في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُعرِّف الشك الناتج عن القياسات العشوائية، والشك الناتج عن دقة فصل أداة القياس، ونوضِّح كيف يؤثِّران على قيم القياسات.
في الفيزياء، يُطلَب منا في أغلب الأحيان إجراء قياسات معيَّنة. قد تكون هذه القياسات لأبعاد جسم أو لفترة زمنية أو لسطوع نجم. لكن، قبل استنتاج أي شيء من الكميات التي نقيسها، علينا أن نتعرَّف على حدود القياس.
جميع القياسات محدودة بحدود الأجهزة التي نستخدمها لإجراء تلك القياسات. على سبيل المثال، نتخيَّل أننا نريد قياس طول جسم باستخدام المسطرة الآتية، المدرَّجة بالسنتيمتر.
يُعرَف مدى التحديد الذي يُمكن لأداة القياس أن تقيس إليه باسم دقة الفصل. دقة فصل المسطرة في هذه الحالة 1 cm.
نلاحظ أن الجسم أقرب للعلامة 5 cm من العلامة 6 cm؛ لذا، علينا أن نسجِّل أن الطول يساوي 5 cm. ولكنه، كما يظهر بوضوح، لا يساوي 5 cm بالضبط.
باستخدام هذه المسطرة، نسجِّل قياس أي جسم أقرب للعلامة 5 cm من غيرها من علامات التدريج على أنه يساوي 5 cm. وهذا يعني أن الجسم يمكن أن يكون أطول من 4.5 cm، وأقصر من 5.5 cm، ونسجِّل طوله مع ذلك على أنه يساوي 5 cm.
يُعرَف هذا باسم الشك في القياس. ثمة مصادر عديدة للشك، لكننا نتحدَّث في هذه الحالة عن الشك الناتج عن دقة فصل المسطرة.
قيمة الشك في هذا القياس تساوي نصف المدى بين القيم المحتملة. وفي هذه الحالة، المدى هو ؛ ومن ثَمَّ، نصف المدى يكون . نكتب قيمة الشك هذه على الصورة cm؛ وذلك لتوضيح أن القيمة الحقيقية قد تصل إلى باعتبارها قيمة صغرى، وإلى باعتبارها قيمة قصوى.
لاحظ أن هذا يساوي نصف دقة فصل المسطرة. وعند حساب قيمة الشك في دقة فصل أي أداة، فإن المدى بين القيم المحتملة يساوي دقة الفصل. ومن ثَمَّ، يمكننا القول إن قيمة الشك تساوي نصف قيمة دقة الفصل.
يمكننا تقليل قيمة الشك في قياس الجسم باستخدام مسطرة مختلفة، على سبيل المثال، مسطرة مدرَّجة كل ملليمتر بدلًا من كل سنتيمتر. دقة فصل هذه المسطرة 1 mm. عندما يكون مدى التحديد الذي يمكن أن تقيس الأداة إليه دقيقًا، نقول إن الأداة لها دقة فصل عالية.
بما أن هذه المسطرة لها دقة فصل عالية، إذن يمكننا القول الآن إن طول الجسم أقرب إلى العلامة 5.3 cm. وفي الواقع، عندما نسجِّل هذا القياس، فإن هذا يعني أنه يمكن أن يقع عند أي نقطة بين 5.25 cm و5.35 cm؛ ومن ثَمَّ، يمكننا أن نكتب القياس على أنه cm. إن زيادة دقة فصل أداة القياس من شأنها أن تقلِّل من قيمة الشك في القياس الناتج. فالقياس الذي له قيمة شك أقل يكون أكثر دقةً.
يمكننا استخدام أداة لها دقة فصل عالية لقياس هذا الجسم، وبفعل ذلك، نقلِّل من قيمة الشك بدرجة أكبر، ونحصل على قياس أكثر دقةً. وعلى الرغم من ذلك، سيظل هناك دائمًا مقدار من الشك. فجميع الأدوات التي نستخدمها لأخذ القياسات لها دقة فصل محدودة؛ ومن ثَمَّ، تكون هناك قيمة من الشك في جميع القياسات.
