شارح الدرس: الزوايا الناتجة عن تقاطع المستقيمات في دائرة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد قياسات الزوايا الناتجة عن تقاطع وترين، أو قاطعين، أو مُماس وقاطع في دائرة.

لنفترض أن لدينا وترين ، في دائرة مركزها وأنهما يتقاطعان داخل الدائرة عند . ما الذي يمكننا استنتاجه حول قياس الزاوية المحصورة بين الوترين، أي ؟

سنثبت وجود علاقة بين كلٍّ من وقياسي ، . ولفعل ذلك، نرسم أولًا قطعة مستقيمة تصل بين النقطتين ، .

وبما أن النقاط ، ، تقع على خط واحد، فإن ، متكاملتان؛ ما يعني أن مجموع قياسيهما يساوي . وقياس نفسه مكمل لمجموع قياسي ، وذلك نظرًا لأن هذه الزوايا الثلاث هي زوايا المثلث . ومن ثَمَّ فإنه، نظرًا لأن ، ، ، فإننا نستنتج من ذلك أن:

قياسا الزاويتين المحيطيتين ، ، أي ، ، يساويان نصف قياسي القوسين المقابلين لهما، أي ، على الترتيب. ومن ثَمَّ نستنتج أن:

وبالمثل، يمكننا إثبات أن:

خاصية قياس الزاوية المحصورة بين وترين متقاطعين في الدائرة

إذا تقاطع وتران عند نقطة داخل الدائرة، فإن قياس الزاوية المحصورة بين الوترين يساوي نصف مجموع قياسي القوسين المقابلين للزاوية.

دعونا نُلْقِ نظرة على كيفية استخدام هذه الخاصية المتعلقة بتقاطع وترين داخل دائرة في المثال الأول.

مثال ١: إيجاد الزاوية المحصورة بين وترين متقاطعين داخل الدائرة

أوجد قيمة .

الحل

لدينا وتران متقاطعان داخل الدائرة وهما: ، . ومطلوب منا إيجاد قيمة ، أي قياس الزاوية المحصورة بين الوترين.

تذكر أنه إذا تقاطع وتران عند نقطة داخل الدائرة، فإن قياس الزاوية المحصورة بين الوترين يساوي نصف مجموع قياسي القوسين المقابلين للزاوية.

القوسان المقابلان للزاوية التي قياسها هما ، . وقياس القوسين على الترتيب هما ، .

ومن ثَمَّ، نستنتج أن:

دعونا الآن نفكر في قاطعين يتقاطعان خارج الدائرة ونرى ما يمكننا استنتاجه حول قياس الزاوية المحصورة بين القاطعين (تذكر أن القاطع هو الامتداد الخطي للوتر).

في الشكل التالي، القاطعان ، يتقاطعان خارج الدائرة عند النقطة .

الزاوية مكمِّلة للزاوية التي تُعد هي نفسها مكملة لمجموع وذلك نظرًا لأن ، ، هي الزوايا الثلاث للمثلث . ومن ثَمَّ، نستنتج أن:

عند إعادة الترتيب لجعل في طرف مستقل نحصل على:

قياسا الزاويتين المحيطيتين ، يساويان نصف قياسي القوسين المقابلين لهما، أي ، على الترتيب. ومن ثَمَّ نستنتج أن:

خاصية قياس الزاوية المحصورة بين قاطعين يتقاطعان خارج الدائرة

إذا تقاطع قاطعان عند نقطة خارج الدائرة، فإن قياس الزاوية المحصورة بين القاطعين يساوي نصف القيمة الموجبة للفرق بين قياسي القوسين المحصورين بين ضلعي الزاوية.

دعونا نرَ كيف نستخدم هذه الخاصية في المثال التالي.

مثال ٢: إيجاد قياس الزاوية الناتجة عن تقاطع قاطعين

أوجد قيمة .

الحل

لدينا قاطعان وهما ، يتقاطعان خارج الدائرة عند النقطة (تذكر أن القاطع هو امتداد خطي للوتر). علينا إيجاد قيمة ، أي قياس الزاوية المحصورة بين القاطعين.

تذكر أنه إذا تقاطع قاطعان عند نقطة خارج الدائرة، فإن قياس الزاوية المحصورة بين القاطعين يساوي القيمة الموجبة للفرق بين قياسي القوسين المحصورين بين ضلعي الزاوية.

ومن ثَمَّ نستنتج أن:

يجدر بنا ملاحظة أنه يتعين علينا طرح قياس القوس الأصغر من قياس القوس الأكبر؛ لأن الفرق يجب أن يكون موجبًا لأن قياسات الزوايا تكون موجبة.

والآن، لنتناول مماسين عند النقطتين ، لدائرة مركزها يتقاطعان عند النقطة خارج الدائرة.

بما أن مجموع قياسات الزوايا في الشكل الرباعي يساوي ، فإننا نستنتج أن:

علاوة على ذلك، نصف القطر يكون عموديًّا على مُماس الدائرة عند النقطة ؛ لذا فإن . وبالمثل، نصف القطر يكون عموديًّا على مُماس الدائرة عند النقطة ؛ لذا فإن :

الزاوية هي الزاوية المركزية التي يقابلها . وعليه، فإن قياسيهما متساويان، ونستنتج من ذلك أن:

من هذه العلاقة، يمكننا إيجاد علاقة تتضمن القوس الأكبر والأصغر. لنطلق على هذين القوسين ، على الترتيب، كما هو موضح في الشكل التالي.

ضرب كلا طرفي الصيغة في ٢ يعطينا:

وبما أن المُماسين المتقاطعين قسَّما الدائرة بالكامل إلى قوسين، فإننا نستنتج أن: وهو ما يعطينا:

بالتعويض عن قيمة الأولى في المعادلة السابقة، نجد أن:

بقسمة الطرفين على اثنين نحصل على:

خاصية قياس الزاوية المحصورة بين مُماسين يتقاطعان خارج الدائرة

إذا تقاطع مماسين عند نقطة تقع خارج الدائرة، فإن قياس الزاوية المحصورة بين المماسين يساوي قياس القوس الأصغر المحصور بين نقطتي التماس مع المُماسين مطروحًا من .

قياس الزاوية المحصورة بين المماسين يساوي أيضًا نصف الفرق بين القوسين الأكبر والأصغر المحصورين بين نقطتي التماس مع المُماسين.

هيا نُلقِ نظرة على مثال يتعين علينا فيه تطبيق هذه الخاصية.

مثال ٣: إيجاد الزاوية المحصورة بين مُماسين متقاطعان

أوجد قيمة .

الحل

الشعاعان ، هما مُماسان للدائرة عند النقطتين ، على الترتيب. وعلينا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين المُماسين.

تذكر أنه إذا تقاطع مُماسين عند نقطة خارج الدائرة، فإننا نحصل على قياس الزاوية المحصورة بين المُماسين إما بطرح قياس القوس الأصغر المحصور بين نقطتي التماس مع المُماسين من أو بضرب نصف في الفرق بين قياسي القوسين الأكبر والأصغر المحصورين بين نقطتي التماس مع المُماسين.

قياس القوس الأصغر مُعطى، وهو: .

ومن ثَمَّ، فإن: أو نظرًا لأن قياس القوس الأكبر ، فإن هذا يعني أن:

هيا نتناول مثالاً آخر يتضمن مُماسين متقاطعين.

مثال ٤: حل مسألة متعددة الخطوات تتضمن مُماسين متقاطعين

في الشكل التالي، أوجد قيمة كلٍّ من: ، .

الحل

الشعاعان ، هما مُماسان للدائرة عند النقطتين ، على الترتيب. ومطلوب منا إيجاد قيمتي ، مع العلم بأن هو قياس الزاوية بين المحصورة المماسين وأن قياسي القوسين المحصورين بين ضلعي الزاوية هما: ، .

تذكر أن إذا تقاطع مماسين عند نقطة خارج الدائرة، فإن قياس الزاوية المحصورة بين المماسين يساوي قياس القوس الأصغر المحصور بين نقطتي التماس مع المماسين مطروحًا من .

لذا، يمكننا كتابة أن:

بما أن مجموع قياسي القوسين الأصغر والأكبر يساويان قياس الدائرة بالكامل، فإننا نستنتج أن:

وبذلك نكون حصلنا على ، .

أخيرًا، لننظر إلى حالة حيث يكون لدينا مُماس وقاطع يتقاطعان خارج الدائرة عند نقطة .

الزاوية مكمِّلة للزاوية التي هي نفسها مكمِّلة لـ وذلك نظرًا لأن ، ، هي الزوايا الثلاث للمثلث . ومن ثَمَّ، نستنتج أن:

بإعادة ترتيب ذلك، نحصل على:

لإيجاد ، نكتب أن مجموع قياسات الزوايا في الشكل الرباعي يساوي .

بملاحظة أن هي زاوية قائمة؛ نظرًا لأن هو نصف قطر، هو المُماس عند النقطة ، وباستخدام قياسات الزوايا المشار إليها في الشكل أعلاه، يصبح لدينا:

قياس الزاوية المركزية ، أي ، يساوي قياس .

بالإضافة إلى ذلك، عند التفكير في مجموع قياسات زوايا المثلث ، نجد أن:

وأخيرًا، المثلث متساوي الساقين (لأن ضلعيه هما نصفا قطرين في الدائرة)، ومن ثَمَّ فإن:

إذن، عند التعويض بكلٍّ من: ، ، في المعادلة: (٢)، نجد أن:

وبعد التبسيط، نجد أن:

والآن يمكننا العودة إلى المعادلة (١): وملاحظة أن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس المحصور بين ضلعيها.

ومن ثَمَّ، نستنتج أن:

خاصية قياس الزاوية المحصورة بين ُمماس قاطع يتقاطعان خارج الدائرة

إذا كان تقاطع مُماس وقاطع عند نقطة خارج الدائرة، فإن قياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي نصف الفرق بين قياسي القوسين المحصورين بين ضلعي الزاوية.

لنر كيف نطبق هذه الخاصية في المثال التالي.

مثال ٥: إيجاد الزاوية الناتجة عن تقاطع مُماس وقاطع باستخدام المعادلات الخطية

في الشكل التالي، إذا كان ، ، فأوجد قيمة .

الحل

القطعتان المستقيمتان ، ، وهما على الترتيب قاطع للدائرة عند النقطتين ، ومُماس للدائرة عند النقطة ، تتقاطعان عند النقطة وتصنعان زاوية قياسها . علينا تحديد قيمة وفي الوقت نفسه لدينا قياس القوسين المحصورين بين القاطع والمُماس، أي ، ، بدلالة .

تذكر أنه إذا تقاطع مماس وقاطع عند نقطة خارج الدائرة، فإن قياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي نصف الفرق بين قياسي القوسين المحصورين بين ضلعي الزاوية.

ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة الآتي:

يمكننا الآن استخدام التعبيرين المعطيين في السؤال للتعويض عن ، وكتابتهما بدلالة في المعادلة أعلاه، وبذلك نحصل على:

هيا نلخِّص الآن ما تعلمناه في هذا الشارح.