تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: المتباينات الخطية في متغيِّرين الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نمثِّل بيانيًّا متباينات خطية في متغيِّرين.

يجب أن نكون بالفعل على دراية بتمثيل المتباينات الخطية في متغيِّر واحد بيانيًّا وتحديد المناطق التي تمثِّلها، وهي متباينات مثل 𞸑>٢ أو 𞸎٥. تذكَّر أننا نبدأ برسم المستقيم الحدي للمنطقة، ونحصل على معادلته بالتعويض مؤقتًا عن علامة المتباينة بعلامة يساوي. على سبيل المثال، إذا أردنا تمثيل المتباينة 𞸑>٢ بيانيًّا، تكون معادلة المستقيم الحدي هي 𞸑=٢. نتذكَّر أيضًا أن نوع المستقيم الذي نستخدمه لتحديد المنطقة يعتمد على نوع المتباينة التي نمثِّلها بيانيًّا.

  • نستخدم مستقيمًا متصلًا لتمثيل المتباينة الضعيفة؛ أي المتباينة التي تتضمَّن أيًّا من العلامتين أو . وهذا يُشير إلى أن النقاط التي تقع على المستقيم الحدي نفسه تُحقِّق المتباينة.
  • نستخدم مستقيمًا منقطًا أو متقطعًا لتمثيل المتباينة التامة؛ أي المتباينة التي تتضمَّن أيًّا من العلامتين < أو >. وهذا يُشير إلى أن النقاط التي تقع على المستقيم الحدي لا تُحقِّق المتباينة.

بعد ذلك، نظلِّل جانب المستقيم الذي تقع عليه جميع النقاط التي تُحقِّق المتباينة. وهذا يُعرَف أيضًا بمجموعة حل المتباينة. في الشكل الآتي، نوضِّح التمثيل البياني للمتباينة 𞸑>٢. المنطقة محدَّدة بالمستقيم 𞸑=٢، الذي رُسِم على شكل مستقيم متقطِّع؛ لأن المتباينة تامة، وقد ظلَّلنا المنطقة التي تقع فوق هذا المستقيم. الإحداثي 𞸑 لكل نقطة في هذه المنطقة أكبر من ٢.

في هذا الشارح، سنوسِّع معرفتنا لتشمل المتباينات الخطية في متغيِّرين. ومن ثَمَّ، ستكون المستقيمات الحدية مستقيمات قطرية معادلاتها مُعطاة على صور مختلفة من معادلة الخط المستقيم؛ مثل: 󰏡𞸎+𞸁𞸑=𞸢 أو 𞸑=𞸌𞸎+𞸁. يجب أن نكون على دراية بإيجاد معادلة الخط المستقيم من التمثيل البياني، وهي مهارة أساسية سنحتاج إليها هنا.

هيا نتناول أولًا مثالًا نُحدِّد فيه الترميز الصحيح لمتباينة ممثَّلة بيانيًّا.

مثال ١: تحديد الترميز المستخدَم عند تمثيل المتباينات بيانيًّا

انظر المتباينتين الموضَّحتين في الشكل ١ والشكل ٢.

أيٌّ من الآتي صواب؟

  1. يوضِّح الشكل ١ أن 𞸑>𞸎، ويوضِّح الشكل ٢ أن 𞸑𞸎.
  2. يوضِّح الشكل ١ أن 𞸑𞸎، ويوضِّح الشكل ٢ أن 𞸑>𞸎.

الحل

عند النظر إلى التمثيلين البيانيين، نجد أن معادلة المستقيم الحدي في كلتا الحالتين هي 𞸑=𞸎؛ لأن الإحداثيين 𞸎، 𞸑 لكل نقطة على المستقيم متساويان. سنوضِّح ذلك لبعض النقاط التي تقع على المستقيم، كما هو موضَّح في الشكلين الآتيين:

نلاحظ في كلا التمثيلين البيانيين أن المنطقة الموجودة فوق المستقيم الحدي مظلَّلة. وهذا يعني أنه بالنسبة إلى أي قيمة مُعطاة لـ 𞸎، تكون الإحداثيات 𞸑 للنقاط الموجودة في المنطقة المظلَّلة أكبر من قيمة 𞸑 على المستقيم الحدي. على سبيل المثال، إذا افترضنا أن 𞸎 يساوي ٤، نرى أن إحداثيات بعض النقاط الي تقع في المنطقة المظلَّلة هي (٤،٢)، (٤،٠)، (٤،٢)، (٤،٤). في كلٍّ من هذه النقاط، نجد أن قيمة الإحداثي 𞸑 أكبر من قيمة الإحداثي 𞸎.

