شارح الدرس: إيجاد قيمة النِّسَب المثلثية بمعلومية قيمة نسبةٍ أخرى الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: إيجاد قيمة جيب الزاوية بمعلومية قيمتَي الظل وجيب التمام

أوجد ، إذا كان ، .

الحل

نبدأ بتذكُّر أنه بما أن قيمتَي ظل الزاوية وجيب تمام الزاوية موجبتان، فلا بد أن تقع الزاوية في الربع الأول؛ حيث . من مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية CAST، نلاحظ أن قيمة جيب الزاوية يجب أن تكون أيضًا موجبة.

وبما أن: إذن يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية في الربع الأول. المثلث القائم الزاوية يمثِّل ثلاثية فيثاغورس تتكوَّن من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ٣ و٤ و٥؛ حيث .

وبما أن: إذن نجد من الشكل أن:

ومن ثَمَّ، يمكننا استنتاج أنه إذا كان ، ، فإن .

مثال ٢: إيجاد قيمة قاطع تمام الزاوية بمعلومية قيمة ظل التمام

إذا كان ، ، فأوجد .

الحل

نبدأ بتذكُّر أن ظل تمام الزاوية يساوي مقلوب ظل هذه الزاوية؛ حيث:

وبما أن: إذن:

بالاستفادة من معرفتنا بمخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية؛ حيث ، ، نعلم أن هذه الزاوية تقع في الربع الرابع.

ونظرًا لأن يقع في الربع الرابع، وأن قاطع تمام الزاوية يساوي مقلوب جيب هذه الزاوية، إذن .

وبما أن: إذن يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية في الربع الرابع. المثلث القائم الزاوية يمثِّل ثلاثية فيثاغورس تتكوَّن من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ٣ و٤ و٥؛ حيث .

وبما أن: إذن نجد من الشكل أن:

من الشكل، نلاحظ أن . باستخدام خواص الزوايا المنتسبة، نعرف أن:

إذن:

وبما أن: إذن:

ومن ثَمَّ، يمكننا استنتاج أنه إذا كان ، ، فإن .

مثال ٣: إيجاد قيمة ظل التمام لزاوية ضمن نطاق محدَّد بمعلومية قيمة الجيب

أوجد إذا كان ؛ حيث .

الحل

بالاستفادة من معرفتنا بمخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية؛ حيث ، نعلم أن هذه الزاوية تقع في الربع الثاني.

ونظرًا لأن يقع في الربع الثاني، وأن ظل تمام الزاوية يساوي مقلوب ظل هذه الزاوية، إذن .

وبما أن: إذن يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية في الربع الثاني. المثلث القائم الزاوية يمثِّل ثلاثية فيثاغورس تتكوَّن من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ٣ و٤ و٥؛ حيث .

وبما أن: إذن نجد من الشكل أن:

من الشكل، نلاحظ أن ، وباستخدام خواص الزوايا المنتسبة، نعرف أن:

إذن:

وبما أن: إذن:

ومن ثَمَّ، يمكننا استنتاج أنه إذا كان ؛ حيث ، فإن .

مثال ٤: إيجاد قيمة مقدار باستخدام الدوال المثلثية المتكافئة

أوجد قيمة ، إذا كان ؛ حيث هي أصغر زاوية موجبة، وإذا كان ؛ حيث .

الحل

بالاستفادة من معرفتنا بمخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية، وبما أن ؛ حيث هي أصغر زاوية موجبة، إذن نعرف أن الزاوية تقع في الربع الأول. بما أن ؛ حيث ، إذن الزاوية تقع في الربع الثالث.

وبما أن: إذن يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية في الربع الأول. المثلث القائم الزاوية يمثِّل ثلاثية فيثاغورس تتكوَّن من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ٣ و٤ و٥؛ حيث .

وبما أن: إذن نجد من الشكل أن:

وبما أن: إذن يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية في الربع الثالث. المثلث القائم الزاوية يمثِّل ثلاثية فيثاغورس تتكوَّن من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ٨ و١٥ و١٧؛ حيث .

وبما أن: إذن نجد من الشكل أن:

من الشكل، نلاحظ أن ، وباستخدام خواص الزوايا المنتسبة، نعرف أن:

إذن:

وأيضًا:

إذن:

بالتعويض بهذه القيم في المقدار، نحصل على:

ومن ثَمَّ، يمكننا استنتاج أنه إذا كان ؛ حيث هي أصغر زاوية موجبة، وإذا كان ؛ حيث ، إذن .

مثال ٥: إيجاد قيمة مقدار باستخدام الدوال المثلثية المتكافئة

أوجد قيمة ، إذا كانت ، .

الحل

بالاستفادة من معرفتنا بمخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية؛ حيث ، نعلم أن الزاوية تقع في الربع الثالث.

وبما أن: إذن يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية في الربع الثالث. المثلث القائم الزاوية يمثِّل ثلاثية فيثاغورس تتكوَّن من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ٣ و٤ و٥؛ حيث .

وبما أن: إذن نجد من الشكل أن:

من الشكل، نلاحظ أن ، وباستخدام خواص الزوايا المنتسبة، نعرف أن:

إذن:

وأيضًا:

إذن:

متطابقات مقلوب الدوال المثلثية: قاطع تمام الزاوية ، وقاطع الزاوية ، وظل تمام الزاوية ، هي مقلوبات لدوال جيب الزاوية ، وجيب تمام الزاوية ، وظل الزاوية ؛ حيث:

إذن:

بالتعويض بهذه القيم في المقدار، نحصل على:

ومن ثَمَّ، يمكننا استنتاج أنه إذا كان ، ، فإن .

مثال ٦: إيجاد قيمة مقدار يتضمَّن مقلوب الدوال المثلثية باستخدام الدوال المثلثية المتكافئة

احسب قيمة ، إذا علمت أن ، .

الحل

بالاستفادة من معرفتنا بمخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية، وبما أن ؛ حيث ، ، إذن نعلم أن الزاوية تقع في الربع الرابع.

وبما أن: إذن يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية في الربع الرابع. المثلث القائم الزاوية يمثِّل ثلاثية فيثاغورس تتكوَّن من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ٣ و٤ و٥؛ حيث .

وبما أن: إذن نجد من الشكل أن:

من الشكل، نلاحظ أن ، وباستخدام خواص الزوايا المنتسبة، نعرف أن:

إذن:

وأيضًا:

إذن:

متطابقات مقلوب الدوال المثلثية: قاطع تمام الزاوية ، وقاطع الزاوية ، وظل تمام الزاوية ، هي مقلوبات لدوال جيب الزاوية ، وجيب تمام الزاوية ، وظل الزاوية ؛ حيث:

إذن:

بالتعويض بهذه القيم في المقدار، نحصل على:

ومن ثَمَّ، يمكننا استنتاج أنه إذا كان ، ، فإن .