تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الدوال اللوغاريتمية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَتعرَّف على الدالة اللوغاريتمية، وكيف نكتبها ونُوجِد قيمتها باعتبارها معكوس الدالة الأسية.

الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية. لكن قبل التفكير في الدوال اللوغاريتمية، هيا نتناول دالة خطية، مثل 󰎨(𞸎)=٣𞸎١، ومعكوسها. تذكَّر أنه لإيجاد معكوس الدالة، علينا أولًا إعادة كتابتها على الصورة 𞸑=٣𞸎١. بعد ذلك، نبدِّل المتغيِّرات 𞸎، 𞸑 لنحصل على 𞸎=٣𞸑١، ونَحُلها لإيجاد قيمة 𞸑، ما يعطينا 𞸑=𞸎+١٣. توضِّح لنا العمليات الحسابية أن معكوس الدالة 󰎨(𞸎)=٣𞸎١ هو 󰎨(𞸎)=𞸎+١٣١. يمكنك أيضًا تعريف الدالة العكسية على الصورة 𞸓(𞸎)=𞸎+١٣. بما أن 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎) كلٌّ منهما معكوس للأخرى، إذا كانت النقطة (𞸎،𞸑) تحقِّق 󰎨(𞸎)، إذن النقطة (𞸑،𞸎) لا بد أن تحقِّق 𞸓(𞸎). على سبيل المثال، يمكننا ملاحظة أن النقطة (١،٢) تحقِّق 󰎨(𞸎)؛ لأن 󰎨(١)=٣(١)١=٢، وأن النقطة (٢،١) تحقِّق 𞸓(𞸎)؛ لأن: 𞸓(٢)=٢+١٣=٣٣=١.

بدراسة التمثيل البياني لـ 𞸑=󰎨(𞸎)، 𞸑=𞸓(𞸎) بالنسبة إلى الدالتين الموضَّحتين هنا، يمكننا ملاحظة أن كلًّا منهما انعكاس للأخرى حول المستقيم 𞸑=𞸎.

والآن نفكِّر في الدالة الأسية 󰎨(𞸎)=٥𞸎. معكوس هذه الدالة هو الدالة اللوغاريتمية 󰎨(𞸎)=𞸎١٥ أو 𞸓(𞸎)=𞸎٥. افترِض أن المطلوب منا هو إيجاد 󰎨(١) للدالة الأسية 󰎨(𞸎)=٥𞸎. سنعوِّض بـ ١ عن 𞸎، لنحصل على 󰎨(١)=٥=٥١. بعد ذلك، نفترض أن المطلوب منا هو إيجاد 𞸓(٥) للدالة اللوغاريتمية 𞸓(𞸎)=𞸎٥. سنعوِّض بـ ٥ عن 𞸎، لنحصل على 𞸓(٥)=٥٥، ونطرح السؤال الآتي: «ما القوة التي يُرفَع لها الأساس ٥ لكي يساوي ٥؟» وبما أن إجابة هذا السؤال هي ١، إذن نعلم أن 𞸓(٥)=١. لاحِظ أن النقطة (١،٥) تحقِّق الدالة الأسية، أما النقطة (٥،١) فتحقِّق الدالة اللوغاريتمية. وكما هو الحال تمامًا مع الدالة الخطية السابقة ومعكوسها، فإن إحداثيات النقاط التي تحقِّق الدالتين معكوسة، ويمثِّل التمثيلان البيانيان للدالتين انعكاس كلٍّ منهما للأخرى حول المستقيم 𞸑=𞸎، كما هو موضَّح.

وهذا ينطبق على أيِّ أساس، 󰏡، لأي دالة أسية ودالتها اللوغاريتمية العكسية.

