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شارح الدرس: Probabilité d’évènements simples الرياضيات

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer les probabilités d’événements simples.

Rappelons d’abord la définition d’une probabilité. La probabilité d’un événement mesure à quel point un événement est susceptible de se produire. Une probabilité appartient à l’intervalle [0;1] et la probabilité d’un événement:

  • certain est égale à 1;
  • impossible est égale à 0;
  • qui est susceptible de se produire est plus proche de 1 que de 0;
  • qui est peu susceptible de se produire est plus proche de 0 que de 1;
  • autant probable qu’improbable est égale à 12.

On peut représenter les événements et leur probabilité sur une droite numérique, comme indiqué ci-dessous.

Pour calculer la probabilité qu’un événement se produise, on doit connaître le nombre d’issues où l’événement se produit et le nombre d’issues total. On calcule ensuite la probabilité en divisant le nombre d’issues où l’événement se produit par le nombre total d’issues. En d’autres termes, probabilitéquunévénementseproduisenombredissuesoùlévénementseproduitnombretotaldissues=.

Donnons maintenant une définition plus formelle.

Définition : Probabilité d’un événement

Si 𝐸 est un événement dans un univers Ω, alors la probabilité de l’événement 𝐸 est définie par 𝑃(𝐸)=(𝐸)(Ω),cardcard𝑃(𝐸) est la probabilité de l’événement 𝐸, card(𝐸) est le nombre d’issues de 𝐸 et card(Ω) est le nombre d’issues dans l’univers Ω, en supposant que chaque issue a la même probabilité.

On peut démontrer que la probabilité de tout événement 𝐸 appartient à l’intervalle [0;1] directement à partir de cette définition.

Puisque 𝐸Ω (𝐸 est un sous-ensemble de Ω), on a cardcard(𝐸)(Ω), et comme card(𝐸)0 et card(Ω)0, on a 0(𝐸)(Ω)1.cardcard

Par conséquent, 0𝑃(𝐸)1.

Nous allons voir dans le premier exemple comment calculer la probabilité d’un événement où il n’y a que deux issues possibles.

Exemple 1: Calculer la probabilité d’un événement

Une classe est constituée de 6 garçons et de 21 filles. Si on choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité que ce soit une fille?

Réponse

Pour pouvoir calculer la probabilité qu’un élève choisit au hasard soit une fille, nous utilisons la formule suivante:𝑃(𝐸)=(𝐸)(Ω),cardcard𝑃(𝐸) est la probabilité de l’événement 𝐸, card(𝐸) est le nombre d’issues dans l’événement 𝐸 et card(Ω) est le nombre d’issues dans l’univers Ω.

Dans cette question, l’événement 𝐸 est l’événement que l’élève choisi au hasard soit une fille et l’univers Ω est constitué de tous les élèves, garçons ou filles, de la classe.

Pour calculer la probabilité d’un événement 𝐸, nous devons dénombrer les issues dans l’événement 𝐸 et dans l’univers Ω.

Nous savons que le nombre de filles dans la classe est égal à 21, donc le nombre d’issues de 𝐸 est card(𝐸)=21.

Pour trouver le nombre d’issues dans l’univers, card(Ω), il suffit de calculer la somme du nombre de filles et de garçons puisque ce sont les seules issues possibles. On a donc 6+21=27 élèves. Le nombre d’issues dans l’univers est donc card(Ω)=27.

Nous pouvons trouver 𝑃(𝐸) en appliquant la formule ci-dessus. En remplaçant card(𝐸)=21 et card(Ω)=27, on obtient 𝑃(𝐸)=(𝐸)(Ω)=2127=79.cardcard

Par conséquent, la probabilité qu’un élève choisi au hasard soit une fille est de 79.

Dans l’exemple suivant, nous allons calculer la probabilité d’un événement mais où il y a cette fois-ci trois issues possibles.

Exemple 2: Calculer la probabilité d’un événement dans un problème de tirage de billes

Un sac contient 7 billes blanches, 8 billes noires et 7 billes rouges. Si une bille est choisie au hasard dans le sac, quelle est la probabilité qu’elle soit blanche?

Réponse

Pour calculer la probabilité qu’une bille choisie au hasard soit blanche, nous utilisons la formule suivante:𝑃(𝐸)=(𝐸)(Ω),cardcard𝑃(𝐸) est la probabilité de l’événement 𝐸, card(𝐸) est le nombre d’issues dans l’événement 𝐸 et card(Ω) est le nombre d’issues dans l’univers Ω.

