في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نستخدم خصائص الشكل الرباعي الدائري لإيجاد قياسات الزوايا الناقصة، وتحديد إذا ما كان الشكل الرباعي دائريًّا أو لا.
نبدأ بتذكُّر تعريف الزاوية المحيطية. الزاوية المحيطية هي الزاوية التي تتكون عند تقاطُع وترين في نقطة تقع على محيط الدائرة. ويقع رأس هذه الزاوية على محيط الدائرة.
سوف نستخدم فَهْمَنا للزوايا المحيطية لتعريف الشكل الرباعي الدائري.
تعريف: الشكل الرباعي الدائري
الشكل الرباعي الدائري هو مضلع رباعي الأضلاع، ورءوسه تقع على دائرة.
قبل أن نفكر في خصائص الشكل الرباعي الدائري، نتذكر نظرية مهمة حول الزوايا المحيطية والزوايا المركزية (زاوية تقع عند مركز دائرة ويقع طرفاها على محيط الدائرة).
تعريف: نظرية الزاوية المحيطية
الزاوية، ، المحيطية في دائرة قياسُها يساوي نصف قياس الزاوية المركزية، ، التي تقابل القوس نفسه في الدائرة. بعبارة أخرى، قياس الزاوية عند محيط الدائرة يساوي نصف قياس الزاوية عند مركزها.
لنتناول الآن الشكل الرباعي الدائري . يمكننا توصيل رأسين، ، ، إلى المركز، ، لتكوين اثنين من أنصاف الأقطار، ، . ونسمي قياسَي الزاويتين اللتين تكونتا عند مركز الدائرة ، .
ومن ثم لدينا:
إذن:
ومن ثم، فإن مجموع قياسَي هاتين الزاويتين المتقابلتين يساوي. يمكننا إكمال العملية نفسها لإثبات أن مجموع ، أيضًا يساوي . ومن ثم، أثبتنا الخاصية الآتية للشكل الرباعي الدائري.
تعريف: الزاويتان المتقابلتان في الشكل الرباعي الدائري
الزاويتان المتقابلتان في شكل رباعي دائري متكاملتان؛ أيْ مجموعُ قياسَيهما يساوي.
سنطرح بعض الأمثلة على كيفية استخدام هذه الخاصية لإيجاد قياسات الزوايا المجهولة في شكل رباعي دائري.
مثال ١: إيجاد قياس زاوية في شكل رباعي دائري بمعلومية قياس الزاوية المقابلة
أوجد .
الحل
يمكننا ملاحظة أن الشكل الرباعي رءوسه الأربعة كلها مرسومة على محيط الدائرة. وهذا يعني أن هو شكل رباعي دائري، ويمكننا استخدام خصائص زوايا الشكل الرباعي الدائري لمساعدتنا في إيجاد قياس الزاوية المجهولة. مجموع قياسَي الزاويتين المتقابلتين في الشكل الرباعي الدائري يساوي .
وقياس الزاوية الذي علينا إيجاده، ، يقابل .
نحن نعرف أن ونعلم أن مجموع قياسَي الزاويتين المتقابلتين يساوي، إذن نجري هذه الحسابات:
ومن ثم، تساوي.
يمكننا أيضًا تطبيق فَهْمِنا لزوايا الشكل الرباعي الدائري على المسائل الهندسية التي تعطى فيها قياسات الزوايا جبريًّا. هيا نرَ كيف نفعل هذا في المثال الآتي.
مثال ٢: استخدام خصائص الأشكال الرباعية الدائرية لإيجاد قيم مجهولة
إذا كان ، ، ، فأوجد قيمة كلٍّ من ، .
الحل
يمكننا البدء بكتابة قياسَي الزاويتين المعطيين على الشكل.
الشكل الرباعي هو شكل رباعي دائري؛ حيث إن الرءوس الأربعة كلها مرسومة على الدائرة. نتذكر أنه في الشكل الرباعي الدائري تكون الزاويتان المتقابلتان متكاملتين، أي إن مجموع قياسَيهما يساوي .
باستخدام الزاويتين المتقابلتين، ، يمكننا تكوين معادلة نعوض فيها بقياسَي الزاويتين، ما يعطينا:
ها قد أوجدنا أول قيمة مجهولة، . يمكننا بعد ذلك استخدام الزاويتين المتقابلتين المتبقيتين، ، ، لحل المعادلة الآتية:
ونظرًا لأننا حسبنا أن ، يمكننا التعويض بذلك في المعادلة وإيجاد قيمة ، ما يعطينا:
للتأكد من صحة نتائجنا، يمكننا التعويض بالقيمتين ، اللتين أوجدناهما في المقدار الخاص بكل زاوية. هذا سيعطينا:
يمكننا تأكيد أنه لزوج الزوايا المتقابلة الأول ، وللزوج الآخر .
