شارح الدرس: مدى مجموعة البيانات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مدى مجموعة بيانات.

تعريف: المدى

المدى لمجموعة البيانات هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة: اىأتأت=.

المدى يوضِّح لنا مقدار انتشار البيانات.

نلقي نظرة على بعض الأمثلة لنتدرَّب على إيجاد المدى.

مثال ١: إيجاد المدى لمجموعة بيانات

عدد الأهداف التي أحرزها ١٢ لاعبًا في موسم هي ١٣، ١١، ١٢، ٥، ٥، ٩، ٦، ١١، ٨، ٥، ٦، ١٩. بيِّن إذا ما كانت العبارة الآتية صوابًا أو خطأ: مدى البيانات هو ١٤ هدفًا.

الحل

المدى هو الفرق بين أصغر قيمة وأكبر قيمة للبيانات. إحدى طرق تحديد ذلك هي كتابة البيانات بالترتيب من الأصغر إلى الأكبر.

إذن المدى يساوي: ٩١٥=٤١.

ومن ثَمَّ، فإن العبارة صحيحة.

مثال ٢: إيجاد مدى البيانات في تمثيل بالنقاط

يوضِّح الرسم البياني أوزان طيور البطريق بالكيلوجرام في إحدى حدائق الحيوان. هل مدى الأوزان هو ٢٤ كيلوجرامًا؟

الحل

لإيجاد مدى البيانات، علينا تحديد أكبر وأصغر قيمة للبيانات.

أصغر قيمة بيانات هي الوزن ٢٣ كجم، وأكبر قيمة بيانات هي الوزن ٤٩ كجم.

إذن المدى هو الفرق: ٩٤٣٢=٦٢.

وبناءً على ذلك، نستنتج أن مدى الأوزان لا يساوي٢٤ كجم.

يوضِّح لنا مدى مجموعة البيانات مقدار انتشارها. على سبيل المثال، انظر إلى مجموعتَي البيانات الآتيتين.

إن قيم البيانات في مجموعة البيانات الأولى بعضها أقرب إلى بعض من قيم البيانات في المجموعة الثانية، ومدى مجموعة البيانات الأولى أصغر بكثير من مدى المجموعة الثانية.

لكن هذا ليس هو السبب الوحيد في أن لإحدى مجموعتَي البيانات مدى أكبر من الأخرى. انظر إلى مجموعتَي البيانات الآتيتين. تُعَد كل واحدة منهما مطابقة للأخرى تقريبًا، لكن المجموعة الثانية بها قيمة واحدة أكبر بكثير من باقي القيم.

على الرغم من أن أربعًا من خمس من قيم البيانات متساوية، فإن مدى مجموعة البيانات الثانية أكبر بكثير من مدى المجموعة الأولى؛ لأن أعظم قيمة في مجموعة البيانات الثانية أكبر ممَّا هو متوقَّع. تُسمَّى هذه القيم أحيانًا بالقيم المتطرِّفة، ويمكنها أن تؤثِّر على المدى بشكل كبير.

نختم الآن ببعض الأمثلة.

مثال ٣: إيجاد المدى بمعلومية ملخَّص البيانات

افترض أن ٤٤٥ هو العنصر الأكبر في مجموعة مداها ٢٣٤. ما العنصر الأصغر في هذه المجموعة؟

الحل

نحن نعلم أن مدى أيِّ مجموعة بيانات يساوي الفرق بين القيمتين الكبرى والصغرى في المجموعة: اىأأ=.

إذن: أأاى=.

والآن، نعوِّض عن المدى وأكبر قيمة في المعادلة: أ=٥٤٤٤٥٢=١٩١.

وهكذا، نستنتج أن أصغر عنصر يساوي ١٩٢.

مثال ٤: إيجاد قيمة المدى عند إضافة قيمة بيانات

يوضِّح الشكل التالي عدد أكواب المياه التي تستهلكها مجموعة من الأشخاص في اليوم الواحد. صِف كيفية تغيُّر المدى إذا أضفنا بيانات أخرى قيمتها ١ إلى مجموعة البيانات.

الحل

مدى البيانات يساوي الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة للبيانات.

وبما أن أكبر قيمة للبيانات في التمثيل بالنقاط هي ٥ أكواب، وأصغر قيمة هي صفر من الأكواب، إذن المدى في الوقت الحالي يساوي: ٥٠=٥.أاب

إذا أضفنا قيمة بيانات تساوي ١، فلن يُغيِّر هذا أكبر قيمة أو أصغر قيمة للبيانات؛ وبناءً على ذلك، نستنتج أن المدى لن يتغيَّر.

وأخيرًا، نتناول مثالين يوضِّحان كيف يمكننا استخدام المدى لتحديد احتمالات وجود قيم مجهولة في مجموعة بيانات.

مثال ٥: استخدام المدى لإيجاد قيم البيانات الناقصة

لدى كريم مجموعة البيانات الآتية: ٦،٨،𞸊،٨،٨،٩.

إذا كان المدى يساوي ٣، فما العدد الذي يمكن أن يمثِّله 𞸊: ٦، ٥، ٣، ٤، ١٣؟

الحل

المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة.

بدون 𞸊، يكون مدى البيانات: ٦،٨،٨،٨،٩ هو: ٩٦=٣.

وإذا أضفنا 𞸊، يظل المدى هو ٣، وهو ما يعني أن 𞸊 لا يغيِّر أصغر قيمة أو أكبر قيمة للبيانات. وبناءً على ذلك، نستنتج أن القيم الممكنة (العدد الكلي) لـ 𞸊 هو: ٦،٧،٨،٩.

بالنظر إلى قائمة الإجابات المُعطاة بعد ذلك، نجد أن العدد ٦ هو القيمة الوحيدة الممكنة لـ 𞸊.

في المثال السابق، كان مدى مجموعة البيانات ٦،٨،𞸊،٨،٨،٩ يساوي ٩٦، وهو مدى مجموعة بيانات بدون القيمة المجهولة 𞸊. ننظر الآن إلى مجموعة البيانات نفسها عندما يساوي المدى شيئًا آخر.

مثال ٦: استخدام المدى لإيجاد قيم البيانات الناقصة

لدى فادي مجموعة البيانات الآتية: ٦،٨،𞸊،٨،٨،٩.

إذا كان المدى يساوي ٧، فما العدد الذي يمكن أن يساوي 𞸊: ٥، ٢، ٩، ٦، ٨؟

الحل

المدى يساوي الفرق بين القيمتين الكبرى والصغرى.

بدون 𞸊، يكون مدى البيانات: ٦،٨،٨،٨،٩ هو: ٩٦=٣.

إذا أضفنا 𞸊، يزداد المدى ليصبح ٧، وهذا يعني أن 𞸊 يجب أن يكون إما أصغر قيمة وإما أكبر قيمة.

سنفكِّر فيما يحدث في الحالتين.

لقد أوجدنا قيمتين محتملتين لـ 𞸊: ٢ أو ١٣. وبالنظر إلى قائمة الإجابات المعطاة لنختار من بينها، نجد أن العدد ٢ هو الإجابة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.