شارح الدرس: المتباينات الخطية في متغيِّرين الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: تحديد الترميز المستخدَم عند تمثيل المتباينات بيانيًّا

انظر المتباينتين الموضَّحتين في الشكل ١ والشكل ٢.

أيٌّ من الآتي صواب؟

1. يوضِّح الشكل ١ أن ، ويوضِّح الشكل ٢ أن .
2. يوضِّح الشكل ١ أن ، ويوضِّح الشكل ٢ أن .

الحل

عند النظر إلى التمثيلين البيانيين، نجد أن معادلة المستقيم الحدي في كلتا الحالتين هي ؛ لأن الإحداثيين ، لكل نقطة على المستقيم متساويان. سنوضِّح ذلك لبعض النقاط التي تقع على المستقيم، كما هو موضَّح في الشكلين الآتيين:

نلاحظ في كلا التمثيلين البيانيين أن المنطقة الموجودة فوق المستقيم الحدي مظلَّلة. وهذا يعني أنه بالنسبة إلى أي قيمة مُعطاة لـ ، تكون الإحداثيات للنقاط الموجودة في المنطقة المظلَّلة أكبر من قيمة على المستقيم الحدي. على سبيل المثال، إذا افترضنا أن يساوي ، نرى أن إحداثيات بعض النقاط الي تقع في المنطقة المظلَّلة هي ، ، ، . في كلٍّ من هذه النقاط، نجد أن قيمة الإحداثي أكبر من قيمة الإحداثي .

ومن ثَمَّ، فإن المتباينتين الممثَّلتين بيانيًّا هما ، ، ولكن علينا تحديد أيُّ متباينة تُناظِر أي شكل. الفرق الوحيد بين هذين التمثيلين البيانيين هو كيفية رسم المستقيم الحدي؛ فنلاحظ في الشكل ١ أنه ممثَّل باستخدام مستقيم متقطع، ونلاحظ في الشكل ٢ أنه ممثَّل باستخدام مستقيم متصل.

نحن نتذكَّر أن المستقيمات المتقطعة تُستخدَم لتمثيل المتباينات التامة؛ أي المتباينات التي تتضمَّن العلامة التامة أصغر من، أو العلامة التامة أكبر من. أما المستقيمات المتصلة تُستخدَم لتمثيل المتباينات الضعيفة؛ أي المتباينات التي تتضمَّن علامة أصغر من أو يساوي، أو تلك التي تتضمَّن علامة أكبر من أو يساوي.

المستقيم الحدي المرسوم في الشكل ١ متقطِّع، وهو ما يُشير إلى أن المتباينة الممثَّلة بيانيًّا هي متباينة تامة. إذن لا بد أنه يمثِّل المتباينة . في الشكل ٢، نرى أن المستقيم الحدي متصل، وهو ما يُشير إلى أن المتباينة الممثَّلة بيانيًّا هنا هي .

إذن الإجابة هي (أ): يوضِّح الشكل ١ أن ، ويوضِّح الشكل ٢ أن .

مثال ٢: تحديد متباينة من تمثيلها البياني

ما المتباينة المُمثَّلة بيانيًّا في الشكل الآتي؟

الحل

نبدأ بإيجاد معادلة المستقيم الذي يُحدِّد المنطقة المظلَّلة. تذكَّر أن معادلة المستقيم في صيغة الميل والمقطع هي: حيث يمثِّل ميل المستقيم، ويمثِّل الجزء المقطوع من المحور . من الشكل، نُحدِّد أن هذا المستقيم يقطع المحور عند ؛ ومن ثَمَّ، فإن . لإيجاد ميل المستقيم، نتذكَّر الصيغة: حيث ، إحداثيات نقطتين على المستقيم.

يمكننا اختيار أي نقطتين على المستقيم لنستخدمهما في حساب الميل، لكن من الأسهل استخدام نقاطٍ إحداثياتها أعداد صحيحة. لقد حدَّدنا بالفعل أن المستقيم يمر بالنقطة ، ونرى من الشكل أن النقطة تقع أيضًا على المستقيم.

بالتعويض بهذه القيم عن ، في صيغة الميل، نحصل على:

بعد ذلك، نعوِّض بالقيمتين ، في صيغة الميل والمقطع لمعادلة المستقيم، لنجد أن معادلة المستقيم الحدي هي .

ليس مطلوبًا منا إيجاد معادلة المستقيم فحسب، بل إيجاد المتباينة التي تَصِف المنطقة المظلَّلة. نلاحظ أن المستقيم الحدي للمنطقة رُسِم باستخدام مستقيم متقطِّع؛ وبناءً على ذلك، تكون المتباينة تامة؛ أي تتضمَّن العلامة التامة أكبر من ، أو العلامة التامة أصغر من .

بعد ذلك، نلاحظ أن المنطقة المظلَّلة تقع أسفل المستقيم. وهذا يعني أنه بالنسبة إلى أي قيمة مُعطاة لـ ، تكون الإحداثيات لجميع النقاط التي تقع في المنطقة المظلَّلة أصغر من قيمة على المستقيم. وقيمة على المستقيم تساوي قيمة المقدار ؛ ومن ثَمَّ، فإن المتباينة الممثَّلة بيانيًّا هي .

مثال ٣: تحديد إذا ما كانت نقطةٌ ما تنتمي إلى مجموعة حل متباينة أو لا

النقطة مجموعة حل المتباينة .

الحل

تتطلَّب منا هذه المسألة تحديد علامة المتباينة المناسبة للفراغ. يمكننا فعل ذلك عن طريق إيجاد قيمة المقدار في الطرف الأيمن عند النقطة ، ثم مقارنتها بالقيمة الموجودة في الطرف الأيسر.

