تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: إيجاد قيمة النِّسَب المثلثية بمعلومية قيمة نسبةٍ أخرى الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قيمة دالة مثلثية من قيمة مُعطاة لدالة مثلثية أخرى.

هيا نبدأ باسترجاع النسب المثلثية ودائرة الوحدة. دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها يساوي ١، ويقع مركزها عند نقطة أصل المستوى الإحداثي. لأي نقطة (𞸎،𞸑) في دائرة الوحدة، يمكن رسم مثلث قائم الزاوية، كما هو موضَّح في الشكل الآتي. يكوِّن وتر هذا المثلث القائم الزاوية الزاوية 𝜃 مع الجزء الموجب من المحور 𞸎.

باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، يمكننا تعريف الدوال المثلثية بدلالة دائرة الوحدة: اااإذنااوراإذنااااورإذن𝜃==𞸑١،𞸑=𝜃،𝜃==𞸎١،𞸎=𝜃،𝜃==𞸑𞸎،𞸑𞸎=𝜃.

نلاحظ أن قيمة 𝜃 غير مُعرَّفة عند 𞸎=٠.

الإحداثيان 𞸎، 𞸑 لنقطة ما على دائرة الوحدة، المُعطيان بدلالة الزاوية 𝜃، يُعرَّفان بـ 𞸎=𝜃، 𞸑=𝜃.

ونلاحِظ أيضًا أنه بالرغم من أننا استنتجنا هذه التعريفات للزاوية 𝜃 التي تقع في الربع الأول، فإنها تنطبق على أي زاوية في أي ربع. نحن نعرف أنه على يمين نقطة الأصل تكون قيم 𞸎 موجبة، وعلى يسار نقطة الأصل، تكون قيم 𞸎 سالبة. وبالمثل، أعلى نقطة الأصل، تكون قيم 𞸑 موجبة، وأسفل نقطة الأصل، تكون قيم 𞸑 سالبة.

إذا أضفنا أربع نقاط إلى شبكة الإحداثيات، (𞸎،𞸑)، (𞸎،𞸑)، (𞸎،𞸑)، (𞸎،𞸑)؛ حيث 𞸎، 𞸑 قيمتان موجبتان، فإننا نلاحظ أنها تقع في كل ربع من الأرباع الأربعة.

في هذه المرحلة، نتذكَّر أيضًا أن الدوال المثلثية: قاطع تمام الزاوية 𝜃، وقاطع الزاوية 𝜃، وظل تمام الزاوية 𝜃، هي مقلوبات لدوال جيب الزاوية 𝜃، وجيب تمام الزاوية 𝜃، وظل الزاوية 𝜃؛ حيث: 𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃.

وفقًا لتعريف دائرة الوحدة، يصبح لدينا: ااااااورااوراا𝜃==١𞸑،𝜃==١𞸎،𝜃==𞸎𞸑.

الربع الذي يقع فيه الضلع النهائي للزاويةالفترة التي ينتمي إليها قياس الزاويةإشارات الدوال المثلثية
، ، ،
الأول󰂖٠،𝜋٢󰂗+++
الثاني󰂖𝜋٢،𝜋󰂗+
الثالث󰂖𝜋،٣𝜋٢󰂗+
الرابع󰂖٣𝜋٢،٢𝜋󰂗+

نتناول الآن مجموعة من الأمثلة التي علينا فيها إيجاد قيمة دالة مثلثية من قيمة مُعطاة لدالة مثلثية أخرى.

في المثال الأول، علينا حساب قيمة جيب الزاوية، بمعلومية قيمتَي كلٍّ من جيب تمام الزاوية وظل الزاوية.

مثال ١: إيجاد قيمة جيب الزاوية بمعلومية قيمتَي الظل وجيب التمام

أوجد 𞸁، إذا كان 𞸁=٤٣، 𞸁=٣٥.

الحل

نبدأ بتذكُّر أنه بما أن قيمتَي ظل الزاوية وجيب تمام الزاوية موجبتان، فلا بد أن تقع الزاوية في الربع الأول؛ حيث ٠<𞸁<٠٩. من مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية CAST، نلاحظ أن قيمة جيب الزاوية يجب أن تكون أيضًا موجبة.

