شارح الدرس: نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم نظرية فيثاغورس لحل المسائل في ثلاثة أبعاد.

نتذكَّر أن نظرية فيثاغورس تَصِف العلاقة بين أطوال الأضلاع الثلاثة في المثلث القائم الزاوية، ويجب أن نكون بالفعل على دراية بتطبيق هذه النتيجة على المسائل في بُعدَيْن.

نظرية: نظرية فيثاغورس في بُعدَيْن

في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعَي طولَي الضلعين الأقصرين. في المثلث الآتي: 󰏡+𞸁=𞸢.٢٢٢

يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس على مسائل في ثلاثة أبعاد بعدة طرق. تتمثَّل إحدى هذه الطرق في استخدام المثلثات القائمة الزاوية الموجودة ضمن أوجه الجسم الثلاثي الأبعاد، أو أخذ «شرائح» ثنائية الأبعاد من داخله. لتحديد هذه المثلثات، علينا أن نكون على دراية بأجزاء بعض الأجسام الثلاثية الأبعاد الشائعة وخواصها؛ مثل الأهرام والمخاريط.

نسترجع أول نوعَيْن خاصَّيْن من الأهرام. أولًا: الهرم القائم هرم يقع رأسه أو قمته رأسيًّا فوق مركزه، أو مركز قاعدته في حال كانت قاعدته مثلثة. ثانيًا: الهرم المنتظم هرم قائم قاعدته عبارة عن مضلع منتظم.

مصطلحات رئيسية: أجزاء الهرم

ننظر إلى الهرم الرباعي المنتظم الموضَّح في الشكل الآتي. نسترجع المصطلحات المستخدَمة لوصف أطوال الهرم وأجزائه. الارتفاع العمودي للهرم هو البُعد العمودي بين قمة أو رأس الهرم وقاعدته، وهو عمودي على أي خط مستقيم يقطعه في قاعدة الهرم. الارتفاع الجانبي للهرم هو البُعد العمودي من أحد أضلاع القاعدة إلى قمة أو رأس الهرم. نلاحظ أن الارتفاع الجانبي يكون متماثلًا في الأوجه الجانبية الأربعة.

مصطلحات رئيسية: أجزاء المخروط

في الشكل الآتي، نسترجع المصطلحات المستخدَمة لوصف أطوال المخروط وأجزائه. نلاحظ أن الأطوال الرئيسية في المخروط تمثِّل راسم المخروط، والارتفاع العمودي، ونصف قطر قاعدة المخروط. تكوِّن هذه الأطوال الثلاثة مثلثًا قائم الزاوية.

خلال هذا الشارح، نرى أمثلة على كيفية تطبيق نظرية فيثاغورس على مثلث قائم الزاوية داخل كلٍّ من الأهرام والمخاريط لحساب الأطوال المجهولة. لكن في المثال الأول، نتناول كيفية إيجاد مساحة شكل يتضمَّن قطرًا داخل مكعب، بمعلومية طول حرف المكعب.

مثال ١: إيجاد مساحة شكل يتضمَّن قطرًا في مكعب بمعلومية أبعاده

إذا كان 󰏡𞸁𞸢𞸃𞸤𞸅𞸆𞸇 مكعبًا طول حرفه ٦󰋴٢ سم، 𞸎 منتصف 󰏡𞸁، فأوجد مساحة المستطيل 𞸃𞸎𞸑𞸤.

الحل

لعلنا نتذكَّر أولًا أنه يمكن إيجاد مساحة المستطيل باستخدام الصيغة: االاض=×. في المستطيل 𞸃𞸎𞸑𞸤، تساوي المساحة 𞸃𞸎×𞸎𞸑.

