شارح الدرس: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام المتطابقات المثلثية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُبسِّط المقادير المثلثية بتطبيق المتطابقات المثلثية.

عادة ما تُبسَّط هذه المقادير عند تطبيق متطابقة واحدة أو أكثر من المتطابقات المثلثية التي تربط بين الدوال المثلثية ومقلوب الدوال المثلثية المختلفة. استخدامات هذه المقادير رياضية، لكنَّ لها تطبيقات في الحياة الواقعية أيضًا.

للمتطابقات المثلثية تطبيقات عديدة في مجالات مختلفة في الحياة الواقعية؛ مثل: الفيزياء، والهندسة، والعمارة، وعلم الروبوتات، ونظرية الموسيقى، والملاحة، وذلك على سبيل المثال لا الحصر. ففي الفيزياء يمكن استخدامها في دراسة حركة المقذوفات، وتمثيل ميكانيكا الموجات الكهرومغناطيسية، وتحليل التيارات المتردِّدة والمستمرة، وتحديد مسار كتلة تدور حول جسم كبير تحت تأثير قوة الجاذبية.

دعونا نبدأ باسترجاع الدوال المثلثية التي سنتناول متطابقات فيثاغورس المرتبطة بها في هذا الشارح. انظر إلى المثلث القائم الزاوية التالي:

يمكن التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة النسبة بين أضلاع المثلث كما يلي:

هذه الدوال تحقِّق المتطابقة المثلثية التالية:

نلاحظ أن هذه النسب المثلثية معرَّفة للزوايا الحادة ، وأن الدوال المثلثية لكل قيم معرَّفة على دائرة الوحدة.

افترض أن لدينا نقطة تتحرَّك على خط دائرة الوحدة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. عند نقطة معينة على دائرة الوحدة بزاوية تكون دالة الجيب معرَّفة على الصورة: ، ودالة جيب التمام معرَّفة على الصورة: ؛ كما هو موضَّح في الشكل السابق. بعبارة أخرى، الدوال المثلثية تُعرَّف باستخدام إحداثيي نقطة تقاطع دائرة الوحدة مع الضلع النهائي للزاوية في الوضع القياسي.

الدوال المثلثية دوال دورية؛ وهو ما يعني أنه إذا أضفنا عددًا صحيحًا مضروبًا في بالراديان أو بالدرجة إلى الزاوية فستظل قيمة الدالة كما هي:

يمكننا أن نلاحظ ذلك مباشرة من تعريف دائرة الوحدة للدوال المثلثية. وفي الحقيقة، دالة الظل تكون دورية، وطول دورتها بالراديان أو بالدرجة؛ إذن:

ينطبق مجال الدوال المثلثية ومداها، وكذلك المتطابقات المثلثية التي سنتناولها في هذا الشارح، على أيِّ زاوية في مجال الدوال؛ سواء أكانت مقيسة بالدرجة أو بالراديان. على وجه التحديد، يمكننا تحويل قياس الزاوية بين درجة وراديان باستخدام القاعدة التالية.

مثال ١: تعريف متطابقة فيثاغورس

يوضِّح الشكل دائرة وحدة، ونصف قطرها، وطولَي المركِّبة والمركِّبة . استخدم نظرية فيثاغورس لصياغة المتطابقة التي تربط بين الأطوال: ١، ، .

الحل

في هذا المثال سوف نستخدم نظرية فيثاغورس لاستنتاج متطابقة تربط بين الأطوال: ١، ، في المثلث القائم الزاوية.

إذا رمزنا إلى الضلع المجاور بـ ، وإلى الضلع المقابل بـ ، وإلى الوتر بـ في المثلث القائم الزاوية؛ فإن متطابقة فيثاغورس تنصُّ على أن:

في الشكل المُعطَى الضلع المجاور هو ، والضلع المقابل هو ، والوتر هو نصف قطر دائرة الوحدة . ومن ثَمَّ، وفقًا لنظرية فيثاغورس، يصبح لدينا:

دعونا نلخِّص الآن متطابقة فيثاغورس للجيب وجيب التمام التي سنتناولها في هذا الشارح.

يتضمَّن المثال التالي استخدام متطابقة فيثاغورس لإعادة كتابة مقدار يتضمَّن الجيب وجيب التمام بدلالة دالة الجيب فقط.

يُعرَّف مقلوب الدوال المثلثية بدلالة الدوال المثلثية القياسية على النحو التالي.

دوال المقلوب هي أيضًا دوال دورية:

وكما هو الحال مع دالة الظل فإن دالة ظل التمام هي دالة دورية، وطول دورتها بالراديان أو بالدرجة؛ حيث:

عند التعامل مع المقادير المثلثية من المفيد إعادة كتابة متطابقات المقلوب المثلثية بدلالة الجيب وجيب التمام للتبسيط. هيا نتناول أمثلة محدَّدة علينا فيها استخدام مقلوب الدوال المثلثية لتبسيط المقادير المثلثية.