تعريف: الشك ودقة الفصل
دقة فصل أداة القياس هي «التحديد» الذي يمكن أن تقيس إليه الأداة. ويُقال إن الأداة التي تقيس بتحديد أدق لها دقة فصل أعلى.
الشك في القياس هو المدى الذي يُحتمل أن تقع فيه القيمة «الفعلية» لكمية مقيسة. وهو يساوي نصف المدى بين القيم المحتملة.
القياس الذي تكون قيمة الشك فيه أقل يكون أكثر دقةً.
نتناول مثالًا على المقارنة بين دقتَي أداتَي قياس.
مثال ١: تحديد دقة فصل أداة قياس
يوضِّح الشكل مؤقتين رقميين دقتا فصلهما مختلفتان. يعرض كلٌّ من المؤقتين الزمن بالثانية.
- أيُّ المؤقتين الرقميين له دقة فصل أعلى؟
- أيُّ المؤقتين الرقميين يمكن أن يقدِّم قياسات أدق؟
الحل
الجزء الأول
في هذا المثال، لدينا مؤقتان رقميان. المؤقت (أ) يعرض زمنًا قدره 25.56 ثانية، والمؤقت (ب) يعرض زمنًا قدره 16.9 ثانية. يطلب منا الجزء الأول من السؤال تحديد أيٌّ من المؤقتين له دقة فصل أعلى.
تذكَّر أن دقة الفصل هي مدى التحديد الذي يمكن أن تقيس إليه الأداة. فالأداة التي لها دقة فصل أعلى يمكن أن تُجري القياس بتحديد أعلى من الأداة التي لها دقة فصل أقل.
بالنظر إلى هذين المؤقتين، نجد أن المؤقت (أ) يعرض الزمن لأقرب 0.01 ثانية، والمؤقت (ب) يعرض الزمن لأقرب 0.1 ثانية. ومن ثَمَّ، فإن المؤقت (أ) يمكنه القراءة بتحديد أدق. إذن المؤقت الرقمي الذي له دقة فصل أعلى هو المؤقت (أ) .
الجزء الثاني
في الجزء التالي من السؤال، مطلوب منا معرفة أيٌّ من المؤقتين يمكنه إجراء قياسات أدق.
القياس الأكثر دقة هو القياس الذي له قيمة شك أقل؛ لذا، هيا ننظر إلى قيمتَي الشك في القراءتين.
يعرض المؤقت (أ) قراءة 25.56 s. قد تكون القيمة الفعلية عند أي نقطة بين 25.555 s و25.565 s. ومن ثَمَّ، يكون مدى القيم المحتملة هو .
يعرض المؤقت (ب) قراءة 16.9 s، ما يشير إلى أن القيمة الفعلية قد تكون عند أي نقطة بين 16.85 s و16.95 s. ومن ثَمَّ، يكون مدى القيم المحتملة هو .
المؤقت الذي له أصغر مدى يُحتمل أن تقع فيه القيمة الفعلية سيكون له أقل قيمة شك؛ ومن ثَمَّ أعلى دقة. إذن المؤقت الذي يمكنه إجراء قياسات أكثر دقة هو المؤقت (أ).
في المثال الآتي، سنحسب المدى والشك في القيمة المقيسة.
مثال ٢: فهم الشك في القياس
قِيس طول جسم صغير باستخدام مسطرة تبعُد كل علامة في تدريجها عن العلامة المجاورة لها 1 cm، كما هو موضَّح في الشكل. الطرف الأيسر للجسم أقرب إلى العلامة الأولى ( cm) منه إلى العلامة 1 cm، والطرف الأيمن للجسم أقرب إلى العلامة 2 cm منه إلى العلامة 3 cm.
- ما أقصى طول للجسم؟
- ما أدنى طول للجسم؟
- ما الطول المقيس للجسم؟
- ما قيمة الشك في قياس طول الجسم؟
الحل
في هذا المثال، نحاول قياس طول جسم صغير باستخدام مسطرة لها دقة فصل تساوي 1 cm.