ومن ثَمَّ، فإن المتباينتين الممثَّلتين بيانيًّا هما 𞸑>𞸎، 𞸑𞸎، ولكن علينا تحديد أيُّ متباينة تُناظِر أي شكل. الفرق الوحيد بين هذين التمثيلين البيانيين هو كيفية رسم المستقيم الحدي؛ فنلاحظ في الشكل ١ أنه ممثَّل باستخدام مستقيم متقطع، ونلاحظ في الشكل ٢ أنه ممثَّل باستخدام مستقيم متصل.

نحن نتذكَّر أن المستقيمات المتقطعة تُستخدَم لتمثيل المتباينات التامة؛ أي المتباينات التي تتضمَّن العلامة التامة أصغر من، أو العلامة التامة أكبر من. أما المستقيمات المتصلة تُستخدَم لتمثيل المتباينات الضعيفة؛ أي المتباينات التي تتضمَّن علامة أصغر من أو يساوي، أو تلك التي تتضمَّن علامة أكبر من أو يساوي.

المستقيم الحدي المرسوم في الشكل ١ متقطِّع، وهو ما يُشير إلى أن المتباينة الممثَّلة بيانيًّا هي متباينة تامة. إذن لا بد أنه يمثِّل المتباينة 𞸑>𞸎. في الشكل ٢، نرى أن المستقيم الحدي متصل، وهو ما يُشير إلى أن المتباينة الممثَّلة بيانيًّا هنا هي 𞸑𞸎.

إذن الإجابة هي (أ): يوضِّح الشكل ١ أن 𞸑>𞸎، ويوضِّح الشكل ٢ أن 𞸑𞸎.

في المثال الأول، كانت لدينا معادلة المستقيم الحدي. هيا نتناول الآن مثالًا نُحدِّد فيه متباينة من تمثيلها البياني، ونُطبِّق فيه معرفتنا بمعادلات الخطوط المستقيمة لإيجاد معادلة المستقيم الحدي أولًا.

مثال ٢: تحديد متباينة من تمثيلها البياني

ما المتباينة المُمثَّلة بيانيًّا في الشكل الآتي؟

الحل

نبدأ بإيجاد معادلة المستقيم الذي يُحدِّد المنطقة المظلَّلة. تذكَّر أن معادلة المستقيم في صيغة الميل والمقطع هي: 𞸑=𞸌𞸎+𞸁، حيث يمثِّل 𞸌 ميل المستقيم، ويمثِّل 𞸁 الجزء المقطوع من المحور 𞸑. من الشكل، نُحدِّد أن هذا المستقيم يقطع المحور 𞸑 عند ٣؛ ومن ثَمَّ، فإن 𞸁=٣. لإيجاد ميل المستقيم، نتذكَّر الصيغة: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎،٢١٢١ حيث 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ إحداثيات نقطتين على المستقيم.

يمكننا اختيار أي نقطتين على المستقيم لنستخدمهما في حساب الميل، لكن من الأسهل استخدام نقاطٍ إحداثياتها أعداد صحيحة. لقد حدَّدنا بالفعل أن المستقيم يمر بالنقطة (٠،٣)، ونرى من الشكل أن النقطة (١،١) تقع أيضًا على المستقيم.

بالتعويض بهذه القيم عن 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ في صيغة الميل، نحصل على: 𞸌=١(٣)١٠=٤١=٤.

بعد ذلك، نعوِّض بالقيمتين 𞸁=٣، 𞸌=٤ في صيغة الميل والمقطع لمعادلة المستقيم، لنجد أن معادلة المستقيم الحدي هي 𞸑=٤𞸎٣.

ليس مطلوبًا منا إيجاد معادلة المستقيم فحسب، بل إيجاد المتباينة التي تَصِف المنطقة المظلَّلة. نلاحظ أن المستقيم الحدي للمنطقة رُسِم باستخدام مستقيم متقطِّع؛ وبناءً على ذلك، تكون المتباينة تامة؛ أي تتضمَّن العلامة التامة أكبر من (>)، أو العلامة التامة أصغر من (<).