طول 𞸎𞸑 يساوي ٦󰋴٢ سم؛ لأنه يوازي حرف المكعب وله الطول نفسه. لإيجاد طول 𞸃𞸎، ننظر إلى قاعدة المكعب التي على شكل مربع. بما أن النقطة 𞸎 هي منتصف 󰏡𞸁، إذن فهي تقسم 󰏡𞸁 إلى جزأين متساويين، كل جزء منهما طوله ٦󰋴٢٢=٣󰋴٢. وبما أن جميع الزوايا الداخلية للمربع قياسها ٠٩، إذن المثلث الذي يتكوَّن من 󰏡𞸎، 󰏡𞸃، 𞸃𞸎 مثلث قائم الزاوية في 󰏡.

وتر هذا المثلث هو 𞸃𞸎، ووفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن: 𞸃𞸎=󰏡𞸎+󰏡𞸃.٢٢٢

بالتعويض بالقيمة ٣󰋴٢ عن 󰏡𞸎، وبالقيمة ٦󰋴٢ عن 󰏡𞸃، نحصل على: 𞸃𞸎=󰂔٣󰋴٢󰂓+󰂔٦󰋴٢󰂓.٢٢٢

نحل هذه المعادلة بإيجاد قيمة كل مربع أولًا، ثم بالتبسيط: 𞸃𞸎=٨١+٢٧=٠٩.٢

بأخذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة، نحصل على: 𞸃𞸎=󰋴٠٩=٣󰋴٠١.

إذن مساحة المستطيل 𞸃𞸎𞸑𞸤 تساوي: 𞸃𞸎×𞸎𞸑=٣󰋴٠١×٦󰋴٢=٨١󰋴٠٢=٨١󰋴٤×٥=٦٣󰋴٥.٢

نتناول الآن مثالَيْن يتعلَّقان بالأهرام. في المثال الأول، نحسب ارتفاع هرم قاعدته على شكل مثلث متساوي الأضلاع، بمعلومية طول ضلع المثلث وطول الحرف الجانبي للهرم.

مثال ٢: إيجاد ارتفاع الهرم باستخدام نظرية فيثاغورس

𞸌󰏡𞸁𞸢 هرم منتظم، تمثِّل قاعدته 󰏡𞸁𞸢 مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه ٣٢ سم. إذا كان طول الحرف الجانبي للهرم ٨٨ سم، فأوجد ارتفاعه لأقرب جزء من مائة.

الحل

نبدأ برسم الهرم، كما هو موضَّح في الآتي (ليس بالأبعاد الحقيقية).

المطلوب منا هو حساب ارتفاع الهرم. هذه هي المسافة الرأسية من رأسه 𞸌 إلى مركز قاعدة الهرم، الذي نُسمِّيه 𞸎. نرسم هذا الارتفاع على الشكل، ونرسم أيضًا الخط الواصل بين أحد رءوس القاعدة والنقطة 𞸎.

󰏡𞸌 حرف جانبي لهذا الهرم، وطوله مُعطى في السؤال. 󰏡𞸎 قطعة مستقيمة في قاعدة الهرم، 𞸌𞸎 الارتفاع الرأسي للهرم، وهو عمودي على 󰏡𞸎. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا مثلث قائم الزاوية يتكوَّن من 󰏡𞸌، 󰏡𞸎، 𞸌𞸎. وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن: 󰏡𞸎+𞸌𞸎=󰏡𞸌.٢٢٢

طول 󰏡𞸌 مُعطى في السؤال. من أجل حساب طول 𞸌𞸎، علينا أولًا حساب طول 󰏡𞸎.

ننظر الآن إلى قاعدة الهرم التي على شكل مثلث متساوي الأضلاع. النقطة 𞸎 مركز هذا المثلث، وهي النقطة التي تتقاطع عندها متوسِّطات المثلث الثلاثة. النقطة 𞸑 هي منتصف الضلع 𞸁𞸢.

وبما أن المثلث 󰏡𞸁𞸢 متساوي الأضلاع، إذن متوسطاته الثلاثة كلها متساوية في الطول. كما نعلم أن مركز المثلث يقسم كل متوسط بنسبة ٢١ من الرأس. ومن ثَمَّ، 󰏡𞸎=𞸁𞸎=𞸢𞸎، 󰏡𞸎=٢٣󰏡𞸑.

والآن، ننظر إلى المثلث 󰏡𞸁𞸑. هذا مثلث قائم الزاوية عند 𞸑؛ حيث المتوسط 󰏡𞸑 يقسم المثلث المتساوي الأضلاع 󰏡𞸁𞸢 إلى مثلثين قائمين متطابقين. طول 𞸁𞸑 يساوي نصف طول 𞸁𞸢؛ لذلك، فإنه يساوي ١٦ سم. إذن يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس لحساب طول 󰏡𞸑، وهو ما يمكِّننا من حساب طول 󰏡𞸎.

بتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث 󰏡𞸁𞸑، نحصل على: 󰏡𞸑+𞸁𞸑=󰏡𞸁.٢٢٢

بالتعويض بقيمتَي 𞸁𞸑=٦١، 󰏡𞸁=٢٣، نحصل على: 󰏡𞸑+٦١=٢٣󰏡𞸑=٢٣٦١=٨٦٧.٢٢٢٢٢٢

نُوجِد قيمة 󰏡𞸑 بأخذ الجذر التربيعي على النحو الآتي: 󰏡𞸑=󰋴٨٦٧=٦١󰋴٣.

يمكننا بعد ذلك حساب طول 󰏡𞸎 بتذكُّر أن 󰏡𞸎=٢٣󰏡𞸑: 󰏡𞸎=٢٣×٦١󰋴٣=٢٣󰋴٣٣.

وأخيرًا، نعود إلى تطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث 󰏡𞸎𞸌: 󰏡𞸎+𞸌𞸎=󰏡𞸌.٢٢٢

بالتعويض بقيمتَي 󰏡𞸎=٢٣󰋴٣٣، 󰏡𞸌=٨٨، نحصل على: 󰃭٢٣󰋴٣٣󰃬+𞸌𞸎=٨٨.٢٢٢

بطرح 󰃭٢٣󰋴٣٣󰃬٢ من طرفَي المعادلة وحساب القيم المربعة، نحصل على: 𞸌𞸎=٨٨󰃭٢٣󰋴٣٣󰃬=٨٠٢٢٢٣.٢٢٢

نُوجِد قيمة 𞸌𞸎 بأخذ الجذر التربيعي: 𞸌𞸎=󰋺٨٠٢٢٢٣=٨٣٠٫٦٨٤٠٫٦٨.

ارتفاع الهرم، لأقرب جزء من مائة، هو ٨٦٫٠٤ سم.

نتناول الآن مسألة لدينا فيها شبكة هرم، ومطلوب منا حساب ارتفاعه الرأسي وارتفاعه الجانبي. علينا تفسير الشبكة جيدًا؛ لفهم أبعاد الهرم المُعطاة.

مثال ٣: إيجاد الارتفاع الرأسي والارتفاع الجانبي لهرم رباعي بمعلومية أبعاد شبكته

لدينا شبكة هرم رباعي بالأبعاد الموضَّحة.

  1. أوجد ارتفاع الهرم لأقرب جزء من مائة.
  2. أوجد الارتفاع الجانبي للهرم لأقرب جزء من مائة.

الحل

الجزء الأول

نبدأ برسم الهرم في ثلاثة أبعاد. من الشبكة، نجد أن طول ضلع القاعدة التي على شكل مربع هو ٥ سم. المستقيمان اللذان طولهما ٤ سم يمثِّلان الضلعين الآخرين لأوجه الهرم التي على شكل مثلث، وبذلك نستنتج أن طول الحرف الجانبي للهرم يساوي ٤ سم.

