شارح الدرس: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام المتطابقات المثلثية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُبسِّط المقادير المثلثية بتطبيق المتطابقات المثلثية.

عادة ما تُبسَّط هذه المقادير عند تطبيق متطابقة واحدة أو أكثر من المتطابقات المثلثية التي تربط بين الدوال المثلثية ومقلوب الدوال المثلثية المختلفة. استخدامات هذه المقادير رياضية، لكنَّ لها تطبيقات في الحياة الواقعية أيضًا.

للمتطابقات المثلثية تطبيقات عديدة في مجالات مختلفة في الحياة الواقعية؛ مثل: الفيزياء، والهندسة، والعمارة، وعلم الروبوتات، ونظرية الموسيقى، والملاحة، وذلك على سبيل المثال لا الحصر. ففي الفيزياء يمكن استخدامها في دراسة حركة المقذوفات، وتمثيل ميكانيكا الموجات الكهرومغناطيسية، وتحليل التيارات المتردِّدة والمستمرة، وتحديد مسار كتلة تدور حول جسم كبير تحت تأثير قوة الجاذبية.

دعونا نبدأ باسترجاع الدوال المثلثية التي سنتناول متطابقات فيثاغورس المرتبطة بها في هذا الشارح. انظر إلى المثلث القائم الزاوية التالي:

يمكن التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة النسبة بين أضلاع المثلث كما يلي: 𝜃=𞸒𞸅،𝜃=𞸂𞸅،𝜃=𞸒𞸂.

هذه الدوال تحقِّق المتطابقة المثلثية التالية: 𝜃=𝜃𝜃.

نلاحظ أن هذه النسب المثلثية معرَّفة للزوايا الحادة ٠<𝜃<٠٩، وأن الدوال المثلثية لكل قيم 𝜃 معرَّفة على دائرة الوحدة.

افترض أن لدينا نقطة تتحرَّك على خط دائرة الوحدة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. عند نقطة معينة (𞸎،𞸑) على دائرة الوحدة بزاوية 𝜃 تكون دالة الجيب معرَّفة على الصورة: 𞸑=𝜃، ودالة جيب التمام معرَّفة على الصورة: 𞸎=𝜃؛ كما هو موضَّح في الشكل السابق. بعبارة أخرى، الدوال المثلثية تُعرَّف باستخدام إحداثيي نقطة تقاطع دائرة الوحدة مع الضلع النهائي للزاوية 𝜃 في الوضع القياسي.

الدوال المثلثية دوال دورية؛ وهو ما يعني أنه إذا أضفنا عددًا صحيحًا مضروبًا في ٢𝜋 بالراديان أو ٠٦٣ بالدرجة إلى الزاوية 𝜃 فستظل قيمة الدالة كما هي: (٠٦٣+𝜃)=𝜃،(٠٦٣+𝜃)=𝜃،(٠٦٣+𝜃)=𝜃.

يمكننا أن نلاحظ ذلك مباشرة من تعريف دائرة الوحدة للدوال المثلثية. وفي الحقيقة، دالة الظل تكون دورية، وطول دورتها 𝜋 بالراديان أو ٠٨١ بالدرجة؛ إذن: (٠٨١+𝜃)=𝜃.

ينطبق مجال الدوال المثلثية ومداها، وكذلك المتطابقات المثلثية التي سنتناولها في هذا الشارح، على أيِّ زاوية 𝜃 في مجال الدوال؛ سواء أكانت مقيسة بالدرجة أو بالراديان. على وجه التحديد، يمكننا تحويل قياس الزاوية بين درجة وراديان باستخدام القاعدة التالية.

قاعدة: التحويل بين الدرجات والراديان

إذا كانت لدينا زاوية قياسها 𝜃در بالدرجة فإنه يمكننا تحويلها إلى راديان باستخدام الصيغة: 𝜃=𝜋٠٨١𝜃.رادندر

مثال ١: تعريف متطابقة فيثاغورس

يوضِّح الشكل دائرة وحدة، ونصف قطرها، وطولَي المركِّبة 𞸎 والمركِّبة 𞸑. استخدم نظرية فيثاغورس لصياغة المتطابقة التي تربط بين الأطوال: ١، 𝜃، 𝜃.