نعلم من المُعطيات أن الطرف الأيسر يقع عند نقطة ما بين العلامتين 0 cm و1 cm، ولكنه أقرب إلى العلامة 0 cm. أما الطرف الأيمن، فيقع عند نقطة ما بين العلامتين 2 cm و3 cm، ولكنه أقرب إلى العلامة 2 cm. لقياس طول الجسم، نأخذ القراءة عند الطرف الأيمن، ونطرح منها القراءة عند الطرف الأيسر.
الجزء الأول
علينا أولًا تحديد أقصى طول محتمل للجسم. وهو القياس الذي نقرؤه إذا كان الطرف الأيمن عند أبعد نقطة ممكنة ناحية اليمين، والطرف الأيسر عند أبعد نقطة ممكنة ناحية اليسار. وهو المدى المحدَّد باللون الأزرق على الشكل. إن أبعد نقطة ممكنة للطرف الأيمن ناحية اليمين هي 2.5 cm، وإذا كانت النقطة أبعد من ذلك، فستكون القراءة 3 cm. وبالمثل، أبعد نقطة ممكنة للطرف الأيسر ناحية اليسار هي 0 cm. ومن ثَمَّ، أقصى طول للجسم هو .
الجزء الثاني
بعد ذلك، علينا إيجاد أدنى طول للجسم. وهو المدى الموضَّح باللون الأحمر على الشكل، والذي يغطِّي المسافة من أقصى نقطة ممكنة ناحية اليمين للطرف الأيسر إلى أقصى نقطة ممكنة ناحية اليسار للطرف الأيمن. نعلم أن الطرف الأيسر أقرب إلى العلامة 0 cm من العلامة 1 cm؛ ومن ثَمَّ، فإن أكبر قياس ممكن له هو 0.5 cm. وبالمثل، نعلم أن الطرف الأيمن يقع عند نقطة ما بين العلامة 2 cm والعلامة 3 cm؛ ومن ثَمَّ، فإن أقل قياس ممكن له هو 2 cm. إذن أدنى طول للجسم هو .
الجزء الثالث
في الجزء التالي، علينا تحديد الطول المقيس للجسم. لحل هذا الجزء من السؤال، نأخذ أقرب علامة عند كلٍّ من الطرفين. عند الطرف الأيمن، تكون هي العلامة 2 cm، وعند الطرف الأيسر، تكون هي العلامة 0 cm. إذن القيمة المقيسة هي .
الجزء الرابع
وأخيرًا، علينا تحديد قيمة الشك في الطول المقيس للجسم. تُعرَّف قيمة الشك بأنها نصف مدى القيم المحتملة.
أوجدنا بالفعل أقصى قيمة، وهي 2.5 cm، وأدنى قيمة وهي 1.5 cm. ومن ثَمَّ، فإن مدى القياسات المحتملة هو . ونصف المدى هو .
إذن قيمة الشك في طول الجسم المقيس تساوي cm.
تُعَد دقة فصل الأداة مصدرًا للشك ينطبق على جميع القياسات التي نُجريها، لكنها ليست مصدر الشك الوحيد. ثمة صورة أخرى للشك نصادفها على الدوام، وهي الشك العشوائي نتيجة للتغيُّرات في الكمية المقيسة.
نفترض أننا نحاول قياس طول أنبوب معدني على سبيل المثال. يتمدَّد المعدن عندما يكون ساخنًا وينكمش عندما يكون باردًا؛ لذا، قد نحصل على قياسات مختلفة بناءً على درجة الحرارة في اليوم الذي نُجري فيه القياس.
يمكننا تقليل قيمة الشك العشوائي عن طريق أخذ العديد من القياسات بصورة متكررة. بعد ذلك نأخذ متوسط القيم باعتباره أفضل تقدير للقيمة الفعلية. ولإيجاد قيمة الشك في هذا القياس، نُحدِّد مدى القيم المسجلة، وتكون قيمة الشك مرة أخرى مساوية لنصف مدى القيم المحتملة؛ حيث:
سنتناول ذلك عمليًّا في المثال الآتي.