النقطة 𞸎 في الرسم هي النقطة التي يلتقي عندها الخط الرأسي المرسوم من قمة الهرم (𞸤) بقاعدة الهرم التي على شكل مربع. تقع هذه النقطة في مركز القاعدة. الارتفاع الرأسي للهرم هو 𞸎𞸤، وهو عمودي على أي مستقيم في قاعدة الهرم يمر بالنقطة 𞸎. وعلى وجه التحديد، يكون عموديًّا على القطع المستقيمة التي تصل النقطة 𞸎 بكل رأس من رءوس الهرم. إذن المثلث الذي يتكوَّن من الارتفاع الرأسي 𞸎𞸤، والحرف الجانبي 󰏡𞸤، والقطعة المستقيمة 󰏡𞸎، هو مثلث قائم الزاوية في 𞸎، كما هو موضَّح في الآتي.

وهكذا، وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن: 𞸎𞸤+󰏡𞸎=󰏡𞸤.٢٢٢

طول 󰏡𞸤 مُعطى، لكن من الضروري حساب طول 󰏡𞸎 قبل أن نتمكَّن من حساب طول 𞸎𞸤. انظر إلى قاعدة الهرم التي على شكل مربع، وتذكَّر أن النقطة 𞸎 تقع في مركز هذا المربع. نتذكَّر أيضًا أن مركز المربع هو نقطة تقاطع القطرين، وينصِّف كلٌّ منهما الآخر.

طول 󰏡𞸎 يساوي نصف طول القطر 󰏡𞸢. يقسم هذا القطر القاعدة التي على شكل مربع إلى مثلثين قائمين متطابقين. وهكذا، وفقًا لنظرية فيثاغورس في المثلث 󰏡𞸁𞸢، فإن: 󰏡𞸢=󰏡𞸁+𞸁𞸢.٢٢٢

بالتعويض بالقيمة ٥ عن كلٍّ من 󰏡𞸁، 𞸁𞸢، نحصل على: 󰏡𞸢=٥+٥=٥٢+٥٢=٠٥.٢٢٢

نُوجِد قيمة 󰏡𞸢 بأخذ الجذر التربيعي: 󰏡𞸢=󰋴٠٥=٥󰋴٢.

طول 󰏡𞸎 يساوي نصف هذه القيمة: 󰏡𞸎=١٢󰏡𞸢=٥󰋴٢٢.

بالعودة إلى النص السابق لنظرية فيثاغورس في المثلث 󰏡𞸎𞸤، نعوِّض بالقيمة ٥󰋴٢٢ عن 󰏡𞸎، وبالقيمة ٤ عن 󰏡𞸤، لنحصل على المعادلة الآتية: 󰃭٥󰋴٢٢󰃬+𞸎𞸤=٤.٢٢٢

يمكن حل هذه المعادلة بحساب القيم المربعة أولًا، ثم عزل 𞸎𞸤٢ في طرف وحده: ٥٢٢+𞸎𞸤=٦١𞸎𞸤=٧٢.٢٢

وأخيرًا، نُوجِد قيمة 𞸎𞸤 بإيجاد الجذر التربيعي لطرفَي هذه المعادلة: 𞸎𞸤=󰋺٧٢=٠٧٨٫١٧٨٫١.

الارتفاع الرأسي للهرم، لأقرب جزء من مائة، هو ١٫٨٧ سم.

الجزء الثاني

نرسم الآن الارتفاع الجانبي للهرم على أحد أوجهه. نُحدِّد النقطة 𞸑 لتمثِّل منتصف الضلع 𞸁𞸢.

يكوِّن الارتفاع الجانبي مثلثًا قائم الزاوية يضم الارتفاع العمودي للهرم والقطعة المستقيمة التي تصل بين النقطتين 𞸎، 𞸑، وهي القطعة المستقيمة التي تصل مركز القاعدة بمنتصف أحد أضلاع القاعدة. وهكذا، وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن: 𞸑𞸤=𞸎𞸑+𞸎𞸤.٢٢٢