الحل

في هذا المثال سوف نستخدم نظرية فيثاغورس لاستنتاج متطابقة تربط بين الأطوال: ١، 𝜃، 𝜃 في المثلث القائم الزاوية.

إذا رمزنا إلى الضلع المجاور بـ 󰏡، وإلى الضلع المقابل بـ 𞸁، وإلى الوتر بـ 𞸢 في المثلث القائم الزاوية؛ فإن متطابقة فيثاغورس تنصُّ على أن: 󰏡+𞸁=𞸢.٢٢٢

في الشكل المُعطَى الضلع المجاور هو 󰏡=𝜃، والضلع المقابل هو 𞸁=𝜃، والوتر هو نصف قطر دائرة الوحدة 𞸢=١. ومن ثَمَّ، وفقًا لنظرية فيثاغورس، يصبح لدينا: (𝜃)+(𝜃)=١𝜃+𝜃=١.٢٢٢٢٢

دعونا نلخِّص الآن متطابقة فيثاغورس للجيب وجيب التمام التي سنتناولها في هذا الشارح.

تعريف: متطابقات فيثاغورس للدوال المثلثية

متطابقة فيثاغورس للدوال المثلثية للجيب وجيب التمام تُعطَى بالعلاقة: ٢٢𝜃+𝜃=١.

مثال ٢: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات فيثاغورس

بسِّط (𝜃+𝜃)٢𝜃𝜃٢.

الحل

في هذا المثال نريد تبسيط مقدار معين يتضمَّن دوالَّ مثلثية.

لتبسيط المقدار سنستخدم المتطابقة: ٢٢𝜃+𝜃=١.

ومن ثَمَّ، يمكن إعادة كتابة المقدار على الصورة: (𝜃+𝜃)٢𝜃𝜃=󰁓𝜃+٢𝜃𝜃+𝜃󰁒٢𝜃𝜃=󰁓𝜃+𝜃󰁒+(٢𝜃𝜃٢𝜃𝜃)=𝜃+𝜃=١.٢٢٢٢٢٢٢

يتضمَّن المثال التالي استخدام متطابقة فيثاغورس لإعادة كتابة مقدار يتضمَّن الجيب وجيب التمام بدلالة دالة الجيب فقط.

مثال ٣: استخدام متطابقات فيثاغورس لتبسيط المقادير المثلثية

بسِّط ١٣𝜃+٦٢𝜃٢٢.

الحل

في هذا المثال نريد تبسيط مقدار معين يتضمَّن دوالَّ مثلثية.

لتبسيط المقدار سنستخدم المتطابقة: ٢٢𝜃+𝜃=١.

وعليه، يمكن إعادة كتابة المقدار المُعطَى بإعادة ترتيب صيغة متطابقة فيثاغورس لتصبح على الصورة: ٢٢𝜃=١𝜃، واستخدامها كما يلي: ١٣𝜃+٦٢𝜃=١٣𝜃+٦٢󰁓١𝜃󰁒=١٣𝜃٦٢𝜃+٦٢=٦٢+٥𝜃.٢٢٢٢٢٢٢

يُعرَّف مقلوب الدوال المثلثية بدلالة الدوال المثلثية القياسية على النحو التالي.

تعريف: مقلوب الدوال المثلثية

تُعرَّف دوال قاطع التمام، والقاطع، وظل التمام على الصورة: 𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃=𝜃𝜃.

دوال المقلوب هي أيضًا دوال دورية: (٠٦٣+𝜃)=𝜃،(٠٦٣+𝜃)=𝜃،(٠٦٣+𝜃)=𝜃.

وكما هو الحال مع دالة الظل فإن دالة ظل التمام هي دالة دورية، وطول دورتها 𝜋 بالراديان أو ٠٨١ بالدرجة؛ حيث: (٠٨١+𝜃)=𝜃.

