شارح الدرس: ميل المستقيمات المتوازية والمتعامدة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم مفهوم الميل لتحديد إذا ما كان المستقيمان متوازيين أو متعامدين، ونستخدم تلك العلاقة الهندسية لحل المسائل.

ميل الخط المستقيم هو أحد السمات المميزة للخط المستقيم؛ حيث يصف مدى «انحداره» وكذلك يعطينا معلومات أساسية معيَّنة عن خصائص الخط المستقيم. يمكن دائمًا حساب ميل الخط المستقيم من أيِّ نقطتين مختلفتين على المستقيم (بشرط ألَّا يكون مستقيمًا رأسيًّا). افترض أن لدينا نقطتين على خط مستقيم إحداثياتهما معلومة وهي 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠، 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١. إذن، الميل هو مقدار الإزاحة الرأسية لهاتين النقطتين، مقسومًا على مقدار الإزاحة الأفقية. جبريًّا، نعبِّر عن ذلك بأن نقول إن الميل 𞸌 يمكن إيجاده بالصيغة الآتية: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.١٠١٠

سنتناول باختصار مثالًا لشرح هذا المفهوم. لنفترض أن لدينا خطًّا مستقيمًا يمر بنقطتين إحداثياتهما 󰏡(٤،٦)، 𞸁(٢١،٠١). الخط المستقيم 󰄮󰏡𞸁 الذي يتضمن هذه الخواص، مرسوم بالأسفل، مع تحديد الإحداثيين المعلومين.

يُمكن إيجاد ميل الخط المستقيم 󰄮󰏡𞸁 باستخدام الصيغة المعطاة وبالتعويض بقيم 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٤،٦)٠٠، 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٢١،٠١)١١. نحسب الآن الميل على النحو الآتي: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎=٠١٦٢١٤=١٢.١٠١٠

هذه هي الطريقة الجبرية لحساب الميل، ولم نفكر كثيرًا في التفسير الهندسي. افترض أننا أخذنا النقطتين المعلومتين على المستقيم المعطَّى، ثم حددنا نقطة ثالثة تُكوِّن مثلثًا قائم الزاوية، كما هو موضَّح في الشكل الآتي. هذه النقطة الجديدة إحداثياتها (٢١،٦)، وقد اخترنا مثلثًا قائم الزاوية (وليس مثلثًا متساوي الأضلاع أو أي صورة أخرى)؛ لأن المثلثات القائمة الزاوية تُعتبر أساسًا لكثير من النتائج الأساسية في حساب المثلثات.

يسمح لنا هذا الشكل الهندسي الآن بالتفكير في الميل باعتباره مجموعة من الخواص الهندسية، تمامًا كما أشرنا في بداية هذا الشارح. نلاحظ أن القطعة المستقيمة الرأسية لها إزاحة تحدِّدها العملية الحسابية 𞸑𞸑١٠ وأن القطعة المستقيمة الأفقية لها إزاحة تساوي 𞸎𞸎١٠. والطولان المرتبطان بهاتين المسافتين هما ببساطة القيمتان الموجبتان المأخوذتان من هاتين الإزاحتين (إذا كانت أيٌّ منهما سالبة). كلتا هاتين الإزاحتين ضلعان في المثلث القائم الزاوية المحدَّد الذي رسمناه، وهو ما يوفِّر طريقة أخرى للتفكير في هذا الخط المستقيم. تقدِّم هذه الطريقة مزايا عديدة، أهمُّها هو أنه يمكن حساب المسافة بين النقطتين بإيجاد طول الوتر في المثلث باستخدام نظرية فيثاغورس.

بصياغة الميل بدلالة مفهوم المثلث القائم الزاوية، يمكننا استخدام النتائج المعلومة من حساب المثلثات لفَهْم الخواص الأخرى للخط المستقيم. إحدى الخواص التي تَعْنينا عادةً هي الزاوية الحادة التي يصنعها المستقيم مع المحور الأفقي. وقد أشرنا إلى هذه الزاوية في الشكل الموضَّح سابقًا بالرمز 𝛼. المستقيمان 󰄮󰏡𞸁، 󰄮󰄮𞸢𞸃 يكونان متوازيين إذا لم يلتقيا أبدًا أحدهما مع الآخر؛ في هذه الحالة، سنقول إن 󰄮󰏡𞸁󰄮󰄮𞸢𞸃. باستخدام خاصية قاطع المستقيمات المتوازية، نجد أن قياس الزاوية 𝛼 المحصورة بين 󰄮󰏡𞸁 والمحور الأفقي يساوي قياس الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم محل الاهتمام وأيِّ مستقيم أفقي آخر؛ لأن أيَّ مستقيم كهذا يجب أن يكون موازيًا للمحور الأفقي.

بما أنه يمكننا استخدام أيِّ مستقيم أفقي، فيمكننا استخدام المستقيم 𞸑=𞸑٠. في المثال المحدَّد، يمكننا إيجاد قياس الزاوية بين الخط المستقيم والمحور الأفقي بإيجاد قياس الزاوية 𝛼، كما هو موضَّح بالأسفل؛ حيث افترضنا أن 𞸑<𞸑٠١.

