في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم معادلة كمية الحركة: ، لحساب كمية حركة الأجسام وحساب التغيُّر في كمية حركة جسمٍ ما.
كمية حركة جسمٍ ما تساوي حاصل ضرب كتلة الجسم وسرعته المتجهة. يمكن التعبير عن هذه العلاقة بالمعادلة: حيث كمية الحركة، و الكتلة، و السرعة المتجهة.
وإذا كانت كتلة الجسم مقيسة بوحدة كيلوجرام، وسرعته المتجهة بوحدة متر لكل ثانية؛ فإن كمية الحركة تُقَاس بوحدة كيلوجرام ⋅ متر لكل ثانية (kg⋅m/s).
تُعدُّ كمية الحركة كمية مفيدة عند تحديد مقادير القوى المؤثِّرة على الأجسام، والفترات الزمنية التي تؤثِّر خلالها هذه القوى. لن يشمل هذا الشارح استخدامات كمية الحركة هذه، لكنه سيتناول فقط كيفية تحديد كمية حركة جسمٍ ما، أو كمية الحركة الكلية لعدَّة أجسام.
لنتناول مثالًا على تحديد كمية حركة جسمٍ ما.
مثال ١: تحديد كمية حركة جسمٍ ما
ما كمية حركة جسمٍ كتلته 2 kg، ويتحرَّك بسرعة متجهة ثابتة مقدارها 3 m/s؟
الحل
كمية حركة جسمٍ ما هي حاصل ضرب كتلة الجسم وسرعته المتجهة. يمكن التعبير عن هذه العلاقة بالمعادلة: حيث كمية الحركة، و الكتلة، و السرعة المتجهة.
وبهذا، نحصل على كمية حركة الجسم كالآتي:
السرعة المتجهة كمية متجهة؛ لذا فإن لها اتجاهًا ومقدارًا. وبما أن كمية الحركة تساوي حاصل ضرب الكتلة والسرعة المتجهة، فهي كمية متجهة أيضًا؛ أي إن لها اتجاهًا أيضًا.
في المثال السابق، لم يكن اتجاه السرعة المتجهة معلومًا؛ ومن ثَمَّ يمكننا القول إن كمية الحركة لها اتجاه سرعة الجسم نفسه. لا يؤثِّر اتجاه سرعة الجسم على مقدار كمية حركة الجسم، ولهذا لم يُذكَر اتجاه السرعة في معطيات السؤال.
بالنسبة لأيِّ جسمٍ منفرد، يمكن تحديد اتجاه كمية حركته بأنه في اتجاه سرعة الجسم نفسه.
لنتناول مثالًا آخَر على تحديد كمية حركة جسمٍ ما.
مثال ٢: تحديد كمية حركة جسمٍ ما
قطة كتلتها 3 kg. تتحرَّك القطة 4 m في خطٍّ مستقيم في زمن مقداره 2 s. ما كمية حركة القطة؟
الحل
تساوي كمية حركة جسمٍ ما حاصل ضرب كتلة الجسم وسرعته المتجهة. تُحسَب كمية حركة القطة، ، من خلال المعادلة: حيث كتلة القطة، وتساوي 3 kg، و السرعة المتجهة للقطة، وهي غير معلومة.
يمكن تحديد السرعة المتجهة للقطة من خلال معرفة أن القطة تقطع مسافة 4 أمتار في خطٍّ مستقيم خلال زمن قدره ثانيتان. ومن ثَمَّ، فإن مقدار سرعة القطة يُعطَى من خلال:
من الممكن أن تكون سرعة القطة المتجهة التي تبلغ 2 m/s ثابتة، ولكن من المنطقي أن نفترض أن سرعة القطة قد تغيَّرت على طول المسافة التي قطعتها، 4 أمتار، وأن 2 m/s هي مجرَّد السرعة المتوسطة للقطة. لا توجد طريقة لتحديد قيمة سرعة القطة، ما عدا السرعة المتوسطة؛ لذا سنفترض أن سرعة القطة هي السرعة المتوسطة.
بمعلومية السرعة المتوسطة للقطة، يمكننا إيجاد كمية الحركة المتوسطة للقطة.
نعلم أن مقدار كمية الحركة المتوسطة للقطة يساوي: وأن كمية الحركة المتوسطة تكون في نفس اتجاه السرعة المتجهة؛ على طول المسار المستقيم الذي قطعته القطة.
لم يحدِّد السؤال أنه علينا إيجاد متوسط قيمة كمية الحركة، ولكنَّ قيمة كمية الحركة الوحيدة التي يمكن تحديدها هي كمية الحركة المتوسطة. ومن ثَمَّ، فمن المنطقي أن نفترض أن كمية الحركة المتوسطة للقطة تساوي كمية حركتها.
حتى الآن، عرَّفنا كمية حركة جسمٍ ما بأنها تكون في اتجاه سرعة الجسم المتجهة، وتناولنا الأجسام التي لها سرعة ثابتة فقط. يمكن أن تتغيَّر السرعة المتجهة لجسمٍ ما، وينتج عن هذا التغيُّر في سرعة الجسم المتجهة تغيُّر في كمية حركته.