عند التعامل مع المقادير المثلثية من المفيد إعادة كتابة متطابقات المقلوب المثلثية بدلالة الجيب وجيب التمام للتبسيط. هيا نتناول أمثلة محدَّدة علينا فيها استخدام مقلوب الدوال المثلثية لتبسيط المقادير المثلثية.

يتضمَّن المثال التالي تبسيط مقدار دالة مثلثية باستخدام تعريف مقلوب الدالة المثلثية ومتطابقة فيثاغورس.

مثال ٤: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات فيثاغورس ومتطابقات المقلوب

بسِّط 𝜃𝜃𝜃٢.

الحل

في هذا المثال نريد تبسيط مقدار معين يتضمَّن دوالَّ مثلثية، ومقلوب الدوال المثلثية.

لإيجاد قيمة المقدار نلاحظ أن: 𝜃=١𝜃.

سنستخدم أيضًا المتطابقة التي تنصُّ على أن: ٢٢𝜃+𝜃=١.

ومن ثَمَّ، يمكن تبسيط المقدار كما يلي: 𝜃𝜃𝜃=𝜃×١𝜃𝜃=١𝜃=𝜃.٢٢٢٢

نلاحظ أنه يمكننا القيام ببعض التلاعب الجبري لإعادة صياغة متطابقة فيثاغورس: ٢٢𝜃+𝜃=١؛ لاستنتاج المتطابقات الأخرى لمقلوب الدوال المثلثية. على وجه التحديد، بالقسمة على ٢𝜃 يصبح لدينا: ٢٢٢٢٢٢٢٢٢𝜃+𝜃𝜃=١𝜃١+𝜃𝜃=١𝜃١+𝜃=𝜃.

وبالمثل، بالقسمة على ٢𝜃 يمكننا الحصول على المتطابقة التي تربط بين: 𝜃، 𝜃. بالنسبة إلى المقادير المثلثية قد يكون من المفيد البدء بالنظر إلى كيفية تطبيق هذه المتطابقة في أمثلة محدَّدة عند تبسيط المقادير. يتضمَّن المثال الأول فكَّ مقدار على الصورة التربيعية، ثم تطبيقَ متطابقة فيثاغورس لإيجاد قيمة المقدار النهائي.

متطابقات فيثاغورس لمقلوب الدوال المثلثية

تذكَّر أن: ١+𝜃=𝜃،𝜃+١=𝜃.٢٢٢٢

دعونا الآن نتناول بعض الأمثلة التي نستخدم فيها متطابقات فيثاغورس لمقلوب الدوال المثلثية.

مثال ٥: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات فيثاغورس ومتطابقات المقلوب

بسِّط ١𝜃١𝜃٢٢.

الحل

في هذا المثال سنبسِّط مقدارًا لدالة مثلثية باستخدام متطابقات فيثاغورس، ومتطابقات المقلوب.

سنستخدم التعريفين: 𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃، ومتطابقة فيثاغورس: ١+𝜃=𝜃،٢٢ وهي التي يمكننا إعادة ترتيبها على الصورة: ٢٢𝜃𝜃=١.

من خلال المقدار المُعطَى، وعند استخدام تعريف مقلوب الدالة المثلثية وتطبيق متطابقة فيثاغورس؛ نجد أن: ١𝜃١𝜃=(𝜃)(𝜃)=𝜃𝜃=١.٢٢٢٢٢٢

والآن، دعونا نلقِ نظرة على بعض الأمثلة التي تتطلَّب استخدام متطابقات فيثاغورس لمقلوب الدوال المثلثية لتبسيط مقادير مثلثية. يتضمَّن المثال الأول متطابقتين منها.

مثال ٦: استخدام متطابقات فيثاغورس لتبسيط مقدار مثلَّثيٍّ

بسِّط ٢٢٢٢𝜃+𝜃𝜃𝜃.

الحل

في هذا المثال نريد تبسيط مقدار معين يتضمَّن دوالَّ مثلثية، ومقلوب الدوال المثلثية؛ باستخدام متطابقات فيثاغورس المثلثية.