Dans cette question, 𝐸 est l’événement « la bille tirée du sac est blanche » et l’univers Ω est constitué de tous les tirages possibles des billes blanches, noires ou rouges du sac.

Pour calculer la probabilité de l’événement 𝐸, nous devons dénombrer les issues dans l’événement 𝐸 et dans l’univers Ω.

Puisqu’il y a 7 billes blanches dans le sac, le nombre d’issues dans 𝐸 est card(𝐸)=7.

Pour calculer le nombre d’issues dans l’univers Ω, il suffit d’additionner les nombres de billes blanches, noires et rouges, puisqu’elles représentent les seules issues possibles. En effectuant cette somme, on obtient 7+8+7=22. Ainsi, l’univers comporte card(Ω)=22 issues.

Nous pouvons calculer 𝑃(𝐸) en utilisant la formule ci-dessus. On évalue donc la probabilité avec card(𝐸)=7 et card(Ω)=22 pour obtenir 𝑃(𝐸)=(𝐸)(Ω)=722.cardcard

Par conséquent, la probabilité qu’une bille choisie dans le sac soit blanche est égale à 722.

Jusqu’à présent, nous avons traité des exemples où le nombre d’issues d’un événement était donné. Nous allons maintenant étudier un exemple dans lequel nous devons déterminer le nombre d’issues d’un événement à partir de sa description.

Exemple 3: Calculer la probabilité d’obtenir un nombre impair lors d’un lancer de dé équilibré

Si on lance un dé équilibré, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre impair?

Réponse

Pour calculer la probabilité d’obtenir un nombre impair lors d’un lancer de dé équilibré, nous allons utiliser la formule suivante:𝑃(𝐸)=(𝐸)(Ω),cardcard𝑃(𝐸) est la probabilité de l’événement 𝐸, card(𝐸) est le nombre d’issues dans l’événement 𝐸 et card(Ω) est le nombre d’issues dans l’univers Ω.

Dans cette question, l’événement 𝐸 consiste à obtenir un nombre impair lors d’un lancer de dé et l’univers Ω est constitué de tous les nombres possibles sur le dé.

Pour calculer la probabilité d’un événement 𝐸, nous devons dénombrer les issues de l’événement 𝐸 et de l’univers Ω.

Il y a 6 issues possibles lors d’un lancer de dé équilibré:1, 2, 3, 4, 5 et 6. Il y a donc 6 issues dans l’univers Ω. Parmi ces issues, les nombres 1, 3 et 5 sont impairs, il y a ainsi 3 issues dans l’événement 𝐸.

On a donc card(𝐸)=3 et card(Ω)=6.

En utilisant la formule ci-dessus, nous pouvons calculer 𝑃(𝐸). En évaluant donc cette probabilité avec card(𝐸)=3 et card(Ω)=6, on obtient 𝑃(𝐸)=(𝐸)(Ω)=36=12.cardcard

Par conséquent, la probabilité d’obtenir un nombre impair lorsqu’on lance un dé équilibré est de 12.

Nous allons maintenant étudier un exemple dans lequel nous devons calculer le nombre d’issues d’un événement avant de pouvoir calculer la probabilité de l’événement.

Exemple 4: Calculer la probabilité d’un événement

Quelle est la probabilité de choisir au hasard un nombre premier parmi les nombres 8, 9, 20, 19, 3 et 15?

Réponse

Pour déterminer la probabilité de choisir un nombre premier parmi les nombres 8, 9, 20, 19, 3 et 15, nous utilisons la formule de probabilité suivante:𝑃(𝐸)=(𝐸)(Ω),cardcard𝑃(𝐸) est la probabilité de l’événement 𝐸, card(𝐸) est le nombre d’issues de l’événement 𝐸 et card(Ω) est le nombre d’issues dans l’univers Ω.

Ici, l’événement 𝐸 consiste à tirer un nombre premier et l’univers Ω est constitué des nombres 8, 9, 20, 19, 3 et 15.

Afin de calculer la probabilité recherchée, nous devons déterminer le nombre d’issues dans l’événement 𝐸, noté card(𝐸) et le nombre d’issues dans l’univers Ω, noté card(Ω).

Puisque les nombres 8, 9, 20, 19, 3 et 15 constituent l’univers Ω, cet univers Ω a 6 issues possibles.

Les seuls nombres premiers (ceux avec exactement 2 diviseurs) parmi 8, 9, 20, 19, 3 et 15, sont 19 et 3. L’événement 𝐸 a donc 2 issues.

Par conséquent, card(𝐸)=2 et card(Ω)=6.

En utilisant la formule ci-dessus et en l’évaluant avec card(𝐸)=2 et card(Ω)=6, on obtient 𝑃(𝐸)=(𝐸)(Ω)=26=13.cardcard

Par conséquent, la probabilité de tirer un nombre premier au hasard dans la liste des nombres 8, 9, 20, 19, 3 et 15 est de 13.

Dans l’exemple suivant, nous allons étudier comment calculer le nombre d’issues dans un univers à partir du nombre d’issues d’un des événements et de la probabilité d’un autre événement.

Exemple 5: Utiliser la formule de la probabilité pour résoudre un problème

Un sac contient 24 balles blanches et un nombre inconnu de balles rouges. La probabilité de tirer au hasard une balle rouge est égale à 731. Combien de balles y a-t-il dans le sac?

Réponse

Dans cette question, nous connaissons la probabilité de choisir une balle rouge et nous devons calculer le nombre total de balles dans le sac, nous utilisons donc la formule suivante:𝑃(𝐸)=(𝐸)(Ω),cardcard𝑃(𝐸) est la probabilité de l’événement 𝐸, card(𝐸) est le nombre d’issues dans l’événement 𝐸 et card(Ω) est le nombre d’issues dans l’univers Ω.

Nous connaissons la probabilité de tirer une balle rouge, ainsi que le nombre de balles blanches;il est donc plus simple de travailler avec l’événement dont nous connaissons la probabilité, c’est-à-dire l’événement consistant à choisir une balle rouge. Définissons alors un nouvel événement 𝐸 qui est l’événement consistant à choisir une balle rouge et l’univers Ω constitué de toutes les balles du sac.

Nous savons que le sac contient des balles rouges et des balles blanches. Le nombre d’issues dans l’univers Ω est donc la somme des 24 balles blanches et d’un nombre inconnu de balles rouges. Soit 𝑥 le nombre de balles rouges, le nombre d’issues dans l’univers est alors card(Ω)=24+𝑥.

Puisque nous avons défini 𝑥 comme étant le nombre de balles rouges, le nombre d’issues de l’événement 𝐸 est card(𝐸)=𝑥.

Nous savons que la probabilité de choisir une balle rouge est de 731, donc la probabilité de l’événement 𝐸 est 𝑃(𝐸)=731.

On peut substituer card(Ω)=24+𝑥, card(𝐸)=𝑥 et 𝑃(𝐸)=731, dans la formule ci-dessus pour déterminer 𝑥 et donc card(Ω), le nombre de balles dans le sac:𝑃(𝐸)=(𝐸)(Ω)731=𝑥24+𝑥.cardcard

On résout cette équation en 𝑥 de la façon suivante 731×(24+𝑥)=𝑥7(24+𝑥)=31𝑥168+7𝑥=31𝑥168=24𝑥𝑥=7.

Par conséquent, il y a 7 balles rouges dans le sac.

On peut maintenant calculer le nombre de balles dans le sac, puisque l’on sait qu’il y a 24 balles blanches et 7 balles rouges dans le sac;il y a donc au total 24+7=31 balles.

Nous concluons donc que le sac contient 31 balles.

Remarque

Vous avez peut-être remarqué que le dénominateur de la probabilité d’obtenir une balle rouge, 731, était égal au nombre total de balles dans le sac. En effet, dans la formule pour calculer une probabilité, le nombre d’issues total de l’univers est au dénominateur, il était donc probable que le dénominateur de la probabilité de tirer une balle rouge soit bien égal au nombre total de balles. Cependant, si la fraction avait été simplifiée, alors le dénominateur aurait été un diviseur du nombre total de balles.

Dans le dernier exemple, nous allons voir comment calculer le nombre total d’issues dans l’univers à partir des probabilités de deux événements et du nombre d’issues d’un troisième événement.

Exemple 6: Appliquer des probabilités d’événements simples pour résoudre un problème.

Un sac contient un nombre inconnu de billes. Il y a 3 billes rouges, des billes blanches et des billes noires. La probabilité de tirer au hasard une bille blanche est égale à 13 et la probabilité de tirer au hasard une bille noire est égale à 12. Calculez le nombre de billes dans le sac.

