شارح الدرس: إيجاد قيمة الدوال المثلثية باستخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: إيجاد قيمة دالة مثلثية باستخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين

أوجد قيمة ، إذا كان ؛ حيث .

الحل

علمنا من هذا السؤال أن جيب الزاوية يساوي ، كما علمنا أن . علينا استخدام هذين المُعطَيَيْن لإيجاد قيمة . يُمكننا فعل ذلك بيانيًّا باستخدام تعريف كلٍّ من دالة الجيب ودالة جيب التمام، ولكن من الأسهل بكثير أن نفعل ذلك من خلال إعادة كتابة هذا التعبير باستخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين.

هناك عِدَّة طُرق مختلفة لإيجاد قيمة هذا التعبير باستخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين، وسنتناول طريقةً واحدةً فقط منها.

تذكَّر أولًا أن إحدى متطابقات الزاويتين المتتامَّتين توضِّح أنه لأيِّ زاوية ، فإن:

نريد استخدام ذلك مع التعبير ؛ لذا علينا إيجاد طريقة لطرح الزاوية من . إحدى طُرق فعل ذلك هي تذكُّر أن جمع هو نفسه طرح :

نطبِّق بعد ذلك متطابقة الزاويتين المتتامَّتين؛ حيث :

وأخيرًا، نعلم أن دالة الجيب فردية، وهو ما يعني أن:

إذن .

يُمكننا معرفة سبب صحة ذلك بيانيًّا من خلال ملاحظة أن الزاوية تقع في الرُّبع الأول، وأيضًا إدراك حقيقة أن إحداثيي النقطة على دائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل هما .

لاستخدام هذه المُعطَيات في إيجاد ، تكون الزاوية هي الزاوية بدوران إضافي مقداره في عكس اتجاه عقارب الساعة.

ذلك يعني أن الزاوية التي تكوِّنها هذه القطعة المستقيمة مع المحور الموجب هي ، إذن هو الإحداثي لهذه النقطة التي جرى تدويرها.

نلاحِظ أنه يُمكننا إيجاد الإحداثي من المثلث الأصلي.

وهذا يؤكِّد إجابتنا أنه بالنسبة إلى الزاوية ، يكون:

مثال ٢: استخدام متطابقات زاويتين متتامَّتين ومتطابقات دورية لإيجاد تعبيرات

أوجد قيمة ، إذا كان ؛ حيث .

الحل

في هذا السؤال، لدينا تعبير يتضمَّن عِدَّة حدود مثلثية مركَّبة، ومطلوب منَّا إيجاد قيمته باستخدام حقيقة أن: ، .

قد نفكِّر في فعل ذلك باستخدام التمثيل البياني، لكنَّ هذا يعني أنه علينا رسم ثلاثة تمثيلات بيانية (تمثيل بياني واحد لكلِّ حدٍّ). بدلًا من ذلك، سنحاول تبسيط هذا التعبير باستخدام المتطابقات المثلثية.

سنبسِّط كلَّ حدٍّ من الحدود الثلاثة على حِدَةٍ؛ فلنبدأ بالحدِّ .

يُمكننا تبسيط هذا الحدِّ باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين:

لكن الزاويتين داخل القوس غير متطابقتين. يُمكننا تجنُّب ذلك من خلال إعادة كتابة على الصورة :

والآن، يُمكننا تطبيق متطابقة الزاويتين المتتامَّتين باستخدام :

لا يُمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير مباشرة، ولكن يُمكننا تبسيطه باستخدام متطابقة زاويتين متتامَّتين أخرى، وحقيقة أن دالة جيب التمام زوجية.

بما أن دالة جيب التمام زوجية، فإن:

نريد بعد ذلك تطبيق متطابقة الزاويتين المتتامَّتين الآتية:

يُمكننا فعل ذلك من خلال جعل ، وهو ما يُعطينا:

بذلك نكون قد أوجدنا قيمة الحدِّ الأول. هيَّا نُوجِد قيمة .

