تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: احتمال الأحداث البسيطة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد احتمال حدث بسيط.

أولًا، دعونا نتذكر معنى الاحتمال. الاحتمال لحدث هو إمكانية أو فرصة وقوع الحدث. تقع جميع الاحتمالات في الفترة [٠،١]، واحتمال أن يكون الحدث:

  • مؤكدًا هو ١.
  • مستحيلًا هو ٠.
  • أكثر إمكانية أقرب إلى ١ من ٠.
  • أقل إمكانية أقرب إلى ٠ من ١.
  • متساوي الإمكانية يساوي ١٢.

يمكننا تمثيل الأحداث واحتمالاتها باستخدام خط الأعداد، كما هو موضح أدناه.

ولكي نحسب احتمال حدوث حدث ما، علينا أن نعرف عدد النواتج المرغوبة وإجمالي عدد النواتج. ومن ثَمَّ، يُحسب الاحتمال بقسمة عدد النواتج المرغوبة على إجمالي عدد النواتج. بعبارة أخرى: الوثثداااإداا=.

وهذا معرَّف بشكل أكثر منهجية أدناه.

تعريف: احتمال حدثٍ ما

إذا كان 󰏡 هو حدث في فضاء العينة 𞸐، فإن احتمال حدوث الحدث 󰏡 هو: 𞸋(󰏡)=𞸍(󰏡)𞸍(𞸐)، حيث 𞸋(󰏡) يمثل احتمال حدوث الحدث 󰏡، 𞸍(󰏡) يمثل عدد العناصر في الحدث 󰏡، 𞸍(𞸐) يمثل عدد العناصر في فضاء العينة 𞸐، حيث كل عنصر له ناتج متساوي الاحتمال.

ومن خلال هذا التعريف، يمكننا توضيح أن احتمال الحدث 󰏡 يجب أن يقع في الفترة [٠،١].

وبما أن 󰏡𞸐 (󰏡 هو مجموعة جزئية من 𞸐𞸍(󰏡)𞸍(𞸐)، وبما أن 𞸍(󰏡)٠، 𞸍(𞸐)٠، ٠𞸍(󰏡)𞸍(𞸐)١.

إذن: ٠𞸋(󰏡)١.

في المثال الأول، سوف نناقش كيفية إيجاد احتمال حدث يكون فيه اثنان فقط من النواتج الممكنة.

مثال ١: تحديد الاحتمال النظري لحدثٍ ما

فصل به ٦ أولاد و٢١ بنتًا. إذا اختير تلميذ عشوائيًّا، فما احتمال أن يكون بنتًا؟

الحل

لإيجاد احتمال أن التلميذ المختار عشوائيًّا يكون بنتًا، علينا استخدام الصيغة التالية لإيجاد احتمال حدث ما: 𞸋(󰏡)=𞸍(󰏡)𞸍(𞸐)، حيث 𞸋(󰏡) يمثل احتمال الحدث 󰏡، 𞸍(󰏡) يمثل عدد العناصر في الحدث 󰏡، 𞸍(𞸐) يمثل عدد العناصر في فضاء العينة 𞸐.

في هذا السؤال، الحدث 󰏡 يمثل الحدث إذا اختير تلميذ عشوائيًّا، فسنجد أنه بنت، وتمثل فضاء العينة 𞸐 الأولاد والبنات في الفصل.

ولإيجاد احتمال الحدث 󰏡؛ علينا إيجاد عدد العناصر في 󰏡 وعدد العناصر في فضاء العينة 𞸐.

علمنا من السؤال أن عدد البنات في الفصل يساوي ٢١؛ ومن ثَمَّ فإن عدد العناصر في 󰏡 هو 𞸍(󰏡)=١٢.

ولإيجاد 𞸍(𞸐)، أي عدد العناصر في فضاء العينة، نجمع عدد البنات مع عدد الأولاد؛ لأن هذين هما فقط الناتجين الممكنان المعطيان. وهذا يعطينا ٦+١٢=٧٢ تلميذًا. إذن، فإن عدد العناصر في فضاء العينة يساوي 𞸍(𞸐)=٧٢.

وباستخدام الصيغة أعلاه، يمكننا إيجاد 𞸋(󰏡). عن طريق التعويض بـ 𞸍(󰏡)=١٢، 𞸍(𞸐)=٧٢، نحصل على: 𞸋(󰏡)=𞸍(󰏡)𞸍(𞸐)=١٢٧٢=٧٩.

ومن ثَمَّ، فإن احتمال أن يكون التلميذ المختار بنتًا يساوي ٧٩.