لحسن الحظ، يمكننا إيجاد قياس هذه الزاوية باستخدام العلاقات المثلثية المعلومة. نتذكر أن المركِّبة الرأسية للمثلث القائم الزاوية إزاحتها 𞸑𞸑١٠، وأن هذا الضلع هو المقابل للزاوية 𝛼. نعلم أيضًا أن المركِّبة الأفقية للمثلث القائم الزاوية إزاحتها 𞸎𞸎١٠، وأن هذا الضلع هو المجاور للزاوية الحادة 𝛼. نتذكر عندئذٍ أن ظل الزاوية هو النسبة بين الضلع المقابل والضلع المجاور في أيِّ مثلث قائم الزاوية، والذي يعني ضمنيًّا أن: (𝛼)=𞸑𞸑𞸎𞸎،١٠١٠ وهو ما يمكننا صياغته باختصار على صورة (𝛼)=𞸌؛ حيث 𞸌 هو ميل الخط المستقيم. في المثال المحدَّد، هذا يعطينا: (𝛼)=𞸑𞸑𞸎𞸎=٠١٦٢١٤=١٢.١٠١٠

يمكننا بعد ذلك أخذ الدالة العكسية للظل لطرفَي هذه المعادلة؛ لنجد أن 𝛼=󰂔١٢󰂓١. بحساب ذلك بالدرجة يعطينا قياس الزاوية 𝛼٧٥٫٦٢.

ويمكننا أيضًا استخدام هذه الطرق لإيجاد قياس الزاوية بين أيِّ خط مستقيم والمحور الأفقي عندما تكون هذه الزاوية غير حادة. في التفسيرات المعطاة سابقًا، أشرنا إلى كميتين مثل 𞸑𞸑١٠، 𞸎𞸎١٠ باعتبارهما «إزاحتين»، ما يعني أن قيمتيهما يمكن أن تكونا سالبتين (عكس «المسافة» التي تكون دائمًا موجبة). هذا يعني أنه من الممكن أن يكون ميل الخط المستقيم قيمة سالبة، وهو ما يحدث إذا كان 𞸑𞸑١٠، 𞸎𞸎١٠ إشارتاهما مختلفتين. في هذه الحالة، سينحدر الخط المستقيم «لأسفل» عندما ننظر من اليسار إلى اليمين، والزاوية الموجبة (أي، المَقِيسة في اتجاه دوران عقارب الساعة) المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور 𞸎 والخط المستقيم تكون منفرجة.

كما يمكنك ملاحظة أنه باستخدام الآلة الحاسبة، تكون قيمة ظل الزاوية المنفرجة سالبة. العلاقة التي أوجدناها سابقًا بين ميل الخط مستقيم وظل الزاوية الموجبة التي يصنعها الخط المستقيم مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎 تنطبق أيضًا على الزوايا المنفرجة. دعونا نلخِّص هذا.

تعريف: ميل الخط المستقيم المارِّ بنقطتين والزاوية التي يصنعها مع المحور الأفقي

افترض أن لدينا خطًّا مستقيمًا غير رأسي يمر بنقطتين إحداثياتهما معلومة وهي 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠، 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١. فإن الميل يساوي: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.١٠١٠

علاوة على ذلك، الميل يساوي ظل الزاوية الموجبة المحصورة بين الخط المستقيم والاتجاه الموجب للمحور 𞸎: 𞸌=(𝛼).

تقاس الزاوية 𝛼 من الاتجاه الموجب للمحور 𞸎 إلى المستقيم في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة.

يكون ظل الزاوية الحادة موجبًا، بينما يكون ظل الزاوية المنفرجة سالبًا. ظل الزاوية التي قياسها ٠٩ غير معرَّف، ومن ثم، نقول إن ميل الخطوط الرأسية غير معرَّف.

هيا نطبِّق ذلك في مثال.

مثال ١: إيجاد ميل خط مستقيم بمعلومية الزاوية التي يصنعها مع المحور الأفقي

أوجد، لأقرب أقرب منزلتين عشريتين، ميل المستقيم الذي يصنع زاوية موجبة قياسها ٠٦ مع الاتجاه الموجب من المحور 𞸎.

الحل

دعونا نتصور أن خطًّا مستقيمًا يصنع زاوية قياسها ٠٦ مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎.

تَذكَّرْ أن ميل الخط المستقيم، 𞸌، يساوي ظل الزاوية الموجبة المحصورة بين الخط المستقيم والاتجاه الموجب للمحور 𞸎. تلك الزاوية قياسها ٠٦. ومن ثم، يصبح لدينا: 𞸌=(٠٦)، وباستخدام الآلة الحاسبة وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على: 𞸌=٣٧٫١.

عند التعامل مع خطين مستقيمين، ما يعنينا هو العلاقة بينهما، وتحديدًا إذا ما كانا يتقاطعان أم لا. يلتقي أيُّ مستقيمين عند نقطةٍ، ما لم يكونا متوازيين أو متطابقين. وبما أن المستقيمين المتوازيين يتميزان بأنهما يصنعان زاوية لها نفس القياس مع القاطع، فيمكننا استنتاج أن أيَّ مستقيمين لهما نفس الميل (على سبيل المثال، أيَّ مستقيمين يصنعان زاوية لها نفس القياس مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎) يكونان متوازيين أو متطابقين. فإذا كان ميل الخطين المستقيمين يساوي ٠، فإنهما يوازيان المحور 𞸎، وكذلك يوازيان أحدهما الآخر، حتى إذا لم يقطعا المحور 𞸎. يكون أيُّ مستقيمين متوازيين، لكنهما ليسا متطابقين عندما يكونان لهما الميل نفسه لكن ليس لهما نفس الجزء المقطوع من المحور 𞸑، كما هو موضَّح في الشكل.