على وجه التحديد سنستخدم المتطابقتين: ٢٢٢٢𝜃+𝜃=١،١+𝜃=𝜃.

يمكننا إعادة ترتيب المتطابقة الثانية لتصبح على الصورة: ٢٢𝜃𝜃=١.

ومن ثَمَّ، يمكن تبسيط المقدار كما يلي: ٢٢٢٢𝜃+𝜃𝜃𝜃=١.

في المثال التالي، علينا تبسيط مقدار عن طريق فكِّ صورته التربيعية، وتطبيق متطابقة فيثاغورس التي تتضمَّن دالة الظل.

مثال ٧: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات فيثاغورس

بسِّط (١𝜃)+(١+𝜃)٢٢.

الحل

في هذا المثال نريد تبسيط مقدار معين يتضمَّن دوالَّ مثلثية، ومقلوب الدوال المثلثية؛ باستخدام إحدى متطابقات فيثاغورس المثلثية.

تحديدًا، سنستخدم هذه المتطابقة: ٢٢𝜃+١=𝜃.

عند فكِّ المقدار يمكننا إعادة كتابته باستخدام المتطابقة كما يلي: (١𝜃)+(١+𝜃)=󰁓١٢𝜃+𝜃󰁒+󰁓١+٢𝜃+𝜃󰁒=٢+٢𝜃=٢󰁓١+𝜃󰁒=٢𝜃.٢٢٢٢٢٢٢

دالة الجيب تكافئ دالة جيب التمام بواسطة الانتقال بمقدار ٠٩ إلى اليسار؛ وهو ما يمكن تصوُّره بالمقارنة بين التمثيلين البيانيين لكِلا الدالتين.

على وجه التحديد، لدينا متطابقتَا الإزاحة التاليتان للزاويتين 𝜃، ٠٩+𝜃: (٠٩+𝜃)=𝜃،(٠٩+𝜃)=𝜃.

يمكننا أيضًا توضيح ذلك على دائرة الوحدة كما يلي:

وبالمثل، باستبعاد 𝜃 واستخدام 𝜃 بدلًا منها؛ نحصل على متطابقتَي الزاويتين المتتامَّتين التاليتين 𝜃، ٠٩𝜃: (٠٩𝜃)=𝜃،(٠٩𝜃)=𝜃.

يمكننا توضيح ذلك كما يلي:

يوضِّح الشكل المثلث القائم الزاوية بالزاوية 󰏡𞸅𞸁 في الوضع القياسي، وهو يتقاطع مع دائرة الوحدة عند النقطة 𞸁(𞸎،𞸑)، وله زاوية حادة: ٠<𝜃<٠٩.

يمكننا استخدام متطابقتَي الزاويتين المتتامَّتين هاتين بالإضافة إلى متطابقات فيثاغورس لتبسيط المقادير المثلثية. على سبيل المثال، انظر إلى المقدار: 𝜃(٠٩𝜃)+𝜃(٠٩𝜃)=𝜃+𝜃=١.٢٢

يمكننا دمج هاتين المتطابقتين واستخدامهما لتحديد متطابقات الدوال المثلثية الأخرى المعرَّفة بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام.

تعريف: المتطابقات المثلثية للزوايا المنتسِبة

تحقِّق الدوال المثلثية المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامَّتين لكل قيم 𝜃 في مجالاتها. على وجه التحديد، لدينا: (٠٩±𝜃)=𝜃،(٠٩±𝜃)=𝜃،(٠٩±𝜃)=𝜃،(٠٩±𝜃)=𝜃،(٠٩±𝜃)=𝜃،(٠٩±𝜃)=𝜃.

على سبيل المثال، بالنسبة إلى دالة الظل لدينا: (٠٩±𝜃)=(٠٩±𝜃)(٠٩±𝜃)=𝜃𝜃=𝜃𝜃=𝜃.

جميع هذه المتطابقات يُقاس أيضًا بالراديان؛ وبالتحديد عن طريق استبعاد ٠٩ بالدرجة واستخدام 𝜋٢ بالراديان بدلًا منها.

