في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم خواصَّ الجمع والضرب على المتجهات.
نبدأ بتذكُّر أن المتجه كمية لها معيار واتجاه. يُمكن تمثيل المتجه في فضاء مناسب بقطعة مستقيمة موجهة ذات طول محدَّد. هذا يعني أنه يُمكننا التفكير في المتجهات باعتبارها حركة محدَّدة، تمثِّل انتقالًا في اتجاه معيَّن لمسافة محدَّدة.
تُتيح لنا هذه الفكرة جمع متجهين معًا، إذا كان بإمكاننا اعتبار المتجهين حركة في اتجاه معيَّن لمسافة محدَّدة، فإن مجموعهما يُمكن اعتباره تركيب حركتين مدمجتين معًا.
يُمكننا اختيار فضاء لتمثيل المعيار والاتجاه بدلالة التغيُّر الأفقي والرأسي في بُعْدين. في هذا الفضاء، يكون المتجه له مركِّبة أفقية، وهي ، ومركِّبة رأسية، وهي . يُمكننا التفكير في الأمر باعتباره إزاحة بمقدار من الوحدات أفقيًّا وإزاحة بمقدار من الوحدات رأسيًّا.
هذا يعني أنه يُمكننا جمع متجهين معًا من خلال مركِّباتهما. بيانيًّا، مجموع المتجهين ، يمثِّل الإزاحة المجمَّعة. ومن ثَمَّ، يُمكننا رسم نقطة نهاية المتجه الأول باعتبارها نقطة البداية للمتجه الثاني. حينئذٍ، يتضمَّن مجموع المتجهين نقطة البداية للمتجه الأول ونقطة النهاية للمتجه الثاني، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
وبما أن المتجه يمثِّل إزاحة كلٍّ من ، ، فإن مركِّبته الأفقية تساوي مجموع المركِّبتين الأفقيتين للمتجهين ، ، ومركِّبته الرأسية تساوي مجموع المركِّبتين الرأسيتين للمتجهين ، . وهذا يُعطينا ما يأتي.
نظرية: جمع متجهين في بُعْدين
لأيِّ متجهين في بُعْدين ، ، فإن:
وبما أن مجموع أيِّ متجهين في بُعْدين يساوي أيضًا متجهًا ثنائي الأبعاد، فإنه يُمكننا القول إن عملية جمع متجهين في بُعْدين مُغلَقة. يُشار إلى هذا أحيانًا بخاصية الانغلاق لجمع المتجهات.
يُمكننا توسيع نطاق هذه الفكرة إلى أكثر من بُعدين، لكننا سنتناول في هذا الشارح المتجهات في بُعْدين فقط.
ويُمكننا أيضًا تعريف ضرب المتجه في عدد ثابت على صورة ضرب مركِّبتيه في كمية قياسية. بيانيًّا، يمثِّل ضرب أيِّ متجه في كمية قياسية تمدُّدًا للمتجه بمعامل .
نظرية: ضرب المتجهات في بُعْدين في عدد ثابت
لأيِّ متجه ، وكمية قياسية ، فإن:
دعونا نتناول مثالًا على كيفية استخدام هذه التعريفات للإجابة عن سؤال يتضمَّن إحدى خواص جمع المتجهات.
مثال ١: خاصية الإبدال في جمع المتجهات
أكمل ما يلي: .
الحل
سنبدأ بتبسيط الطرف الأيمن من المعادلة. لإيجاد مجموع أيِّ متجهين، نتذكَّر أن ، .
إذن:
في هذه الحالة، ، ؛ ومن ثَمَّ:
هذا يساوي الطرف الأيسر من المعادلة المُعطاة؛ لذا سنطلق على المتجه الناقص .
يُمكننا بعد ذلك تبسيط الطرف الأيسر من المعادلة المُعطاة:
بجعل هذا يساوي الطرف الأيسر من المعادلة، فإننا نحصل على:
لكي يكون المتجهان متساويين، لا بدَّ أن تكون مركِّبتاهما المتناظِرتان متساويتين. بمساواة المركِّبتين المتناظِرتين، فإننا نحصل على المعادلتين:
يُمكننا حلُّ هاتين المعادلتين، لنجد أن ، ، إذن المتجه الناقص هو:
هناك طريقة أخرى لتوضيح ذلك. نبدأ بجمع المتجهين في الطرف الأيمن من المعادلة:
بعد ذلك، نستخدم خاصية الإبدال لعملية الجمع:
وأخيرًا، يُمكننا استخدام عملية جمع المتجهات:
ومن ثَمَّ، المتجه الناقص هو .
يُمكن تعميم الطريقة الثانية المُستخدَمة في حلِّ السؤال السابق على أيِّ متجهين:
بعبارة أخرى: لأيِّ متجهين في بُعْدين ، ،
يُعرَف ذلك باسم خاصية الإبدال لجمع المتجهات. يَعرِض الشكل الآتي تفسيرًا بيانيًّا لهذه الخاصية.
إذا كان ، متجهين غير صفريين، فإنه يُمكننا رسم هذين المتجهين باعتبارهما يُمثِّلان أضلاعًا لمتوازي الأضلاع. بعد ذلك، يُمكن تمثيل متجه قطر متوازي الأضلاع باعتباره يساوي كلًّا من ، ؛ أيْ أن هذين التعبيرين متساويان.
علينا التعامل مع الحالة التي يكون فيها أحد المتجهين، أو كلاهما، متجهًا صفريًا. إذا كان ، فإنه يُمكننا توضيح أن:
ومن ثَمَّ:
يُطلق على هذا اسم خاصية المحايد الجمعي؛ حيث إن جمع المتجه الصفري لا يُغيِّر المتجه.
يُمكننا أيضًا توضيح الخواص التي تتضمَّن الضرب في كمية قياسية. على سبيل المثال، لأيِّ متجه :
إذن:
يُطلَق على هذا اسم خاصية المحايد الضربي؛ حيث إن ضرب متجه في الكمية القياسية ١ لا يؤثِّر على معياره أو اتجاهه.
هناك العديد من خواص جمع المتجهات في بُعْدين وضربها في عدد ثابت. لن نثبتها جميعها، ولكن يُمكن استنتاجها من خلال مركِّبات المتجهات.
نظرية: خواص جمع المتجهات في بُعْدين وضربها في عدد ثابت
لأيِّ متجهات ، ، وكميتين قياسيتين ، ، فإننا نراعي ما يأتي.
- خواص جمع المتجهات:
- خواص ضرب المتجهات في كمية قياسية:
تنطبق هذه الخواص جميعها على المتجهات في أكثر من بُعدين، ويُمكن إثباتها جبريًّا. دعونا نتناول الآن مثالًا يوضِّح كيفية استخدام هذه الخواص لإيجاد قيمة تعبير يحتوي على متجهات.
مثال ٢: تبسيط تعبير يحتوي على متجهات باستخدام خواص العمليات على المتجهات
إذا كان ، ، فأوجد .
الحل
يُمكننا الإجابة عن هذا السؤال مباشرةً باستخدام خواص جمع المتجهات. أولًا، سنستخدم خاصية الإبدال لجمع المتجهات لإعادة ترتيب التعبير. وهي تنصُّ على أنه لأيِّ متجهين ، :
بتطبيق ذلك على التعبير لدينا، نحصل على:
بعد ذلك، سنستخدم خاصية المعكوس الجمعي لعملية جمع المتجهات لتبسيط التعبير. هذا يوضِّح لنا أنه لأيِّ متجه :
بتطبيق ذلك على التعبير مع خاصية الدمج لجمع المتجهات، نحصل على:
وأخيرًا، سنستخدم خاصية المحايد الجمعي التي تنصُّ على أنه لأيِّ متجه :
ومن ثَمَّ:
هناك طريقة ثانية، وهي استخدام مركِّبتي المتجهين ، :
نوزِّع إشارة السالب على المتجه بضرب مركِّبتيه في :
والآن، نُوجِد مجموع المتجهات بجمع مركِّباتها المتناظِرة معًا:
في المثال الآتي، سنرى توضيحًا لكيفية تطبيق خاصية الدمج لجمع المتجهات. يُمكن تعميم طريقة جمع هذه المتجهات معًا بإيجاد مجموع مركِّباتها المتناظِرة لتوضيح أن خاصية الدمج تنطبق على أيِّ متجهات.
مثال ٣: التحقُّق من خاصية الدمج لجمع المتجهات في بُعْدين
اعتبر أن ، ، .
- أوجد .
- أوجد .