في الجزء الأول من السؤال، حدَّدنا قيمة 𞸎𞸤٢ بأنها تساوي ٧٢. والقطعة المستقيمة 𞸎𞸑 توازي الضلع 󰏡𞸁 في قاعدة الهرم، وبما أن النقطة 𞸎 هي مركز القاعدة، إذن 𞸎𞸑=١٢󰏡𞸁. ومن ثَمَّ، طول 𞸎𞸑 يساوي ٥٢ سم. بالتعويض بهاتين القيمتين في نص نظرية فيثاغورس في المثلث 𞸎𞸑𞸤، نحصل على: 𞸑𞸤=󰂔٥٢󰂓+٧٢.٢٢

بإيجاد القيمة وبالتبسيط، نحصل على: 𞸑𞸤=٥٢٤+٧٢=٩٣٤.٢

لإيجاد قيمة 𞸑𞸤، نُوجِد الجذر التربيعي لطرفَي هذه المعادلة: 𞸑𞸤=󰋺٩٣٤=٢٢١٫٣٢١٫٣.

الارتفاع الجانبي للهرم، لأقرب جزء من مائة، هو ٣٫١٢ سم.

نتناول الآن مسائل تتعلَّق بالمخاريط. في المثال التالي، نحسب محيط مخروط دائري قائم ومساحة قاعدته بإيجاد نصف قطره أولًا. تذكَّر أنه في أي مخروط، يمكن وصف العلاقة بين نصف قطر القاعدة، والارتفاع العمودي، وراسم المخروط، باستخدام نظرية فيثاغورس.

مثال ٤: إيجاد محيط ومساحة قاعدة مخروط دائري قائم بمعلومية ارتفاعه، وطول راسمه بتطبيق نظرية فيثاغورس

مخروط دائري قائم، ارتفاعه ٩٠ سم وطول راسمه ١٠٦ سم. أوجد كلًّا من محيط ومساحة قاعدته بدلالة 𝜋.

الحل

نتذكَّر أولًا صيغتَي حساب محيط الدائرة ومساحتها: ا=٢𝜋؈، وا=𝜋؈٢؛ حيث ؈ يمثِّل نصف القطر. ومن ثَمَّ، علينا أولًا حساب نصف قطر القاعدة الدائرية للمخروط.

نرسم الآن المخروط. تذكَّر أن ارتفاع المخروط الدائري القائم، الذي يُشار إليه عادةً بالرمز 𞸏، هو البُعد العمودي بين مركز القاعدة وقمة المخروط. يُشار إلى راسم المخروط بالرمز 𞸋، وهو المسافة من أي نقطة على محيط القاعدة الدائرية إلى القمة، مرورًا بسطح المخروط.

بعد ذلك، نلاحظ أننا إذا رسمنا نصف قطر المخروط، فإن المثلث المكوَّن من نصف القطر والارتفاع وراسم المخروط هو مثلث قائم الزاوية.

وهكذا، وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن: ؈+٠٩=٦٠١.٢٢٢

بطرح ٠٩٢ من طرفَي المعادلة وبالتبسيط، نحصل على: ؈=٦٠١٠٩=٦٣١٣.٢٢٢

نُوجِد قيمة ؈ بأخذ الجذر التربيعي الموجب: ؈=󰋴٦٣١٣=٦٥.

بالتعويض بقيمة ؈=٦٥ في صيغة محيط الدائرة، نحصل على: ا=٢×𝜋×٦٥=٢١١𝜋.

ينص السؤال على أن الناتجين لا بد أن يكونا بدلالة 𝜋، وبذلك لن نحتاج إلى إيجاد قيمة هذا.

بالتعويض بقيمة ؈٢ من المرحلة قبل الأخيرة في خطوات إيجاد صيغة مساحة الدائرة، نحصل على: ا=٦٣١٣𝜋.٢

ومن ثَمَّ، محيط القاعدة الدائرية يساوي ٢١١𝜋 سم، والمساحة تساوي ٦٣١٣𝜋 سم٢.