والآن، دعونا نتناول مثالًا نستخدم فيه هذه المتطابقات لتبسيط مقدار الدالة المثلثية.

مثال ٨: تبسيط مقدار مثلَّثيٍّ باستخدام المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامَّتين

بسِّط 𝜃(٠٩𝜃)𝜃(٠٩𝜃).

الحل

في هذا المثال علينا تبسيط مقدار معين يتضمَّن دوالَّ مثلثية، ومقلوب الدوال المثلثية؛ باستخدام المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامَّتين.

سنستخدم تعريفَي مقلوب الدالتين المثلثيتين: 𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃، والمتطابقتين المثلثيتين للزاويتين المتتامَّتين: (٠٩𝜃)=𝜃،(٠٩𝜃)=𝜃.

ومن ثَمَّ، يصبح المقدار المُعطَى: 𝜃(٠٩𝜃)𝜃(٠٩𝜃)=𝜃𝜃𝜃𝜃=𝜃×١𝜃𝜃×١𝜃=١١=٠.

والآن، نفترض أن علينا إيجاد: (٠٨١𝜃). يمكننا فعل ذلك باستخدام المتطابقات أعلاه أكثر من مرة. إذا افترضنا أن 𝜃=٠٩𞸎 فإن: (٠٨١𝜃)=(٠٩+𞸎)=𞸎.

والآن، نعوِّض بـ 𞸎=٠٩𝜃 لنحصل على: (٠٨١𝜃)=(٠٩𝜃)=𝜃.

وبالمثل، نجد أن: (٠٨١𝜃)=𝜃.

وبتطبيق هذه المتطابقات بصورة متكرِّرة، أو باستخدام دائرة الوحدة؛ نحصل أيضًا على متطابقتين للزاويتين 𝜃، 𝜃±٠٨١: (٠٨١±𝜃)=𝜃،(٠٨١±𝜃)=𝜃.

بالنسبة إلى 𝜃، ٠٨١𝜃 لدينا الصورة التالية:

وبالنسبة إلى 𝜃، ٠٨١+𝜃 لدينا هذه:

وبالمثل، بالنسبة إلى الزاويتين 𝜃، ٠٧٢±𝜃 لدينا: (٠٧٢±𝜃)=𝜃،(٠٧٢±𝜃)=±𝜃.

والآن، لنتناول مثالًا نستخدم فيه متطابقات الزاويتين المتتامَّتين ومتطابقات فيثاغورس لتبسيط مقدار مثلَّثيٍّ.

مثال ٩: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات الزوايا المنتسِبة

بسِّط ٢٢(٠٨١𝜃)+(٠٧٢𝜃).

الحل

في هذا المثال سنبسِّط مقدارًا مثلثيًّا باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين، وإحدى متطابقات فيثاغورس.

متطابقة فيثاغورس التي سنستخدمها هي: ٢٢𝜃+𝜃=١، وذلك بالإضافة إلى متطابقتَي الزوايا المنتسِبة: (٠٨١𝜃)=𝜃،(٠٧٢𝜃)=𝜃.

ومن ثَمَّ، يصبح المقدار المُعطَى: ٢٢٢٢٢٢(٠٨١𝜃)+(٠٧٢𝜃)=(𝜃)+(𝜃)=𝜃+𝜃=١.

لدينا متطابقات للدوال المثلثية الأخرى؛ أي المستنتَجة من دوال الجيب وجيب التمام من خلال تعريفاتها: (٠٨١±𝜃)=±𝜃،(٠٨١±𝜃)=±𝜃،(٠٨١±𝜃)=𝜃،(٠٨١±𝜃)=𝜃، (٠٧٢±𝜃)=𝜃،(٠٧٢±𝜃)=𝜃،(٠٧٢±𝜃)=𝜃،(٠٧٢±𝜃)=±𝜃.

هيا نتناول مثالًا نستخدم فيه هذه المتطابقات بالراديان لتبسيط مقدار مثلَّثيٍّ معين.