في المثال التالي، سنوجد احتمال حدث ما كما فعلنا في المثال السابق، لكن هذه المرة لدينا ثلاثة نواتج ممكنة.

مثال ٢: تحديد الاحتمال النظري لحدث ما في مسألة كرات

حقيبة تحتوي على ٧ كرات بيضاء و٨ كرات سوداء و٧ كرات حمراء. إذا سُحبت كرة عشوائيًّا من الحقيبة، فما احتمال أن تكون بيضاء؟

الحل

لإيجاد احتمال أن تكون الكرة المسحوبة عشوائيًّا بيضاء، نستخدم الصيغة التالية لإيجاد احتمال حدث ما: 𞸋(󰏡)=𞸍(󰏡)𞸍(𞸐)، حيث 𞸋(󰏡) يمثل احتمال الحدث󰏡، 𞸍(󰏡) يمثل عدد العناصر في الحدث 󰏡، 𞸍(𞸐) يمثل عدد العناصر في فضاء العينة 𞸐.

في هذا السؤال، يمثل الحدث 󰏡 حدث سحب كرة بيضاء من الحقيبة، ويمثل فضاء العينة 𞸐 جميع الكرات البيضاء والسوداء والحمراء الموجودة بالحقيبة.

ولإيجاد احتمال الحدث 󰏡؛ علينا إيجاد عدد العناصر في 󰏡 وعدد العناصر في فضاء العينة 𞸐.

نحن نعلم أنه توجد ٧ كرات في الحقيبة؛ ومن ثَمَّ، فإن عدد العناصر في 󰏡 هو 𞸍(󰏡)=٧.

ولإيجاد عدد العناصر في فضاء العينة 𞸐، علينا جمع عدد الكرات البيضاء وعدد الكرات السوداء وعدد الكرات الحمراء؛ لأنها هي النتائج الممكنة فقط. وبجمعها معًا، نحصل على ٧+٨+٧=٢٢ كرة. إذن، عدد العناصر في فضاء العينة يساوي 𞸍(𞸐)=٢٢.

وباستخدام الصيغة أعلاه، يمكننا إيجاد 𞸋(󰏡). وعن طريق التعويض بـ 𞸍(󰏡)=٧، 𞸍(𞸐)=٢٢، نحصل على: 𞸋(󰏡)=𞸍(󰏡)𞸍(𞸐)=٧٢٢.

وعليه، فإن احتمال أن تكون الكرة المسحوبة من الحقيبة بيضاء هو ٧٢٢.

لقد تناولنا حتى الآن أمثلة موضح لنا فيها عدد مرات حدوث حدثٍ ما. بعد ذلك، سنتناول مثالًا علينا فيه إيجاد عدد مرات حدوث حدثٍ ما بمعلومية وصفه.

مثال ٣: إيجاد احتمال ظهور عدد فردي عند إلقاء حجر نرد منتظم

ما احتمال ظهور عدد فردي عند إلقاء حجر نرد منتظم؟

الحل

لتحديد احتمال ظهور عدد فردي عند إلقاء حجر نرد منتظم، نستخدم الصيغة التالية لإيجاد احتمال حدث ما: 𞸋(󰏡)=𞸍(󰏡)𞸍(𞸐)، حيث 𞸋(󰏡) يمثل احتمال الحدث 󰏡، 𞸍(󰏡) يمثل عدد العناصر في الحدث 󰏡، 𞸍(𞸐) يمثل عدد العناصر في فضاء العينة 𞸐.

في هذا السؤال، يمثل الحدث 󰏡 حدث ظهور عدد فردي على النرد، ويمثل فضاء العينة 𞸐 كل الأعداد الممكنة الموجودة على حجر النرد.

ولإيجاد احتمال الحدث 󰏡؛ علينا إيجاد عدد العناصر في 󰏡 وعدد العناصر في فضاء العينة 𞸐.

نحن نعلم أنه عند إلقاء حجر نرد منتظم، توجد ٦ نواتج محتملة: ١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦. ولذلك، يكون عدد العناصر في فضاء العينة 𞸐 هو ٦. ومن بين هذه النواتج، ١، ٣، ٥ أعداد فردية، أي أن عدد العناصر في الحدث 󰏡 يساوي ٣.

ومن ثَمَّ، يمكننا قول إن 𞸍(󰏡)=٣، 𞸍(𞸐)=٦.

وباستخدام الصيغة أعلاه، يمكننا إيجاد 𞸋(󰏡). عن طريق التعويض بـ 𞸍(󰏡)=٣، 𞸍(𞸐)=٦، نحصل على: 𞸋(󰏡)=𞸍(󰏡)𞸍(𞸐)=٣٦=١٢.