مثال ٥: استخدام نظرية فيثاغورس لحساب ارتفاع المخروط بمعلومية شبكته

طُوِيت قطعة من الورق على شكل قطاع دائري نصف قطره ٧٢ سم بزاوية ٥٧٢ وبطريقة تجعل النقطتين 󰏡، 𞸁 تلتقيان وتشكِّلان مخروطًا دائريًّا بأكبر مساحة ممكنة له. أوجد ارتفاع المخروط لأقرب جزء من مائة.

الحل

يمثِّل الشكل المُعطى شبكة المخروط. نبدأ برسم المخروط في ثلاثة أبعاد. راسم المخروط المطوي يكافئ طول القطعتين المستقيمتين الواصلتين بين كلٍّ من النقطتين 󰏡، 𞸁 ومركز القطاع الدائري. هذا يساوي طول نصف قطر القطاع، وهو مُعطى في السؤال باعتباره يساوي ٧٢ سم. إذا كان المخروط بأكبر مساحة ممكنة له، فلا بد ألَّا يتداخل الورق، وبذلك يجب أن يساوي محيط الدائرة عند قاعدة المخروط طول قوس القطاع الدائري.

لعلنا نتذكَّر أن نصف قطر القاعدة والارتفاع العمودي وراسم المخروط تكوِّن معًا مثلثًا قائم الزاوية. ومن ثَمَّ، بتطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث القائم الزاوية في المخروط الموضَّح سابقًا، نحصل على: ؈+𞸏=٢٧.٢٢٢

لتحديد ارتفاع المخروط، علينا أولًا حساب نصف قطر قاعدته. نبدأ بحساب طول قوس القطاع الدائري، وهو ما يساوي محيط القاعدة الدائرية. لعلنا نتذكَّر الصيغة الآتية: لاس=𝜃٠٦٣×٢𝜋؈، حيث 𝜃 هي الزاوية المركزية للقطاع، ومقيسة بالدرجة، ؈ هو نصف القطر. نلاحظ أننا استخدمنا هنا ؈ لتمييز هذا الطول عن نصف قطر قاعدة المخروط. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمتَي 𝜃=٥٧٢، ؈=٢٧ لحساب طول القوس: لاس=٥٧٢٠٦٣×٢𝜋×٢٧=٠١١𝜋.

وبما أن طول قوس القطاع الدائري يساوي محيط القاعدة الدائرية للمخروط، إذن يمكننا حساب نصف قطر الدائرة بتذكُّر الصيغة =٢𝜋؈. ومن ثَمَّ: ٢𝜋؈=٠١١𝜋.

بقسمة طرفَي هذه المعادلة على ٢𝜋، نحصل على: ؈=٠١١𝜋٢𝜋=٥٥.

وأخيرًا، نعوِّض بقيمة ؈ هذه في النص السابق لنظرية فيثاغورس: ؈+𞸏=٢٧٥٥+𞸏=٢٧.٢٢٢٢٢٢

بحساب القيم المربعة، نحصل على: ٥٢٠٣+𞸏=٤٨١٥.٢

لإيجاد قيمة 𞸏، نطرح ٣‎ ‎٠٢٥ من طرفَي المعادلة، ثم نُوجِد الجذر التربيعي: 𞸏=٩٥١٢𞸏=٥٦٤٫٦٤٧٤٫٦٤.٢

ارتفاع المخروط، لأقرب جزء من مائة، هو ٤٦٫٤٧ سم.

في المسائل السابقة، رأينا كيف يمكننا أخذ «شرائح» ثنائية الأبعاد داخل جسم ثلاثي الأبعاد لتكوين مثلثات قائمة الزاوية يمكننا من خلالها تطبيق نظرية فيثاغورس. تُوجَد طريقة بديلة يمكن من خلالها تطبيق نظرية فيثاغورس على مسائل الأنظمة الثلاثية الأبعاد، وهي امتداد للنظرية نفسها في ثلاثة أبعاد. نوضِّح ذلك لحساب طول قطر متوازي مستطيلات.

