تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: إيجاد قيمة الدوال المثلثية باستخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم المتطابقات المثلثية لزاويتين متتامَّتين، ومتطابقات الدوال الفردية والزوجية لإيجاد قِيَم الدوال المثلثية.

لقد تعرَّفنا على عدد من المتطابقات والخواص المختلفة للدوال المثلثية التي يُمكننا استخدامها لتساعدنا في تبسيط المعادلات وحلِّها. قبل أن نعرف كيف يُمكننا تطبيق هذه الخواص والمتطابقات، سنبدأ باسترجاع النتائج التي حصلنا عليها حتى الآن.

لدينا أولًا تعريفات لبعض الدوال المثلثية.

تعريف: المتطابقات المثلثية

لأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالدرجات أو الراديان، فإن:

  • 𝜃𝜃𝜃
  • 𝜃١𝜃
  • 𝜃١𝜃
  • 𝜃١𝜃.

لدينا بعد ذلك حقيقة أن الدوال المثلثية دورية.

تعريف: المتطابقات الدورية

لأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالدرجات، فإن:

  • (𝜃±٠٦٣)𝜃
  • (𝜃±٠٦٣)𝜃
  • (𝜃±٠٨١)𝜃.

يُمكننا أيضًا كتابة متطابقات مشابهة للزوايا المَقيسة بالراديان

لدينا أيضًا بعض المتطابقات التي يُمكننا استنتاجها باستخدام نظرية فيثاغورس وتعريفات النِّسَب المثلثية.

تعريف: متطابقات فيثاغورس

لأي زاوية 𝜃 مقيسة بالدرجات أو الراديان، فإن:

  • ٢٢𝜃+𝜃١
  • ١+𝜃𝜃٢٢
  • ١+𝜃𝜃٢٢.

يُمكننا إثبات أن دالة الجيب فردية ودالة جيب التمام زوجية من خلال التفكير في انعكاسات النقاط على دائرة الوحدة، وهو ما يُعطينا المتطابقات الآتية.

تعريف: متطابقات الدوال المثلثية الفردية والزوجية

لأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالدرجات أو الراديان، فإن:

  • (𝜃)𝜃؛ حيث دالة الجيب فردية
  • (𝜃)𝜃؛ حيث دالة جيب التمام زوجية
  • (𝜃)𝜃؛ حيث دالة الظل فردية.

يُمكننا إيجاد المتطابقات الآتية إمَّا بالتفكير في عمليات دوران نقاط على دائرة الوحدة، وإمَّا بالتفكير في الزاوية المناظِرة لـ 𝜃 في مثلث قائم الزاوية.

تعريف: متطابقات الزاويتين المتتامَّتين

لأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالدرجات، فإن:

  • (٠٩𝜃)𝜃
  • (٠٩𝜃)𝜃
  • (٠٩𝜃)𝜃.

يُمكننا كذلك كتابة هذه المتطابقات بدلالة الراديان باستخدام حقيقة أن ٠٩=𝜋٢.

في الواقع، هناك عِدَّة متطابقات يُمكننا استخدامها عن طريق دمج هذه النتائج كلِّها معًا. بدمج هذه المتطابقات، يُمكننا إعادة كتابة المعادلات على صورة يسهُل حلُّها.

هيَّا نبدأ بمثالٍ علينا فيه استخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين لمُساعدتنا في حلِّ معادلة مثلثية.

مثال ١: إيجاد قيمة دالة مثلثية باستخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين

أوجد قيمة (٠٩+𝜃)، إذا كان 𝜃=٣٥؛ حيث ٠<𝜃<٠٩.

الحل

علمنا من هذا السؤال أن جيب الزاوية 𝜃 يساوي ٣٥، كما علمنا أن ٠<𝜃<٠٩. علينا استخدام هذين المُعطَيَيْن لإيجاد قيمة (٠٩+𝜃). يُمكننا فعل ذلك بيانيًّا باستخدام تعريف كلٍّ من دالة الجيب ودالة جيب التمام، ولكن من الأسهل بكثير أن نفعل ذلك من خلال إعادة كتابة هذا التعبير باستخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين.

هناك عِدَّة طُرق مختلفة لإيجاد قيمة هذا التعبير باستخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين، وسنتناول طريقةً واحدةً فقط منها.

تذكَّر أولًا أن إحدى متطابقات الزاويتين المتتامَّتين توضِّح أنه لأيِّ زاوية 𞸎، فإن: (٠٩𞸎)𞸎.

نريد استخدام ذلك مع التعبير (٠٩+𝜃)؛ لذا علينا إيجاد طريقة لطرح الزاوية من ٠٩. إحدى طُرق فعل ذلك هي تذكُّر أن جمع 𝜃 هو نفسه طرح 𝜃: (٠٩+𝜃)=(٠٩(𝜃)).

نطبِّق بعد ذلك متطابقة الزاويتين المتتامَّتين؛ حيث 𞸎=𝜃: (٠٩(𝜃))(𝜃).

وأخيرًا، نعلم أن دالة الجيب فردية، وهو ما يعني أن: (𝜃)=𝜃=٣٥.

إذن (٠٩+𝜃)=٣٥.

يُمكننا معرفة سبب صحة ذلك بيانيًّا من خلال ملاحظة أن الزاوية 𝜃 تقع في الرُّبع الأول، وأيضًا إدراك حقيقة أن إحداثيي النقطة على دائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل هما (𝜃،𝜃).

لاستخدام هذه المُعطَيات في إيجاد (٠٩+𝜃)، تكون الزاوية ٠٩+𝜃 هي الزاوية 𝜃 بدوران إضافي مقداره ٠٩ في عكس اتجاه عقارب الساعة.

ذلك يعني أن الزاوية التي تكوِّنها هذه القطعة المستقيمة مع المحور 𞸎 الموجب هي ٠٩+𝜃، إذن (٠٩+𝜃) هو الإحداثي 𞸎 لهذه النقطة التي جرى تدويرها.

نلاحِظ أنه يُمكننا إيجاد الإحداثي 𞸎 من المثلث الأصلي.

وهذا يؤكِّد إجابتنا أنه بالنسبة إلى الزاوية 𝜃، يكون: (٠٩+𝜃)=٣٥.

في المثال السابق، دمجنا متطابقة زاويتين متتامَّتين مع حقيقة أن دالة الجيب فردية لإثبات أن: (٠٩+𝜃)=(٠٩(𝜃))=(𝜃)=𝜃.

هذا يُعطينا متطابقة جديدة، ففي الواقع، يُمكننا دمج أيٍّ من متطابقات الزاويتين المتتامَّتين مع متطابقات الدوال الفردية والزوجية لتكوين المتطابقات الآتية.

تعريف: متطابقات الزاويتين المتتامَّتين البديلة

لأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالدرجات، فإن:

  • (٠٩+𝜃)𝜃
  • (٠٩+𝜃)𝜃
  • (٠٩+𝜃)𝜃.

يُمكننا أيضًا كتابة هذه المتطابقات بدلالة الراديان باستخدام حقيقة أن ٠٩=𝜋٢.

نحصل أيضًا على متطابقات مشابهة إذا استخدمنا مقلوب الدوال المثلثية.

في المثال الآتي، سنعرف كيف يكون علينا دمج العديد من متطابقات الزاويتين المتتامَّتين معًا، وهو ما يجعل استخدام التمثيلات البيانية أصعب كثيرًا.

مثال ٢: استخدام متطابقات زاويتين متتامَّتين ومتطابقات دورية لإيجاد تعبيرات

أوجد قيمة (٠٨١𞸎)+(٠٦٣𞸎)+٧(٠٧٢𞸎)، إذا كان 𞸎=٣٥؛ حيث ٠<𞸎<٠٩.

الحل

في هذا السؤال، لدينا تعبير يتضمَّن عِدَّة حدود مثلثية مركَّبة، ومطلوب منَّا إيجاد قيمته باستخدام حقيقة أن: 𞸎=٣٥، ٠<𞸎<٠٩.

قد نفكِّر في فعل ذلك باستخدام التمثيل البياني، لكنَّ هذا يعني أنه علينا رسم ثلاثة تمثيلات بيانية (تمثيل بياني واحد لكلِّ حدٍّ). بدلًا من ذلك، سنحاول تبسيط هذا التعبير باستخدام المتطابقات المثلثية.

سنبسِّط كلَّ حدٍّ من الحدود الثلاثة على حِدَةٍ؛ فلنبدأ بالحدِّ (٠٨١𞸎).

يُمكننا تبسيط هذا الحدِّ باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين: (٠٩𝜃)𝜃.