وعليه، فإن احتمال ظهور عدد فردي عند إلقاء حجر نرد هو ١٢.

بعد ذلك، سنناقش مثالًا نحتاج فيه إلى إيجاد عدد النواتج المرغوبة لحساب احتمال حدثٍ ما.

مثال ٤: تحديد احتمال حدثٍ ما

ما احتمال الاختيار العشوائي لعدد أولي من مجموعة الأعداد ٨، ٩، ٢٠، ١٩، ٣، ١٥؟

الحل

لإيجاد احتمال اختيار عدد أولي من مجموعة الأعداد ٨، ٩، ٢٠، ١٩، ٣، ١٥، نستخدم صيغة احتمال حدث ما كما يلي: 𞸋(󰏡)=𞸍(󰏡)𞸍(𞸐)، حيث 𞸋(󰏡) يمثل احتمال الحدث󰏡، 𞸍(󰏡) يمثل عدد العناصر في الحدث 󰏡، 𞸍(𞸐) يمثل عدد العناصر في فضاء العينة 𞸐.

حسنًا، الحدث 󰏡 يمثل حدث اختيار عدد أولي، وفضاء العينة 𞸐 يمثل قائمة الأعداد ٨، ٩، ٢٠، ١٩، ٣، ١٥.

ولحساب الاحتمال، علينا إيجاد عدد العناصر الموجودة في الحدث 󰏡، 𞸍(󰏡) وعدد العناصر في فضاء العينة 𞸐، 𞸍(𞸐).

وبما أن الأعداد ٨، ٩، ٢٠، ١٩، ٣، ١٥ تمثل فضاء العينة 𞸐، فإن عدد العناصر في 𞸐 يكون ٦.

من قائمة الأعداد ٨، ٩، ٢٠، ١٩، ٣، ١٥ يكون العددان الأوليان (العددان اللذان لهما عاملان فقط) هما ١٩، ٣. ومن ثَمَّ، فإن عدد العناصر الموجودة في الحدث 󰏡 هو ٢.

ومن ثَمَّ، يمكننا قول إن 𞸍(󰏡)=٢، 𞸍(𞸐)=٦.

وباستخدام الصيغة أعلاه والتعويض بـ 𞸍(󰏡)=٢، 𞸍(𞸐)=٦ نحصل على: 𞸋(󰏡)=𞸍(󰏡)𞸍(𞸐)=٢٦=١٣.

إذن، احتمال اختيار عدد أولي من قائمة الأعداد ٨، ٩، ٢٠، ١٩، ٣، ١٥ هو ١٣.

في المثال التالي، سنناقش كيفية إيجاد عدد العناصر في العينة بمعلومية عدد العناصر في الحدث واحتمال حدث مختلف.

مثال ٥: استخدام الاحتمال النظري لحل مسألة

تحتوي حقيبة على ٢٤ كرة بيضاء وعدد غير معلوم من الكرات الحمراء. احتمال اختيار كرة حمراء عشوائيًّا ٧١٣. ما عدد الكرات الموجودة بالحقيبة؟

الحل

في هذا السؤال، وبما أننا نتعامل مع احتمال اختيار كرة حمراء وعلينا إيجاد إجمالي عدد الكرات الموجودة بالحقيبة؛ إذن علينا استخدام الصيغة التالية لاحتمال الحدث: 𞸋(󰏡)=𞸍(󰏡)𞸍(𞸐)، حيث 𞸋(󰏡) يمثل احتمال الحدث 󰏡، 𞸍(󰏡) يمثل عدد العناصر في الحدث 󰏡، 𞸍(𞸐) يمثل عدد العناصر في فضاء العينة 𞸐.

لدينا هنا احتمال اختيار كرة حمراء، وإجمالي عدد الكرات البيضاء؛ لذا من الأسهل التعامل مع الحدث الذي لدينا فيه الاحتمال، وهو الحدث الذي نختار فيه كرة حمراء. لذا، دعونا نعرِّف الحدث 󰏡 باعتباره حدث اختيار كرة حمراء ونعرِّف فضاء العينة 𞸐 باعتباره جميع الكرات الموجودة بالحقيبة.

علمنا من السؤال أن الحقيبة تحتوي على كرات حمراء وكرات بيضاء. إذن، عدد العناصر في فضاء العينة 𞸐 هو مجموع ٢٤ كرة بيضاء وعدد غير معلوم من الكرات الحمراء. لنفترض أن 𞸎 يمثل عدد الكرات الحمراء، يمكننا إذن القول إن عدد العناصر في فضاء العينة هو: 𞸍(𞸐)=٤٢+𞸎.

وكما حددنا أن 𞸎 يمثل عدد الكرات الحمراء، فإن عدد العناصر الموجودة في الحدث 󰏡 هو 𞸍(󰏡)=𞸎.

وعلمنا من المعطيات أن احتمال اختيار كرة حمراء هو ٧١٣؛ ومن ثَمَّ، فإن احتمال الحدث 󰏡 هو 𞸋(󰏡)=٧١٣.

وبما أن لدينا 𞸍(𞸐)=٤٢+𞸎، 𞸍(󰏡)=𞸎، 𞸋(󰏡)=٧١٣، يمكننا التعويض بهذه القيم في الصيغة أعلاه لإيجاد 𞸎، وبذلك، يكون عدد الكرات الموجودة بالحقيبة 𞸍(𞸐) هو: 𞸋(󰏡)=𞸍(󰏡)𞸍(𞸐)٧١٣=𞸎٤٢+𞸎.

بإعادة الترتيب والحل لإيجاد قيمة 𞸎، نحصل على: ٧١٣×(٤٢+𞸎)=𞸎٧(٤٢+𞸎)=١٣𞸎٨٦١+٧𞸎=١٣𞸎٨٦١=٤٢𞸎𞸎=٧.

إذن، عدد الكرات الحمراء الموجودة بالحقيبة هو ٧.

يمكننا الآن إيجاد عدد الكرات الموجودة بالحقيبة؛ لأن عدد الكرات البيضاء الموجودة بالحقيبة هو ٢٤ وعدد الكرات الحمراء هو ٧؛ ما يعني أن إجمالي عدد الكرات هو: ٤٢+٧=١٣.

ومن ثَمَّ، فإن إجمالي عدد الكرات الموجودة بالحقيبة هو ٣١.

ملاحظة

ربما تكون قد لاحظت أن مقام احتمال الحصول على كرة حمراء، ٧١٣ هو نفسه إجمالي عدد الكرات الموجودة بالحقيبة. وبما أن المقام في صيغة إيجاد احتمال حدث ما هو إجمالي عدد العناصر في فضاء العينة، فمن المحتمل أن يكون المقام في احتمال الحصول على كرة حمراء هو إجمالي عدد الكرات. ومع ذلك، إذا بسَّطنا الكسر، فإن المقام سيكون عاملًا للعدد الإجمالي للكرات.

في المثال الأخير، سنناقش كيفية إيجاد العدد الإجمالي لعناصر فضاء العينة بمعلومية احتمال حدثين وعدد مرات حدوث حدث ثالث.

مثال ٦: استخدام الاحتمال البسيط لحل مسألة

تحتوي حقيبة على عدد غير معروف من الكرات. توجد ٣ كرات حمراء، وبعض الكرات البيضاء، وبعض الكرات السوداء. احتمال اختيار كرة بيضاء ١٣، واحتمال اختيار كرة سوداء ١٢. احسب عدد الكرات الموجودة بالحقيبة.

الحل

في هذا السؤال، وبما أننا نتعامل مع احتمال اختيار كرة بيضاء، واحتمال اختيار كرة سوداء، نستخدم صيغة إيجاد احتمال حدث ما، كما يلي: 𞸋(󰏡)=𞸍(󰏡)𞸍(𞸐)، حيث 𞸋(󰏡) يمثل احتمال الحدث 󰏡، 𞸍(󰏡) يمثل عدد العناصر في الحدث 󰏡، 𞸍(𞸐) يمثل عدد العناصر في فضاء العينة 𞸐.

بدلًا من أن نقول الحدث 󰏡، لنفترض أن حدث اختيار كرة بيضاء نرمز له بالحرف ب، وحدث اختيار كرة سوداء نرمز له بـالحرف س، وحدث اختيار كرة حمراء نرمز له بالحرف ح. وفضاء العينة 𞸐 هنا هو جميع الكرات الموجودة بالحقيبة.

نعلم من المعطيات أن عدد الكرات الحمراء هو ٣، إذن عدد العناصر في الحدث ح هو 𞸍󰁓󰁒=٣ح.

وبما أننا لا نعرف عدد الكرات البيضاء ولا عدد الكرات السوداء؛ لنفترض أن عدد الكرات البيضاء هو ع وعدد الكرات السوداء هو ص. ومن ثَمَّ، 𞸍()=بع، 𞸍󰁓󰁒=سص.