يتضمَّن المثال التالي تبسيط مقدار دالة مثلثية باستخدام تعريف مقلوب الدالة المثلثية ومتطابقة فيثاغورس.

نلاحظ أنه يمكننا القيام ببعض التلاعب الجبري لإعادة صياغة متطابقة فيثاغورس: ؛ لاستنتاج المتطابقات الأخرى لمقلوب الدوال المثلثية. على وجه التحديد، بالقسمة على يصبح لدينا:

وبالمثل، بالقسمة على يمكننا الحصول على المتطابقة التي تربط بين: ، . بالنسبة إلى المقادير المثلثية قد يكون من المفيد البدء بالنظر إلى كيفية تطبيق هذه المتطابقة في أمثلة محدَّدة عند تبسيط المقادير. يتضمَّن المثال الأول فكَّ مقدار على الصورة التربيعية، ثم تطبيقَ متطابقة فيثاغورس لإيجاد قيمة المقدار النهائي.

دعونا الآن نتناول بعض الأمثلة التي نستخدم فيها متطابقات فيثاغورس لمقلوب الدوال المثلثية.

والآن، دعونا نلقِ نظرة على بعض الأمثلة التي تتطلَّب استخدام متطابقات فيثاغورس لمقلوب الدوال المثلثية لتبسيط مقادير مثلثية. يتضمَّن المثال الأول متطابقتين منها.

في المثال التالي، علينا تبسيط مقدار عن طريق فكِّ صورته التربيعية، وتطبيق متطابقة فيثاغورس التي تتضمَّن دالة الظل.

دالة الجيب تكافئ دالة جيب التمام بواسطة الانتقال بمقدار إلى اليسار؛ وهو ما يمكن تصوُّره بالمقارنة بين التمثيلين البيانيين لكِلا الدالتين.

على وجه التحديد، لدينا متطابقتَا الإزاحة التاليتان للزاويتين ، :

يمكننا أيضًا توضيح ذلك على دائرة الوحدة كما يلي:

وبالمثل، باستبعاد واستخدام بدلًا منها؛ نحصل على متطابقتَي الزاويتين المتتامَّتين التاليتين ، :

يمكننا توضيح ذلك كما يلي:

يوضِّح الشكل المثلث القائم الزاوية بالزاوية في الوضع القياسي، وهو يتقاطع مع دائرة الوحدة عند النقطة ، وله زاوية حادة: .

يمكننا استخدام متطابقتَي الزاويتين المتتامَّتين هاتين بالإضافة إلى متطابقات فيثاغورس لتبسيط المقادير المثلثية. على سبيل المثال، انظر إلى المقدار:

يمكننا دمج هاتين المتطابقتين واستخدامهما لتحديد متطابقات الدوال المثلثية الأخرى المعرَّفة بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام.

على سبيل المثال، بالنسبة إلى دالة الظل لدينا:

جميع هذه المتطابقات يُقاس أيضًا بالراديان؛ وبالتحديد عن طريق استبعاد بالدرجة واستخدام بالراديان بدلًا منها.

والآن، دعونا نتناول مثالًا نستخدم فيه هذه المتطابقات لتبسيط مقدار الدالة المثلثية.

والآن، نفترض أن علينا إيجاد: . يمكننا فعل ذلك باستخدام المتطابقات أعلاه أكثر من مرة. إذا افترضنا أن فإن:

والآن، نعوِّض بـ لنحصل على:

وبالمثل، نجد أن:

وبتطبيق هذه المتطابقات بصورة متكرِّرة، أو باستخدام دائرة الوحدة؛ نحصل أيضًا على متطابقتين للزاويتين ، :

بالنسبة إلى ، لدينا الصورة التالية:

وبالنسبة إلى ، لدينا هذه:

وبالمثل، بالنسبة إلى الزاويتين ، لدينا:

والآن، لنتناول مثالًا نستخدم فيه متطابقات الزاويتين المتتامَّتين ومتطابقات فيثاغورس لتبسيط مقدار مثلَّثيٍّ.

لدينا متطابقات للدوال المثلثية الأخرى؛ أي المستنتَجة من دوال الجيب وجيب التمام من خلال تعريفاتها: ،

هيا نتناول مثالًا نستخدم فيه هذه المتطابقات بالراديان لتبسيط مقدار مثلَّثيٍّ معين.

باستخدام دورية الدوال المثلثية ودائرة الوحدة؛ يكون لدينا:

وجميع المتطابقات يُقاس أيضًا بالراديان باستبعاد بالدرجة واستخدام بالراديان بدلًا منها. يمكن تصوير ذلك باستخدام دائرة الوحدة على النحو التالي:

ويمكن تمثيل جميع المتطابقات التي قمنا باستنتاجها باستخدام دائرة الوحدة كما هو موضَّح:

وأخيرًا، دعونا نلقِ نظرة على مثال نستخدم فيه هذه المتطابقة مع غيرها لتبسيط مقدارٍ ما.

دعونا الآن نختم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية المهمَّة التي تناولها هذا الشارح.