لكن الزاويتين داخل القوس غير متطابقتين. يُمكننا تجنُّب ذلك من خلال إعادة كتابة ٠٨١ على الصورة ٠٩+٠٩:(٠٨١𞸎)=(٠٩+٠٩𞸎)=󰁓٠٩+[٠٩𞸎]󰁒=󰁓٠٩[𞸎٠٩]󰁒.

والآن، يُمكننا تطبيق متطابقة الزاويتين المتتامَّتين باستخدام 𝜃=𞸎٠٩: (٠٨١𞸎)=󰁓٠٩[𞸎٠٩]󰁒=(𞸎٠٩).

لا يُمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير مباشرة، ولكن يُمكننا تبسيطه باستخدام متطابقة زاويتين متتامَّتين أخرى، وحقيقة أن دالة جيب التمام زوجية.

بما أن دالة جيب التمام زوجية، فإن: (𞸎٠٩)=((٠٩𞸎))=(٠٩𞸎).

نريد بعد ذلك تطبيق متطابقة الزاويتين المتتامَّتين الآتية: (٠٩𝜃)𝜃.

يُمكننا فعل ذلك من خلال جعل 𝜃=𞸎، وهو ما يُعطينا: (٠٨١𞸎)=(٠٩𞸎)=𞸎=٣٥.

بذلك نكون قد أوجدنا قيمة الحدِّ الأول. هيَّا نُوجِد قيمة (٠٦٣𞸎).

لفعل ذلك، قد نرغب في تجربة استخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين، ولكن من السهل في هذا السؤال استخدام الخاصية الدورية لدالة الظل: (𝜃±٠٨١)𝜃.

قد نشعر بالقلق لأنَّنا سنطرح من الزاوية 𝜃، لكن يُمكننا تطبيق هذه المتطابقة باستخدام 𝜃=𞸎+٠٨١: (٠٦٣𞸎)=(𞸎+٠٦٣)=󰁓[𞸎+٠٨١]+٠٨١󰁒=(𞸎+٠٨١).

بعد ذلك، نطبِّق المتطابقة مرة أخرى، ولكن هذه المرة باستخدام 𝜃=𞸎: (𞸎+٠٨١)=(𞸎).

يُمكننا تبسيط ذلك أكثر بتذكُّر أن دالة الظل فردية: (٠٦٣𞸎)=(𞸎)=(𞸎).

ومن ثَمَّ، علينا إيجاد قيمة (𞸎). لفعل ذلك، سنستخدم حقيقة أن 𞸎 يقع في الرُّبع الأول، وأن 𞸎=٣٥. تذكَّر أن جيب أيِّ زاوية هو النسبة بين طول الضلع المقابل لهذه الزاوية وطول الوتر في مثلث قائم الزاوية.

(𞸎) هي النسبة بين طول الضلع المقابل والضلع المجاور في هذا المثلث القائم الزاوية. ويُمكننا إيجاد طول الضلع المجهول باستخدام نظرية فيثاغورس: ٥=٣+󰏡󰏡=󰋴٥٢٩=٤.٢٢٢

هذا يُعطينا ااااور(𞸎)==٣٤.

تجدر الإشارة مرة أخرى إلى أنَّنا نعلم أن هذه القيمة موجبة؛ لأننا نتعامل مع الرُّبع الأول.

أوضحنا أن (𞸎)=٣٤، وهو ما يعني أنَّ الحدَّ الثاني في التعبير هو ٣٤.

كلُّ ما علينا فعله الآن هو إيجاد الحدِّ الأخير في هذا التعبير؛ أيْ ٧(٠٧٢𞸎).

سنفعل ذلك أولًا باستخدام حقيقة أن دالة الجيب دورية طول دورتها ٠٦٣، وهو ما يعني أنه يُمكننا طرح هذه القيمة من السعة: ٧(٠٧٢𞸎)=٧(٠٧٢𞸎٠٦٣)=٧(٠٩𞸎).

سنستخدم حقيقة أن دالة الجيب فردية: ٧(٠٩𞸎)=٧󰁓[٠٩+𞸎]󰁒=٧(٠٩+𞸎).

يُمكننا بعد ذلك استخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين بطرح سالب 𞸎: ٧(٠٩+𞸎)=٧(٠٩(𞸎))=٧(𞸎).

يُمكننا التبسيط أكثر من ذلك باستخدام حقيقة أن دالة جيب التمام زوجية: ٧(𞸎)=٧(𞸎).

ولإيجاد قيمة (𞸎)، سنستخدم المثلث الذي لدينا:

ااورا(𞸎)==٤٥.

ومن ثَمَّ، نجد أن: ٧(٠٧٢𞸎)=٧(𞸎)=٧󰂔٤٥󰂓=٨٢٥.

وأخيرًا، يُمكننا استخدام هذه النتائج الثلاث لإيجاد قيمة التعبير بالكامل: (٠٨١𞸎)+(٠٦٣𞸎)+٧(٠٧٢𞸎)=٣٥٣٤٨٢٥=٣٢٤.

في المثال السابق، تمكَّنَّا من استخدام حقيقة أن دالة الجيب دورية، كما استخدمنا متطابقات الدوال الفردية والزوجية، ومتطابقة الزاويتين المتتامَّتين لإثبات أن: (٠٧٢𞸎)=(٠٧٢𞸎٠٦٣)=(٠٩𞸎)=(٠٩+𞸎)=(٠٩(𞸎))=(𞸎)=(𞸎).

يُمكننا اتِّباع العملية نفسها لتوضيح المتطابقات الآتية.

تعريف: مزيدٌ من متطابقات الزاويتين المتتامَّتين البديلة

لأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالدرجات، فإن:

  • (٠٧٢𝜃)𝜃
  • (٠٧٢𝜃)𝜃
  • (٠٧٢𝜃)𝜃.

يُمكننا كذلك كتابة هذه المتطابقات بدلالة الراديان باستخدام حقيقة أن ٠٩=𝜋٢.

يُمكننا أيضًا تكوين متطابقات مشابِهة لمقلوب الدوال المثلثية بالطريقة نفسها، أو باستخدام هذه المتطابقات الثلاث.

وبالمثل: (٠٧٢+𞸎)=(٠٧٢+𞸎٠٦٣)=(𞸎٠٩)=(٠٩𞸎)=(𞸎).

يُمكننا اتِّباع الطريقة نفسها لتوضيح الآتي.

تعريف: متطابقات بديلة إضافية للزاويتين المتتامَّتين

لأيِّ زاوية 𝜃 مَقيسة بالدرجات، فإن:

  • (٠٧٢+𝜃)𝜃
  • (٠٧٢+𝜃)𝜃
  • (٠٧٢+𝜃)𝜃.

يُمكننا كذلك كتابة هذه المتطابقات بدلالة الراديان باستخدام حقيقة أن ٠٩=𝜋٢.

يُمكننا إيجاد متطابقات مشابِهة للمتطابقات السابقة بالنسبة إلى مقلوب الدوال المثلثية. كما يُمكننا أيضًا إيجاد المزيد من المتطابقات عن طريق دمج هذه الخصائص بطُرق مختلفة.

في المثال الآتي، سنوضِّح أنه من المُمكِن أيضًا استخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين عند التعامل مع مقلوب الدوال المثلثية.

مثال ٣: استخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين لإيجاد قيمة دالة قاطع التمام

أوجد قيمة (٠٧٢𝜃)، إذا كان (٠٩𝜃)=٢٧؛ حيث 𝜃 أصغر زاوية موجبة.

الحل

نريد إيجاد قيمة (٠٧٢𝜃)، إذا كان (٠٩𝜃)=٢٧، وكانت 𝜃 هي أصغر زاوية موجبة. لدينا عِدَّة خيارات لإيجاد قيمة هذا التعبير؛ حيث يُمكننا استخدام التمثيل البياني أو المتطابقات المثلثية لتسهيل إيجاد قيمة هذا التعبير. هناك عِدَّة طُرق لاستخدام المتطابقات المثلثية لحلِّ هذا السؤال، وسنتناول طريقتين منهما.

الطريقة الأولى

بما أن الزوايا المتضمَّنة مشابِهة لمتطابقات الزاويتين المتتامَّتين، سنحاول إعادة كتابة هذا التعبير.

سنستخدم أولًا حقيقة أن قاطع التمام هو مقلوب دالة الجيب: (٠٧٢𝜃)=١(٠٧٢𝜃).

نريد بعد ذلك استخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين: (٠٩𞸎)=𞸎.

يُمكننا فعل ذلك بإعادة كتابة السعة: ١(٠٧٢𝜃)=١(٠٩(٠٨١)𝜃)=١(٠٩(٠٨١+𝜃)).

يُمكننا بعد ذلك تطبيق متطابقة الزاويتين المتتامَّتين باستخدام 𞸎=٠٨١+𝜃: ١(٠٩(٠٨١+𝜃))=١(٠٨١+𝜃).

لتبسيط هذا التعبير أكثر من ذلك، نريد تطبيق متطابقة الزاويتين المتتامَّتين الأخرى. لكنْ إذا فعلنا ذلك الآن، فسنحصل على نتيجة غير مُفيدة. بدلًا من ذلك، نريد تبسيط السعة باستخدام حقيقة أن دالة جيب التمام زوجية: ١(٠٨١+𝜃)=١((٠٨١𝜃))=١(٠٨١𝜃).

يُمكننا تطبيق متطابقة الزاويتين المتتامَّتين الأخرى بطريقة مشابِهة: (٠٩𝜃)𞸎.

نُعيد كتابة السعة: ١(٠٨١𝜃)=١(٠٩(٠٩)𝜃)=١(٠٩(٠٩+𝜃)).

نستخدم بعد ذلك متطابقة الزاويتين المتتامَّتين؛ حيث 𞸎=٠٩+𝜃: ١(٠٩(٠٩+𝜃))=١(٠٩+𝜃).

قد نرغب في تبسيط السعة أكثر من ذلك، لكنْ تذكَّر أنَّنا علمنا من السؤال أن (٠٩𝜃)=٢٧. يُمكننا كتابة المقام بهذه الطريقة باستخدام حقيقة أن دالة الجيب فردية: ١(٠٩+𝜃)=١((٠٩𝜃))=١(٠٩𝜃)=١(٠٩𝜃)=١󰂔󰂓=٧٢.٢٧

الطريقة الثانية

يُمكننا البدء بإعادة كتابة دالة قاطع التمام باستخدام تعريفها: (٠٧٢𝜃)=١(٠٧٢𝜃).

إذن، باستخدام حقيقة أن دالة الجيب دورية، نحصل على: ١(٠٧٢𝜃)=١(٠٧٢𝜃٠٦٣)=١(٠٩𝜃).

يُمكننا التبسيط أكثر من ذلك باستخدام حقيقة أن دالة الجيب فردية: ١(٠٩𝜃)=١((٠٩𝜃))=١(٠٩+𝜃)=١(٠٩+𝜃).

نريد الآن تطبيق متطابقة الزاويتين المتتامَّتين (٠٩𝜃)𞸎: ١(٠٩+𝜃)=١(٠٩(𝜃))=١(𝜃).

نستخدم بعد ذلك حقيقة أن دالة جيب التمام يُمكن تبسيطها أكثر: ١(𝜃)=١(𝜃).

يُمكننا إعادة كتابة ذلك بدلالة (٠٩𝜃) باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين (٠٩𝜃)𝜃، وهذا يُعطينا: ١(𝜃)=١(٠٩𝜃).

وأخيرًا، علمنا أن (٠٩𝜃)=٢٧، إذن: ١(٠٩𝜃)=١=٧٢.٢٧

ومن ثَمَّ، إذا كانت 𝜃 أصغر زاوية موجبة؛ حيث (٠٩𝜃)=٢٧، فإن (٠٧٢𝜃)=٧٢.

حتى الآن، تضمَّنت كلُّ الأمثلة متطابقات الزاويتين المتتامَّتين. دعونا نتناول مثالًا علينا فيه تطبيق متطابقات أخرى لمساعدتنا في إيجاد قيمة تعبير دالة مثلثية.

مثال ٤: استخدام المتطابقات الدورية ومتطابقات الزاويتين المتتامَّتين لإيجاد قيمة دالة مثلثية بمعلومية زاوية محدَّدة

󰏡𞸁𞸢 مثلث قائم الزاوية في 𞸁. أوجد 𝛼، إذا كان 𝜃=٤٣.

الحل

نريد إيجاد 𝛼 من حقيقة أن 𝜃=٤٣، ومن الشكل. لفعل ذلك، نريد أولًا إيجاد تعبير لـ 𝛼 بدلالة 𝜃. يُمكننا إيجاد ذلك من الشكل. أولًا 𞹟󰌑𞸁𞸃󰏡=٠٩𝜃؛ وذلك لأن مجموع قياسات الزوايا في المثلث 󰏡𞸁𞸃 يساوي ٠٨١.