تعريف: الدالة اللوغاريتمية

الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية. فيما يتعلق بالدالة الأسية 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎، فإن دالتها اللوغاريتمية العكسية هي 󰎨(𞸎)=𞸎١󰏡 أو 𞸓(𞸎)=𞸎󰏡. إذا كانت النقطة (𞸎،𞸑) تحقِّق الدالة الأسية، فإن النقطة (𞸑،𞸎) تحقِّق الدالة اللوغاريتمية. هذا يعني أنه إذا كانت 𞸑=󰏡𞸎، فإن 𞸎=𞸑󰏡. التمثيلان البيانيان للدالتين هما انعكاسان لبعضهما البعض حول المستقيم 𞸑=𞸎.

علينا أن نضع في اعتبارنا أنه وفقًا لهذا التعريف، يكون للدالة الأسية 󰎨(𞸎)=٠١𞸎 دالة لوغاريتمية عكسية 󰎨(𞸎)=𞸎١٠١ أو 𞸓(𞸎)=𞸎٠١. لكن، عندما يكون الأساس ١٠، وفقًا للصيغة المعتادة، فإنه لا داعي لإظهاره في الدالة اللوغاريتمية. وهذا يعني أنه يمكننا فقط كتابة 𞸓(𞸎)=𞸎؛ بحيث 𞸎 تعتبر ٠١𞸎 (التي يمكن قراءتها على صورة لوغاريتم الأساس ١٠ لـ 𞸎 أو، ببساطة، على صورة لوغاريتم 𞸎). وبالمثل، للدالة الأسية 󰎨(𞸎)=𞸤𞸎، لا بد أن تُكتب الدالة اللوغاريتمية العكسية بطريقة خاصة. في هذه الحالة، نكتب 󰎨(𞸎)=𞸎١𞸤 أو 𞸓(𞸎)=𞸎𞸤 (التي يمكن قراءتها على صورة اللوغاريتم الطبيعي لـ 𞸎).

تعريف: دالة اللوغاريتم الطبيعي

دالة اللوغاريتم الطبيعي هي الدالة العكسية لدالة أسية أساسها 𞸤. إذا كانت 󰎨(𞸎)=𞸤𞸎، فإن دالة اللوغاريتم الطبيعي العكسية لها هي 󰎨(𞸎)=𞸎١𞸤 أو 𞸓(𞸎)=𞸎𞸤.

والآن، دعونا نتناول بعض المسائل المتعلِّقة بالدوال اللوغاريتمية.

مثال ١: إيجاد الدالة اللوغاريتمية العكسية

الدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸤+٣𞸎 لها معكوس على الصورة 𞸓(𞸎)=(󰏡𞸎+𞸁)𞸤. ما قيمة كلٍّ من 󰏡، 𞸁؟

الحل

تذكَّر أنه عند إيجاد معكوس دالة خطية، نبدِّل المتغيِّرات 𞸎، 𞸑، ثم نَحُل لإيجاد قيمة 𞸑. لإيجاد الدالة اللوغاريتمية العكسية، علينا اتباع الخطوات نفسها. دعونا نبدأ بإعادة كتابة الدالة الأسية المُعطاة على الصورة 𞸑=٢𞸤+٣𞸎. بعد تبديل المتغيِّرات 𞸎، 𞸑، نحصل على 𞸎=٢𞸤+٣𞸑. وبطرح ٣ من طرفَي المعادلة، نحصل على 𞸎٣=٢𞸤𞸑، ثم بقسمة الطرفين على ٢، نحصل على: 𞸎٣٢=𞸤.𞸑

الآن، بما أن دالة اللوغاريتم الطبيعي لها الأساس 𞸤، إذن نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لطرفَي المعادلة. بعد إعادة كتابة المعادلة على الصورة: 𞸤𞸤𞸑󰂔𞸎٣٢󰂓=𞸤، يمكننا أن نطرح السؤال الآتي لتبسيط الطرف الأيسر: «ما القوة التي يُرفَع لها الأساس 𞸤 لكي يساوي 𞸤𞸑؟» إجابة السؤال هي 𞸑؛ ومن ثَمَّ، يمكن إعادة كتابة المعادلة على الصورة 𞸤󰂔𞸎٣٢󰂓=𞸑 أو 𞸑=󰂔𞸎٣٢󰂓𞸤. يمكننا بعد ذلك التعويض عن 𞸑 بـ 𞸓(𞸎)، لنحصل على 𞸓(𞸎)=󰂔𞸎٣٢󰂓𞸤، ثم نُعيد كتابة الدالة على الصورة: 𞸓(𞸎)=󰂔١٢𞸎٣٢󰂓،𞸤 بحيث نكتبها على الصورة 𞸓(𞸎)=(󰏡𞸎+𞸁)𞸤. وهذا يوضِّح أن 󰏡=١٢، 𞸁=٣٢.