لنتناول مثالًا يتضمَّن تغيُّرًا في كمية حركة جسمٍ ما.
مثال ٣: تحديد التغيُّر في كمية حركة جسمٍ ما
ينزلق طفل كتلته 30 kg لأسفل زحلوقة. تبلغ سرعة الطفل 0.65 m/s بالقرب من الجزء العلوي للزحلوقة، في حين تبلغ سرعته 1.35 m/s بالقرب من الجزء السفلي للزحلوقة. ما مقدار تغيُّر كمية حركة الطفل بين هذين الموضعين؟
الحل
كمية حركة الجسم تساوي حاصل ضرب كتلة الجسم وسرعته المتجهة. يمكن التعبير عن هذه العلاقة بالمعادلة:
كتلة الطفل ثابتة وتساوي 30 kg، ولكنَّ سرعته المتجهة تتغيَّر. إذن، يمكننا التعبير عن التغيُّر في كمية حركة الطفل كالآتي:
التغيُّر في مقدار السرعة المتجهة للطفل يساوي سرعته المتجهة النهائية ناقص سرعته المتجهة الابتدائية. يمكننا التعبير عن ذلك كالآتي:
يمكننا التعويض بقيمة في المعادلة: وهو ما يعطينا: وهو التغيُّر في مقدار كمية حركة الطفل. اتجاه كمية حركة الطفل قبل التغيُّر وبعده هو نفسه اتجاه السرعة المتجهة للطفل: لأسفل على طول الزحلوقة.
وبما أن السرعة المتجهة كمية متجهة، فإن التغيُّر في سرعة الجسم المتجهة، عندما يغيِّر اتجاهه، يتطلَّب تطبيق قواعد جمع المتجهات.
بالنسبة للحركة على طول خطٍّ مستقيم، فإن السرعة المتجهة في أحد الاتجاهين تُعرَّف بأنها موجبة، والحركة في الاتجاه المعاكس تُعرَّف بأنها سالبة.
لنفترض إذن أن جسمًا كتلته 10 kg يتحرَّك من اليسار إلى اليمين بسرعة 2 m/s. يغيِّر الجسم اتجاهه بعد ذلك ليتحرَّك من اليمين إلى اليسار بسرعة 1 m/s.
يمكننا القول إن السرعة المتجهة موجبة عندما يتحرَّك الجسم من اليسار إلى اليمين. يعني هذا أنه إذا تحرَّك الجسم من اليسار إلى اليمين، فإن كمية حركة الجسم تُعطى من خلال:
وعندما يتحرَّك الجسم من اليمين إلى اليسار، تصبح سرعة الجسم المتجهة سالبة؛ ومن ثَمَّ فإن كمية حركة الجسم تُعطى من خلال:
يساوي التغيُّر في كمية حركة الجسم كميةَ حركة الجسم النهائية ناقص كميةِ حركة الجسم الابتدائية. يمكن التعبير عن ذلك كالآتي:
ويكون التغيُّر في كمية الحركة سالبًا إذا كان التغيُّر في الاتجاه المعاكس للاتجاه الموجب للسرعة المتجهة.
لنتناول مثالًا على التغيُّر في كمية حركة جسمٍ يعكس اتجاهه.
مثال ٤: تحديد مقدار التغيُّر في كمية حركة جسمٍ يعكس اتجاهه
كرة تنس كتلتها 60 g رُميَت على حائط، فاصطدمت به عندما كانت سرعتها 15 m/s. ارتدَّت الكرة عن الحائط بسرعة 10 m/s. ما مقدار تغيُّر كمية الحركة الكلية للكرة نتيجة التصادم؟
الحل
كمية حركة جسمٍ ما تساوي حاصل ضرب كتلة الجسم وسرعته المتجهة. يمكن التعبير عن هذه العلاقة بالمعادلة:
كتلة الكرة ثابتة، وتساوي 60 جرامًا، ولكنَّ سرعتها المتجهة تتغيَّر.
وحدة كمية الحركة الأساسية في النظام الدولي للوحدات هي: كيلوجرام ⋅ متر لكل ثانية ((kg⋅m/s؛ لذا علينا تحويل كتلة الكرة إلى كتلة بوحدة كيلوجرام. إذن، كتلة الكرة تساوي 0.060 kg.
إذن، يمكننا التعبير عن مقدار التغيُّر في كمية حركة الكرة كالآتي:
التغيُّر في مقدار سرعة الكرة يساوي سرعتَها المتجهة النهائية ناقص سرعتِها المتجهة الابتدائية.
قبل الارتداد، يمكننا القول إن اتجاه سرعة الكرة موجب. يعني هذا أن السرعة المتجهة الابتدائية تساوي 15 m/s.
وبعد الارتداد، يصبح اتجاه سرعة الكرة المتجهة سالبًا؛ أي إن سرعتها تساوي m/s.