مثال ١٠: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين ومتطابقات فيثاغورس

بسِّط ١+󰂔𝜃󰂓١+󰂔𝜃󰂓٢٣𝜋٢٢𝜋٢.

الحل

في هذا المثال علينا تبسيط مقدار معين يتضمَّن دوالَّ مثلثية، ومقلوب الدوال المثلثية؛ باستخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين.

سنستخدم تعريفات مقلوب الدوال المثلثية: ؛𝜃=𝜃𝜃،𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃 واثنين من متطابقات فيثاغورس: ١+𝜃=𝜃،𝜃+١=𝜃؛٢٢٢٢ ومتطابقتَي الزوايا المنتسِبة: 󰂔٣𝜋٢𝜃󰂓=𝜃،󰂔𝜋٢𝜃󰂓=𝜃.

ومن ثَمَّ، يصبح المقدار المُعطَى: ١+󰂔𝜃󰂓١+󰂔𝜃󰂓=١+𝜃١+𝜃=𝜃𝜃=١𝜃×𝜃=𝜃𝜃=󰃁𝜃𝜃󰃀=𝜃.٢٣𝜋٢٢𝜋٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢

باستخدام دورية الدوال المثلثية ودائرة الوحدة؛ يكون لدينا: (٠٦٣±𝜃)=±𝜃،(٠٦٣±𝜃)=𝜃،(٠٦٣±𝜃)=±𝜃،(٠٦٣±𝜃)=±𝜃،(٠٦٣±𝜃)=±𝜃،(٠٦٣±𝜃)=𝜃.

وجميع المتطابقات يُقاس أيضًا بالراديان باستبعاد ٠٦٣ بالدرجة واستخدام ٢𝜋 بالراديان بدلًا منها. يمكن تصوير ذلك باستخدام دائرة الوحدة على النحو التالي:

ويمكن تمثيل جميع المتطابقات التي قمنا باستنتاجها باستخدام دائرة الوحدة كما هو موضَّح:

وأخيرًا، دعونا نلقِ نظرة على مثال نستخدم فيه هذه المتطابقة مع غيرها لتبسيط مقدارٍ ما.

مثال ١١: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام المتطابقات المثلثية

بسِّط (٠٦٣𝜃)(٠٨١+𝜃).

الحل

في هذا المثال علينا تبسيط مقدار معين يتضمَّن دوالَّ مثلثية، ومقلوب الدوال المثلثية؛ باستخدام المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامَّتين.

سنستخدم تعريف دالة القاطع: 𝜃=١𝜃، ومتطابقتَي الزوايا المنتسِبة: (٠٦٣𝜃)=𝜃،(٠٨١+𝜃)=𝜃.

ومن ثَمَّ، يصبح المقدار المُعطَى: (٠٦٣𝜃)(٠٨١+𝜃)=𝜃×𝜃=𝜃×١𝜃=١.

دعونا الآن نختم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية المهمَّة التي تناولها هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا التعبير عن دوال الظل ومقلوب الدوال المثلثية بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام كما يلي: 𝜃=𝜃𝜃،𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃=𝜃𝜃.
  • تُعطَى متطابقات فيثاغورس بالصيغ: ٢٢٢٢٢٢𝜃+𝜃=١،١+𝜃=𝜃،𝜃+١=𝜃.
  • تسمح لنا دائرة الوحدة بتحديد متطابقات الزوايا المنتسِبة للجيب وجيب التمام:
    على سبيل المثال، متطابقتَا الزاويتين المتتامَّتين (بالراديان) هما: 󰂔𝜋٢𝜃󰂓=𝜃،󰂔𝜋٢𝜃󰂓=𝜃. ويمكننا إيجاد المتطابقات المناظرة لدوال الظل ومقلوب الدوال المثلثية باستخدام تعريفاتها بدلالة دالتَي الجيب وجيب التمام.
  • يجب علينا عادة استخدام أكثر من متطابقة واحدة، أو أكثر من نوع واحد من المتطابقات؛ لتبسيط مقدار الدالة المثلثية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.