بعد ذلك، نلاحظ أن المنطقة المظلَّلة تقع أسفل المستقيم. وهذا يعني أنه بالنسبة إلى أي قيمة مُعطاة لـ 𞸎، تكون الإحداثيات 𞸑 لجميع النقاط التي تقع في المنطقة المظلَّلة أصغر من قيمة 𞸑 على المستقيم. وقيمة 𞸑 على المستقيم تساوي قيمة المقدار ٤𞸎٣؛ ومن ثَمَّ، فإن المتباينة الممثَّلة بيانيًّا هي 𞸑<٤𞸎٣.

كما رأينا، علينا إيجاد المتباينة الممثَّلة بيانيًّا بناءً على الجانب المظلَّل من المستقيم الحدي. لقد رأينا في المثال السابق إحدى طرق إجراء ذلك؛ فبالنسبة إلى قيمة 𞸎 المُعطاة، نحدِّد إذا ما كانت قيمة 𞸑 المناظِرة في المنطقة المظلَّلة أصغر من أو أكبر من قيمة 𞸑 على المستقيم. وفيما يلي طريقة بديلة لإجراء ذلك.

كيفية تحديد علامة المتباينة المطلوبة

  • نُحدِّد إذا ما كان المستقيم الحدي نفسه متصلًا، وفي هذه الحالة يلزم وجود علامة متباينة ضعيفة؛ أو متقطعًا، وفي هذه الحالة يلزم وجود علامة متباينة تامة.
  • نختار أي نقطة في المنطقة المظلَّلة.
  • نعوِّض بالإحداثيين 𞸎، 𞸑 لهذه النقطة في كلا طرفَي معادلة المستقيم الحدي، ثم نُوجِد قيمة كل مقدار.
  • نُحدِّد أيُّ طرف له قيمة أكبر. ونستخدم العلامة الصحيحة للمتباينة لتمثيل ذلك، مع مراعاة إذا ما كانت المتباينة المطلوبة ضعيفة أو تامة.

هيا نتناول الآن مثالًا نستخدم فيه إحداثيات نقطةٍ ما لتحديد علامة المتباينة المطلوبة.

مثال ٣: تحديد إذا ما كانت نقطةٌ ما تنتمي إلى مجموعة حل متباينة أو لا

النقطة (٤،٢) مجموعة حل المتباينة ٣𞸎+٢𞸑٨.

  1. <
  2. >
  3. =

الحل

تتطلَّب منا هذه المسألة تحديد علامة المتباينة المناسبة للفراغ. يمكننا فعل ذلك عن طريق إيجاد قيمة المقدار في الطرف الأيمن عند النقطة (٤،٢)، ثم مقارنتها بالقيمة الموجودة في الطرف الأيسر.

عندما يكون 𞸎=٤، 𞸑=٢، فإن الطرف الأيمن يساوي: ٣𞸎+٢𞸑=(٣×٤)+(٢×٢)=٢١٤=٨.

وهذا يساوي القيمة الموجودة في الطرف الأيسر. لكننا علمنا من السؤال أن هذه متباينة وليست معادلة. أيًّا كانت علامة المتباينة التي نختارها، يجب أن تسمح بأن يكون الطرفان متساويين، إذا كانت النقطة (٤،٢) تنتمي إلى مجموعة الحل. من بين الاختيارات الأربعة التي لدينا، نجد أن الخيار (د) هو الوحيد الذي يمثِّل علامة متباينة تسمح بتساوي الطرفين لبعض قيم 𞸎، 𞸑.

إذن، الإجابة هي الخيار (د): .

في المثالين التاليين، سنتدرَّب على إيجاد المتباينة الممثَّلة بيانيًّا من خلال إيجاد معادلة المستقيم الحدي أولًا، ثم تحديد الجانب المظلَّل من المستقيم. يتضمَّن المثال الآتي مستقيمًا حديًّا ميلُه عدد غير صحيح. ذلك لن يجعل المتباينات المتضمَّنة أكثر تعقيدًا، لكن يجب الانتباه عند إيجاد معادلة المستقيم الحدي. على سبيل المثال، إذا استخدمنا نقاطًا إحداثياتها أعداد غير صحيحة لإيجاد الميل، علينا التأكُّد من أننا ننظر جيدًا إلى المقياس المستخدَم على محورَي الإحداثيات.

مثال ٤: تحديد متباينة من تمثيلها البياني

ما المتباينة المُمثَّلة بيانيًّا في الشكل الآتي؟

الحل

هيا نبدأ بإيجاد معادلة المستقيم الحدي. تذكَّر أن معادلة المستقيم في صيغة الميل والمقطع هي: 𞸑=𞸌𞸎+𞸁، حيث يمثِّل 𞸌 الميل، ويمثِّل 𞸁 الجزء المقطوع من المحور 𞸑. من الشكل، نجد أن المستقيم يقطع المحور 𞸑 عند ٣؛ ومن ثَمَّ، فإن 𞸁=٣.