علاوة على ذلك، وكما هو الحال مع أي شكل رباعي، مجموع قياسات زواياه الأربع يساوي. وبذلك نكون قد تأكدنا من النتيجة الآتية:
وسنرى الآن كيف يمكننا توسيع نطاق خاصية الزوايا الداخلية للشكل الرباعي الدائري كي تشمل قياس زاوية خارجية.
نتناول الشكل الرباعي الآتي، . يمكننا الإشارة إلى بالقياس، بالقياس .
بما أن هو شكل رباعي دائري، فإننا نعلم أن:
وبدلًا من ذلك، يمكننا أيضًا كتابة:
لنرَ ما سيحدث إذا تناولنا زاوية خارجية. يمكننا مد القطعة المستقيمة حتى النقطة وتكوين زاوية خارجية، .
ونظرًا إلى أن الزاويتين ، تقعان على خط مستقيم، فإن مجموع قياسَيهما سوف يساوي . يمكننا كتابة أن:
ونظرًا لأن ، يمكننا حساب:
لقد أثبتنا بالفعل أن هناك زاوية أخرى قياسها يساوي ، حيث إن .
ومن ثم يكون لدينا:
يمكننا تكرار هذه الطريقة لتوضيح أنه لكل زاوية في الشكل الرباعي الدائري، زاوية خارجية مساوية في القياس لهذه لزاوية الداخلية عند الرأس المقابل. يمكننا تدوين هذه الخاصية بالأسفل.
تعريف: الزوايا الخارجية في الشكل الرباعي الدائري
قياس الزاوية الخارجية لشكل رباعي دائري تساوي قياس الزاوية الداخلية عند الرأس المقابل.
سنرى الآن كيف يمكننا تطبيق هذه الخاصية لإيجاد قياسات الزوايا الناقصة في مسألة هندسية تتضمن شكلًا رباعيًّا دائريًّا.
مثال ٣: استخدام خصائص الرباعي الدائري في حل المسائل
أوجد ، .
الحل
نلاحظ أن الشكل الرباعي هو شكل رباعي دائري؛ حيث إن الرءوس الأربعة مرسومة على الدائرة. توجد خاصيتان مهمتان من خصائص زوايا الشكل الرباعي الدائري لهما فائدة في حل هذه المسألة. في الشكل الرباعي الدائري، تكون الزوايا المتقابلة متكاملة. وبما أن هذا الشكل يحتوي على زوايا خارجية أيضًا، فعلينا أن نتذكر أيضًا أن قياس الزاوية الخارجية لشكل رباعي دائري يساوي قياس الزاوية الداخلية عند الرأس المقابل.
الزاوية الأولى التي علينا حساب قياسها هي . والزاوية الموجودة عند الرأس المقابل هي الزاوية الموجودة عند الرأس ، أي . وبما أن الزاوية الخارجية قياسها يساوي قياس الزاوية الداخلية عند الرأس المقابل، يصبح لدينا:
بعد ذلك، علينا حساب . هذه زاوية خارجية، ونحن نعلم أنه لا بد أن يكون قياسها يساوي قياس الزاوية الداخلية عند الرأس المقابل، وهو الرأس . ومن ثم:
يمكننا تحديد هذين الزوجين من الزوايا المتطابقة على الشكل.
قياس الزاوية غير معطًى لنا، لكن يمكننا حسابه، بمعلومية أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي، ونحن لدينا . ومن ثم:
بعد ذلك، بما أن: لدينا:
يمكننا بعد ذلك كتابة قياسَي الزاويتين المطلوبتين:
حتى الآن، استخدمنا خاصية أن الزاويتين المتقابلتين في الشكل الرباعي الدائري متكاملتان. ومع ذلك، فإن عكس هذه النظرية صحيح أيضًا؛ أي إن الشكل الرباعي الذي به زاويتان متقابلتان متكاملتان يجب أن يكون شكلًا رباعيًّا دائريًّا. وهذا مفيد جدًّا لا سيما إذا أردنا إثبات أن الشكل الرباعي المعطى رباعيٌّ دائريٌّ، ومن ثم نثبت أن جميع الرءوس يمكن رسمها على دائرة واحدة.
على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا الشكل الرباعي بالأسفل.
يمكننا حساب أن:
وبما أن مجموع قياسات أزواج الزوايا المتقابلة يساوي ، فإن الشكل الرباعي يكون دائريًّا، وبالتالي يمكن رسم جميع الرءوس الأربعة على دائرة.