- هل يساوي ؟
الحل
الجزء ١
لإيجاد مجموع هذه المتجهات، نجمع المركِّبات المتناظِرة:
بإيجاد قيمة التعبير داخل القوس، نحصل على:
وبجمع المركِّبتين المتناظِرتين لهذين المتجهين، نحصل على:
الجزء ٢
نبدأ بجمع المركبات:
بإيجاد قيمة التعبير داخل القوس، نحصل على:
وبجمع المركِّبتين المتناظِرتين لهذين المتجهين، نحصل على:
الجزء ٣
لقد أوضحنا أن هذين التعبيرين يُمكن تبسيطهما للحصول على المتجه نفسه؛ وهو . هذا مثال على خاصية الدمج لجمع المتجهات. يُمكننا استخدام هذا المثال لتعميم هذه الخاصية.
لنفترض أن ، ، .
إذن:
يُمكننا بعد ذلك استخدام خاصية الدمج لعملية الجمع لإعادة كتابة هذا المتجه:
ومن ثَمَّ، لأيِّ متجهات في بُعْدين ، ، :
في المثال الآتي، سنَصِف خاصية الضرب في كمية قياسية، ونثبت أن هذه الخاصية تنطبق على أيِّ متجهين وأيِّ قيمة قياسية اختيارية.
مثال ٤: وصْف خاصية الضرب في عدد ثابت
ما الخاصية التي توضِّح أن ؟
الحل
يُطلَق على هذه الخاصية خاصية التوزيع للضرب في كمية قياسية على عملية جمع المتجهات. وتنصُّ على أنه لأيِّ متجهين ، ، وكمية قياسية :
يُمكننا إثبات ذلك من خلال مركِّبتي المتجهين ، :
إذن، لضرب المتجه في الكمية القياسية ، فإننا نضرب كلَّ مركِّبة في لنحصل على:
بعد ذلك، نحن نعلم أن الضرب يتميَّز بخاصية التوزيع على عملية الجمع:
وأخيرًا، يُمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:
تُعرَف هذه الخاصية بخاصية التوزيع للضرب في كمية قياسية على عملية جمع كميات قياسية.
في المثال الآتي، سنستخدم خواص المتجهات لمساعدتنا في إيجاد متجه ناقص من معادلة متجهة.
مثال ٥: التحقُّق من خاصية التوزيع للضرب في عدد ثابت على عملية جمع المتجهات
أكمل الآتي: .
الحل
نبدأ بتبسيط الطرف الأيمن من المعادلة. أولًا، نستفيد من حقيقة أن الضرب في كمية قياسية يتميَّز بخاصية التوزيع على عملية جمع المتجهات:
يُمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة الضرب في كمية قياسية:
بمساواة هذا بالطرف الأيمن للمعادلة، نحصل على:
يُمكننا بعد ذلك تبسيط هذه المعادلة باستخدام خاصية الحذف لعملية جمع المتجهات التي تنصُّ على أنه إذا كان ، فإن .
لتوضيح هذا، سنستخدم خاصية الإبدال لعملية جمع المتجهات لإعادة كتابة المعادلة على الصورة:
بعد ذلك، نحذف المتجه ، لنحصل على:
ومن ثَمَّ، يكون المتجه الناقص هو .
في المثال الأخير، سنثبت خاصية المعكوس الجمعي لعملية جمع المتجهات.
مثال ٦: وصْف خاصية المعكوس الجمعي لعملية جمع المتجهات
ما خاصية الجمع التي توضِّح أن ؟
الحل
يُطلَق على هذه الخاصية خاصية المعكوس الجمعي لعملية جمع المتجهات. يُمكننا إثبات هذه الخاصية من خلال مركِّبتي المتجه . أولًا، نفترض أن .
إذن:
يُمكننا التعويض بهذا في التعبير لدينا وإيجاد قيمة:
تنصُّ خاصية المعكوس الجمعي لعملية جمع المتجهات على أنه لأيِّ متجه :
دعونا نختتم بتلخيص بعض النقاط المُهمة التي تناولناها في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- يُمكننا استخدام خواص جمع المتجهات وضربها في كمية قياسية لتبسيط التعبيرات التي تحتوي على متجهات.
- خواص جمع المتجهات:
- خواص ضرب المتجهات في كمية قياسية:
- يُمكننا إثبات أن هذه الخواص تنطبق على مركِّبات المتجهات.
- على الرغم من أننا تناولنا هذه الخواص للمتجهات في بُعْدين، فإن كلَّ هذه الخواص تشمل المتجهات في أكثر من بُعدين.