مثال ٣: فهم الشك العشوائي
قيس طول أنبوب معدني، فكانت القيمة تتغيَّر بشكل طفيف باختلاف القياسات. الجدول الآتي يوضِّح القياسات المأخوذة.
| القياس | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| الطول (cm) | 100.6 | 100.3 | 100.2 | 100.2 | 100.2 |
- أوجد متوسط طول الأنبوب.
- أوجد قيمة الشك في قياس طول الأنبوب، الناتجة عن اختلاف القياسات.
- قيست أطوال الأنبوب بدقة فصل 0.1 cm. هل قيمة الشك في طول الأنبوب نتيجة دقة فصل أداة القياس أكبر من، أم أقل من، أم تساوي قيمة الشك الناتج عن تغيُّر القياسات؟
الحل
الجزء الأول
لدينا أنبوب معدني نحاول قياس طوله. في الجدول، نرى خمسة قياسات تُشير إلى أن الطول يتغيَّر باختلاف القياسات. يطلب منا الجزء الأول من السؤال إيجاد متوسط طول الأنبوب. ولفعل ذلك، علينا أن نتذكَّر أن:
في هذه الحالة، عدد القياسات يساوي 5؛ لذا، يمكننا التعويض بهذا العدد وقيم القياسات نفسها، لنحصل على:
وبذلك، فإن متوسط طول الأنبوب يساوي 100.3 cm.
الجزء الثاني
الشك في هذا القياس شك عشوائي ناتج عن تغيُّرات في الطول. ويمكننا حساب هذا الشك كالآتي:
في هذه الحالة، القيمة المقيسة القصوى تساوي 100.6 cm، والقيمة الصغرى تساوي 100.2 cm؛ وبذلك نجد أن:
إذن قيمة الشك في القياس الناتج عن التغيُّرات في طول الأنبوب تساوي cm.
الجزء الثالث
وأخيرًا، علمنا أن دقة فصل الأداة المستخدَمة في قياس الأنبوب تساوي 0.1 cm. تذكَّر أن قيمة الشك الناتج عن دقة الفصل تساوي نصف دقة فصل الأداة. ومن ثَمَّ، فإن قيمة الشك الناتج عن دقة الفصل في القياس تساوي:
وبذلك، تكون قيمة الشك العشوائي الناتج عن التغيُّرات في الطول هي cm، وقيمة الشك الناتج عن دقة الفصل في القياس هي cm. ومن ثَمَّ، نستنتج أن قيمة الشك الناتج عن دقة فصل الأداة المستخدَمة في القياس أقل من قيمة الشك الناتج عن التغيُّرات في الطول.
من أنواع الشك الأخرى التي قد نصادفها هو الشك المنتظم. وهو ما يحدث عندما يكون هناك خطأ في تصميم التجربة؛ ربما مسطرة مائلة، أو ميزان غير مُعاير بشكل صحيح، أو خطأ متكرِّر في قراءة القياس. ينتج عن الشك المنتظم تغيُّرات ثابتة في قراءات القياسات إما ذات قيمة مرتفعة جدًّا وإما منخفضة جدًّا. وعلى العكس من الشك العشوائي، لا يمكننا الحد من التأثيرات المنتظمة من خلال أخذ قياسات متكرِّرة؛ لأن الخطأ موجود في كل قياس. إن أفضل طريقة للحد من الشك المنتظم هي قياس كمية معلومة والتأكد من حصولنا على النتيجة المتوقَّعة.
عندما نقول إن القياس هو قيمة ما قيمة ما من الشك، فإن هذا يُعرَف بالشك المطلق. ويمكننا التعبير عن هذا الشك أيضًا في صورة نسبة مئوية.