يلتقي المستقيمان المتعامدان عند نقطة ويصنعان أحدهما مع الآخر زاوية قياسها ٠٩. نجد دائمًا أن أحد هذين المستقيمين له ميل موجب والآخر له ميل سالب، كما هو موضَّح في الشكل الآتي حيث ميلَا المستقيمين هما 𞸌١، 𞸌٢ على الترتيب، ويصنعان الزاوية 𝛼، 𝛽 مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎 على الترتيب.

بما أن الخطين متعامدان، نحصل على: 𝛽=𝛼+٠٩.

إحدى خصائص دالة الظل هي أن: 𝛼=١(𝛼+٠٩).

ومن ثم، نحصل على: 𝛼=١(𝛽).

وبما أن 𞸌=𝛼١، 𞸌=𝛽٢، فإننا نحصل على: 𞸌=١𞸌١٢ أو: 𞸌𞸌=١.١٢

من الجدير بالملاحظة أن النتائج الموضَّحة سابقًا لا تنطبق مباشرةً إذا كنا نتعامل مع خطين مستقيمين، سواء أكانا أفقيين أو رأسيين. إذا كان الخط المستقيم أفقيًّا، فسيكون ميله يساوي صفرًا، ما يعني أنه يمكننا تحديد الميل 𞸌=٠١. نلاحظ على الفور، لماذا لا يمكننا استخدام علاقة الخطوط المستقيمة المتعامدة، (أيْ 𞸌=١𞸌٢١)؛ لأن هذا يؤدي إلى القسمة على صفر. وهذا منطقي لأن المستقيم الرأسي يكون عموديًّا على المستقيم الأفقي، ويمكننا اعتبار «ميل» المستقيم الرأسي لا نهائيًّا. بالطبع، يظل صحيحًا تمامًا التعامل مع المستقيمات الأفقية أو الرأسية بالطريقة الهندسية، لكن لا يمكننا استخدام الطريقة الجبرية التي ذكرناها سابقًا بشكل تلقائي.

هيا نلخِّص شروط الخطوط المستقيمة المتوازية أو المتعامدة.

تعريف: الخطوط المستقيمة المتوازية والمتعامدة

افترض أن لدينا خطين مستقيمين ميلاهما 𞸌١، 𞸌٢ والجزآن المقطوعان من المحور 𞸑 هما 𞸖١، 𞸖٢. إذن، الآتي يكون صحيحًا:

  • إذا كان 𞸌=𞸌١٢، 𞸖𞸖١٢، فإن الخطين المستقيمين يكونان متوازيين. هذا يعني أن الخطين المستقيمين لا يلتقيان أبدًا، ويصنعان الزاوية نفسها مع المحور الأفقي.
  • إذا كان 𞸌=𞸌١٢، 𞸖=𞸖١٢، فإن الخطين المستقيمين يكونان متطابقين.
  • إذا كان 𞸌𞸌=١٢١، فإن الخطين المستقيمين سيكونان متعامدين. هذا يعني أنهما يلتقيان مرة واحدة فقط، وأن الفرق بين هذين الخطين المستقيمين سيكون دائمًا زاوية قائمة.

إذا كان 𞸌=٠١، فإن الخط المستقيم المرتبط به سيكون أفقيًّا. وأيُّ خط مستقيم يوازيه، سيكون له الميل نفسه، وأيُّ خط مستقيم عمودي عليه لن يكون له ميل معرَّف (لأن أيَّ خط مستقيم عمودي على أيِّ خط مستقيم أفقي لا بد أن يكون خطًّا مستقيمًا رأسيًّا).

سنبدأ أولًا بالنظر إلى النقطتين 󰏡(٢،٣)، 𞸁(٨،١) وإلى الخط المستقيم الذي يمر بهما، الموضَّح على التمثيل البياني الآتي. في النهاية، سنضيف أربع نقاط أخرى إلى هذا الشكل، لكنَّ ما يعنينا الآن هو ميل هذا الخط المستقيم بالإضافة إلى الزاوية التي يصنعها مع المحور الأفقي. قبل إجراء أيِّ عمليات حسابية أخرى، نلاحظ أن قيمة الميل لا بد أن تكون سالبة.

يمكننا إيجاد الميل باستخدام الصيغة المعروفة: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎١٠١٠ وبتحديد 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٢،٣)٠٠، 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٨،١)١١. سيسمح لنا هذا بحساب: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎=١٣٨٢=١٣.١٠١٠

الميل يساوي قيمة سالبة، كما هو متوقَّع. يمكننا حساب قياس الزاوية المحصورة بين هذا الخط المستقيم والمحور الأفقي باستخدام النتيجة المعلومة (𝛼)=𞸌. وهذا يعني أننا نحسب ١󰂔١٣󰂓٣٤٫٨١. هذه الزاوية السالبة هي الزاوية المَقِيسة في اتجاه دوران عقارب الساعة من الاتجاه الموجب للمحور 𞸎 إلى الخط المستقيم. الزاوية الموجبة، 𝛼، عندئذٍ تكون: 𝛼٣٤٫٨١+٠٨١٧٥٫١٦١.

افترض الآن أننا أخذنا النقطتين السابقتين وأعطينا نقطتين إضافيتين 𞸢(١،١)، 𞸃(٥،١) ثم انظر إلى الخط المستقيم الذي يصل النقطة 𞸢 بالنقطة 𞸃. برَسْمِهما معًا، يصبح لدينا الشكل الجديد الآتي، ونلاحظ أن الخط المستقيم الجديد يبدو موازيًا تقريبًا للخط المستقيم الأصلي.

يمكننا التأكُّد سريعًا من أن الخطين المستقيمين متوازيان بحساب ميل الخط المستقيم الثاني. لنكتب 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(١،١)٠٠، 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٥،١)١١. ويتيح لنا هذا حساب: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎=١١٥(١)=١٣.١٠١٠

إذا كان الخطان المستقيمان لهما الميل نفسه والجزآن المقطوعان من المحور 𞸑 مختلفان، فإنهما يكونان مختلفين ويوازيان أحدهما الآخر، ومن ثم فإنهما لن يلتقيا أبدًا. إذا كان المستقيمان متوازيين، فإنهما يصنعان نفس قياس الزاوية مع المحور الأفقي. يمكننا بعد ذلك استخدام النتيجة المحسوبة سابقًا لنقول إن قياس الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم الثاني وهذا المحور يساوي تقريبًا ٧٥٫١٦١.

في المرحلة الأخيرة، سنتناول زوجًا ثالثًا من النقاط وهما: 𞸤(٢،٢)، 𞸅(٤،٤). ويُرسمان في الشكل الآتي، على طول الخط المستقيم الذي يصل بين هاتين النقطتين. يبدو أن الخط المستقيم الجديد عمودي على المستقيمين المتوازيين.

يمكننا التأكُّد من هذا التوقُّع بحساب ميل الخط المستقيم الجديد. نحدِّد 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٢،٢)٠٠، 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٤،٤)١١ ثم نحسب الميل على النحو الآتي: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎=٤(٢)٤٢=٣.١٠١٠

افترض أن ميل الخطين المستقيمين المتوازيين هو 𞸌=١٣١ وهذا الميل الجديد هو 𞸌=٣٢. نجد أن: 𞸌𞸌=٣×١٣=١.١٢

وهذا يؤكِّد أن الخط المستقيم الجديد عمودي على المستقيمين المتوازيين. كي نحسب قياس الزاوية المحصورة بين هذا الخط المستقيم الجديد والمحور الأفقي، فإننا ببساطة نطرح ٠٩ من الزاوية المتكوِّنة بين الخطين المستقيمين المتوازيين والمحور الأفقي. وهذا يعطينا الناتج ٧٥٫١٦١٠٩٧٥٫١٧. وبالمثل، كان بإمكاننا حساب قياس الزاوية باستخدام العلاقة (𝛼)=𞸌٢. وكان ذلك سيعطينا النتيجة نفسها.

في المثال الآتي، سنتدرب على فَهْمنا لكيفية استخدام ميل الخط المستقيم لإيجاد ميل خط مستقيم آخر عمودي على الخط الأول.

مثال ٢: إيجاد ميل الخط المستقيم بمعلومية ميل الخط المستقيم العمودي

إذا كان 󰄮󰏡𞸁󰄮󰄮𞸢𞸃 وميل 󰄮󰏡𞸁=٢٥ فأوجد ميل 󰄮󰄮𞸢𞸃.

الحل

بقولنا إن 󰄮󰏡𞸁󰄮󰄮𞸢𞸃، فإننا نعني أن هذا الخط المستقيم 󰄮󰏡𞸁 يكون عموديًّا على الخط المستقيم 󰄮󰄮𞸢𞸃. إذا افترضنا أن هذين الخطين المستقيمين ميلاهما على الترتيب 𞸌١، 𞸌٢، فإننا نتذكر أنه لا بد أن تجمعهما العلاقة 𞸌=١𞸌٢١، بشرط أن يكون أيٌّ من المستقيمين إما أفقيًّا وإما رأسيًّا. وبما أننا نعلم أن 𞸌=٢٥١، فيمكننا إيجاد الميل الثاني على الصورة: 𞸌=١𞸌=١󰂔󰂓=٥٢.٢١٢٥

لاحظ أنه في المثال السابق لم تكن لدينا معلومات كافية لفَهْم أيٍّ من الخطين المستقيمين فهمًا كاملًا. لكن، بمجرد أن علمنا ميل الخط المستقيم الأول، استطعنا حساب ميل الخط المستقيم الثاني؛ لأننا عرفنا أنه كان عموديًّا. وعلى الرغم من أنه لم يطلُب منا حساب ذلك، كان بإمكاننا إيجاد أن قياس الزاوية التي صنعها الخط المستقيم الأول مع المحور الأفقي يساوي تقريبًا ٨٫١٢. وقياس الزاوية المحصورة بين الخط العمودي والمحور الأفقي كان سيساوي ٨٫١١١.

في مجموعة الأمثلة الآتية، سنكتشف أكثر كيف يمكننا استخدام ميل الخطوط المستقيمة لتحديد إذا ما كانت متوازية أم متعامدة. الأمثلة الثلاثة الآتية لا تحتوي على أيِّ إشارة إلى قياس الزاوية التي تتكون بين الخطوط المستقيمة الموضَّحة والمحور الأفقي، على الرغم من أنه يمكن حساب ذلك باعتباره نتيجة لحساب ميل الخطوط المستقيمة.

مثال ٣: ربْط ميل الخط المستقيم بالزاوية التي يصنعها الخط المستقيم مع الاتجاه الموجب للمحور س

افترض أن لدينا مستقيمًا ميله ١ ومستقيمًا آخر يصنع زاوية قياسها ٥٤ مع المحور 𞸎 في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. أيُّ الاختيارات الآتية يعبِّر عن الخطين المستقيمين؟

  1. المستقيمان متعامدان.
  2. المستقيمان متوازيان.
  3. ليسا متوازيين ولا متعامدين.

الحل

نبدأ بتذكُّر أن ميل الخط المستقيم يساوي ظل الزاوية الموجبة المحصورة بين الخط المستقيم والاتجاه الموجب للمحور 𞸎. إذا كان الخط المستقيم يصنع زاوية قياسها ٥٤ مع المحور 𞸎 في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، فإن ميله يساوي: 𞸌=٥٤=١.

إذن، كلا الخطين المستقيمين لهما الميل نفسه، وهو ما يعني أنهما متوازيان. الخيار (ب) هو الإجابة الصحيحة.

مثال ٤: إيجاد ميل خط مستقيم في متوازي الأضلاع باستخدام العلاقة بين ميلَي خطين مستقيمين متوازيين

إذا كان 󰏡𞸁𞸢𞸃 متوازي أضلاع؛ حيث 󰏡(٨،٢)، 𞸁(٤،٧)، فأوجد ميل 󰄮󰄮𞸃𞸢.

الحل

نتذكَّر أنه في متوازي الأضلاع، تكون الأضلاع المتقابلة مختلفة ومتوازية، ويُكتب هذا الشكل حيث تتصل الرءوس بترتيب الحروف المعطاة. بعبارة أخرى النقطة 󰏡 تتصل بالنقطة 𞸁، ثم النقطة 𞸢، ثم النقطة 𞸃، ثم نعود إلى النقطة 󰏡 وهذا بدوره، يعطينا شكل متوازي الأضلاع. وهذا يعني أن 󰄮󰏡𞸁 يوازي 󰄮󰄮𞸃𞸢، ومن ثم، يكون لهما الميل نفسه.

لتوضيح هذه النقطة، يضم الشكل الآتي تمثيلًا للنقطتين 󰏡، 𞸁 وكذلك الخط المستقيم الذي يصل بينهما. الضلع الذي باللون الأسود يمثِّل قطعة محدودة من الخط المستقيم 󰄮󰏡𞸁، والذي يُرمز له باللون الأحمر. تمثِّل الأضلاع التي باللون الأسود أحد أضلاع أيِّ متوازي أضلاع يمر بهاتين النقطتين.

لإنشاء متوازي أضلاع، يمكننا تحديد أيِّ نقطتين 𞸢، 𞸃 بحيث يكون الخط المستقيم الجديد 󰄮󰄮𞸢𞸃 موازيًا للخط الأصلي 󰄮󰏡𞸁. يمكننا اختيار أيِّ قيمتين لـ 𞸢 أو 𞸃 تحققان ذلك، بشرط أن 󰄮󰏡𞸁، 󰄮󰄮𞸢𞸃 لا ينتميان إلى الخط المستقيم نفسه. في الشكل الآتي، اخترنا قيمتين اختياريتين لـ 𞸢، 𞸃 تحققان ذلك، لنحصل على الخط المستقيم 𞸢𞸃 باللون الأحمر. والجزء المحدود من هذا الخط المستقيم يمثِّل ضلعًا آخر من متوازي الأضلاع. يُرسم الخطان المستقيمان المتبقيان 󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢، 𞸃󰏡 باللون الأزرق، وهو ما يعني أنه يمكن تكوين متوازي الأضلاع بإنشاء الضلعين المتبقيين كما هو موضَّح باللون الأسود.

من المهم أن نعيد التأكيد على أن القيمتين 𞸢، 𞸃 اللتين أخذناهما اختياريتين تمامًا. ما يهم هو أن يكون الخطان المستقيمان المارَّان بهاتين النقطتين موازيين للخط المستقيم الأصلي، ومن ثم يمكننا رسم متوازي الأضلاع. يمكننا الآن حساب ميل 󰄮󰏡𞸁 بالطريقة المعتادة. نوجد ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠، 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ من الصيغة: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.١٠١٠

بالتعويض بقيم 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٨،٢)٠٠، 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٤،٧)١١ في هذه الصيغة، نجد أن: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎=٧٢٤٨=٥٢١.١٠١٠

إذا كان 󰄮󰏡𞸁 يوازي 󰄮󰄮𞸃𞸢، فإننا نعلم أن ميل هذا الخط المستقيم يساوي أيضًا ٥٢١.

مثال ٥: مقارنة ميلَي خطين مستقيمين لتحديد إذا ما كانا متوازيين أم متعامدين

افترض أن 𞸋 خط مستقيم يمر بالنقطتين (٧،٧)، (٩،٦) وأن 𞸌 خط مستقيم يمر بالنقطتين (١،١)، (٤١،٣). أيٌّ ممَّا يأتي صواب عن العلاقة بين الخطين المستقيمين 𞸋، 𞸌؟

  1. الخطان متوازيان.
  2. الخطان متعامدان.
  3. الخطان متقاطعان لكنهما ليسا متعامدين.

الحل

يجب أن نتذكر أنه إذا كان لدينا خطان مستقيمان مختلفان ميلاهما 𞸌١، 𞸌٢، فإنه يمكننا استخدام هذه المعلومات لتحديد علاقة الخطين المستقيمين أحدهما بالآخر. إذا كان 𞸌=𞸌١٢، فإن الخطين متوازيان ولن يتقاطعا أبدًا. إذ كان 𞸌=١𞸌٢١، فإننا نعلم أن المستقيمين سيكونان متعامدين وسيتقاطعان مرة واحدة فقط. وفي حالة عدم وقوع أيِّ حالة منهما، فلن يكون الخطان المستقيمان متوازيين ولا متعامدين، ومن ثم سيتقاطعان مرة واحدة فقط.