ملاحظة

تذكَّر أنه إذا كانت النقطة (𞸎،𞸑) تحقِّق دالة أسية، إذن فالنقطة (𞸑،𞸎) تحقِّق الدالة اللوغاريتمية العكسية لها. هيا نُوجِد نقطة (𞸎،𞸑) تحقِّق 󰎨(𞸎)=٢𞸤+٣𞸎، ونتأكَّد لنرى إذا ما كانت النقطة (𞸑،𞸎) تحقِّق 𞸓(𞸎)=󰂔١٢𞸎٣٢󰂓𞸤. إذا كانت (𞸑،𞸎) تحقِّق 𞸓(𞸎)=󰂔١٢𞸎٣٢󰂓𞸤، فلن يُثبِت ذلك أن إجابتنا صحيحة، ولكن إذا كانت (𞸑،𞸎) لا تحقِّق هذه الدالة، فسنعرف بالتأكيد أننا ارتكبنا خطأً.

بما أن 󰎨(١)=٢𞸤+٣=٢𞸤+٣١، إذن النقطة (١،٢𞸤+٣) تحقِّق 󰎨(𞸎). وهذا يعني أن النقطة (٢𞸤+٣،١) لا بد أن تحقِّق 𞸓(𞸎). يمكننا تحديد إذا ما كان الأمر كذلك عن طريق إيجاد 𞸓(٢𞸤+٣) على النحو الآتي: 𞸓(٢𞸤+٣)=󰂔١٢(٢𞸤+٣)٣٢󰂓=󰂔𞸤+٣٢٣٢󰂓=𞸤=١.𞸤𞸤𞸤

وهذا يعني أن النقطة (٢𞸤+٣،١) في الواقع تحقِّق 𞸓(𞸎)، كما يجب.

في المثال التالي، سنُوضِّح العلاقة بين مجال الدالة الأسية ومداها ومجال الدالة العكسية لها ومداها. تذكَّر أنه إذا كانت النقطة (𞸎،𞸑) تحقِّق دالة أسية، فإن النقطة (𞸑،𞸎) تحقِّق الدالة اللوغاريتمية العكسية لها. وبذلك، إذا كانت 𞸎 عنصرًا في مجال الدالة الأسية، فهي أيضًا عنصر في مدى الدالة اللوغاريتمية. وبالمثل، إذا كانت 𞸑 عنصرًا في مدى الدالة الأسية، فهي أيضًا عنصر في مجال الدالة اللوغاريتمية. وهذا ينطبق على أيِّ نقطة (𞸎،𞸑)، إذن نحن نعلم أن مجال الدالة الأسية لا بد أن يكون هو نفسه مدى الدالة اللوغاريتمية. وبالمثل، يجب أن يكون مدى الدالة الأسية هو نفس مجال الدالة اللوغاريتمية.

مثال ٢: إيجاد مجال معكوس دالة أسية

لدينا الدالة 󰎨(𞸎)=𞸁𞸎؛ حيث 𞸁 عدد حقيقي موجب لا يساوي ١. ما مجال 󰎨(𞸎)١؟

الحل

تذكَّر أن مجال الدالة هو مجموعة كل القيم المُدخَلة الممكنة، ومدى الدالة هو مجموعة كل القيم المُخرَجة الممكنة. أولًا، دعونا نفكر في مجال الدالة 󰎨(𞸎)=𞸁𞸎 ومداها. بما أن الأس في تعريف الدالة يمكن أن يكون أيَّ قيمة سالبة أو أيَّ قيمة موجبة أو ٠، فإن مجال الدالة هو كل الأعداد الحقيقية. علمنا من السؤال أن قيمة 𞸁 موجبة؛ لذا، لمساعدتنا في تحديد مدى الدالة، هيا نأخذ قيمة موجبة معيَّنة؛ على سبيل المثال، 𞸁=٢، وهو ما يعطينا الدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎. ونأخذ قيمة سالبة لـ 𞸎؛ مثل ٣، وهو ما يعطينا 󰎨(٣)=٢=١٨٣، وقيمة موجبة لـ 𞸎؛ مثل ٣، وهو ما يعطينا 󰎨(٣)=٢=٨٣، والقيمة ٠ لـ 𞸎، وهو ما يعطينا 󰎨(٠)=٢=١٠. لاحظ أن القيمة المُخرَجة في كل حالة تكون موجبة؛ ومن ثَمَّ، نعلم أن مدى 󰎨(𞸎)=𞸁𞸎 لا بد أن يكون 󰎨(𞸎)>٠.

بما أن الأس في 󰎨(𞸎)=𞸁𞸎 متغيِّر، فإننا نعلم أيضًا أن الدالة هي دالة أسية. تذكَّر أن معكوس الدالة الأسية هو دالة لوغاريتمية. هذا يعني أنه إذا كانت 󰎨(𞸎)=𞸁𞸎، فإن 󰎨(𞸎)=𞸎١𞸁. تذكَّر أيضًا أن مدى الدالة الأسية هو مجال معكوسها. بعبارةٍ أخرى، مجال الدالة اللوغاريتمية 󰎨(𞸎)=𞸎١𞸁 لا بد أن يكون 𞸎>٠.

ملاحظة

يمكننا التحقُّق من إجابتنا مرةً أخرى بافتراض أن 𞸁=٢، ثم برسم التمثيل البياني لـ 𞸑=󰎨(𞸎)، 𞸑=󰎨(𞸎)١ للدالتين 󰎨(𞸎)=٢𞸎، 󰎨(𞸎)=𞸎١٢ كالآتي:

يمكننا ملاحظة أن التمثيلين البيانيين كلٌّ منهما انعكاس للآخر حول المستقيم 𞸑=𞸎، وأن التمثيل البياني للدالة 𞸑=󰎨(𞸎)١ موجود في الرُّبعين الأول والرابع فقط. بعبارةٍ أخرى، إنه يحتوي على المحور 𞸑 باعتباره خطَّ تقارب، وتُوجَد به قيم مدخلة موجبة فقط. وهذا يؤكِّد أن مجال الدالة 󰎨١ هو في الواقع 𞸎>٠.

دعونا الآن نلقِ نظرة على كيفية إيجاد قيمة دالة لوغاريتمية.

مثال ٣: إيجاد قيمة دالة لوغاريتمية عند نقطة مُعطاة

افترِض أن الدالة 󰎨(𞸎)=(٣𞸎١)٢. إذا كان 󰎨(󰏡)=٣، فأوجد قيمة 󰏡.

الحل

لإيجاد قيمة 󰏡، يمكننا البدء بالتعويض بـ 󰏡 في الدالة المُعطاة عن 𞸎، وبالقيمة ٣ عن 󰎨(𞸎)، لنحصل على: ٣=(٣󰏡١).٢

تذكَّر أن الدالة اللوغاريتمية هي معكوس للدالة الأسية، وأنه إذا كانت 𞸑=󰏡𞸎، فإن 𞸎=𞸑󰏡. ومن ثَمَّ، إذا كانت 𞸎=𞸑󰏡، فإن 𞸑=󰏡𞸎.

يمكننا أن نرى ذلك في هذه المسألة، الأساس 󰏡 يساوي ٢، وقيمة 𞸎 تساوي ٣، وقيمة 𞸑 هي ٣󰏡١. بالتعويض بهذه القيم في المعادلة 𞸑=󰏡𞸎، نحصل على ٣󰏡١=٢٣.

وبالتبسيط يصبح لدينا ٣󰏡١=٨، وبالحل لإيجاد قيمة 󰏡 نحصل على الحل 󰏡=٣.

ملاحظة

بإيجاد 󰎨(٣) للدالة 󰎨(𞸎)=(٣𞸎١)٢، يمكننا التحقُّق من الحل. بالتعويض بـ ٣ عن 𞸎، نحصل على 󰎨(٣)=(٣(٣)١)٢. بعد ضرب ٣ في ٣، نحصل على 󰎨(٣)=(٩١)٢، وبعد طرح ١ من ٩، نحصل على 󰎨(٣)=٨٢. لتبسيط الطرف الأيسر من هذه المعادلة، علينا أن نطرح السؤال الآتي: «ما القوة التي يُرفَع لها الأساس ٢ لكي يساوي ٨؟» الإجابة هي ٣؛ ومن ثَمَّ، نعلم أن 󰎨(٣)=٣، وهذه هي الإجابة الصحيحة.

في المثال التالي، سنُوجِد أساس دالة لوغاريتمية بمعلومية نقطة يمر بها التمثيل البياني للدالة.

مثال ٤: إكمال دالة باستخدام نقطة مُعطاة

إذا كان التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎󰏡 يمر بالنقطة (٤٢٠١،٥)، فأوجد قيمة 󰏡.

الحل

لإيجاد قيمة 󰏡، علينا أولًا إعادة كتابة الدالة اللوغاريتمية 󰎨(𞸎)=𞸎󰏡 على الصورة 𞸑=𞸎󰏡. بما أن التمثيل البياني للدالة يمر بالنقطة (٤٢٠١،٥)، إذن نَعرِف أنه عندما تكون 𞸎=٤٢٠١، فإن 𞸑=٥. هذا يتيح لنا التعويض بهاتين القيمتين في الدالة، لنحصل على المعادلة: ٥=٤٢٠١.󰏡

نحن نعلم أنه إذا كانت 𞸑=𞸎󰏡، فإن 𞸎=󰏡𞸑؛ ومن ثَمَّ، نستنتج أن ٤٢٠١=󰏡٥. إحدى طرق حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 󰏡 هي أخذ الجذر الخامس لكل طرف كالآتي: ٤٢٠١=󰏡󰋴٤٢٠١=󰋴󰏡٤=󰏡.٥٥٥٥

وهذا يشير إلى أن قيمة 󰏡 تساوي ٤. لكن، بدون الآلة الحاسبة، قد يكون من الصعب علينا تحديد أن الجذر الخامس للعدد ١‎ ‎٠٢٤ يساوي ٤. إحدى الطرق التي قد نستخدمها لإيجاد الجذر الخامس للعدد ١‎ ‎٠٢٤ هي أن ندرك أن ١‎ ‎٠٢٤ من قوى العدد ٢. يمكننا كتابة قوى العدد ٢ كالآتي: ٢=٢٢=٢×٢=٤٢=٢×٢×٢=٨٢=٢×٢×٢×٢=٦١٢=٢×٢×٢×٢×٢=٢٣٢=٢×٢×٢×٢×٢×٢=٤٦٢=٢×٢×٢×٢×٢×٢×٢=٨٢١٢=٢×٢×٢×٢×٢×٢×٢×٢=٦٥٢٢=٢×٢×٢×٢×٢×٢×٢×٢×٢=٢١٥٢=٢×٢×٢×٢×٢×٢×٢×٢×٢×٢=٤٢٠١.١٢٣٤٥٦٧٨٩٠١

باستخدام هذه المعطيات، يمكننا حل المعادلة ٤٢٠١=󰏡٥ لإيجاد قيمة 󰏡 بالتعويض عن ١‎ ‎٠٢٤ وتجميع أمثال العدد ٢، كما هو موضَّح: ٤٢٠١=󰏡󰋴٢×٢×٢×٢×٢×٢×٢×٢×٢×٢=󰋴󰏡󰋴(٢×٢)×(٢×٢)×(٢×٢)×(٢×٢)×(٢×٢)=󰋴󰏡٢×٢=󰋴󰏡٤=󰏡.٥٥٥٥٥٥٥٥٥

هذه الطريقة تعطينا نفس القيمة لـ 󰏡، وهي ٤، التي حصلنا عليها سابقًا.