لحساب النسبة المئوية للشك، نستخدم المعادلة:
إذا كان لدينا قياس يساوي cm، فإن النسبة المئوية للشك تُحسب كالآتي:
إذا كان الطول المقيس لجسم آخر بالمسطرة نفسها يساوي 50 cm، فسنحصل على قيمة الشك المطلق نفسها التي تساوي cm. وتكون النسبة المئوية للشك في هذه الحالة:
إذن يمكن أن يكون لقياسين قيمة الشك المطلق نفسها، في حين يكون لهما قيمة مختلفة للنسبة المئوية للشك. تفيد النسبة المئوية للشك في معرفة مدى تأثيره. ففي هذا المثال، لدينا قياسان لهما قيمة الشك المطلق نفسها التي تساوي cm، لكن لهما طولين مختلفين 5 cm و50 cm. يكون تأثير الشك أكبر عند قياس الأطوال الصغيرة، ويتضح لنا ذلك بشكل جلي عندما ننظر إلى النسبتين المئويتين و.
نتناول مثالًا على تحويل الشك المطلق إلى نسبة شك مئوية.
مثال ٤: التحويل من الشك المطلق إلى نسبة شك مئوية
أوجد الفرق بين النسب المئوية للشك في القياسين الآتيين: s و s.
الحل
في هذا المثال، لدينا قياسان وقيمة الشك المطلق لكلٍّ منهما، ومطلوب منا إيجاد الفرق بين نسبتَي الشك المئويتين.
لإيجاد النسبة المئوية للشك لكل كمية، علينا أن نتذكَّر أن:
بالنسبة إلى الكمية الأولى، لدينا القيمة المقيسة 10 s، وقيمة الشك المطلق s، ما يُعطينا:
أما بالنسبة إلى القياس الثاني، فلدينا القيمة المقيسة 5 s وقيمة الشك المطلق 0.1 s، ما يُعطينا:
لإيجاد الفرق بين النسبتين المئويتين للشك، نطرح الناتج الأول من الناتج الثاني؛ وبذلك نحصل على:
بالعودة إلى المسطرتين السابقتين، تمكَّنا من الحصول على قياسين لطول الجسم: أحدهما يساوي 5 cm باستخدام المسطرة المدرَّجة بوحدة السنتيمتر، والآخر يساوي 5.3 cm باستخدام المسطرة المدرَّجة بوحدة الملليمتر.
إحدى طرق التفكير في هذين القياسين هي القول إن القياس 5.3 cm يتضمَّن معلومات أكثر من القياس 5 cm. وهذا لأنه يحتوي على عدد أكبر من الأرقام المعنوية.
الأرقام المعنوية هي الأرقام التي لها معنى. وفي هذه الحالة، يحتوي القياس 5.3 cm على رقمين معنويين، في حين يحتوي القياس 5 cm على رقم معنوي واحد فقط.
يُشير عدد الأرقام المعنوية في الكمية المقيسة إلى دقة فصل الأداة المستخدَمة في القياس. وفي هذه الحالة، يتضمَّن القياس 5.3 cm عددًا أكبر من الأرقام المعنوية؛ ومن ثَمَّ، ندرك أن القياس قد أُجري بأداة لها دقة فصل أعلى من تلك المستخدَمة لأخذ القياس الذي قيمته 5 cm.
عند عد الأرقام المعنوية في كمية ما، فإننا لا نضمِّن أي أصفار مستخدَمة لملء المنازل العشرية على اليمين أو على اليسار. على سبيل المثال، قد نسجِّل طول الجسم الذي أخذنا قياسه هنا بأنه يساوي 0.053 m. إن الصفرين على اليسار في هذه الحالة مستخدمان لملء منزلتين عشريتين؛ لذا، لا يُعَدان ضمن الأرقام المعنوية، ويظل لدينا رقمان معنويان. إن كتابة القيمة بوحدة مختلفة لا يغيِّر من عدد الأرقام المعنوية.
وبالمثل، قد تكون لدينا خريطة بها مقياس يُمكن أن يُقرأ إلى أقرب 1 000 m، وقسنا به المسافة 5 000 m. هذه القيمة تحتوي على رقم معنوي واحد فقط؛ لأننا لا نحسب الأصفار على اليمين. يمكننا كذلك كتابة هذه القيمة على أنها 5 km، مقيسة لأقرب 1 km. وهذه القيمة تحتوي على رقم معنوي واحد أيضًا.