أولًا، نفكِّر بشكل أكثر تحديدًا في المقصود بقطر متوازي مستطيلات. يجب أن نحرص على تمييز الأقطار الداخلية لمتوازي المستطيلات عن أقطار الأوجه التي تقع داخل أوجهه الثنائية الأبعاد. على سبيل المثال، في حالة متوازي المستطيلات الموضَّح في الآتي، القطع المستقيمة 𞸁𞸤، 𞸆𞸤، 𞸢𞸅 أقطار لكل وجه في متوازي المستطيلات.

في الواقع، متوازي المستطيلات به ١٢ قطرًا إجمالًا من أقطار الوجه: اثنان في كل وجه من أوجهه الستة.

كما أن الأقطار التي تُسمَّى أحيانًا بأقطار الفضاء أو الأقطار الداخلية لمتوازي المستطيلات، تكون مختلفة، وهي القطع المستقيمة التي تصل بين رءوس متوازي المستطيلات المتقابلة وتمر داخله. على سبيل المثال، في متوازي المستطيلات الموضَّح سابقًا، أحد أقطار متوازي المستطيلات هو 𞸢𞸤. في الواقع، أي متوازي مستطيلات له أربعة أقطار، وهي في متوازي المستطيلات الموضَّح سابقًا 󰏡𞸆، 𞸁𞸇، 𞸢𞸤، 𞸃𞸅. هذه القطع المستقيمة الأربع متطابقة، وجميعها تتقاطع عند نقطة مشتركة عند مركز متوازي المستطيلات، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

نتناول الآن كيفية حساب طول قطر متوازي المستطيلات. انظر إلى متوازي المستطيلات 󰏡𞸁𞸢𞸃𞸤𞸅𞸆𞸇 وأضلاعه طولها 󰏡، 𞸁، 𞸢 وحدة، على الترتيب، كما هو موضَّح في الآتي. افترض أننا نريد حساب طول قطر متوازي المستطيلات، 𞸃.

يمكننا إيجاد ذلك باستخدام تكرارين لنظرية فيثاغورس. نبدأ برسم قطر القاعدة لمتوازي المستطيلات، الذي نُسمِّيه 𞸤.

بتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية 󰏡𞸁𞸤 على قاعدة متوازي المستطيلات، الذي فيه 𞸤 هو الوتر، فإننا نحصل على: 𞸤=󰏡+𞸁.٢٢٢

لحساب طول 𞸃، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس مرة أخرى في المثلث القائم الزاوية 𞸁𞸢𞸤. الضلع 𞸃 هو وتر هذا المثلث، والضلعان الأقصران هما 𞸢، 𞸤، ليصبح لدينا: 𞸃=𞸤+𞸢.٢٢٢

بالتعويض بالتعبير الذي يدل على 𞸤٢، الذي حصلنا عليه من التطبيق الأول لنظرية فيثاغورس، نحصل على: 𞸃=󰏡+𞸁+𞸢.٢٢٢٢

وهذا يمثِّل الامتداد لنظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد.

نظرية: امتداد نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد

في متوازي المستطيلات الذي أطوال أضلاعه 󰏡، 𞸁، 𞸢، وقطره الداخلي 𞸃، كما هو موضَّح في الآتي، فإن: 𞸃=󰏡+𞸁+𞸢.٢٢٢٢

نوضِّح الآن تطبيق نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد لحساب طول قطر متوازي المستطيلات بمعلومية طوله وعرضه وعمقه.

مثال ٦: إيجاد طول قطر متوازي مستطيلات باستخدام نظرية فيثاغورس

أوجد طول قطر متوازي مستطيلات أطوال أضلاعه ٣ سم، ٤ سم، ٦ سم. قرِّب إجابتك لأقرب جزء من مائة.

الحل

على الرغم من أن ذلك ليس ضروريًّا، فإننا نبدأ برسم متوازي المستطيلات.