لدينا المعلومات الكافية لرسم شكل مفيد، وهو الموضَّح بالأسفل. النقطتان 󰏡(٧،٧)، 𞸁(٩،٦) موضَّحتان باللون الأزرق ومتصلتان بالخط المستقيم الأزرق. النقطتان 𞸢(١،١)، 𞸃(٤١،٣) موضَّحتان باللون الأحمر، وكذلك الخط الواصل بينهما.

يبدو من الشكل أن الخطين المستقيمين يكوِّنان زاويتين قائمتين (ومن ثم، هذا يعني أنهما متعامدان). ومع ذلك، يمكن بسهولة أن يكون المستقيمان متعامدين، لكن لا يمكن تمييز ذلك من الشكل. في الواقع، من غير المنطقي ولا من الممكن افتراض أن المستقيمين يكونان متوازيين أو متعامدين بمعلومية رسم بياني فقط. علينا الآن حساب ميل كل خط مستقيم بمعلومية المعلومات المعطاة، وهو ما سيسمح لنا بالتحقق مما إذا كان الخطان المستقيمان متعامدين بالفعل.

سنحسب أولًا ميل الخط المستقيم الأزرق باستخدام النقطتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٧،٧)٠٠، 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٩،٦)١١. بعد ذلك، نحسب الميل على النحو الآتي: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎=٦(٧)٩(٧)=٣١٢.١١٠١٠

الميل قيمته سالبة وهو شديد الانحدار، ما يتفق مع الشكل. يمكن حساب ميل الخط المستقيم الثاني باستخدام النقطتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(١،١)٠٠، 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٤١،٣)١١. بعد ذلك، نوجد الميل على النحو الآتي: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎=٣١٤١١=٢٣١.٢١٠١٠

يمكننا التحقق من أن 𞸌=١𞸌٢١، وهو ما يؤكد أن المستقيمين متعامدان.

في الأمثلة الثلاثة السابقة، لم يطلب منا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين المحور الأفقي وأيِّ خط من الخطوط المستقيمة المعطاة. ليس هناك أيُّ سبب يمنعننا من فعل ذلك، بمعلومية النتائج العامة التي استنتجناها سابقًا. في المثال الآتي، سنستعرض هذا المفهوم مرة أخيرة في الشارح، قبل أن ننتقل إلى مجموعة أخرى من الأسئلة تتضمن حل المعادلات الجبرية الناتجة عن أسئلة حول الميل.

مثال ٦: إيجاد قياس الزاوية التي يصنعها الخط العمودي على خط مستقيم معطًى مع المحور س

افترض أن 𞸌 خط مستقيم يمر بالنقطتين (٠،٨)، (٤،٠١) وأن 𞸋 عمودي على 𞸌 ويمر بنقطة الأصل (٠،٠). ما قياس الزاوية الموجبة التي يصنعها 𞸋 مع الاتجاه الموجب لمحور 𞸎? قرِّب إجابتك لأقرب ثانية.

الحل

لإيجاد قياس الزاوية الموجبة التي يصنعها 𞸋 مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎 سنستخدم الآتي:

  • حقيقة أن 𞸋، 𞸌 متعامدان،
  • العلاقة بين ميل الخط المستقيم والزاوية الموجبة التي يصنعها الخط المستقيم مع المحور 𞸎.

بالنسبة إلى النقطة الأولى، تَذكَّرْ أن الخطين المستقيمين المتعامدين حاصل ضرب ميلَيْهما يساوي ١ ويصنعان زاويتين مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎 الفرق بينهما يساوي ٠٩. يمكننا استخدام أيٍّ من هاتين الحقيقتين لإيجاد الحل، الذي يؤدي إلى طريقتين.

الطريقة الأولى

نريد تحديد ميل الخط المستقيم 𞸌 لإيجاد ميل الخط المستقيم 𞸋 ثم قياس الزاوية التي يصنعها 𞸋 مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎. بما أن 𞸌 يمر بالنقطتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٠،٨)٠٠، 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٤،٠١)١١، فإن ميلَه يساوي: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎=٠١(٨)٤٠=٨١٤=٩٢.𞸌١٠١٠

وبما أن 𞸌، 𞸋 متعامدان، فإن حاصل ضرب ميلَيْهما يساوي ١. ومن ثم، نحصل على: 𞸌𞸌=١٩٢𞸌=١.𞸌𞸋𞸋

بضرب الطرفين في ٢٩ نحصل على: 𞸌=١×٢٩=٢٩.𞸋

والآن، بعد أن أصبح لدينا ميل 𞸋، فإننا نستخدم العلاقة بين ميل خط مستقيم والزاوية الموجبة التي يصنعها مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎: 𞸌=𝛼، حيث 𞸌 هو الميل، 𝛼 هي الزاوية التي تعطينا: 𝛼=𞸌=󰂔٢٩󰂓٨٨٢٥٫٢١٢١١٣٤٤.١١

الطريقة الثانية

في هذه الطريقة، سنبدأ، مثل الطريقة السابقة، بإيجاد ميل 𞸌، لكن بعد ذلك نستخدمه لإيجاد قياس الزاوية التي يصنعها 𞸌 مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎، ثم نستخدم هذه الزاوية لإيجاد قياس الزاوية الموجبة التي يصنعها 𞸋 مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎.