وبما أن: ،𞸁=٣٥𞸁=٤٣، إذن يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية في الربع الأول. المثلث القائم الزاوية يمثِّل ثلاثية فيثاغورس تتكوَّن من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ٣ و٤ و٥؛ حيث ٣+٤=٥٢٢٢.

وبما أن: ااا𞸁=، إذن نجد من الشكل أن: 𞸁=٤٥.

ومن ثَمَّ، يمكننا استنتاج أنه إذا كان 𞸁=٤٣، 𞸁=٣٥، فإن 𞸁=٤٥.

في بقية الأمثلة، علينا استخدام متطابقات مقلوب الدوال المثلثية.

مثال ٢: إيجاد قيمة قاطع تمام الزاوية بمعلومية قيمة ظل التمام

إذا كان 𝜃=٤٣، 𝜃>٠، فأوجد 𝜃.

الحل

نبدأ بتذكُّر أن ظل تمام الزاوية يساوي مقلوب ظل هذه الزاوية؛ حيث: 𝜃=١𝜃.

وبما أن: 𝜃=٤٣، إذن: 𝜃=٣٤.

بالاستفادة من معرفتنا بمخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية؛ حيث 𝜃>٠، 𝜃<٠، نعلم أن هذه الزاوية تقع في الربع الرابع.

ونظرًا لأن 𝜃<٠ يقع في الربع الرابع، وأن قاطع تمام الزاوية يساوي مقلوب جيب هذه الزاوية، إذن 𝜃<٠.

وبما أن: 𝜃=٣٤، إذن يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية في الربع الرابع. المثلث القائم الزاوية يمثِّل ثلاثية فيثاغورس تتكوَّن من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ٣ و٤ و٥؛ حيث ٣+٤=٥٢٢٢.

وبما أن: ااا𝛼=، إذن نجد من الشكل أن: 𝛼=٣٥.

من الشكل، نلاحظ أن 𝜃=٠٦٣𝛼. باستخدام خواص الزوايا المنتسبة، نعرف أن: (٠٦٣𝛼)=𝛼.

إذن: 𝜃=𝛼𝜃=٣٥.

وبما أن: 𝜃=١𝜃، إذن: 𝜃=٥٣.

ومن ثَمَّ، يمكننا استنتاج أنه إذا كان 𝜃=٤٣، 𝜃>٠، فإن 𝜃=٥٣.

مثال ٣: إيجاد قيمة ظل التمام لزاوية ضمن نطاق محدَّد بمعلومية قيمة الجيب

أوجد 𝜃 إذا كان 𝜃=٣٥؛ حيث ٠٩<𝜃<٠٨١.

الحل

بالاستفادة من معرفتنا بمخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية؛ حيث ٠٩<𝜃<٠٨١، نعلم أن هذه الزاوية تقع في الربع الثاني.

ونظرًا لأن 𝜃<٠ يقع في الربع الثاني، وأن ظل تمام الزاوية يساوي مقلوب ظل هذه الزاوية، إذن 𝜃<٠.

وبما أن: 𝜃=٣٥، إذن يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية في الربع الثاني. المثلث القائم الزاوية يمثِّل ثلاثية فيثاغورس تتكوَّن من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ٣ و٤ و٥؛ حيث ٣+٤=٥٢٢٢.

وبما أن: ااااور𝛼=، إذن نجد من الشكل أن: 𝛼=٣٤.

من الشكل، نلاحظ أن 𝜃=٠٨١𝛼، وباستخدام خواص الزوايا المنتسبة، نعرف أن: (٠٨١𝛼)=𝛼.

إذن: 𝜃=𝛼𝜃=٣٤.

وبما أن: 𝜃=١𝜃، إذن: 𝜃=٤٣.

ومن ثَمَّ، يمكننا استنتاج أنه إذا كان 𝜃=٣٥؛ حيث ٠٩<𝜃<٠٨١، فإن 𝜃=٤٣.

