئية من مدى .

عند تطبيق قاعدة التعويض هذه على التكاملات غير المحدَّدة، فإننا نعوِّض بـ ، ونكامل بالنسبة إلى المتغيِّر ، ثم نعكس التعويض في المشتقة العكسية الناتجة للتعبير عن الناتج النهائي بدلالة المتغيِّر .

يمكننا أيضًا إعادة صياغة المعاملات التفاضلية للمشتقات بالتعامل معها باعتبارها كسورًا، وهي طريقة رياضية مختصرة مفيدة، لكنها قد لا تكون دقيقة رياضيًّا. يمكننا أن نفعل ذلك بسبب قاعدة السلسلة: أو:

لكن، لأغراض موضوع هذا الشارح والتبسيط، يمكننا التعامل مع المشتقة باعتبارها كسرًا؛ لأن ذلك يكون مناسبًا مع المسائل التي تتضمَّن التكامل بالتعويض.

أفضل وسيلة لفهم هذه الطريقة هي رؤيتها عمليًّا. انظر إلى التكامل غير المحدَّد:

لإيجاد قيمة هذا التكامل، يمكننا فك الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل واستخدام قاعدة القوة للتكامل، لكننا سنستخدم هنا قاعدة التعويض. نلاحظ أن جزءًا من الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل يحتوي على دالة مركَّبة: حيث ، . وبما أن كثيرة حدود، إذن فهي متصلة على مدى ، ويمكننا استخدام التعويض:

بإيجاد المشتقة، فإننا نحصل على: وبإعادة صياغة المعامل التفاضلي، نحصل على:

ومن ثَمَّ، يمكن كتابة التكامل على الصورة:

يمكننا الآن التعويض بـ لإجراء تعويض بصورة عكسية للحصول على الناتج النهائي بدلالة . وأخيرًا، يصبح لدينا:

من الممكن أن يصبح التكامل الذي يبدو صعبًا في البداية، سهلًا للغاية في بعض الأحيان عند استخدام التعويض المناسب. هيا ننظر إلى التكامل التالي الذي يبدو أكثر تعقيدًا:

بالنسبة إلى هذا التكامل، يمكننا فك التعبير باستخدام نظرية ذات الحدين، ثم ضرب الناتج في ، وإجراء التكامل باستخدام قاعدة القوة للتكامل. لكن، قد يكون هذا مملًّا وعرضةً للأخطاء. لذا، فمن الأفضل إيجاد التكامل بالتعويض.

لكن قبل أن نتحدَّث عن التعويض، علينا ملاحظة ما يحدث عند اشتقاق باستخدام قاعدة السلسلة (أو قاعدة القوة العامة):

وهذا يساوي الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل مضروبةً في عامل ثابت. على وجه التحديد، يمكننا القسمة على ٢٧ للحصول على:

يمكننا إيجاد تكامل طرفَي التعبير باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل للحصول على:

تُسمَّى هذه الطريقة بالتعرُّف، لكن التكامل بالتعويض يفعل ذلك تلقائيًّا دون الحاجة إلى إيجاد المشتقة والمقارنة بين الحدود. نلاحِظ أن جزءًا من الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل يحتوي على دالة مركَّبة: حيث ، . وبما أن كثيرة حدود، إذن فهي متصلة على مدى ، ويمكننا استخدام التعويض:

بأخذ مشتقة ذلك بالنسبة إلى ، فإننا نحصل على: وبإعادة صياغة التفاضل، نحصل على:

يمكننا الآن إعادة كتابة التكامل بدلالة المتغيِّر باستخدام قاعدة التعويض، ثم تكامل الناتج باستخدام قاعدة القوة للتكامل:

وأخيرًا، نعوِّض بـ للحصول على الناتج النهائي بدلالة : وهو الناتج نفسه الذي نحصل عليه باستخدام طريقة التعرُّف.

في معظم الأحيان، عندما نقوم بالتعويض، علينا فقط التعويض عن أحد أجزاء الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل؛ لأن الجزء الآخر، الذي يتضمَّن ، سيُحذف بواسطة التعبير . لكن إذا لم يحدث هذا، فقد يكون علينا التعويض عن أي بجعله المتغيِّر التابع في التعويض. لنرى ذلك عمليًّا، انظر إلى التكامل:

نلاحظ أن جزءًا من الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل يتضمَّن دالة مركَّبة: حيث ، . وبما أن كثيرة حدود، إذن فهي متصلة على مدى ، ويمكننا استخدام التعويض:

بإيجاد المشتقة، نحصل على: وبإعادة صياغة المعامل التفاضلي، نحصل على:

يمكننا الآن إعادة كتابة التكامل بدلالة المتغيِّر باستخدام قاعدة التعويض:

نلاحِظ أنه ما زال لدينا في الدالة التي سيُجرَى عليها التكامل وأنه لم يُحذف؛ لذا، علينا التعويض عنه بدلالة ؛ بأن نجعل المتغيِّر التابع في التعويض:

من ثَمَّ، يمكننا التعويض عن كل ما لدينا بدلالة ، وتكامل الناتج باستخدام قاعدة القوة للتكامل:

وأخيرًا، يمكننا إجراء التعويض بصورة عكسية لإعادة كتابة الناتج بدلالة :

هيا نلقِ نظرة الآن على بعض الأمثلة التدريبية لنعمِّق فهمنا. يتناول أول مثالين إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة تتضمَّن كثيرات حدود في المتغيِّر .

يتضمَّن المثال التالي إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة جذرية.

يتضمَّن المثال التالي إيجاد التكامل غير المحدَّد للدوال المثلثية.

يتضمَّن المثال التالي إيجاد التكامل غير المحدَّد لدالة لوغاريتمية.

يتضمَّن المثال التالي إيجاد التكامل غير المحدَّد لمقلوب الدوال المثلثية.

يتناول المثال الأخير كيفية إيجاد التكامل غير المحدَّد الذي يتضمَّن الدوال الأسية والدوال المثلثية.