في المثال الأخير، سنتناول مسألة حياتية.

مثال ٥: حل مسألة حياتية باستخدام الدوال اللوغاريتمية

الرقم الهيدروجيني للمحلول يُعطى بالعلاقة: ااروH=󰁓󰁒+؛ حيث H+ يمثِّل تركيز أيونات الهيدروجين. أوجد تركيز أيونات الهيدروجين في محلولٍ الرقم الهيدروجيني له هو ٨٫٤.

الحل

يمثَّل تركيز أيونات الهيدروجين بالرمز H+؛ ومن ثَمَّ، علينا الحل لإيجاد قيمة هذا المتغيِّر للإجابة عن السؤال. بما أننا علمنا من السؤال أن الرقم الهيدروجيني للمحلول يساوي ٨٫٤، إذن يمكننا البدء بالتعويض بـ ٨٫٤ في صيغة الرقم الهيدروجيني، لنحصل على ٤٫٨=󰁓󰁒H+

بعد التعويض، يمكننا ضرب طرفَي المعادلة في ١، لنحصل على ٤٫٨=󰁓󰁒H+. تذكَّر أنه عندما لا يكون أساس اللوغاريتم موضَّحًا، من المفترض أن يكون ١٠؛ لذلك لمساعدتنا في الحل لإيجاد قيمة H+، يمكننا الآن إعادة كتابة المعادلة على النحو الآتي ٤٫٨=󰁓󰁒H٠١+.

نحن نعلم أن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية، وأنه إذا كانت 𞸎=𞸑󰏡، فإن 𞸑=󰏡𞸎، إذن بناءً على المعلومات التي لدينا، يمكننا كتابة معادلة أسية بالتعويض بالقيم أو المتغيِّرات في 𞸑=󰏡𞸎 عن 󰏡، 𞸎، 𞸑. بما أن 󰏡=٠١، 𞸎=٤٫٨، 𞸑=H+، إذن نحصل على المعادلة H+=٠١٤٫٨.

وهذا يوضِّح أن تركيز أيونات الهيدروجين في محلول رقمه الهيدروجيني يساوي ٤٫٨ هو ٠١٤٫٨.

تذكَّر أن مجال الدالة اللوغاريتمية هو 𞸎>٠، إذن في هذه الحالة، H+ لا بد أن يكون عددًا موجبًا. وفي الواقع، فإن قيمته تكون موجبة؛ لأن ١٠ مرفوعًا لأي قوة يكون أكبر من أو يساوي صفرًا. الأس السالب في ٠١٤٫٨ يعني فقط أن قيمة H+ أصغر من ١. باستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا ملاحظة أن قيمته التقريبية تساوي ٨٩٫٣×٠١٩ أو ٠٫٠٠٠٠٠٠٠٠٣٩٨.

والآن، هيا نختم الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • الدالة اللوغاريتمية هي معكوس الدالة الأسية.
  • فيما يتعلق بالدالة الأسية 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎، فإن الدالة اللوغاريتمية العكسية لها هي 󰎨(𞸎)=𞸎١󰏡 أو 𞸓(𞸎)=𞸎󰏡.
  • عندما يكون أساس الدالة اللوغاريتمية يساوي ١٠، فلا داعي لتوضيحه. إذا كانت 󰎨(𞸎)=٠١𞸎، فإن 󰎨(𞸎)=𞸎١.
  • دالة اللوغاريتم الطبيعي هي معكوس دالة أسية أساسها 𞸤. إذا كانت 󰎨(𞸎)=𞸤𞸎، فإن 󰎨(𞸎)=𞸎١𞸤.
  • التمثيلان البيانيان للدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية العكسية لها عبارة عن انعكاسان لبعضهما البعض حول المستقيم 𞸑=𞸎.
  • مجال الدالة اللوغاريتمية هو 𞸎>٠، وهو مدى الدالة الأسية العكسية لها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.