أقطار متوازي المستطيلات هي 󰏡𞸆، 𞸁𞸇، 𞸢𞸤، 𞸃𞸅. تربط كل قطعة من هذه القطع المستقيمة الأربع رأسين متقابلين في متوازي المستطيلات وتمر داخله. أقطار متوازي المستطيلات متساوية في الطول؛ لذلك لدينا مطلق الاختيار في حساب أي قطر منها. هيا نختَر 𞸢𞸤، ثم نُضِف هذه القطعة المستقيمة إلى الشكل الذي لدينا.

ينص امتداد نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد على الآتي: 𞸃=󰏡+𞸁+𞸢،٢٢٢٢ حيث 𞸃 قطر متوازي المستطيلات؛ 󰏡، 𞸁، 𞸢 أطوال أضلاعه الثلاثة. هنا الأطوال 󰏡، 𞸁، 𞸢 تساوي ٣ سم، ٤ سم، ٦ سم، والقطر هو 𞸢𞸤، إذن يصبح لدينا: 𞸢𞸤=٣+٤+٦.٢٢٢٢

بالتبسيط، نحصل على: 𞸢𞸤=٩+٦١+٦٣=١٦.٢

نُوجِد قيمة 𞸢𞸤 بإيجاد الجذر التربيعي وتجاهُل الحل السالب؛ حيث 𞸢𞸤 هو طول: 𞸢𞸤=󰋴١٦=٠١٨٫٧١٨٫٧.

طول قطر متوازي المستطيلات، لأقرب جزء من مائة، هو ٧٫٨١ سم.

في المسألة السابقة، اخترنا تطبيق نص نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد. كان من الممكن أيضًا تطبيق تكرارين لنظرية فيثاغورس في بُعدَيْن. إذا رسمنا قطر القاعدة، 𞸁𞸤، ثم طبَّقنا نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية 󰏡𞸁𞸤، الذي فيه 𞸁𞸤 هو الوتر، فإننا نحصل على: 𞸁𞸤=󰏡𞸤+󰏡𞸁=٦+٣=٥٤.٢٢٢٢٢

ثم بتطبيق نظرية فيثاغورس مرة أخرى في المثلث 𞸁𞸢𞸤، الذي فيه 𞸢𞸤 هو الوتر، فإننا نحصل على: 𞸢𞸤=𞸁𞸤+𞸁𞸢=٥٤+٤=١٦.٢٢٢٢

نلاحظ أن هذا يتوافق مع المرحلة قبل الأخيرة في الطريقة السابقة. تحقِّق كلتا الطريقتين النتيجة نفسها، لكن تطبيق امتداد نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد أكثر فاعلية.

هيا نختتم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية المستخلَصة من هذا الشرح.

النقاط الرئيسية

  • يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس في بُعدَيْن على المثلثات القائمة الزاوية داخل أوجه أي جسم ثلاثي الأبعاد، أو على شرائح ثنائية الأبعاد داخله، لحساب أطوال مجهولة.
  • الارتفاع العمودي للهرم المنتظم يكون عموديًّا على أي خط مستقيم يمر بمركز قاعدته ويقع على هذه القاعدة؛ ومن ثَمَّ، يمكن تكوين مثلث قائم الزاوية من خلال الحرف الجانبي. الارتفاع الجانبي للهرم المنتظم هو البُعد العمودي بين أي ضلع من القاعدة وقمة الهرم.
  • يكوِّن نصف قطر القاعدة 󰁓؈󰁒، والارتفاع الرأسي (𞸏)، وراسم المخروط (𞸋) مثلثًا قائم الزاوية؛ ومن ثَمَّ ترتبط بنظرية فيثاغورس على النحو الآتي: ؈+𞸏=𞸋.٢٢٢
  • ينص امتداد نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد على أنه في متوازي المستطيلات الذي أطوال أضلاعه 󰏡، 𞸁، 𞸢، وطول قطره 𞸃، كما هو موضَّح في الآتي، يكون: 󰏡+𞸁+𞸢=𞸃.٢٢٢٢
    هذا يماثل تطبيق تكرارين لنظرية فيثاغورس في بُعدَيْن.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.