بعد ذلك، يُمكننا ملاحظة أن 󰌑𞸁𞸃󰏡، 󰌑𞸢𞸃󰏡 تقعان على خطٍّ مستقيم، إذن مجموع هاتين الزاويتين يساوي ٠٨١. هذا يعني أن: ٠٩𝜃+𝛼=٠٨١𝛼=٠٩+𝜃.

إذن: 𝛼=(٠٩+𝜃).

لإيجاد قيمة هذا التعبير، سنستخدم متطابقات الزاويتين المتتامَّتين. لاستخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين، يُمكننا البدء بإعادة كتابة السعة: (٠٩+𝜃)=(٠٩(𝜃)).

ونكتب ذلك بدلالة دالة الظل: (٠٩(𝜃))=١(٠٩(𝜃)).

إحدى طُرق إيجاد قيمة هذا التعبير هي استخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين لدالة الظل، وهي توضِّح لنا أن: (٠٩𞸎)𞸎.

بتطبيق هذا على التعبير لدينا، نحصل على: ١(٠٩(𝜃))=١(𝜃).

نريد بعد ذلك كتابة هذا بدلالة 𝜃، ويُمكننا فعل ذلك باستخدام حقيقة أن دالة قاطع التمام فردية: ١(𝜃)=١(𝜃)=١󰂔󰂓=٣٤.٤٣

بذلك نكون قد أوجدنا أن: 𝛼=٣٤.

في المثال الأخير، سنعرف كيف يُمكننا إيجاد قيمة تعبير يتضمَّن عِدَّة زوايا مختلفة.

مثال ٥: إيجاد قيمة تعبيرات الدوال المثلثية باستخدام العلاقات بين الدوال المثلثية والزاويتين المتتامَّتين

أوجد قيمة ٥١٠٢×٠٧٥٧.

الحل

لا يُمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير مباشرة، وهو ما يعني أن علينا تبسيطه أولًا. بالنظر إلى سعة تعبير الدالة المثلثية المُعطَى، نلاحِظ أن ٠٩٥١=٥٧، ٠٩٠٢=٠٧. بعبارة أخرى، هاتان الزاويتان متتامَّتان.

عندما نتعامل مع زاويتين متتامَّتين، من الجيد أن نحاول استخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين.

لنبدأ بـ ٥١؛ حيث يُمكننا كتابة ذلك على الصورة: ٥١=(٠٩٥٧).

يُمكننا بعد ذلك استخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين: (٠٩𝜃)𝜃 باستخدام 𝜃=٥٧: ٥١=(٠٩٥٧)=(٥٧).

يُمكننا التعويض بهذا في التعبير المُعطَى في السؤال: ٥١٠٢×٠٧٥٧=٥٧٠٢×٠٧٥٧=٠٧٠٢.

نحذف العامل المشترك ٥٧؛ لأننا نعلم أن ٥٧>٠.

يُمكننا فعل الأمر نفسه لإعادة كتابة ٠٢. أولًا، نُعيد كتابة السعة: ٠٢=(٠٩٠٧).

بعد ذلك، نريد استخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين: (٠٩٠٧)𝜃.

نجعل 𝜃=٠٧:٠٢=(٠٩٠٧)=٠٧.

وأخيرًا، نعوِّض بهذا في التعبير: ٠٧٠٢=٠٧٠٧=١.

تذكَّر أنه من المُهِمِّ أن تتحقَّق من أن ٠٧٠ عند حذف هذا العامل المشترك. لفعل ذلك، نتذكَّر أنه في مخطط CAST، يكون ظل الزاوية موجبًا ويقع في الرُّبع الأول، إذن ٠٧>٠، وهو ما يعني أن مقلوب دالته المثلثية موجب أيضًا.

وبذلك نكون قد أوجدنا أن: ٥١٠٢×٠٧٥٧=١.

دعونا نختم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • يُمكننا استخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين لمُساعدتنا في إيجاد قِيَم تعبيرات الدوال المثلثية.
  • يُمكننا أيضًا دمج متطابقات الزاويتين المتتامَّتين مع كلِّ المتطابقات المثلثية الأخرى لمُساعدتنا في تبسيط التعبيرات.
  • يُمكننا دمج جميع خواص ومتطابقات الدوال المثلثية لإيجاد المزيد من متطابقات الدوال المثلثية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.