شارح الدرس: دمج قيم الشك الفيزياء • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قيم الشك في قيم الكميات التي يمكن حسابها من قيمتين مقيستين أو أكثر.

نتذكَّر أولًا أن قيمة الشك في قيمة كمية فيزيائية أو قياس فيزيائي عبارة عن عدد يَصِف دقة القياس. بعبارة أخرى، تَصِف قيمة الشك مجموعة من القيم المتسقة مع قياس معيَّن، وتحدِّد حقيقة أنه لا يوجد قياس دقيق تمامًا. عند قسمة قيمة الشك على القياس الفعلي، نُوجِد القيمة الكسرية للشك أو النسبة المئوية للشك.

إذا كان الحرف يُمثِّل الكمية أو القياس، فإن الرمز يمثِّل قيمة الشك المناظرة، وتُعطى النسبة المئوية للشك بالعلاقة .

كل قياس له قيمة شك. لكن ماذا عن إجرائنا عمليات حسابية باستخدام نواتج قياسات متعدِّدة؟ على سبيل المثال، إذا قسنا طول لوح وعرضه، فقد نجد أن الطول يساوي m، والعرض يساوي m. وباستخدام هذه المعلومات، يمكننا حساب المساحة حسابًا سريعًا، لنجد أنها تساوي . لكن كلا القياسين له قيمة شك، وهو ما يعني أن حساب المساحة غير دقيق أيضًا. نحتاج إلى مجموعة من القواعد لإيجاد قيم الشك في حالات مثل هذه الحالة.

نبدأ بحالة أبسط: جَمْع قياسين معًا. قد يحدث هذا النوع من العمليات الحسابية عندما نحسب الطول الإجمالي لقلمَي رصاص. يمكننا أن نرى قلمَي رصاص ومسطرة في الشكل الآتي.

يمكننا قياس طول كل قلم باستخدام المسطرة الموجودة في الشكل، لكن نظرًا لأن سِنَّي القلمين لا يحاذيان علامات التدريج بشكل مضبوط، فإن القياس لن يكون دقيقًا. على وجه التحديد، ستمثِّل قيمة الشك الطول التقريبي بين علامات التدريج. إذا أضفنا علامات أكثر، يمكننا تقليل قيمة الشك هذه، لكن لا تُوجد مسطرة تحتوي على علامات تدريج كافية لقياس كل جسم قياسًا مثاليًّا. وعلاوةً على ذلك، للدرجات نفسها عرض فيزيائي يُسهم في قيمة الشك. يساوي الطول الإجمالي للقلمين مجموع طولَيْهما المنفردين، كلٌّ منهما بقيمة الشك الخاصة به. قاعدة إيجاد قيمة الشك المدمجة في هذه الحالة واضحة تمامًا، وسنُسمِّيها قاعدة المجموع.

يتبيَّن أن قاعدة المجموع تكون بديهية تمامًا إذا تعاملنا مع قيمة الشك بالطريقة الآتية: القيمة الصغرى المتسقة مع القياس هي القيمة التي نقيسها ناقص قيمة الشك. وبالمثل، القيمة العظمى المتسقة مع القياس هي القيمة التي نقيسها زائد قيمة الشك. نفترض بشكل واقعي أننا نقيس كمية معيَّنة ووجدنا أنها تساوي s. تكون جميع القيم المتسقة مع هذا القياس عند 9 s على الأقل، وعند 11 s على الأكثر. والآن، نفترض أننا نقيس كمية أخرى ووجدنا أنها تساوي s؛ بحيث تكون جميع القيم المتسقة مع هذا القياس عند 22.5 s على الأقل، وعند 23.5 s على الأكثر. لإيجاد القيمتين الصغرى والعظمى المتسقتين مع مجموع هذين القياسين، نجمع ببساطة القيمتين الصغرى والعظمى المتسقتين مع كل قياس منفرد. ونظرًا إلى أنه تم إيجاد هاتين القيمتين الصغرى والعظمى بطرح قيمتَي الشك المنفردتين أو جمعهما، يُستنتج من ذلك مباشرةً أن قيمة الشك للمجموع تساوي مجموع قيمتَي الشك.

تُستخدَم قاعدة المجموع في أي حالة يكون لدينا فيها جمع للقياسات أو طرحها. تُطبَّق القاعدة على كلٍّ من الجمع والطرح؛ لأنه يمكن دائمًا التعبير عن الطرح بدلالة الجمع بالأعداد السالبة.

نرى مثالًا على تطبيق قاعدة المجموع.

تضمَّن المثال الذي عملنا على حله للتو تطبيق قاعدة المجموع لدمج قيمتَي شك. في الواقع، تُطبَّق قاعدة المجموع على أي عدد من قيم الشك المدمجة من خلال الجمع أو الطرح. ويوضِّح المثال التالي كيفية استخدام قاعدة المجموع لأكثر من قيمتَي شك.

من الجدير بالملاحظة أنه عند جمع قيم الشك باستخدام قاعدة المجموع، تعتمد قيمة الشك المدمجة على قيم الشك فقط، وليس على قيم القياس المحدَّدة. وليس هذا هو الحال بالنسبة إلى القاعدة التالية؛ أي قاعدة الضرب لدمج قيم الشك، التي تعتمد بالفعل على قيم القياس المحدَّدة.

في بداية هذا الشارح، تساءلنا عن كيفية إيجاد قيمة الشك لمساحة ما بمعلومية قيمتَي الشك لطول وعرض المساحة المناظرين. ونظرًا لأن المساحة تساوي الطول في العرض، فإننا نحتاج إلى قاعدة الضرب لدمج قيم الشك.