مثال ٤: إيجاد قيمة مقدار باستخدام الدوال المثلثية المتكافئة

أوجد قيمة 𝛼𝛽𝛼𝛽، إذا كان 𝛼=٣٤؛ حيث 𝛼 هي أصغر زاوية موجبة، وإذا كان 𝛽=٥١٨؛ حيث ٠٨١<𝛽<٠٧٢.

الحل

بالاستفادة من معرفتنا بمخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية، وبما أن 𝛼=٣٤؛ حيث 𝛼 هي أصغر زاوية موجبة، إذن نعرف أن الزاوية 𝛼 تقع في الربع الأول. بما أن 𝛽=٥١٨؛ حيث ٠٨١<𝛽<٠٧٢، إذن الزاوية 𝛽 تقع في الربع الثالث.

وبما أن: 𝛼=٣٤، إذن يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية في الربع الأول. المثلث القائم الزاوية يمثِّل ثلاثية فيثاغورس تتكوَّن من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ٣ و٤ و٥؛ حيث ٣+٤=٥٢٢٢.

وبما أن: ااا،ااورا𝛼=𝛼=، إذن نجد من الشكل أن: ،𝛼=٣٥𝛼=٤٥.

وبما أن: 𝛽=٥١٨، إذن يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية في الربع الثالث. المثلث القائم الزاوية يمثِّل ثلاثية فيثاغورس تتكوَّن من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ٨ و١٥ و١٧؛ حيث ٨+٥١=٧١٢٢٢.

وبما أن: ااا،ااورا𝜃=𝜃=، إذن نجد من الشكل أن: ،𝜃=٥١٧١𝜃=٨٧١.

من الشكل، نلاحظ أن 𝛽=٠٨١+𝜃، وباستخدام خواص الزوايا المنتسبة، نعرف أن: (٠٨١+𝜃)=𝜃.

إذن: 𝛽=𝜃𝛽=٥١٧١.

وأيضًا: (٠٨١+𝜃)=𝜃.

إذن: 𝛽=𝜃𝛽=٨٧١.

بالتعويض بهذه القيم في المقدار، نحصل على: 𝛼𝛽𝛼𝛽=󰂔٣٥󰂓󰂔٨٧١󰂓󰂔٤٥󰂓󰂔٥١٧١󰂓=󰂔٤٢٥٨󰂓󰂔٠٦٥٨󰂓=٦٣٥٨.

ومن ثَمَّ، يمكننا استنتاج أنه إذا كان 𝛼=٣٤؛ حيث 𝛼 هي أصغر زاوية موجبة، وإذا كان 𝛽=٥١٨؛ حيث ٠٨١<𝛽<٠٧٢، إذن 𝛼𝛽𝛼𝛽=٦٣٥٨.

مثال ٥: إيجاد قيمة مقدار باستخدام الدوال المثلثية المتكافئة

أوجد قيمة 𝜃𝜃𝜃، إذا كانت ٠٨١<𝜃<٠٧٢، 𝜃=٣٥.

الحل

بالاستفادة من معرفتنا بمخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية؛ حيث ٠٨١<𝜃<٠٧٢، نعلم أن الزاوية 𝜃 تقع في الربع الثالث.

وبما أن: 𝜃=٣٥، إذن يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية في الربع الثالث. المثلث القائم الزاوية يمثِّل ثلاثية فيثاغورس تتكوَّن من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ٣ و٤ و٥؛ حيث ٣+٤=٥٢٢٢.

وبما أن: ااورا،ااااور𝛼=𝛼=، إذن نجد من الشكل أن: ،𝛼=٤٥𝛼=٣٤.

من الشكل، نلاحظ أن 𝜃=٠٨١+𝛼، وباستخدام خواص الزوايا المنتسبة، نعرف أن: (٠٨١+𝛼)=𝛼.

إذن: 𝜃=𝛼𝜃=٤٥.

وأيضًا: (٠٨١+𝛼)=𝛼.

إذن: 𝜃=𝛼𝜃=٣٤.

متطابقات مقلوب الدوال المثلثية: قاطع تمام الزاوية 𝜃، وقاطع الزاوية 𝜃، وظل تمام الزاوية 𝜃، هي مقلوبات لدوال جيب الزاوية 𝜃، وجيب تمام الزاوية 𝜃، وظل الزاوية 𝜃؛ حيث: 𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃.