لكن، عليك أن تلاحظ أن الأصفار الموجودة على اليمين ليست دائمًا لملء المنازل العشرية. فإذا كان المقياس على الخريطة له دقة فصل عالية بما يكفي لقراءة المسافة لأقرب متر، فقد نحصل على القيمة نفسها 5 000 m، ومع ذلك تحتوي القيمة هنا على أربعة أرقام معنوية. من المهم أن نأخذ في الاعتبار دقة فصل الأداة المستخدَمة لأخذ القياس عند عد الأرقام المعنوية في قيمة ما.
إذا كانت القيمة المُعطاة لدينا 5 000 m، فقد نعلم من المُعطيات أن هذه القيمة بها أربعة أرقام معنوية، أو أن دقة فصل الأداة المستخدَمة في القياس تساوي 1 m. وبذلك، نستنتج أن القيمة الفعلية تقع بين 4 999.5 m و5 000.5 m في حين تُشير القيمة 5 000 m المكتوبة لأقرب رقم معنوي واحد إلى قيمة فعلية تقع بين 4 500 m و5 500 m.
إن الأصفار على يمين العلامة العشرية (مثل الصفر الأخير في 0.0530 m) دائمًا تكون أرقامًا معنوية، وهو ما يعني أن القيمة 0.0530 m بها ثلاثة أرقام معنوية. فإذا كُتبت قيمة ما بهذه الطريقة، فإننا نعلم أن القياس قد أُخذ بدقة فصل تساوي 0.0001 m.
عند إجراء الحسابات، علينا التأكُّد من كتابة الأصفار على يمين العلامة العشرية فقط إذا كانت تُمثِّل أرقامًا معنوية.
وكما يوضِّح هذا المثال، من الممكن أن يخبرنا عدد الأرقام المعنوية التي تحتوي عليها القيمة عن دقة الفصل ومدى القيم الفعلية المحتملة.
في المثال التالي، نتدرَّب على عدِّ الأرقام المعنوية في الكميات المقيسة.
مثال ٥: فهم الأرقام المعنوية
يقيس ميزان رقمي دقة فصله ملليجرام واحد الكُتَل الموضَّحة في الجدول.
| القياس | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| الكتلة (g) | 0.080 | 0.242 | 1.401 | 10،084 | 12.440 |
- ما عدد الأرقام المعنوية في القياس الأول؟
- ما عدد الأرقام المعنوية في القياس الثاني؟
- ما عدد الأرقام المعنوية في القياس الثالث؟
- ما عدد الأرقام المعنوية في القياس الرابع؟
- ما عدد الأرقام المعنوية في القياس الخامس؟
الحل
في هذا المثال، لدينا ميزان رقمي نعلم أن دقة فصله ملليجرام واحد، والمطلوب منا تحديد عدد الأرقام المعنوية في كلٍّ من القياسات الخمسة المختلفة التي أُجريت باستخدام الميزان.
أول ما نلاحظه هو أن قياسات الكتل مكتوبة بوحدة الجرام، وأن دقة فصل الميزان معلومة وهي ملليجرام واحد. تذكَّر أن ؛ ومن ثَمَّ، فإن . إذن المقياس الرقمي الذي له دقة فصل ملليجرام واحد يمكن أن يقيس الكتلة لأقرب 0.001 g.
الجزء الأول
بالنظر إلى القياس الأول، نجد أنه 0.080 g. أول رقمين هما الصفران على اليسار، وهما لملء المنازل العشرية؛ لذلك لن نَعُد أيًّا منهما ضمن الأرقام المعنوية. أما الصفر الأخير، فيُعَد رقمًا معنويًّا؛ وذلك لأننا نضمِّن دائمًا الأصفار التي تأتي بعد العلامة العشرية. في هذه الحالة، نعلم أيضًا أن الميزان له دقة فصل عالية بما يكفي لقراءة هذا الرقم بدقة. ومن ثَمَّ، نستنتج أن عدد الأرقام المعنوية في القياس الأول هو اثنان.
الجزء الثاني
في القياس الثاني 0.242 g، يمكننا تجاهل الصفر على اليسار، وبهذا يتبقى لدينا ثلاثة أرقام معنوية.
