في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم قانون نيوتن للجاذبية لحساب قوة الجاذبية بين جسمين لهما كتلة.
يُعَدُّ قانون نيوتن للجاذبية قانونًا أساسيًّا في الفيزياء الكلاسيكية التي تَصِف كيف تتجاذب الأجسام ذات الكتلة بعضها إلى بعض عن طريق الجاذبية. هذا القانون قاعدة عامة؛ بمعنى أنه ينطبق على جميع الكتل في الكون: ينص على أن القوى التي تَحكُم كيفية سقوط جسم ما على الأرض من مسافة قصيرة هي القوى نفسها التي تَحكُم حركة النجوم والكواكب.
من الأمور الأولى التي يجب ملاحظتها عن الجاذبية هو أنها قوة جاذبة دائمًا. تجعل الجاذبية جميع الكتل في الكون تنجذب إلى جميع الكتل الأخرى. إذا نظرنا إلى كتلتين منعزلتين، فإن الجاذبية ستؤثِّر بقوة على كلٍّ منهما:
يمكننا أن نرى أن القوى المؤثِّرة على كل جسم تُشير إلى اتجاهين متعاكسين، وتسحب الجسمين أحدهما في اتجاه الآخر مباشرةً. بعبارة أخرى، فإن متجهَي القوة المؤثِّرين على كل كتلة يقعان على خط مستقيم بين الكتلتين. من الناحية الفنية، نقول إن متجهَي القوة يقعان على الخط المستقيم الواصل بين مركزَي كتلتَي الجسمين، مركز كتلة الجسم هو الموضع المتوسط لكتلته بالكامل، وفي حالة الجسم الكروي، يكون في مركز الكرة. يمكننا أن نلاحظ أيضًا أن القوى المؤثِّرة على كلا الجسمين لها المقدار نفسه . في جميع الحالات، بالنظر إلى كتلتين، نجد أن الجاذبية تؤثِّر بقوتين متساويتين ومتعاكستين على كلا الجسمين.
مثال ١: إيجاد اتجاهَي قوتَي جاذبية
يمثِّل كلُّ شكل من الأشكال الآتية صخرتين في الفضاء الخارجي. ما الشكل الذي يوضِّح بصورة صحيحة اتجاه قوة الجاذبية المؤثِّرة على كل صخرة؟
الحل
للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكَّر أن الجاذبية قوة جاذبة دائمًا. يعني هذا أن أيَّ كتلتين تنجذب إحداهما إلى الأخرى من خلال متجهَي قوة يؤثِّران على طول الخط الواصل بين الكتلتين؛ أي إن كلًّا منهما يُسحَب في اتجاه الآخر. بالنظر إلى خيارات الإجابة المتاحة، يمكننا أن نلاحظ أن الخيار الوحيد الذي تنطبق عليه هذه الحالة هو الخيار (د). كما يمكننا أن نلاحظ أنه على الرغم من أن الصخرتين تبدوان مختلفتين، وقد تكون كتلتاهما مختلفتين، فإن قوة الجاذبية المؤثِّرة على كل صخرة لها المقدار نفسه، .
يمكن استخدام قانون نيوتن للجاذبية لحساب مقدار قوة الجاذبية التي تؤثِّر بين أيِّ جسمين لهما كتلة. نبدأ بالنظر إلى جسمين كتلتاهما و، تفصل بينهما مسافة .
يخبرنا قانون نيوتن للجاذبية بأن مقدار قوة الجاذبية المؤثِّرة على كل جسم يتناسب طرديًّا مع كلٍّ من و، ويتناسب عكسيًّا مع مربع المسافة بينهما. يمكن التعبير عن هذا بعلاقة التناسب الآتية:
ويمكن «تحويل» هذا التناسب إلى معادلة من خلال إدخال ثابت التناسب. يُعرَف هذا الثابت بثابت الجذب العام، ، وقيمته m3⋅kg−1⋅s−2. باستخدام هذا الثابت، يمكننا كتابة المعادلة الآتية.
معادلة: قانون نيوتن للجاذبية
للثابت دَوْران مهِمَّان في هذه المعادلة. أولًا، يعاير الطرف الأيمن من المعادلة؛ بحيث تُطابِق قيمة الطرف الأيمن مقدار قوة الجاذبية الناتجة (مقيسةً بوحدة نيوتن). ثانيًا، يضمن تساوي الوحدات في طرفَي المعادلة.
ننظر كيف يمكننا استخدام هذه المعادلة لحساب قوة الجاذبية بين جسمين.
مرةً أخرى، نتناول جسمين تفصل بينهما مسافة معيَّنة، كما هو موضَّح سابقًا. هذه المرة نقول إن كتلة كل جسم تساوي 1 kg، ويفصل بين الجسمين مسافة تساوي 1 m.
لدينا في هذه الحالة ، ، . إذن، تُعطى قوة الجاذبية الناتجة، ، من خلال:
يمكننا أن نولي انتباهًا خاصًّا إلى كيفية إيجاد قيمة الوحدات، لنحصل على وحدة النيوتن. وحدة قياس هي m3⋅kg−1⋅s−2. عندما نضرب في كتلتين (بوحدة الكيلوجرام)، ونقسم على مربع المسافة (بوحدة المتر المربع)، نحصل على:
كما يمكننا أن نلاحظ أن القوة التي حسبناها صغيرة جدًّا، ولا يمكن ملاحظتها في الحياة اليومية. في الواقع، عادةً ما نلاحظ قوى جذب كبيرة عندما نتعامل مع كتل كبيرة نسبيًّا تفصل بينها مسافات صغيرة نسبيًّا. والآن، نتناول مثالًا آخر يتضمَّن كتلًا أكبر.
نفترض هذه المرة وجود شخصين كتلةُ كلٍّ منهما 100 kg، تفصل بينهما مسافة مقدارها 1 m.
بتطبيق قانون نيوتن للجاذبية باستخدام ،، ، نحصل على:
على الرغم من أن هذه القوة أكبر بمقدار 10 000 ضعف من القوة التي وردت في المثال السابق، فإنها تظل صغيرة جدًّا ولا يمكن ملاحظتها. وهذا يتوافق مع تجربتنا اليومية في العالم: فنحن لا نتوقَّع وجود قوة جاذبية ملحوظة بين شخصين!
نتناول مثالًا آخر على كتل أكبر.
مثال ٢: حساب مقدار قوة الجاذبية بين جسمين
يُوجَد الجسمان (أ) و(ب) في الفضاء السحيق. المسافة بين مركزَيْ كتلتَي الجسمين تساوي 20 m. كتلة الجسم (أ) تساوي 30 000 kg، وكتلة الجسم (ب) تساوي 55 000 kg. ما مقدار قوة الجاذبية بين الجسمين؟ استخدم القيمة m3/kg⋅s2 لثابت الجذب العام. اكتب إجابتك بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
نعلم أن الجاذبية تؤثِّر بقوة على الجسمين؛ بحيث ينجذب كلٌّ منهما إلى الآخر. على وجه التحديد، سيكون متجها القوة هذان متساويين في المقدار، لكنهما يشيران إلى اتجاهين معاكسين على الخط المستقيم الذي يصل بين مركزَي كتلتَي الجسمين.
يخبرنا قانون نيوتن للجاذبية بأن القوة المؤثِّرة على كل جسم تُعطَى من خلال:
في هذه الحالة لدينا ، ، . إذن تُعطى قوة الجاذبية الناتجة، ، من خلال:
وبتقريب هذا العدد إلى أقرب منزلتين عشريتين، نحصل على الإجابة النهائية .
تظل هذه القوة صغيرة نسبيًّا على الرغم من أن كتلة كلٍّ من الجسمين تبلغ عدة أطنان. لكن عند التعامل مع الأجسام التي لها كتل كبيرة جدًّا، مثل النجوم والكواكب والأقمار، فإن القوى الناتجة عن الجاذبية تكون أكثر وضوحًا.
مثال ٣: حساب مقدار قوة الجاذبية بين الأرض والقمر
كتلة الأرض kg، وكتلة القمر kg. متوسط المسافة بين مركز الأرض ومركز القمر 384 000 km. ما مقدار قوة الجاذبية بين الأرض والقمر؟ استخدم m3/kg⋅s2 لقيمة ثابت الجذب العام. اكتب إجابتك بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
نعلم أن الجاذبية تؤثِّر بقوة متساوية على كلٍّ من الأرض والقمر. تؤثِّر هذه القوة على طول الخط المستقيم الذي يصل بين مركزَي كتلتَي الجسمين؛ أي بين مركز الأرض ومركز القمر.
يمكننا استخدام هذه المعادلة الآتية لحساب مقدار هذه القوة :
نعلم من معطيات السؤال قيم ، ، . لاحظ أنه علينا تحويل إلى الوحدة القياسية للطول قبل التعويض بهذه القيمة في المعادلة: . إذن تُعطى قوة الجاذبية الناتجة، ، من خلال:
وبتقريب هذا الناتج إلى أقرب منزلتين عشريتين، نحصل على الإجابة النهائية .
في المثال التالي، نلاحظ كيف يمكن إعادة ترتيب المعادلة لإيجاد كميات أخرى غير القوة .
مثال ٤: حساب مقدار قوة الجاذبية بين زحل وتيتان
تيتان هو أكبر أقمار زحل. كتلة تيتان kg. كتلة زحل kg. إذا كان مقدار قوة الجذب بين تيتان وزحل N، فما المسافة بين مركزَي كتلتَي زحل وتيتان؟ استخدم القيمة m3/kg⋅s2 لثابت الجذب العام. اكتب إجابتك بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
نتحدَّث في هذا السؤال عن قوة الجاذبية المؤثِّرة بين زحل وقمره تيتان. هذه المرة، نعلم مقدار قوة الجاذبية التي تجذب الجسمين، ونريد إيجاد المسافة بينهما.