يمكننا التعبير عن التغيُّر في سرعة الكرة المتجهة كالآتي:
يمكننا التعويض بقيمة في المعادلة: وهو ما يعطينا: وهو التغيُّر في كمية حركة الكرة في اتجاه السرعة المتجهة الابتدائية للكرة.
يطلب منَّا السؤال إيجاد مقدار التغيُّر في كمية حركة الكرة. يساوي المقدار القيمة الموجبة للتغيُّر في كمية الحركة؛ لذا فإن مقدار التغيُّر في كمية حركة الكرة يساوي 1.5 kg⋅m/s.
حتى الآن، لم نناقش سوى كمية الحركة والتغيُّر في كمية الحركة لجسمٍ واحد. لكن في حالة وجود عدَّة أجسام، فإن كمية الحركة الكلية لهذه الأجسام تساوي مجموع كميات حركتها.
لنفترض أننا نتناول كمية الحركة الكلية لجسمين يتحرَّكان في الاتجاه نفسه، ولنفترض أنه الاتجاه الموجب. كمية حركة أحد هذين الجسمين هي 55 kg⋅m/s، وكمية حركة الجسم الآخَر هي 20 kg⋅m/s. تُعطَى كمية الحركة الكلية لهذين الجسمين من خلال:
لنفترض، بدلًا من ذلك، أن الجسمين يتحرَّكان في الاتجاه السالب. إذن، تُعطى كمية الحركة الكلية لهذين الجسمين من خلال:
نستنتج من ذلك أنه إذا تحرَّك الجسمان في الاتجاه نفسه، فإن مقدار كمية الحركة الكلية يساوي مجموع مقدارَي كميتَي حركة الجسمين.
والآن، لنفترض أن الجسم الذي له كمية الحركة الأقل يتحرَّك في الاتجاه السالب. إذن، تُعطَى كمية الحركة الكلية لهذين الجسمين من خلال:
وأخيرًا، لنفترض أن الجسم الذي له كمية الحركة الأكبر يتحرَّك في الاتجاه السالب. إذن، تُعطَى كمية الحركة الكلية لهذين الجسمين من خلال:
نستنتج من ذلك أنه إذا تحرَّك الجسمان في اتجاهين متعاكسين، فإن مقدار كمية الحركة الكلية يساوي الفرق بين مقدارَي كميتَي حركة الجسمين.
لنتناول مثالًا على تحديد كمية الحركة الكلية لعدَّة أجسام.
مثال ٥: تحديد كمية حركة نظام مكوَّن من عدَّة أجسام
اصطدمت سيارة كتلتها 400 kg تتحرَّك بسرعة ثابتة مقدارها 25 m/s بشاحنة صغيرة تتحرَّك في الاتجاه المعاكس بسرعة ثابتة مقدارها 10 m/s. كتلة الشاحنة 700 kg. ما كمية الحركة الكلية للسيارة والشاحنة؟ افترض أن اتجاه حركة السيارة موجب.
الحل
تساوي كمية حركة الجسم حاصل ضرب كتلة الجسم وسرعته المتجهة. ويمكن التعبير عن هذه العلاقة بالمعادلة:
تتحرَّك السيارة في الاتجاه الموجب؛ ومن ثَمَّ فإن كمية حركتها تساوي:
تتحرَّك الشاحنة في الاتجاه السالب؛ ومن ثَمَّ فإن كمية حركتها تساوي:
نحصل على كمية الحركة الكلية عن طريق جمع كميتَي حركة السيارة والشاحنة، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:
يمثِّل السهم الأسود كمية الحركة الكلية، .
ونجد أن:
تتحرَّك السيارة والشاحنة في اتجاهين متعاكسين؛ ومن ثَمَّ فإن مقدار كمية الحركة الكلية لهما يساوي الفرق بين مقدارَي كميتَي حركتهما. للسيارة كمية حركة موجبة، ومقدارها أكبر من مقدار كمية الحركة السالبة للشاحنة؛ ومن ثَمَّ فإن كمية الحركة الكلية موجبة.
لنلخِّص الآن ما تعلَّمناه من هذه الأمثلة.
النقاط الرئيسية
- كمية حركة جسمٍ ما تساوي حاصل ضرب كتلة الجسم وسرعته المتجهة. يمكن التعبير عن هذه العلاقة بالمعادلة: حيث كمية الحركة، و الكتلة، و السرعة المتجهة.
- التغيُّر في كمية حركة جسمٍ له كتلة ثابتة يساوي حاصل ضرب كتلته في مقدار التغيُّر في سرعته المتجهة. يمكن التعبير عن هذه العلاقة بالمعادلة: حيث التغيُّر في كمية الحركة، و الكتلة، و التغيُّر في السرعة المتجهة.
- كمية الحركة هي كمية متجهة؛ ومن ثم، يمكن أن تكون قيمتها موجبة أو سالبة بناءً على اتجاه السرعة في خطٍّ مستقيم.
- كمية الحركة الكلية لعدَّة أجسام تساوي مجموع كميات حركتها.