الجزء الثالث
القياس الثالث هو 1.401 g. لا يمكننا تجاهل الأصفار الموجودة بين الأرقام التي ليست أصفارًا؛ لذا، فإن عدد الأرقام المعنوية هنا هو أربعة.
الجزء الرابع
بالمثل، في القياس الرابع 10.084 g، علينا عد كل الأرقام الموجودة قبل العلامة العشرية وبعدها، فنحصل على خمسة أرقام معنوية.
الجزء الخامس
وأخيرًا، في القياس الخامس 12.440 g، سنَعُد جميع الأرقام، ومنها الصفر الأخير؛ لأنه يأتي بعد العلامة العشرية. وبذلك، نجد أن هذا القياس يتضمَّن خمسة أرقام معنوية.
كما هو موضَّح في هذا المثال، يمكن للأداة نفسها أن تُعطي قياسات تتضمَّن أعدادًا مختلفة من الأرقام المعنوية؛ وذلك بناءً على مقدار الكمية التي نقيسها. وإذا كانت قيمة القياس أكبر بكثير من دقة فصل أداة القياس، فستتضمَّن قيمة القياس الذي نحصل عليه عددًا أكبر من الأرقام المعنوية.
بما أنه لا يمكننا أبدًا أخذ قياس دقيق تمامًا في الفيزياء، فمن المهم أن نفهم كيفية التعامل مع الأرقام المعنوية لنتمكَّن من كتابة القياسات بدقة مناسبة.
غالبًا ما نواجه بعض الحالات؛ حيث يتوجَّب علينا استخدام كميتين مقيستين لحساب قيمة مشتقة ثالثة. على سبيل المثال، قد يكون علينا إيجاد سرعة سيارة. ولحساب السرعة نستخدم المعادلة:
المسافة التي قطعتها السيارة قد تكون هي المسافة المقيسة بالأعلى، والتي تساوي 5 300 m، ما يتضمَّن رقمين معنويين. ولتسجيل الزمن الذي استغرقته السيارة لقطع هذه المسافة، استخدمنا مؤقتًا رقميًّا دقة فصله 0.1 s، وقد سجَّل زمنًا قدره 166.7 s. يتضمَّن هذا القياس أربعة أرقام معنوية.
يمكننا إذن حساب السرعة كالآتي:
قمنا بعملية حسابية على كميتين في هذا المثال، إحداهما مكوَّنة من رقمين معنويين، والأخرى من أربعة أرقام معنوية. عندما نحسب السرعة، نقرِّب النتيجة دائمًا إلى عدد الأرقام المعنوية الأقل للكميات المستخدَمة في الحساب. في هذه الحالة، العدد الأقل من الأرقام المعنوية هو اثنان. إذن علينا تقريب هذه النتيجة إلى رقمين معنويين. ولفعل ذلك، نأخذ أول رقمين (31)، ثم ننظر إلى الرقم التالي. إذا كان هذا الرقم أربعة أو أقل، فإننا نقرِّب لأسفل ونُبقي أول رقمين كما هما. أما إذا كان خمسة أو أكبر، فإننا نقرِّب الرقم الأخير لأعلى بمقدار واحد. في هذه الحالة، الرقم التالي هو سبعة؛ لذا، سنقرِّب لأعلى. وهذا يجعل القيمة النهائية:
من المهم أن نلاحظ أن عدد الأرقام المعنوية لا يساوي بالضرورة عدد المنازل العشرية. فقيمة الزمن التي استخدمناها بالأعلى، 166.7 s، تتضمَّن أربعة أرقام معنوية، ومنزلة عشرية واحدة فقط. وتتضمَّن القيمة 0.05 m منزلتين عشريتين، ورقمًا معنويًّا واحدًا فقط.
تعريف: الأرقام المعنوية
عدد الأرقام المعنوية في الكمية المقيسة هو عدد الأرقام التي لها معنى. هذا باستثناء الأصفار على اليمين واليسار في حال استُخدمت لملء المنازل العشرية.
عند إجراء عملية حسابية على قيمتين أو أكثر تتضمَّن أعدادًا مختلفة من الأرقام المعنوية، يجب كتابة الناتج مقرَّبًا دائمًا إلى عدد الأرقام المعنوية الأقل للكميات الداخلة في الحساب.
نتناول الآن مثالين على التعامل مع الأرقام المعنوية.
مثال ٦: التعامل مع الأرقام المعنوية
قيس طولا ضلعَي بلاطة مستطيلة لأقرب سنتيمتر، ووُجد أنهما يساويان 6 cm و8 cm. بالتقريب إلى نفس عدد الأرقام المعنوية التي قُرِّب إليها طولا الضلعين، ما مساحة البلاطة؟
الحل
علينا في هذا المثال أن نحسب مساحة مستطيل بمعلومية طولَي ضلعيه المقيسين.
تذكَّر أنه لإيجاد مساحة المستطيل، نضرب طولَي الضلعين. إذا كان طولا الضلعين 6 cm و8 cm، فإن:
والآن، المطلوب منا هو تقريب الناتج إلى نفس عدد الأرقام المعنوية التي قيس إليها طولا الضلعين. طولا الضلعين مُعطيان لأقرب رقم معنوي واحد؛ لذا، علينا تقريب الإجابة إلى أقرب رقم معنوي واحد أيضًا. ولفعل ذلك، نُبقي الرقم الأول كما هو (40 cm2)، ثم ننظر إلى الرقم الثاني لتحديد إذا ما كنا سنقرِّب لأعلى أم لأسفل. في هذه الحالة، الرقم الثاني هو ثمانية؛ ومن ثَمَّ، نقرِّب لأعلى. وهذا يُعطينا الإجابة النهائية:
مثال ٧: إجراء عمليات حسابية على قياسات ذات أعداد مختلفة من الأرقام المعنوية
قيست المسافة 115 مترًا لأقرب متر. قُطعت هذه المسافة جريًا في زمن قدره 12 ثانية، مقيسًا لأقرب ثانية. ما متوسط سرعة الجري بالتقريب لعدد مناسب من الأرقام المعنوية؟
الحل
في هذا المثال، علينا حساب سرعة العدَّاء بمعلومية المسافة والزمن. أولًا، تذكَّر أن:
بالتعويض بالقيم المذكورة في السؤال، نجد أن:
علينا الآن تحديد العدد المناسب من الأرقام المعنوية لتقريب هذه النتيجة إليه. بدأنا بالمسافة 115 m، والتي تتضمَّن ثلاثة أرقام معنوية، والزمن 12 s، والذي يتضمَّن رقمين معنويين. عند إجراء عمليات حسابية على قيم تتضمَّن أعدادًا مختلفة من الأرقام المعنوية، فإننا نقرِّب النتيجة دائمًا إلى عدد الأرقام المعنوية الأقل للكميات الداخلة في الحساب. وفي هذه الحالة، الزمن هو الكمية التي لها أقل عدد من الأرقام المعنوية، وهو 2؛ لذا، يجب أن نقرِّب السرعة إلى أقرب رقمين معنويين.
لفعل ذلك، نبدأ بأول رقمين (9.5)، وبما أن الرقم الثالث هو 8، إذن نقرِّب لأعلى إلى 9.6 m/s. إذن الإجابة النهائية هي:
النقاط الرئيسية
- دقة فصل جهاز القياس هي مدى «التحديد» الذي يمكن أن تُقرأ إليه الأداة.
- الشك في القياس هو المدى الذي يُحتمل أن تقع فيه القيمة الفعلية لكمية مقيسة، وهو يساوي نصف مدى القيم المحتملة.
- عدد الأرقام المعنوية هو عدد الأرقام التي لها معنى في القيمة، باستثناء الأصفار المستخدَمة لملء المنازل العشرية على اليمين واليسار.
- عند إجراء عملية حسابية على قياسات تتضمَّن أعدادًا مختلفة من الأرقام المعنوية، فإننا نقرِّب النتيجة دائمًا إلى عدد الأرقام المعنوية الأقل للقياسات الداخلة في الحساب.