لاحظ أننا لسنا بحاجة إلى إثبات أن مجموع قياسَي الزوج الآخر للزاويتين المتقابلتين يساوي أيضًا . وهذا لأن المضلع رباعيُّ الشكل، ونحن نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية يساوي . وعليه، لا بد أن يكون مجموع قياسَي الزاويتين المتقابلتين الباقيتين .
وينطبق الأمر نفسه على خاصية الزاوية الأخرى من الخصائص الدائرية التي لاحظناها: قياس الزاوية الخارجية لشكل رباعي دائري تساوي قياس الزاوية الداخلية عند الرأس المقابل. وبما أن هذه الخاصية امتداد لخاصية الزوايا المتقابلة، فإن عكس هذه النظرية صحيح أيضًا.
إثبات أن الشكل الرباعي دائري
الشكل الرباعي يكون دائريًّا إذا تَمكَّنَّا من إثبات شرط مما يأتي:
- به زاويتان متقابلتان متكاملتان.
- قياس أيِّ زاوية خارجية يساوي قياس الزاوية الداخلية عند الرأس المقابل.
سنرى الآن كيف يمكننا تطبيق هاتين القاعدتين لتحديد إذا ما كان شكلٌ رباعيُّ الأضلاع دائريًّا في المثالين الآتيين.
مثال ٤: تحديد إذا ما كان الشكل الرباعي المعطى دائريًّا أو لا
هل الشكل رباعي دائري؟
الحل
نتذكر أن الشكل الرباعي الدائري هو مضلع رباعي الأضلاع، رءوسه مرسومة على دائرة. وإحدى طرق إثبات إذا ما كان الشكل الرباعي دائريًّا، هي إثبات تحقُّق خاصيةٍ ما من خصائص زوايا الشكل الرباعي الدائري. إذا تحققت تلك الخاصية، فإن الشكل الرباعي يكون دائريًّا.
يمكننا أن نلاحظ، في الشكل المعطى لنا، زاوية داخلية واحدة، . ولدينا أيضًا زاوية خارجية هنا مقسَّمة إلى زاويتين، ، . لاحظ أن هاتين الزاويتين متطابقتان؛ ومن ثم، .
يمكننا حساب قياس الزاوية الداخلية عند الرأس ، أي ، باستخدام خصائص المستقيمين المتوازيين، ، . يمكننا كتابة أن:
إذا كان الشكل الرباعي دائريًّا، فإن مجموع قياسَي أيِّ زاويتين متقابلتين يساوي . بما أن لدينا: إذن:
وبذلك نكون قد أثبتنا أن مجموع قياس الزوايا المتقابلة يساوي. ومن ثم، يمكننا الإجابة عن السؤال بما يأتي: نعم، الشكل الرباعي دائري.
على الرغم من أن السؤال لم يطلب هذه الخطوة، يمكننا رسم الدائرة وعليها الرءوس الأربعة للشكل .
مثال ٥: استخدام خصائص الأشكال الرباعية الدائرية للتحقق مما إذا كان الشكل الرباعي المعطى دائريًّا
هل الشكل رباعي دائري؟
الحل
لعلنا نتذكر أن الشكل الرباعي يكون دائريًّا إذا كان من الممكن رسم الرءوس الأربعة كلها على دائرة. ويمكننا أن نثبت أن الشكل الرباعي دائري إذا كان من الممكن إثبات أيٍّ من الخصائص الآتية: أن مجموع قياسَي زاويتين متقابلتين يساوي أو أن قياس زاوية خارجية يساوي قياس الزاوية الداخلية عند الرأس المقابل.
بالنظر إلى الشكل، نلاحظ أن هو مثلث متساوي الساقين. إذن:
وباستخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي وبالنظر إلى أن ، يمكننا حساب كالآتي:
إذا كان الشكل الرباعي دائريًّا، فإن مجموع قياسَي أيِّ زاويتين متقابلتين يساوي . لكن: ومن ثم:
إذن الشكل الرباعي ليس رباعيًّا دائريًّا، ومن ثم فإن إجابة السؤال هي لا.
فيما يأتي تلخيص النقاط الرئيسية في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- الشكل الرباعي الدائري هو مضلع رباعي الأضلاع، رءوسه مرسومة على دائرة.
- في الشكل الرباعي الدائري،
- كل زاويتين متقابلتين متكاملتان،
- قياس الزاوية الخارجية يساوي قياس الزاوية الداخلية عند الرأس المقابل.
- والشكل الرباعي يكون دائريًّا إذا تَمكَّنَّا من إثبات أحد الشروط الآتية:
- به زاويتان متقابلتان متكاملتان.
- قياس أي زاوية خارجية يساوي قياس الزاوية الداخلية عند الرأس المقابل.