في هذه المسألة، لا يزال بإمكاننا استخدام المعادلة نفسها التي تَصِف قانون الجاذبية لنيوتن:
بما أننا نريد إيجاد قيمة ، إذن يكون علينا إعادة ترتيب المعادلة لجعل المتغيِّر التابع. يمكننا البدء بضرب الطرفين في ، لنحصل على:
ثم نقسم الطرفين على :
وأخيرًا، نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، ويتبقَّى لدينا في الطرف الأيسر:
بما أننا نعرف القوة ، وكذلك الكتلة، إذن علينا الآن التعويض بهذه القيم في الطرف الأيمن من المعادلة. في هذه الحالة، نفترض أن كتلة تيتان، وتساوي kg، و كتلة زحل، وتساوي : بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين تكون هي الإجابة النهائية.
في المثال التالي، نتناول كيفية تغيُّر قوة الجاذبية طبقًا للمسافة، وكيف يمكن تمثيل هذه العلاقة بيانيًّا.
مثال ٥: التعرُّف على كيفية تغيُّر قوة الجاذبية بتغيُّر المسافة على التمثيل البياني
أيٌّ من الخطوط الموضَّحة في التمثيل البياني يوضِّح كيف يتغيَّر مقدار قوة الجاذبية بين جسمين بتغيُّر المسافة بين مركزَي كتلتَيْهما؟
الحل
إننا نبحث عن الخط الذي يوضِّح لنا كيف تتغيَّر قوة الجاذبية بين جسمين بتغيُّر المسافة.
يمكن الحصول على هذه العلاقة باستخدام قانون نيوتن للجاذبية:
بما أن السؤال يوضِّح أننا نتحدَّث عن «جسمين»، إذن يمكننا افتراض أن كلًّا منهما له كتلة ثابتة. نفكِّر فيما ستوضِّحه لنا هذه المعادلة عندما نجعل كلًّا من و ثابتين، ونغيِّر المسافة .
لاحظ أن لدينا في مقام الطرف الأيمن من المعادلة. في حال زيادة مقدار ، يزيد مقدار أيضًا. تؤدِّي زيادة المقام بهذه الطريقة إلى تقليل مقدار . وبما أن هذا يساوي ، إذن نعرف أن سيقل. بعبارة أخرى، زيادة المسافة بين جسمين، تقلِّل مقدار قوة الجاذبية، ، بينهما.
نستنتج من ذلك أننا نبحث عن خط يكون ميله سالبًا دائمًا؛ أي يوضِّح أن القوة تقل كلما زادت المسافة. يعني هذا أنه يمكننا استبعاد الخطين الأزرقوالأخضر اللذين لهما قيمتا ميل موجبتان.
توضِّح جميع الخطوط الأخرى على التمثيل البياني؛ أي الخطوط الأرجواني، والأحمر، والأسود، أن القوة تقل كلما زادت المسافة. يمكننا معرفة أيُّ خط هو الصحيح بأن نسأل أنفسنا عمَّا يحدث لـ عندما تقترب قيمة من الصفر.
بالنظر إلى المعادلة السابقة، يمكننا ملاحظة أنه بتقليل قيمة تزداد قيمة . لكن، بالإضافة إلى ذلك، يمكننا أن نلاحظ أنه إذا جعلنا يساوي صفرًا، فسنواجه مشكلة:
وهي أننا نقسم على صفر! يعني هذا أن النتيجة (أي ) «غير معرَّفة». نعلم أن التمثيل البياني لهذه المعادلة لن يمثِّل قيمة نهائية لـ عندما تكون = صفرًا. بالنظر إلى التمثيل البياني مرة أخرى، يمكننا أن نرى أنه من بين الخيارات المتبقية، لا يتبع الخطان الأرجوانيوالأسود هذه القاعدة: كلٌّ من هذين الخطين يقطع المحور الرأسي عند قيمة نهائية لـ . الأمر الذي يترك لنا خيار إجابة واحد فقط هو: الخط الأحمر.
في الواقع، يخبرنا قانون نيوتن للجاذبية بأن مقدار قوة الجاذبية يميل إلى أن يزداد إلى ما لا نهاية (أي تصبح أكبر وأكبر دون حدٍّ) كلما اقتربت المسافة بين جسمين أكثر فأكثر من الصفر. وبالفعل، يمثِّل ذلك الخط الأحمر على التمثيل البياني، فعندما تقل قيمة ، يزداد ميل الخط الأحمر أكثر فأكثر، ولا يتقاطع مع المحور أبدًا. إذن نعلم أن الخط الأحمر يوضِّح بالشكل الصحيح كيفية تغيُّر قوة الجاذبية بتغيُّر المسافة .
النقاط الرئيسية
- جميع الكتل تجذب جميع الكتل الأخرى.
- إذا كان لدينا جسمان كتلتاهما و، ويفصل بين مركزَي كتلتَيْهما المسافة ، فإن مقدار قوة الجاذبية بينهما يُعطَى بالمعادلة: حيث ثابت الجذب العام، ويساوي m3⋅kg−1⋅s−2. يتعرَّض كلا الجسمين لقوة تساوي هذا المقدار.
- قوى الجاذبية بين جسمين:
- تجذب دائمًا.
- تؤثِّر على الخط المستقيم الواصل بين مركزَي كتلتَي الجسمين.