نحن نستخدم قاعدة الضرب في أي حالة نضرب فيها الكميات معًا. وبالمثل، نظرًا لأنه يمكن دائمًا التعبير عن القسمة في صورة ضرب المقلوبات، فإننا نستخدم أيضًا قاعدة الضرب عند قسمة الكميات.

قبل أن نتناول الأساس الرياضي لصيغة قاعدة الضرب، نتدرَّب على تطبيقها بمثال.

في هذه المرحلة، يجدر بنا تناوُل الأساس الرياضي لقاعدة الضرب. على الرغم من أن الصورة ليست بسيطة تمامًا مثل قاعدة المجموع، فإنه لا يزال بإمكاننا الحصول على الناتج بطريقة بديهية.

تذكَّر أن قيمة الشك لقياس ما مضروبًا في عدد ما تساوي هذا العدد مضروبًا في قيمة الشك لهذا القياس. وهذا يعني رمزيًّا أنه إذا كان عددًا، قياسًا، ، فإن:

والآن، بالنسبة إلى قاعدة الضرب، نلاحظ أننا تناولنا عملية حسابية للصورة . والفرق الوحيد بين هذا و هو أن له قيمة شك ، أما فليس له قيمة شك (وهو ما يعني أن ).

يمكننا الآن فهم أصل قاعدة الضرب لدمج قيم الشك. نظرًا لأن له قيمة شك، يجب أن نعامل في الكمية بالطريقة نفسها التي عاملنا بها في الكمية . على وجه التحديد، وكجزء من إيجاد قيمة الشك الإجمالية، يجب أن نضرب في . ولكن باستخدام المنطق نفسه بالضبط، ونظرًا لأن له قيمة شك، يجب أن نعامل في الكمية بالطريقة نفسها التي عاملنا بها في الكمية . ومن ثَمَّ، في إيجاد قيمة الشك الإجمالية، يجب أيضًا أن نضرب في . وبذلك نكون قد توصَّلنا إلى حدَّيْن يجب أن يلعبا دورًا في قيمة الشك النهائية، وهما و. يمثِّل الحد الأول المساهمة من قيمة الشك في ، ويمثِّل الحد الثاني المساهمة من قيمة الشك في . وهذان الحدان هما المساهمتان الوحيدتان في قيمة الشك الإجمالية، وعندما ندمجهما معًا فإنهما يكوِّنان قاعدة الضرب.

لتدعيم القاعدة الأخيرة، وهي قاعدة القوة لدمج قيم الشك، انظر المثال التالي الذي يتضمَّن نوعًا خاصًّا من الضرب.

في هذا المثال، استخدمنا قاعدة الضرب لإيجاد قيمة الشك. ولكن، هيا نرَ ما كان سيحدث إذا استخدمنا قاعدة الضرب لكتابة رمزيًّا:

في هذه الحالة الخاصة لقيمة الشك لكمية تساوي قوة ما؛ أي إنها قيمة في الصورة الأسية أو مرفوعة لأُس، تُختَزَل قاعدة الضرب إلى صورة بسيطة للغاية لا تتطلَّب جمع حدود، بل ضرب الكميات المناسبة فقط. إذا جعلنا ، وقسمنا كلا الطرفين على ، كما فعلنا مع في قاعدة الضرب المعتادة، نحصل على صورة أخرى مفيدة: تتعلَّق بالقيم الكسرية للشك أو النسبة المئوية لقيم الشك في و.

الآن، في ضوء ما نجحنا فيه سابقًا، نريد إيجاد قيمة الشك للقوى الأخرى لـ ، بفرض أن . بتطبيق قاعدة الضرب على ، نحصل على:

لكننا نعلم بالفعل كيفية تبسيط باستخدام قاعدة الضرب؛ فهو يساوي . ومن ثَمَّ، نحصل على:

في هذه المرحلة، يمكننا أن نلاحظ نمطًا بدأ في الظهور. بتطبيق قاعدة الضرب مرارًا وتكرارًا، يبدو أننا سنجد دائمًا أن القيمة الكسرية للشك لكمية مرفوعة إلى أُس تساوي الأُس مضروبًا في القيمة الكسرية للشك للكمية نفسها. وفي الواقع، هذا ليس مجرد استنتاج صحيح، بل إنه يمثِّل بدقة قاعدة القوة الخاصة بدمج قيم الشك.

والآن، بعد أن عرفنا القاعدة الأخيرة، يمكننا تطبيقها على مثال.

وأخيرًا، نحسب قيمة شك أخيرة باستخدام الدمج بين قاعدة الضرب وقاعدة القوة.

في هذا المثال، أوجدنا مقدارًا معقدًا لقيمة الشك من خلال تقسيمه إلى مكوِّنات أبسط، وتَمكنَّا من حساب كلٍّ منها باستخدام القواعد التي عرفناها بالفعل. وهذه طريقة عامة لدمج قيم الشك. وفي أي حالة تواجهنا فيها كمية تتكوَّن من مجموعة قيم مجموعة، وحواصل ضرب، وقوى أو كميات في الصورة الأسية، يمكننا حساب قيمة الشك الإجمالية من قيم الشك المنفردة؛ وذلك بتطبيق القواعد التي تعلَّمناها بشكل متكرر.

نختتم هذا الشارح بتذكُّر القواعد الثلاث التي تعلَّمناها لدمج قيم الشك.