لقد أوجدنا سابقًا أن الميل 𞸌 يساوي 𞸌=٩٢𞸌. والآن، يمكننا استخدام العلاقة بين ميل الخط المستقيم والزاوية الموجبة التي يصنعها مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎: 𞸌=𝛼، حيث 𞸌 هو الميل، 𝛼 هي الزاوية التي تعطينا: 𝛼=𞸌=󰂔٩٢󰂓٢١٧٤٫٧٧.١١

لإيجاد قياس الزاوية الموجبة، 𝛼+، التي يصنعها 𞸌 مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎، علينا إضافة ٠٨١ إلى هذه الزاوية. نجد أن: 𝛼٢١٧٤٫٧٧+٠٨١٨٨٢٥٫٢٠١.+

هذه الزاوية زاوية منفرجة. وهذا يعني أن الخط المستقيم 𞸋، الذي هو عمودي على 𞸌، يصنع زاوية حادة، 𝛽، مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎. ومن ثم، نوجد هذا بطرح ٠٩ من القيمة التقريبية التي تساوي ٨٨٢٥٫٢٠١: 𝛽٨٨٢٥٫٢٠١٠٩٨٨٢٥٫٢١٢١١٣٤٤.

مثال ٧: إيجاد إحداثيٍّ مجهول باستخدام العلاقة بين ميلَي خطين مستقيمين متعامدين

إذا كان الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين 󰏡(٦،٠)، 𞸁(٤،٦) عموديًّا على الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين 𞸢(٩،٩١)، 𝐷(𞸎،٥١)، فما قيمة 𞸎؟

الحل

نتذكَّر أنه يمكننا تحديد إذا ما كان الخطان المستقيمان متعامدين عن طريق فحص ميلَيْهما. افترض أن هناك خطين مستقيمين ميلاهما 𞸌١، 𞸌٢. سيكون هذان الخطان المستقيمان متعامدين إذا حقَّقا المعادلة 𞸌=١𞸌٢١. هذا يعني أننا إذا عرفنا ميل خط مستقيم واحد باعتباره 𞸌١، فإنه يمكننا تحديد إذا ما كان الخط المستقيم الآخر الذي ميله 𞸌٢ عموديًّا على الخط الأول.

سنوجد أولًا ميل الخط المستقيم الذي يصل النقطة 󰏡 بالنقطة 𞸁. ولنفعلَ ذلك، نحدِّد 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٦،٠)٠٠، 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٤،٦)١١. بعد ذلك، يمكننا إيجاد ميل هذا الخط المستقيم على النحو الآتي: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎=٦٠٤٦=٣.١١٠١٠

علمنا من السؤال أن الخط المستقيم الذي يصل النقطة 𞸢 بالنقطة 𞸃 يكون عموديًّا على الخط المستقيم الذي يصل النقطة 󰏡 بالنقطة 𞸁. افترض أن ميل هذا الخط المستقيم يساوي 𞸌٢. وبما أننا علمنا أن الخطين المستقيمين متعامدان، فإننا نعرف أن 𞸌=١𞸌٢١، وهو ما يعني أن 𞸌=١٣٢.

علينا الآن إيجاد قيمة 𞸎 بحيث يكون ميل الخط المستقيم الذي يصل النقطة 𞸢 بالنقطة 𞸃 يساوي 𞸌=١٣٢. نأخذ إحداثيات النقطتين 𞸢، 𞸃 كما هو معطًى في السؤال، ونكتبها على الصورة 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٩،٩١)٠٠، 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(𞸎،٥١)١١. إذن، علينا إيجاد قيمة 𞸎، والتي تحل الآتي: ١٣=𞸑𞸑𞸎𞸎=٥١٩١𞸎(٩)=٤𞸎+٩.١٠١٠

يمكننا حل هذه المعادلة بإجراء ضربٍ تبادليٍّ، لنحصل على: (𞸎+٩)=٢١.

بحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𞸎 نحصل على النتيجة النهائية 𞸎=٣، وهو ما يعني أن لدينا النقطة 𞸃(٣،٥١).

يمكننا التحقق من صحة هذه النتيجة برسم جميع النقاط الأربع، والتأكد مما إذا كان الخطان المستقيمان متعامدين أم لا. في الشكل الآتي، النقطتان 󰏡، 𞸁 مرسومتان باللون الأزرق والنقطتان 𞸢، 𞸃 مرسومتان باللون الأحمر. يبدو أن المستقيمين متعامدان.

خلاصة القول، لقد وجدنا أن الإجابة هي 𞸎=٣.

مثال ٨: إيجاد إحداثيٍّ مجهولٍ باستخدام العلاقة بين ميلَي خطين مستقيمين متوازيين

إذا كان الخط المستقيم المار بالنقطتين 󰏡(٣١،٨)، 𞸁(٠٢،𞸑) يوازي الخط المستقيم المار بالنقطتين 𞸢(٢،٠)، 𞸃(٧،𞸑) فما قيمة 𞸑؟

الحل

نتذكَّر أن أيَّ خطين مستقيمين متوازيين ومختلفين لن يلتقيا أبدًا، وستكون هذه هي الحالة إذا كان لهما الميل نفسه لكن الجزأين المقطوعين من المحور 𞸑 مختلفان. نشير إلى ميل الخط المستقيم الذي يصل النقطتين 󰏡، 𞸁 بالرمز 𞸌١، ونشير إلى ميل الخط المستقيم الذي يصل النقطتين 𞸢، 𞸃 بالرمز 𞸌٢. علمنا من السؤال أن الخطين المستقيمين متوازيان، وهو ما يعني أن الميلين متساويان، ومن ثم 𞸌=𞸌١٢. يمكننا حساب ميل كلٍّ منهما بالتعويض بالقيم المعطاة في صيغة الميل. هذا يعطينا: 𞸌=𞸑٨٠٢(٣١)=𞸑٨٣٣١ وكذلك: 𞸌=𞸑٠٧(٢)=𞸑٩.٢

بما أن الخطين المستقيمين متوازيان، فإننا نريد 𞸌=𞸌١٢؛ ومن ثم، علينا حل الآتي: 𞸑٨٣٣=𞸑٩.