إذن: 𝜃=٥٣،𝜃=٥٤،𝜃=٤٣.

بالتعويض بهذه القيم في المقدار، نحصل على: 𝜃𝜃𝜃=󰂔٥٤󰂓󰂔٥٣󰂓󰂔٤٣󰂓=󰂔٥٢٢١󰂓󰂔٦١٢١󰂓=٩٢١=٣٤.

ومن ثَمَّ، يمكننا استنتاج أنه إذا كان ٠٨١<𝜃<٠٧٢، 𝜃=٣٥، فإن 𝜃𝜃𝜃=٣٤.

مثال ٦: إيجاد قيمة مقدار يتضمَّن مقلوب الدوال المثلثية باستخدام الدوال المثلثية المتكافئة

احسب قيمة 𝜃𝜃𝜃𝜃، إذا علمت أن 𝜃󰂖٣𝜋٢،٢𝜋󰂗، 𝜃=٤٥.

الحل

بالاستفادة من معرفتنا بمخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية، وبما أن 𝜃󰂖٣𝜋٢،٢𝜋󰂗؛ حيث ٣𝜋٢=٠٧٢رادن، ٢𝜋=٠٦٣رادن، إذن نعلم أن الزاوية 𝜃 تقع في الربع الرابع.

وبما أن: 𝜃=٤٥، إذن يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية في الربع الرابع. المثلث القائم الزاوية يمثِّل ثلاثية فيثاغورس تتكوَّن من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ٣ و٤ و٥؛ حيث ٣+٤=٥٢٢٢.

وبما أن: ااورا،ااااور𝛼=𝛼=، إذن نجد من الشكل أن: ،𝛼=٣٥𝛼=٤٣.

من الشكل، نلاحظ أن 𝜃=٠٦٣𝛼، وباستخدام خواص الزوايا المنتسبة، نعرف أن: (٠٦٣𝛼)=𝛼.

إذن: 𝜃=𝛼𝜃=٣٥.

وأيضًا: (٠٦٣𝛼)=𝛼.

إذن: 𝜃=𝛼𝜃=٤٣.

متطابقات مقلوب الدوال المثلثية: قاطع تمام الزاوية 𝜃، وقاطع الزاوية 𝜃، وظل تمام الزاوية 𝜃، هي مقلوبات لدوال جيب الزاوية 𝜃، وجيب تمام الزاوية 𝜃، وظل الزاوية 𝜃؛ حيث: 𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃.

إذن: 𝜃=٥٤،𝜃=٥٣،𝜃=٣٤.

بالتعويض بهذه القيم في المقدار، نحصل على: 𝜃𝜃𝜃𝜃=󰂔󰂓󰂔󰂓󰂔󰂓󰂔󰂓=󰂔󰂓󰂔󰂓=٣=١٦.٣٤٥٤٤٣٥٣٢٤٩٣١٢

ومن ثَمَّ، يمكننا استنتاج أنه إذا كان 𝜃󰂖٣𝜋٢،٢𝜋󰂗، 𝜃=٤٥، فإن 𝜃𝜃𝜃𝜃=١٦.

ننهي هذا الشارح بتذكُّر بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا إيجاد قيمة دالة مثلثية من قيمة مُعطاة لدالة مثلثية أخرى بتذكُّر ٦ دوال مثلثية ومخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية.
  • باستخدام التماثلات في دائرة الوحدة، يمكننا أيضًا استخدام خواص الزوايا المنتسبة: (٠٨١𝜃)=𝜃،(٠٨١𝜃)=𝜃،(٠٨١𝜃)=𝜃،(٠٨١+𝜃)=𝜃،(٠٨١+𝜃)=𝜃،(٠٨١+𝜃)=𝜃،(٠٦٣𝜃)=𝜃،(٠٦٣𝜃)=𝜃،(٠٦٣𝜃)=𝜃.
  • يمكن رؤية هذه الخواص على الشكل الآتي لدائرة الوحدة؛ حيث ±𝜃 هو الإحداثي 𞸎، ±𝜃 هو الإحداثي 𞸑.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.