لإيجاد ميل المستقيم، علينا إيجاد إحداثيات نقطتين تقعان على المستقيم. لقد حدَّدنا بالفعل النقطة (٠،٣)، ولكن يبدو أنه لا تُوجَد أيُّ نقاط أخرى لها إحداثيات من أعداد صحيحة في الشكل. لذا، علينا النظر إلى المقياس المستخدَم على المحورين. على كلا المحورين 𞸎، 𞸑، تُوجَد خمسة مربعات صغيرة بين كل قيمة صحيحة والأخرى؛ ومن ثَمَّ، فإن كل تقسيم جزئي على هذين المحورين يمثِّل ٠٫٢. نستنتج من الشكل أنه عندما يكون 𞸎=٣، يقع الإحداثي 𞸑 على المستقيم على بُعد مربعين صغيرين أسفل ٢؛ لذا، فإن الإحداثي 𞸑 هنا يساوي ٤٫٢. بالتعويض بالنقطتين (٠،٣)، (٣،٤٫٢) في صيغة الميل، نحصل على: 𞸌=٣(٤٫٢)٠(٣)=٣+٤٫٢٠+٣=٦٫٠٣=٢٫٠.

بكتابة ذلك على صورة كسر، نجد أن الميل يساوي ١٥. ومن ثَمَّ، فإن معادلة المستقيم الحدي هي 𞸑=١٥𞸎٣.

بعد ذلك، نلاحظ أن المستقيم الحدي قد رُسِم باستخدام مستقيم متصل، وهو ما يُشير إلى متباينة ضعيفة. سنختار الآن أي نقطة في المنطقة المظلَّلة؛ وأبسط نقطة هي نقطة الأصل. بالتعويض بـ 𞸑=٠ في الطرف الأيمن من معادلة المستقيم الحدي، نحصل على صفر. وبالتعويض بـ 𞸎=٠ في الطرف الأيسر من معادلة المستقيم الحدي، نحصل على: ١٥𞸎٣=󰂔١٥×٠󰂓٣=٣.

بما أن ٠>٣، إذن نعلم أنه بالنسبة إلى النقاط في المنطقة المظلَّلة، تكون قيمة 𞸑 أكبر من قيمة المقدار ١٥𞸎٣.

بدمج هذه النتيجة مع شرط أن تتضمَّن المتباينة الضعيفة نقاطًا تقع على المستقيم الحدي نفسه، نجد أن المتباينة الممثَّلة بيانيًّا هي 𞸑١٥𞸎٣.

يمكننا أيضًا تحديد العلامة الصحيحة للمتباينة من خلال ملاحظة أن المنطقة المظلَّلة تقع أعلى المستقيم الحدي.

في كل مثال تناولناه حتى الآن، كانت إجابتنا على صورة يوجد بها أحد المتغيِّرين، وهو 𞸑، بمفرده في أحد طرفَي المتباينة. لكن، ليس بالضرورة أن تكون الإجابة هكذا، بل قد يُطلَب منا أحيانًا إعطاء الإجابة على صورة مختلفة. يمكننا إعادة ترتيب المتباينة لتصبح على أي صورة مكافئة باستخدام طريقة التوازن. وعندما نفعل ذلك، علينا اتباع القواعد المعتادة لإعادة ترتيب المتباينات أو حلها؛ تحديدًا، إذا ضربنا أو قسمنا كلا طرفَي المتباينة على قيمة سالبة، فعلينا أن نعكس اتجاه علامة المتباينة. هيا نُلقِ نظرة على مثال نُعطي فيه الإجابة على الصورة 󰏡𞸑+𞸁𞸎>𞸢.

مثال ٥: إيجاد المتباينة الممثَّلة بتمثيل بياني مُعطى

أوجد المتباينة التي مجموعة حلها ممثَّلة بالمنطقة الملوَّنة في الشكل الآتي.

الحل

مجموعة حل المتباينة هي مجموعة جميع النقاط التي تُحقِّق هذه المتباينة. في الشكل السابق، يُناظِر ذلك جميع النقاط الموجودة في المنطقة الملوَّنة.