لفعل ذلك، قد نرغب في تجربة استخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين، ولكن من السهل في هذا السؤال استخدام الخاصية الدورية لدالة الظل:

قد نشعر بالقلق لأنَّنا سنطرح من الزاوية ، لكن يُمكننا تطبيق هذه المتطابقة باستخدام :

بعد ذلك، نطبِّق المتطابقة مرة أخرى، ولكن هذه المرة باستخدام :

يُمكننا تبسيط ذلك أكثر بتذكُّر أن دالة الظل فردية:

ومن ثَمَّ، علينا إيجاد قيمة . لفعل ذلك، سنستخدم حقيقة أن يقع في الرُّبع الأول، وأن . تذكَّر أن جيب أيِّ زاوية هو النسبة بين طول الضلع المقابل لهذه الزاوية وطول الوتر في مثلث قائم الزاوية.

هي النسبة بين طول الضلع المقابل والضلع المجاور في هذا المثلث القائم الزاوية. ويُمكننا إيجاد طول الضلع المجهول باستخدام نظرية فيثاغورس:

هذا يُعطينا .

تجدر الإشارة مرة أخرى إلى أنَّنا نعلم أن هذه القيمة موجبة؛ لأننا نتعامل مع الرُّبع الأول.

أوضحنا أن ، وهو ما يعني أنَّ الحدَّ الثاني في التعبير هو .

كلُّ ما علينا فعله الآن هو إيجاد الحدِّ الأخير في هذا التعبير؛ أيْ .

سنفعل ذلك أولًا باستخدام حقيقة أن دالة الجيب دورية طول دورتها ، وهو ما يعني أنه يُمكننا طرح هذه القيمة من السعة:

سنستخدم حقيقة أن دالة الجيب فردية:

يُمكننا بعد ذلك استخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين بطرح سالب :

يُمكننا التبسيط أكثر من ذلك باستخدام حقيقة أن دالة جيب التمام زوجية:

ولإيجاد قيمة ، سنستخدم المثلث الذي لدينا:

ومن ثَمَّ، نجد أن:

وأخيرًا، يُمكننا استخدام هذه النتائج الثلاث لإيجاد قيمة التعبير بالكامل:

مثال ٣: استخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين لإيجاد قيمة دالة قاطع التمام

أوجد قيمة ، إذا كان ؛ حيث أصغر زاوية موجبة.

الحل

نريد إيجاد قيمة ، إذا كان ، وكانت هي أصغر زاوية موجبة. لدينا عِدَّة خيارات لإيجاد قيمة هذا التعبير؛ حيث يُمكننا استخدام التمثيل البياني أو المتطابقات المثلثية لتسهيل إيجاد قيمة هذا التعبير. هناك عِدَّة طُرق لاستخدام المتطابقات المثلثية لحلِّ هذا السؤال، وسنتناول طريقتين منهما.

الطريقة الأولى

بما أن الزوايا المتضمَّنة مشابِهة لمتطابقات الزاويتين المتتامَّتين، سنحاول إعادة كتابة هذا التعبير.

سنستخدم أولًا حقيقة أن قاطع التمام هو مقلوب دالة الجيب:

نريد بعد ذلك استخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين:

يُمكننا فعل ذلك بإعادة كتابة السعة:

يُمكننا بعد ذلك تطبيق متطابقة الزاويتين المتتامَّتين باستخدام :

لتبسيط هذا التعبير أكثر من ذلك، نريد تطبيق متطابقة الزاويتين المتتامَّتين الأخرى. لكنْ إذا فعلنا ذلك الآن، فسنحصل على نتيجة غير مُفيدة. بدلًا من ذلك، نريد تبسيط السعة باستخدام حقيقة أن دالة جيب التمام زوجية:

يُمكننا تطبيق متطابقة الزاويتين المتتامَّتين الأخرى بطريقة مشابِهة:

نُعيد كتابة السعة:

نستخدم بعد ذلك متطابقة الزاويتين المتتامَّتين؛ حيث :