وبإجراء ضربٍ تبادليٍّ، نحصل على: ٩(𞸑٨)=٣٣𞸑.

نفكُّ الأقواس في الطرف الأيمن من المعادلة فنحصل على: ٩𞸑٢٧=٣٣𞸑.

والآن، بطرح ٩𞸑 من طرفَي المعادلة، نحصل على: ٢٧=٤٢𞸑.

بإيجاد قيمة 𞸑 نحصل على النتيجة النهائية 𞸑=٣. إذن، يمكن الآن كتابة النقاط المجهولة السابقة بشكل كامل، وهو ما يعطينا 𞸁(٠٢،٣)، 𞸃(٧،٣).

يمكننا التحقق من صحة هذه النتيجة برسم جميع النقاط الأربع. في التمثيل البياني الآتي، النقطتان 󰏡، 𞸁 مرسومتان باللون الأزرق، والنقطتان 𞸢، 𞸃 مرسومتان باللون الأحمر. يبدو أن الخطين المستقيمين اللذين يمران بهما متوازيان.

خلاصة القول، لقد وجدنا أن 𞸑=٣.

مثال ٩: إيجاد إحداثيٍّ مجهولٍ لرأس شبه المنحرف باستخدام العلاقة بين ميل الخطوط المستقيمة المتوازية

إذا كان 󰏡𞸁𞸢𞸃 شبه منحرف؛ حيث 󰏡𞸁𞸢𞸃، وإحداثيات النقاط 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃 هي(٥،٥)، (١،١)، (𞸎،𞸎)، (٧،٩)، على الترتيب، فأوجد إحداثيات النقطة 𞸢.

الحل

بقولنا إن 󰏡𞸁𞸢𞸃، فإننا نعني أن الخط المستقيم الذي يصل النقطة 󰏡 بالنقطة 𞸁 لا بد أن يكون موازيًا للخط المستقيم الذي يصل النقطة 𞸢 بالنقطة 𞸃. إذا أشرنا إلى ميل الخط المستقيم الأول بالرمز 𞸌١ وميل الخط المستقيم الثاني بالرمز 𞸌٢، فإننا نحتاج أن يكون 𞸌=𞸌١٢ ليصبح الخطان المستقيمان متوازيين.

نبدأ بحساب الميلين المعلومين في ضوء المعلومات المتاحة حاليًّا. يتم حساب ذلك على النحو الآتي: 𞸌=١(٥)١(٥)=١١ وكذلك: 𞸌=٩(𞸎)٧𞸎=٩𞸎𞸎+٧.٢

يمكننا بعد ذلك حل 𞸌=𞸌١٢ لإيجاد القيمة المجهولة 𞸎 بمساواة التعبيرين الموضَّحين سابقًا، على النحو الآتي: ١=٩𞸎𞸎+٧.

لإيجاد قيمة 𞸎، نضرب أولًا طرفَي المعادلة في 𞸎+٧ وهو ما يؤدي إلى حذف حد المقام من الطرف الأيسر، كما هو موضَّح: 𞸎+٧=٩𞸎.

نعيد الآن ترتيب المعادلة، ويتبقى لدينا: ٢𞸎=٢.

وهذا يعطينا النتيجة النهائية 𞸎=١. يمكن الآن كتابة النقطة المجهولة سابقًا بالكامل على الصورة: 𞸢(١،١).

لدينا الآن إحداثيات جميع نقاط شبه المنحرف الأربع، التي حددناها بالأسفل. نلاحظ أن الضلع 󰏡𞸁 لا يبدو موازيًا للخط المستقيم 𞸢𞸃. الإجابة النهائية هي 𞸢(١،١).

النقاط الرئيسية

  • ميل الخط المستقيم 𞸌 المار بالنقطتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠، 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ يُعطى بالصيغة الآتية 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎١٠١٠.
  • تُقاس الزاوية 𝛼 من المحور الأفقي، بالدوران في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حتى تلتقي بالخط المستقيم. بالنسبة إلى 𞸌 الذي هو ميل الخط المستقيم، تنطبق النتائج الآتية:
    • بالنسبة إلى 𞸌٠، يعبَّر عن الزاوية 𝛼 المحصورة بين هذا الخط المستقيم والمحور الأفقي على الصورة 𝛼=(𞸌)١.
    • بالنسبة إلى 𞸌<٠ يعبَّر عن الزاوية 𝛼 المحصورة بين هذا الخط المستقيم والمحور الأفقي على الصورة ٠٨١+(𞸌)١.
    • بالنسبة إلى الخطوط المستقيمة الرأسية، 𝛼=٠٩.
  • افترض أن لدينا خطين مستقيمين ميلاهما 𞸌١، 𞸌٢ والجزآن المقطوعان من المحور 𞸑 هما 𞸖١، 𞸖٢:
    • إذا كان 𞸌=𞸌١٢، 𞸖𞸖١٢، فإن الخطين المستقيمين يكونان مختلفين ومتوازيين. هذا يعني أن الخطين المستقيمين لا يلتقيان أبدًا، ويصنعان الزاوية نفسها مع المحور الأفقي.
    • إذا كان 𞸌=𞸌١٢، 𞸖=𞸖١٢، فإن الخطين المستقيمين منطبقان (أو متطابقان).
    • إذا كان 𞸌𞸌=١١٢، فإن الخطين المستقيمين متعامدان.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.