هيا نبدأ بإيجاد معادلة المستقيم الحدي. يبدو من الشكل كما لو أن المستقيم يقطع المحور 𞸑 عند ٥٫١، لكن لا يمكننا التأكُّد من ذلك بسبب المقياس المستخدَم. نحن نتذكَّر أن المعادلة العامة للخط المستقيم في صيغة الميل ونقطة هي: 𞸑𞸑=𞸌󰁓𞸎𞸎󰁒،١١ حيث يمثِّل 𞸌 ميل المستقيم، ويمثِّل 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ إحداثيَّي أي نقطة على المستقيم.

بعد ذلك، نُحدِّد من الشكل النقطتين (٣،٦)، (١،٠)، اللتين تقعان على المستقيم، ونستخدمهما أولًا لحساب الميل. هيا نتذكَّر صيغة ميل المستقيم، وهي: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١

بالتعويض بإحداثيات هاتين النقطتين، نحصل على: 𞸌=٦٠٣١=٦٤=٣٢.

وبالتعويض بقيمة 𞸌 هذه والنقطة (١،٠) في صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم، يصبح لدينا: 𞸑٠=٣٢(𞸎١).

للتبسيط، نضرب أولًا كلا طرفَي المعادلة في ٢، ثم نوزِّع القوسين في الطرف الأيسر، كالآتي: ٢𞸑=٣(𞸎١)٢𞸑=٣𞸎٣.

بذلك نكون قد أوجدنا معادلة المستقيم الحدي. ونلاحظ أيضًا من الشكل أن المستقيم الحدي مرسوم باستخدام مستقيم متقطع؛ ومن ثَمَّ، فإن المتباينة تامة؛ أي تتضمَّن العلامة التامة أصغر من (<)، أو العلامة التامة أكبر من (>). لاختبار أي علامة علينا استخدامها، يمكننا اختيار أي نقطة في المنطقة الملوَّنة. أبسط نقطة هي نقطة الأصل (٠،٠).

بالتعويض بـ 𞸑=٠ في الطرف الأيمن من معادلة المستقيم الحدي، نجد أن: ٢𞸑=٢×٠=٠.

لدينا في الطرف الأيسر المقدار ٣𞸎٣، وهو يساوي: (٣×٠)٣=٣.

وبما أن ٠>٣، إذن المتباينة الصحيحة هي ٢𞸑>٣𞸎٣. ليس علينا كتابة الإجابة على هذه الصورة تحديدًا؛ فأيُّ إعادة ترتيب نُجريها لهذه المتباينة تعتبر صحيحة أيضًا. بطرح ٣𞸎 من كلا الطرفين، نحصل على: ٢𞸑٣𞸎>٣.

في المثال السابق، كان بإمكاننا أن نجمع الحدود الثلاثة كلها في الطرف نفسه من المتباينة ونُعطي الإجابة على الصورة ٢𞸑٣𞸎+٣>٠. بدلًا من ذلك، كان بإمكاننا أيضًا أن نجمع الحدود الثلاثة كلها في الطرف الآخر من المتباينة، ونُعطي الإجابة على الصورة ٣𞸎٢𞸑٣<٠. كلٌّ من هاتين الصورتين البديلتين مقبول، بشرط اتباع الخطوات الصحيحة عند إجراء إعادة الترتيب.

هيا نختتم الآن هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية الواردة فيه.

النقاط الرئيسية

  • يمكن تمثيل حلول المتباينات الخطية في متغيِّرين باستخدام التمثيلات البيانية.
  • مجموعة حل المتباينة هي مجموعة جميع النقاط التي تحقِّق هذه المتباينة، وتمثِّلها منطقة مظلَّلة على التمثيل البياني.
  • لإيجاد المتباينة الممثَّلة بيانيًّا، نُوجِد أولًا معادلة المستقيم الحدي، باستخدام صيغة الميل ونقطة أو صيغة الميل والمقطع لمعادلة الخط المستقيم.
  • تُمثَّل المستقيمات الحدية للمتباينات التامة باستخدام مستقيمات متقطعة، وتُمثَّل المستقيمات الحدية للمتباينات الضعيفة باستخدام مستقيمات متصلة.
  • لتحديد علامة المتباينة المطلوبة، يمكننا النظر إلى إحداثيات أي نقطة تقع في المنطقة المظلَّلة. بالتعويض بالإحداثيات في كلا طرفَي معادلة المستقيم الحدي، يمكننا تحديد أيُّ طرف له قيمة أكبر؛ ومن ثَمَّ علامة المتباينة المطلوبة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.