وبما أن النواتج الوحيدة الممكنة هي كرة حمراء، أو كرة بيضاء، أو كرة سوداء؛ إذن فإن عدد العناصر في فضاء العينة هو عدد الكرات الحمراء زائد عدد الكرات البيضاء زائد عدد الكرات السوداء.

ونحن نعلم أن عدد الكرات الحمراء هو ٣، ونعرِّف عدد الكرات البيضاء باعتباره ع، وعدد الكرات السوداء باعتباره ص؛ ومن ثم، يكون عدد العناصر في فضاء العينة 𞸐 هو: 𞸍(𞸐)=٣++.عص

كما نعلم أن احتمال اختيار كرة بيضاء هو ١٣، وبما أننا عرَّفنا عدد الكرات البيضاء باعتباره 𞸍()=بع، ووجدنا أن عدد الكرات الموجودة بالحقيبة هو 𞸍(𞸐)=٣++عص، يمكننا التعويض بهذه القيم في الصيغة: 𞸋()=𞸍()𞸍(𞸐).بب

وهذا يعطينا: ١٣=٣++.ععص

وبإعادة الترتيب بالضرب التبادلي في المقامين، نحصل على ١×󰁓٣++󰁒=٣×٣++=٣.عصععصع

وبطرح ع من الطرفين، نحصل على: ٣+=٢.صع

سنسمي هذه المعادلة ١.

وبالمثل، نعلم من المعطيات أن احتمال اختيار كرة سوداء هو ١٢، وبما أننا عرَّفنا 𞸍󰁓󰁒=سص وأوجدنا 𞸍(𞸐)=٣++عص، يمكننا التعويض بهذه القيم في الصيغة 𞸋󰁓󰁒=𞸍󰁓󰁒𞸍(𞸐).سس

وهذا يعطينا ١٢=٣++.صعص

وبإعادة الترتيب بالضرب التبادلي في المقامين، نحصل على: ١×󰁓٣++󰁒=٢×٣++=٢.عصصعصص

وبطرح ص من الطرفين، نحصل على: ٣+=.عص

سنسمي هذه المعادلة ٢.

وبما أن لدينا معادلتين بهما قيمتان مجهولتان، يمكننا إيجاد قيمة ع، ص باستخدام معادلتين آنيتين.

نكتب المعادلة ١ على الصورة ٣+=٢صع، والمعادلة ٢ على الصورة ٣+=عص.

يمكننا حل هاتين المعادلتين بالتعويض عن ص في المعادلة ١ بـ ٣+ع من المعادلة ٢. وهذا يعطينا ٣+(٣+)=٢٦+=٢٦=.ععععع

إذن، عدد الكرات البيضاء هو ٦.

وإذا عوضنا بـ ع=٦ في المعادلة ٢، فسنحصل على: ٣+٦=٩=.صص

إذن، عدد الكرات السوداء هو ٩.

لإيجاد عدد الكرات الموجودة بالحقيبة، يمكننا جمع عدد الكرات الحمراء التي نعرف من السؤال أنها ٣، وعدد الكرات البيضاء الذي وجدنا أنه يساوي ٦، وعدد الكرات السوداء، الذي وجدنا أنه ٩. وهذا يعطينا: 𞸍(𞸐)=٣+٦+٩=٨١.

إذن، عدد الكرات الموجودة بالحقيبة هو ١٨.

ملاحظة

بدلًا من ذلك، كان يمكننا حل ذلك بإيجاد احتمال اختيار كرة حمراء أولًا باستخدام حقيقة أن مجموع كل الاحتمالات يساوي واحدًا.

في هذا الشارح، قد تعلمنا كيف نوجد احتمال حدوث حدثٍ ما، وكيف نتعامل مع المسائل التي علينا فيها إيجاد عدد النتائج المرغوبة وإجمالي عدد النواتج، وكذلك حل المسائل التي يكون فيها الاحتمال مُعطى.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا وصف احتمال الحدث بأنه: الوثثداااإداا=.
  • تقع جميع الاحتمالات في الفترة [٠،١]، مع احتمال أقرب إلى ١ كونه أكثر احتمالًا، واحتمال أقرب إلى ٠ كونه أقل احتمالًا.
  • منهجيًّا، نقول إن احتمال الحدث 󰏡 هو: 𞸋(󰏡)=𞸍(󰏡)𞸍(𞸐)، حيث 𞸋(󰏡) يمثل احتمال الحدث 󰏡، 𞸍(󰏡) يمثل عدد العناصر في الحدث 󰏡، 𞸍(𞸐) يمثل عدد العناصر في فضاء العينة 𞸐.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.