عندما يكون ، ، فإن الطرف الأيمن يساوي:

وهذا يساوي القيمة الموجودة في الطرف الأيسر. لكننا علمنا من السؤال أن هذه متباينة وليست معادلة. أيًّا كانت علامة المتباينة التي نختارها، يجب أن تسمح بأن يكون الطرفان متساويين، إذا كانت النقطة تنتمي إلى مجموعة الحل. من بين الاختيارات الأربعة التي لدينا، نجد أن الخيار (د) هو الوحيد الذي يمثِّل علامة متباينة تسمح بتساوي الطرفين لبعض قيم ، .

إذن، الإجابة هي الخيار (د): .

مثال ٤: تحديد متباينة من تمثيلها البياني

ما المتباينة المُمثَّلة بيانيًّا في الشكل الآتي؟

الحل

هيا نبدأ بإيجاد معادلة المستقيم الحدي. تذكَّر أن معادلة المستقيم في صيغة الميل والمقطع هي: حيث يمثِّل الميل، ويمثِّل الجزء المقطوع من المحور . من الشكل، نجد أن المستقيم يقطع المحور عند ؛ ومن ثَمَّ، فإن .

لإيجاد ميل المستقيم، علينا إيجاد إحداثيات نقطتين تقعان على المستقيم. لقد حدَّدنا بالفعل النقطة ، ولكن يبدو أنه لا تُوجَد أيُّ نقاط أخرى لها إحداثيات من أعداد صحيحة في الشكل. لذا، علينا النظر إلى المقياس المستخدَم على المحورين. على كلا المحورين ، ، تُوجَد خمسة مربعات صغيرة بين كل قيمة صحيحة والأخرى؛ ومن ثَمَّ، فإن كل تقسيم جزئي على هذين المحورين يمثِّل ٠٫٢. نستنتج من الشكل أنه عندما يكون ، يقع الإحداثي على المستقيم على بُعد مربعين صغيرين أسفل ؛ لذا، فإن الإحداثي هنا يساوي . بالتعويض بالنقطتين ، في صيغة الميل، نحصل على:

بكتابة ذلك على صورة كسر، نجد أن الميل يساوي . ومن ثَمَّ، فإن معادلة المستقيم الحدي هي .

بعد ذلك، نلاحظ أن المستقيم الحدي قد رُسِم باستخدام مستقيم متصل، وهو ما يُشير إلى متباينة ضعيفة. سنختار الآن أي نقطة في المنطقة المظلَّلة؛ وأبسط نقطة هي نقطة الأصل. بالتعويض بـ في الطرف الأيمن من معادلة المستقيم الحدي، نحصل على صفر. وبالتعويض بـ في الطرف الأيسر من معادلة المستقيم الحدي، نحصل على:

بما أن ، إذن نعلم أنه بالنسبة إلى النقاط في المنطقة المظلَّلة، تكون قيمة أكبر من قيمة المقدار .

بدمج هذه النتيجة مع شرط أن تتضمَّن المتباينة الضعيفة نقاطًا تقع على المستقيم الحدي نفسه، نجد أن المتباينة الممثَّلة بيانيًّا هي .

يمكننا أيضًا تحديد العلامة الصحيحة للمتباينة من خلال ملاحظة أن المنطقة المظلَّلة تقع أعلى المستقيم الحدي.

مثال ٥: إيجاد المتباينة الممثَّلة بتمثيل بياني مُعطى

أوجد المتباينة التي مجموعة حلها ممثَّلة بالمنطقة الملوَّنة في الشكل الآتي.

الحل

مجموعة حل المتباينة هي مجموعة جميع النقاط التي تُحقِّق هذه المتباينة. في الشكل السابق، يُناظِر ذلك جميع النقاط الموجودة في المنطقة الملوَّنة.

هيا نبدأ بإيجاد معادلة المستقيم الحدي. يبدو من الشكل كما لو أن المستقيم يقطع المحور عند ، لكن لا يمكننا التأكُّد من ذلك بسبب المقياس المستخدَم. نحن نتذكَّر أن المعادلة العامة للخط المستقيم في صيغة الميل ونقطة هي: حيث يمثِّل ميل المستقيم، ويمثِّل إحداثيَّي أي نقطة على المستقيم.

بعد ذلك، نُحدِّد من الشكل النقطتين ، ، اللتين تقعان على المستقيم، ونستخدمهما أولًا لحساب الميل. هيا نتذكَّر صيغة ميل المستقيم، وهي:

بالتعويض بإحداثيات هاتين النقطتين، نحصل على:

وبالتعويض بقيمة هذه والنقطة في صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم، يصبح لدينا:

للتبسيط، نضرب أولًا كلا طرفَي المعادلة في ٢، ثم نوزِّع القوسين في الطرف الأيسر، كالآتي:

بذلك نكون قد أوجدنا معادلة المستقيم الحدي. ونلاحظ أيضًا من الشكل أن المستقيم الحدي مرسوم باستخدام مستقيم متقطع؛ ومن ثَمَّ، فإن المتباينة تامة؛ أي تتضمَّن العلامة التامة أصغر من ، أو العلامة التامة أكبر من . لاختبار أي علامة علينا استخدامها، يمكننا اختيار أي نقطة في المنطقة الملوَّنة. أبسط نقطة هي نقطة الأصل .

بالتعويض بـ في الطرف الأيمن من معادلة المستقيم الحدي، نجد أن:

لدينا في الطرف الأيسر المقدار ، وهو يساوي:

وبما أن ، إذن المتباينة الصحيحة هي . ليس علينا كتابة الإجابة على هذه الصورة تحديدًا؛ فأيُّ إعادة ترتيب نُجريها لهذه المتباينة تعتبر صحيحة أيضًا. بطرح من كلا الطرفين، نحصل على: