شارح الدرس: الدوال اللوغاريتمية الرياضيات

مثال ١: إيجاد الدالة اللوغاريتمية العكسية

الدالة لها معكوس على الصورة . ما قيمة كلٍّ من ، ؟

الحل

تذكَّر أنه عند إيجاد معكوس دالة خطية، نبدِّل المتغيِّرات ، ، ثم نَحُل لإيجاد قيمة . لإيجاد الدالة اللوغاريتمية العكسية، علينا اتباع الخطوات نفسها. دعونا نبدأ بإعادة كتابة الدالة الأسية المُعطاة على الصورة . بعد تبديل المتغيِّرات ، ، نحصل على . وبطرح ٣ من طرفَي المعادلة، نحصل على ، ثم بقسمة الطرفين على ٢، نحصل على:

الآن، بما أن دالة اللوغاريتم الطبيعي لها الأساس ، إذن نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لطرفَي المعادلة. بعد إعادة كتابة المعادلة على الصورة: يمكننا أن نطرح السؤال الآتي لتبسيط الطرف الأيسر: «ما القوة التي يُرفَع لها الأساس لكي يساوي ؟» إجابة السؤال هي ؛ ومن ثَمَّ، يمكن إعادة كتابة المعادلة على الصورة أو . يمكننا بعد ذلك التعويض عن بـ ، لنحصل على ، ثم نُعيد كتابة الدالة على الصورة: بحيث نكتبها على الصورة . وهذا يوضِّح أن ، .

ملاحظة

تذكَّر أنه إذا كانت النقطة تحقِّق دالة أسية، إذن فالنقطة تحقِّق الدالة اللوغاريتمية العكسية لها. هيا نُوجِد نقطة تحقِّق ، ونتأكَّد لنرى إذا ما كانت النقطة تحقِّق . إذا كانت تحقِّق ، فلن يُثبِت ذلك أن إجابتنا صحيحة، ولكن إذا كانت لا تحقِّق هذه الدالة، فسنعرف بالتأكيد أننا ارتكبنا خطأً.

بما أن ، إذن النقطة تحقِّق . وهذا يعني أن النقطة لا بد أن تحقِّق . يمكننا تحديد إذا ما كان الأمر كذلك عن طريق إيجاد على النحو الآتي:

وهذا يعني أن النقطة في الواقع تحقِّق ، كما يجب.

مثال ٢: إيجاد مجال معكوس دالة أسية

لدينا الدالة ؛ حيث عدد حقيقي موجب لا يساوي ١. ما مجال ؟

الحل

تذكَّر أن مجال الدالة هو مجموعة كل القيم المُدخَلة الممكنة، ومدى الدالة هو مجموعة كل القيم المُخرَجة الممكنة. أولًا، دعونا نفكر في مجال الدالة ومداها. بما أن الأس في تعريف الدالة يمكن أن يكون أيَّ قيمة سالبة أو أيَّ قيمة موجبة أو ٠، فإن مجال الدالة هو كل الأعداد الحقيقية. علمنا من السؤال أن قيمة موجبة؛ لذا، لمساعدتنا في تحديد مدى الدالة، هيا نأخذ قيمة موجبة معيَّنة؛ على سبيل المثال، ، وهو ما يعطينا الدالة . ونأخذ قيمة سالبة لـ ؛ مثل ، وهو ما يعطينا ، وقيمة موجبة لـ ؛ مثل ٣، وهو ما يعطينا ، والقيمة ٠ لـ ، وهو ما يعطينا . لاحظ أن القيمة المُخرَجة في كل حالة تكون موجبة؛ ومن ثَمَّ، نعلم أن مدى لا بد أن يكون .

بما أن الأس في متغيِّر، فإننا نعلم أيضًا أن الدالة هي دالة أسية. تذكَّر أن معكوس الدالة الأسية هو دالة لوغاريتمية. هذا يعني أنه إذا كانت ، فإن . تذكَّر أيضًا أن مدى الدالة الأسية هو مجال معكوسها. بعبارةٍ أخرى، مجال الدالة اللوغاريتمية لا بد أن يكون .

ملاحظة

يمكننا التحقُّق من إجابتنا مرةً أخرى بافتراض أن ، ثم برسم التمثيل البياني لـ ، للدالتين ، كالآتي:

يمكننا ملاحظة أن التمثيلين البيانيين كلٌّ منهما انعكاس للآخر حول المستقيم ، وأن التمثيل البياني للدالة موجود في الرُّبعين الأول والرابع فقط. بعبارةٍ أخرى، إنه يحتوي على المحور باعتباره خطَّ تقارب، وتُوجَد به قيم مدخلة موجبة فقط. وهذا يؤكِّد أن مجال الدالة هو في الواقع .

مثال ٣: إيجاد قيمة دالة لوغاريتمية عند نقطة مُعطاة

افترِض أن الدالة . إذا كان ، فأوجد قيمة .

الحل

لإيجاد قيمة ، يمكننا البدء بالتعويض بـ في الدالة المُعطاة عن ، وبالقيمة ٣ عن ، لنحصل على:

تذكَّر أن الدالة اللوغاريتمية هي معكوس للدالة الأسية، وأنه إذا كانت ، فإن . ومن ثَمَّ، إذا كانت ، فإن .

يمكننا أن نرى ذلك في هذه المسألة، الأساس يساوي ٢، وقيمة تساوي ٣، وقيمة هي . بالتعويض بهذه القيم في المعادلة ، نحصل على .

وبالتبسيط يصبح لدينا ، وبالحل لإيجاد قيمة نحصل على الحل .

ملاحظة

بإيجاد للدالة ، يمكننا التحقُّق من الحل. بالتعويض بـ ٣ عن ، نحصل على . بعد ضرب ٣ في ٣، نحصل على ، وبعد طرح ١ من ٩، نحصل على . لتبسيط الطرف الأيسر من هذه المعادلة، علينا أن نطرح السؤال الآتي: «ما القوة التي يُرفَع لها الأساس ٢ لكي يساوي ٨؟» الإجابة هي ٣؛ ومن ثَمَّ، نعلم أن ، وهذه هي الإجابة الصحيحة.

مثال ٤: إكمال دالة باستخدام نقطة مُعطاة

إذا كان التمثيل البياني للدالة يمر بالنقطة ، فأوجد قيمة .

الحل

لإيجاد قيمة ، علينا أولًا إعادة كتابة الدالة اللوغاريتمية على الصورة . بما أن التمثيل البياني للدالة يمر بالنقطة ، إذن نَعرِف أنه عندما تكون ، فإن . هذا يتيح لنا التعويض بهاتين القيمتين في الدالة، لنحصل على المعادلة:

نحن نعلم أنه إذا كانت ، فإن ؛ ومن ثَمَّ، نستنتج أن . إحدى طرق حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة هي أخذ الجذر الخامس لكل طرف كالآتي:

وهذا يشير إلى أن قيمة تساوي ٤. لكن، بدون الآلة الحاسبة، قد يكون من الصعب علينا تحديد أن الجذر الخامس للعدد ١‎ ‎٠٢٤ يساوي ٤. إحدى الطرق التي قد نستخدمها لإيجاد الجذر الخامس للعدد ١‎ ‎٠٢٤ هي أن ندرك أن ١‎ ‎٠٢٤ من قوى العدد ٢. يمكننا كتابة قوى العدد ٢ كالآتي:

باستخدام هذه المعطيات، يمكننا حل المعادلة لإيجاد قيمة بالتعويض عن ١‎ ‎٠٢٤ وتجميع أمثال العدد ٢، كما هو موضَّح:

هذه الطريقة تعطينا نفس القيمة لـ ، وهي ٤، التي حصلنا عليها سابقًا.

مثال ٥: حل مسألة حياتية باستخدام الدوال اللوغاريتمية

الرقم الهيدروجيني للمحلول يُعطى بالعلاقة: ؛ حيث يمثِّل تركيز أيونات الهيدروجين. أوجد تركيز أيونات الهيدروجين في محلولٍ الرقم الهيدروجيني له هو ٨٫٤.

الحل

يمثَّل تركيز أيونات الهيدروجين بالرمز ؛ ومن ثَمَّ، علينا الحل لإيجاد قيمة هذا المتغيِّر للإجابة عن السؤال. بما أننا علمنا من السؤال أن الرقم الهيدروجيني للمحلول يساوي ٨٫٤، إذن يمكننا البدء بالتعويض بـ ٨٫٤ في صيغة الرقم الهيدروجيني، لنحصل على

بعد التعويض، يمكننا ضرب طرفَي المعادلة في ، لنحصل على . تذكَّر أنه عندما لا يكون أساس اللوغاريتم موضَّحًا، من المفترض أن يكون ١٠؛ لذلك لمساعدتنا في الحل لإيجاد قيمة ، يمكننا الآن إعادة كتابة المعادلة على النحو الآتي .

نحن نعلم أن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية، وأنه إذا كانت ، فإن ، إذن بناءً على المعلومات التي لدينا، يمكننا كتابة معادلة أسية بالتعويض بالقيم أو المتغيِّرات في عن ، ، . بما أن ، ، ، إذن نحصل على المعادلة .

وهذا يوضِّح أن تركيز أيونات الهيدروجين في محلول رقمه الهيدروجيني يساوي ٤٫٨ هو .

تذكَّر أن مجال الدالة اللوغاريتمية هو ، إذن في هذه الحالة، لا بد أن يكون عددًا موجبًا. وفي الواقع، فإن قيمته تكون موجبة؛ لأن ١٠ مرفوعًا لأي قوة يكون أكبر من أو يساوي صفرًا. الأس السالب في يعني فقط أن قيمة أصغر من ١. باستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا ملاحظة أن قيمته التقريبية تساوي أو ٠٫٠٠٠٠٠٠٠٠٣٩٨.