Réponse

Dans cette question, nous connaissons les probabilités de tirer au hasard une bille blanche et de tirer au hasard une bille noire, nous utilisons donc la formule suivante:𝑃(𝐸)=(𝐸)(Ω),cardcard𝑃(𝐸) est la probabilité d’un événement 𝐸, card(𝐸) est le nombre d’issues de l’événement 𝐸 et card(Ω) est le nombre d’issues dans l’univers Ω.

Au lieu de désigner l’événement par 𝐸, définissons B comme l’événement de choisir une bille blanche, N comme l’événement de choisir une bille noire et R comme l’événement de choisir une bille rouge. L’univers Ω est ici constitué de toutes les billes dans le sac.

Nous savons qu’il y a 3 billes rouges dans le sac;par conséquent, l’événement R a cardR()=3 issues possibles.

Comme nous ne connaissons ni le nombre de billes blanches, ni le nombre de billes noires, soient b le nombre de billes blanches et n le nombre de billes noires. Ainsi, cardBb()= et cardNn()=.

Puisque les seules issues possibles sont les tirages d’une bille rouge, blanche ou noire, le nombre d’issues de l’univers est égal à la somme des nombres de billes rouges, blanches et noires.

Il y a 3 billes rouges, b billes blanches et n billes noires donc le nombre d’issues dans l’univers Ω est cardbn(Ω)=3++.

On sait que la probabilité de choisir une bille blanche est de 13, que le nombre de billes blanches est cardBb()= et que le sac contient cardbn(Ω)=3++ billes, on peut donc substituer ces expressions dans la formule 𝑃()=()(Ω).BcardBcard

On obtient 13=3++.bbn

En réarrangeant puis en multipliant par les dénominateurs, on a 1×(3++)=3×3++=3.bnbbnb

En soustrayant b aux deux membres, on obtient 3+=2.nb

On appelle cette équation l’équation (1).

De même, comme la probabilité de tirer une bille noire est égale à 12, cardNn()= et cardbn(Ω)=3++, on peut substituer ces expressions dans la formule 𝑃()=()(Ω).NcardNcard

On a donc 12=3++.nbn

En réarrangeant en multipliant par les dénominateurs, on obtient 1×(3++)=2×3++=2.bnnbnn

En soustrayant n aux deux membres, on obtient 3+=.bn

On appelle l’équation ci-dessus l’équation (2).

Nous avons donc deux équations à deux inconnues et nous pouvons calculer b et n en résolvant ce système.

L’équation (1) est 3+=2nb et l’équation (2) est 3+=bn.

On résout ce système en remplaçant n dans l’équation (1) par son expression 3+b donnée par l’équation (2). On obtient 3+(3+)=26+=26=.bbbbb

Il y a donc 6 billes blanches dans le sac.

En substituant b=6 dans l’équation (2), on obtient 3+6=9=.nn

Il y a donc 9 billes noires dans le sac.

Pour calculer le nombre total de billes dans le sac, nous devons additionner le nombre de billes rouges, qui est égal à 3 d’après l’énoncé, et les nombres de billes blanches et noires, qui sont respectivement égaux à 6 et 9. On a donc card(Ω)=3+6+9=18.

Nous concluons donc qu’il y a 18 billes au total dans ce sac.

Remarque

Nous aurions pu traiter cet exemple autrement, en calculant d’abord la probabilité de tirer une bille rouge en utilisant le fait que la somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1.

Dans cette fiche explicative, nous avons appris à calculer la probabilité qu’un événement se produise et à résoudre des problèmes de calcul de nombre d’issues d’un événement ou d’un univers, où les probabilités étaient données.

Points clés

  • La probabilité d’un événement est définie par probabilitéquunévénementseproduisenombredissuesoùlévénementseproduitnombretotaldissues=.
  • Toute probabilité appartient à l’intervalle [0;1];plus elle est proche de 1, plus l’événement est susceptible de se produire et inversement, plus la probabilité est proche de 0, moins l’événement est susceptible de se produire.
  • Plus formellement, la probabilité d’un événement 𝐸 est définie par 𝑃(𝐸)=(𝐸)(Ω),cardcard𝑃(𝐸) est la probabilité de l’événement 𝐸, card(𝐸) est le nombre d’issues dans l’événement 𝐸 et card(Ω) est le nombre d’issues dans l’univers Ω.

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