قد نرغب في تبسيط السعة أكثر من ذلك، لكنْ تذكَّر أنَّنا علمنا من السؤال أن . يُمكننا كتابة المقام بهذه الطريقة باستخدام حقيقة أن دالة الجيب فردية:

الطريقة الثانية

يُمكننا البدء بإعادة كتابة دالة قاطع التمام باستخدام تعريفها:

إذن، باستخدام حقيقة أن دالة الجيب دورية، نحصل على:

يُمكننا التبسيط أكثر من ذلك باستخدام حقيقة أن دالة الجيب فردية:

نريد الآن تطبيق متطابقة الزاويتين المتتامَّتين :

نستخدم بعد ذلك حقيقة أن دالة جيب التمام يُمكن تبسيطها أكثر:

يُمكننا إعادة كتابة ذلك بدلالة باستخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين ، وهذا يُعطينا:

وأخيرًا، علمنا أن ، إذن:

ومن ثَمَّ، إذا كانت أصغر زاوية موجبة؛ حيث ، فإن .

مثال ٤: استخدام المتطابقات الدورية ومتطابقات الزاويتين المتتامَّتين لإيجاد قيمة دالة مثلثية بمعلومية زاوية محدَّدة

مثلث قائم الزاوية في . أوجد ، إذا كان .

الحل

نريد إيجاد من حقيقة أن ، ومن الشكل. لفعل ذلك، نريد أولًا إيجاد تعبير لـ بدلالة . يُمكننا إيجاد ذلك من الشكل. أولًا ؛ وذلك لأن مجموع قياسات الزوايا في المثلث يساوي .

بعد ذلك، يُمكننا ملاحظة أن ، تقعان على خطٍّ مستقيم، إذن مجموع هاتين الزاويتين يساوي . هذا يعني أن:

إذن:

لإيجاد قيمة هذا التعبير، سنستخدم متطابقات الزاويتين المتتامَّتين. لاستخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين، يُمكننا البدء بإعادة كتابة السعة:

ونكتب ذلك بدلالة دالة الظل:

إحدى طُرق إيجاد قيمة هذا التعبير هي استخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين لدالة الظل، وهي توضِّح لنا أن:

بتطبيق هذا على التعبير لدينا، نحصل على:

نريد بعد ذلك كتابة هذا بدلالة ، ويُمكننا فعل ذلك باستخدام حقيقة أن دالة قاطع التمام فردية:

بذلك نكون قد أوجدنا أن: .

مثال ٥: إيجاد قيمة تعبيرات الدوال المثلثية باستخدام العلاقات بين الدوال المثلثية والزاويتين المتتامَّتين

أوجد قيمة .

الحل

لا يُمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير مباشرة، وهو ما يعني أن علينا تبسيطه أولًا. بالنظر إلى سعة تعبير الدالة المثلثية المُعطَى، نلاحِظ أن ، . بعبارة أخرى، هاتان الزاويتان متتامَّتان.

عندما نتعامل مع زاويتين متتامَّتين، من الجيد أن نحاول استخدام متطابقات الزاويتين المتتامَّتين.

لنبدأ بـ ؛ حيث يُمكننا كتابة ذلك على الصورة:

يُمكننا بعد ذلك استخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين: باستخدام :

يُمكننا التعويض بهذا في التعبير المُعطَى في السؤال:

نحذف العامل المشترك ؛ لأننا نعلم أن .

يُمكننا فعل الأمر نفسه لإعادة كتابة . أولًا، نُعيد كتابة السعة:

بعد ذلك، نريد استخدام متطابقة الزاويتين المتتامَّتين:

نجعل :

وأخيرًا، نعوِّض بهذا في التعبير:

تذكَّر أنه من المُهِمِّ أن تتحقَّق من أن عند حذف هذا العامل المشترك. لفعل ذلك، نتذكَّر أنه في مخطط CAST، يكون ظل الزاوية موجبًا ويقع في الرُّبع الأول، إذن ، وهو ما يعني أن مقلوب دالته المثلثية موجب أيضًا.

وبذلك نكون قد أوجدنا أن: