شارح الدرس: دوائر التيار المتردِّد الفيزياء

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نحدد قيم الكميات الكهربية في الدوائر التي تعمل بمصادر جهد متردد.

يكون اتجاه التيار الاصطلاحي في دائرة كهربية من الطرف الموجب إلى الطرف السالب للبطارية، كما هو موضَّح في الشكل التالي.

وإذا عكسنا البطارية في هذه الدائرة الكهربية، فسوف ينعكس أيضًا اتجاه التيار، كما في الشكل التالي.

عندما يتدفَّق التيار في اتجاه واحد، نسميه التيار المستمر. وفي العديد من الأنظمة الكهربية، بما في ذلك الكهرباء المنزلية، لا نستخدم التيار المستمر، وإنما التيار المتردد.

يختلف التيار المتردد عن التيار المستمر، فهو يبدل اتجاهه باستمرار بدلًا من أن يتدفَّق في اتجاهٍ واحد. هيا نلقِ نظرة على التيار المستمر في دائرتين مختلفتين، في التمثيل البياني الآتي.

في كلتا الدائرتين، الممثَّلتين بالخطين الأزرق والأخضر، شدة التيار ليست ثابتة، لكنها تكون إما موجبة وإما سالبة طوال الوقت. وهذا يعني أن اتجاه التيار يظل ثابتًا.

أما التمثيل البياني نفسه لتيار متردد فيوضح أن شدة التيار تتأرجح بين الموجب والسالب، كما هو موضَّح أدناه.

يتولد التيار المتردِّد باستخدام مولدات التيار المتردد التي تتكون من لفات من سلك موصِّل تدور بسرعات ثابتة في مجالات مغناطيسية.

ويتكون مولد التيار المتردد عادةً من لفة من سلكٍ موصل تدور دورانًا حرًّا في اتجاه محور واحد. والمجال المغناطيسي المنتظم (𝐵) عمودي على السلك كما في الشكل التالي.

يستحث هذا الدوران عبر المجال المغناطيسي قوة دافعة كهربية في لفة السلك الواحدة. وتنتج هذه القوة الدافعة الكهربية تيارًا مترددًا، يبدأ في اتجاه من الاتجاهين، ثم يتبدل إلى الاتجاه الآخر مع دوران السلك. وإذا ظلت لفة السلك ثابتة، فلن تتولد قوة دافعة كهربية عبرها؛ فلا بد أن تتحرك اللفة لحدوث ذلك.

لإيجاد هذه القوة الدافعة الكهربية المستحثة، فلننظر أولًا إلى القوة الدافعة الكهربية المستحثة عبر سلك مستقيم طوله 𝐿 في مجال مغناطيسي منتظم. لاستحثاث القوة الدافعة الكهربية في هذا السلك، لا بد أن يتحرك السلك. ويوضح الشكل التالي سلكًا طوله 𝐿، موضَّحٌ بالخط الأزرق، يتحرك بسرعة 𝑣، موضَّحة بالخط الأصفر. ويتحرك السلك بزاوية 𝜃 في اتجاه مجال مغناطيسي منتظم شدته 𝐵، موضَّحٌ بالخطوط الخضراء.

المعادلة التي تصف القوة الدافعة الكهربية المستحثة، 𝜀، في هذا السلك هي: 𝜀=𝐵𝐿𝑣(𝜃),sinحيث 𝐵 شدة المجال المغناطيسي، 𝐿 طول السلك، 𝑣 السرعة المتجهة للسلك في حركته عبر المجال المغناطيسي، 𝜃 الزاوية التي تكونها السرعة المتجهة للسلك مع اتجاه المجال المغناطيسي.

لكن حركة السلك المستقيم بسرعة متجهة ثابتة ليست الطريقة التي تستحث بها مولدات التيار المتردد القوة الدافعة الكهربية. فهي تحتوي على لفات من سلكٍ موصَّل تدور بسرعة، ما يعني أننا لن نعبر عن الحركة بالسرعة المتجهة 𝑣، ولكن سنعبر عنها بالتردد الزاوي، 𝜔، الذي يُقاس بوحدة راديان لكل ثانية. والتحويل بين السرعة المتجهة 𝑣 والتردد الزاوي 𝜔 يتم بالمعادلة: 𝑣=𝜔𝑟, حيث 𝑟 هي المسافة من محور الدوران إلى السلك.

يوضح الشكل التالي سلكًا يدور في دائرة تبعد مسافة 𝑟 عن محور الدوران.

وهذا يجعل معادلة القوة الدافعة الكهربية المستحثة في سلك مستقيم دوار واحدٍ 𝜀=𝐵𝐿𝜔𝑟(𝜃),sinلكن الزاوية المحصورة بين السرعة المتجهة للسلك واتجاه المجال المغناطيسي تتغير الآن تغيرًا سريعًا مع دوران السلك.

وبسبب علاقة المعادلة بالزاوية 𝜃، تكون القوة الدافعة الكهربية المستحثة عند قيمتها العظمى عندما يكون السلك عموديًّا على اتجاه المجال المغناطيسي، وتكون عند قيمتها الصُغرى، التي تساوي صفرًا، عندما يكون السلك موازيًا لاتجاه المجال المغناطيسي. يوضح الشكل التالي سلكًا يدور بسرعة زاوية ثابتة عبر مجال مغناطيسي منتظم عند نقاط مختلفة.

عندما تُساوي الزاوية 𝜃 90 درجة أو 270 درجة (𝜋2 أو 3𝜋2 بوحدة الراديان)، تصل قيمة القوة الدافعة الكهربية المستحثة إلى قيمتها العظمى. وعندما تكون الزاوية صفرًا أو 180 درجة (صفرًا أو 𝜋 بوحدة الراديان)، تُساوي القوة الدافعة الكهربية المستحثة صفرًا.

وبالنظر إلى لفات السلك الموجودة في مولد التيار المتردد، سنجد أن سلكين فقط سيُسهمان في القوة الدافعة الكهربية المستحثة: السلك الأعلى والسلك الأسفل، فالأسلاك الجانبية في اللفة لن تستحث قوة دافعة كهربية، بغض النظر عن الزاوية. لاحظ موقع السلكين الأعلى والأسفل في اللفة في الشكل التالي الذي يُظهر دورة كاملة.

فهذا يعني أن اللفة تستحث ضعف القوة الدافعة الكهربية بالمقارنة بسلك مستقيم، لأن اللفة بها سلكان وليس سلكًا واحدًا. وينتج عن هذا ضرب معادلة القوة الدافعة الكهربية المستحثة في 2 عند استعمال ملف: 𝜀=2𝐵𝐿𝜔𝑟(𝜃),sin لكن هذا إن كانت بالملف لفة واحدة فقط. وحين تتعدد اللفات، نضرب المحصلة النهائية للقوة الدافعة الكهربية المستحثة في 𝑛، حيث 𝑛 عدد اللفات، لتصبح المعادلة: 𝜀=2𝑛𝐵𝐿𝜔𝑟(𝜃).sin

ويمكن تبسيط هذه المعادلة أكثر، بملاحظة أن مساحة اللفة المربعة 𝐴، تُساوي حاصل ضرب طولي ضلعيها. وبما أن محور الدوران يمر بمركز الأسلاك، فإن أحد الضلعين طوله 𝐿، والآخر طوله 2𝑟. وهذا يعني أن مساحة الملف 𝐴 تُساوي: 𝐴=2𝑟𝐿, ما يبسط المعادلة إلى: 𝜀=𝑛𝐴𝐵𝜔(𝜃).sin

ويمكن إجراء خطوة أخيرة لتبسيط هذه المعادلة أكثر، عن طريق الربط بين 𝜃 والتردد الزاوي. تدور لفة السلك بتردد زاوي ثابت 𝜔، يُقاس بوحدة راديان لكل ثانية. وقياس الزاوية 𝜃 يمكن إيجاده بضرب التردد الزاوي في الزمن المنقضي: 𝜃=𝜔𝑡, ويمكن التعويض به بعد ذلك ليحل محل 𝜃 في حد جيب الزاوية لإيجاد المعادلة النهائية.

تعريف: القوة الدافعة الكهربية المستحثة بفعل دوران ملفٍ موصل في مجال مغناطيسي منتظم

القوة الدافعة الكهربية المستحثة 𝜀 في دائرة كهربية بمجال مغناطيسي منتظم تُساوي: 𝜀=𝑛𝐴𝐵𝜔(𝜔𝑡),sin حيث 𝑛 عدد اللفات في الملف، 𝐴 مساحة الملف، 𝐵 شدة المجال المغناطيسي، 𝜔 التردد الزاوي، 𝑡 الزمن.

لنُلقِ نظرة على مثال نستخدم فيه هذه المعادلة.

مثال ١: القوة الدافعة الكهربية المستحثة في مولد للتيار المتردد

يحتوي مولِّد تيار متردِّد على 5 لفات مستطيلة الشكل من سلك موصِّل، طولا ضلعيه 15 cm، 25 cm، وتشكِّل نهايتاه طرفين. أضلاع اللفات المتساوية في الطول متوازية. تدور اللفات بمعدَّل 15 دورة لكل ثانية داخل مجال مغناطيسي شدته 620 mT. ما القيمة العظمى لفرق الجهد بين الطرفين؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

لنتذكر معادلة القوة الدافعة الكهربية المستحثة الناتجة عن دوران ملف موصل: 𝜀=𝑛𝐴𝐵𝜔(𝜔𝑡).sin

نريد إيجاد القيمة العظمة لفرق الجهد، حيث تكون القوة الدافعة الكهربية المستحثَّة عند قيمتها العظمى. تتحقق تلك القيمة العظمى عند sin(𝜔𝑡)=1؛ لذا يمكننا التعويض عن الحد كله بواحد في معادلة القوة الدافعة الكهربية: 𝜀=𝑛𝐴𝐵𝜔(1)𝜀=𝑛𝐴𝐵𝜔.

الآن، علينا إيجاد القيم الأخرى. عدد اللفات 𝑛 مُعطًى، ويساوي خمسة، وكذلك شدة المجال المغناطيسي، وتُساوي 620 mT، لكننا نريده بوحدة التسلا.

يوجد 1‎ ‎000 مللي تسلا في التسلا الواحد: 11000,TmT ويمكننا تحويل 620 mT إلى تسلا بالضرب في هذه العلاقة: 11000×620=0.62.TmTmTT

ومن ثَمَّ، فإن قيمة 𝐵 تُساوي 0.62 T.

بعد ذلك، علينا حساب مساحة اللفات: 𝐴. ونعلم من المعطيات أن اللفات مستطيلة الشكل، وطولا ضلعي كلٍّ منها 15 cm، 25 cm، وأن أضلاع اللفات المتساوية في الطول متوازية. وهذا يعني أن الحلقة تبدو كما يلي.

قبل المتابعة، دعونا نحول أطوال الأضلاع هذه إلى وحدة المتر من وحدة السنتيمتر. يوجد 100 سنتيمتر في المتر الواحد: 1100,mcm إذن لكي نحصل على الطول بوحدة المتر سنضرب في هذه العلاقة: 1100×15=0.15,1100×25=0.25.mcmcmmmcmcmm

بالـمتر، 15 cm يُساوي 0.15 m، 25 cm يُساوي 0.25 m.

ومساحة المستطيل هي حاصل ضرب ضلعيه غير المتوازيين. لذا نضرب طولي الضلعين معًا لنحصل على المساحة: 𝐴=0.15×0.25𝐴=0.0375.mmm

إذن مساحة هذا المستطيل تُساوي 0.0375 m2.

وأخيرًا، علينا إيجاد التردد الزاوي: 𝜔. ولابد أن يُقاس التردد الزاوي بوحدة راديان لكل ثانية؛ لذا ستحول القيمة المُعطاة بوحدة دورة لكل ثانية.

اللفة الكاملة، التي يدور فيها الملف دائرة كاملة، تُساوي: 2𝜋. إذن، لكي نحول التردد الزاوي إلى وحدة الراديان، علينا ضرب دورة لكل ثانية في 2𝜋: 𝜔=15×2𝜋𝜔=30𝜋.ss

إذن، 𝜔 يُساوي 30𝜋 لكل ثانية. لدينا الآن كل الحدود التي نحتاجها لإكمال المعادلة: 𝜀=𝑛𝐴𝐵𝜔.

يمكننا الآن التعويض بالقيم. 𝑛 يُساوي خمس لفات، 𝐴 يُساوي 0.0375 m2، 𝐵 يُساوي 0.62 T، 𝜔 يُساوي: 30𝜋: 𝜀=(5)0.0375(0.62)30𝜋.mTs

يمكننا أيضًا فك وحدة التسلا. التسلا الواحد يُساوي: فولت واحد · ثانية لكل متر مربع: TVsm=×, وباستخدام ذلك في المعادلة، نحصل على: 𝜀=(5)0.03570.62×30𝜋.mVsms

وبضرب التردد الزاوي وشدة المجال المغناطيسي معًا تُحذف وحدة الثانية: 𝜀=(5)0.035718.6𝜋,mVmوضرب الحدود الثلاثة الأخيرة معًا يحذف وحدة المتر المربع، لتتبقى فقط وحدة الفولت: (5)0.035718.6𝜋=10.956.mVmV

مقربًا لأقرب منزلتين عشريتين، القيمة العظمى لفرق الجهد بين الطرفين تُساوي 10.96 فولت.

يوضح التمثيل البياني التالي التغير في القوة الدافعة الكهربية المستحثة بمرور الزمن.

نلاحظ أن القيمة تكون موجبة أو سالب عند نقاط مختلفة في الزمن، والقيمتان العظمى والصغرى هما: 𝑛𝐴𝐵𝜔.

ومع استمرار التمثيل البياني إلى ما لا نهاية، تلغي الأجزاء الموجبة الأجزاء السالبة بالكامل. وهذا يعني أن متوسط القوة الدافعة الكهربية سيساوي ببساطة صفرًا: 𝜀=0.avg

لكن هذا لا يخبرنا شيئًا عن الدائرة الكهربية؛ لأن متوسط القوة الدافعة الكهربية في كل دائرة تيار متردد سيُساوي صفرًا، بغض النظر عن عدد اللفات أو المساحة أو شدة المجال المغناطيسي. يمكننا أن ننظر إلى الدائرة بدلًا من ذلك باستخدام جذر متوسط المربع. يمكننا إيجاد جذر متوسط المربع بتربيع كل عددٍ ممكن عند كل نقطة على التمثيل البياني، ثم إيجاد متوسط جميع هذه الأعداد، ثم أخذ الجذر التربيعي لها.

عند تربيع قيمة سالبة، تصبح موجبة؛ وبالتالي تكون جميع القيم المربعة موجبة. ويغير ذلك التمثيل البياني ليبدو كما في الشكل التالي.

بعد ذلك، نجمع كل هذه القيم ونقسم على عددها لإيجاد المتوسط: عادا.

ثم نحسب الجذر التربيعي للمتوسط: rms=.عادا

عند أخذ هذا الجذر التربيعي لأي تمثيل بياني جيبي، دائمًا ما تكون القيمة النهائية لجذر متوسط المربع 12 القيمة العظمى: راااا=12×.

وجذر متوسط مربع القوة الدافعة الكهربية يُساوي 12 مضروبًا في أقصى قيمة ممكنة للقوة الدافعة الكهربية، وتُسمى القيمة العظمى للقوة الدافعة الكهربية. وهذا يعني أن جذر متوسط مربع القوة الدافعة الكهربية لتيار متردد يُساوي: 𝜀=12𝜀.rmspeak

لنُلقِ نظرة على مثال.

مثال ٢: قيمة جذر متوسط مربع القوة الدافعة الكهربية في مولد تيار متردد

يحتوي مولِّد تيار مُتردِّد على 50 لفة مستطيلة الشكل من سلك موصِّل، ويبلغ طولا ضلعَي المولِّد 55 cm، 35 cm، وتُشكِّل نهايتاه طرفَيْن. أضلاع اللفات المتساوية في الطول متوازية. تدور اللفات بمُعدَّل 18 دورة لكل ثانية داخل مجال مغناطيسي منتظم شدته 360 mT. ما قيمة جذر مُتوسِّط مربع فرق الجهد بين الطرفين؟ قرِّب إجابتك لأقرب فولت.

الحل

لنتذكر معادلة القوة الدافعة الكهربية المستحثة الناتجة عن دوران ملف موصل: 𝜀=𝑛𝐴𝐵𝜔(𝜔𝑡).sin

لإيجاد جذر متوسط مربع فرق الجهد، علينا أولًا إيجاد القيمة العظمى لفرق الجهد؛ حيث تكون قيمة القوة الدافعة الكهربية أقصى ما يمكن. وتتحقق هذه القيمة العظمى عند sin(𝜔𝑡)=1؛ لذا يمكننا التعويض عن الحد كله بواحد في معادلة القوة الدافعة الكهربية: 𝜀=𝑛𝐴𝐵𝜔(1)𝜀=𝑛𝐴𝐵𝜔.

الآن علينا إيجاد الحدود الأخرى. هيا نحول المجال المغناطيسي الذي يُساوي: 360 mT إلى وحدة التسلا. يوجد 1‎ ‎000 مللي تسلا في التسلا الواحد: 11000,TmT ونضرب 360 mT في هذه العلاقة لنحصل على الإجابة بوحدة التسلا: 11000×360=0.36.TmTmTT

إذن قيمة 𝐵 تُساوي 0.36 T.

بعد ذلك، علينا حساب مساحة اللفات، 𝐴. نعلم من المعطيات أن هذه اللفات مستطيلة الشكل، وطولا ضلعي كل منها 55 cm، 35 cm. هيا نحول إذن طولي الضلعين إلى وحدة المتر من وحدة السنتيمتر. يوجد 100 سنتيمتر في المتر الواحد: 1100,mcm وبضرب طولي الضلعين في هذه العلاقة نحصل على: 1100×55=0.55,1100×35=0.35.mcmcmmmcmcmm

إذن 55 cm يُساوي: 0.55 m، 35 cm يُساوي: 0.35 m.

ومساحة اللفات المستطيلة تُساوي حاصل ضرب طولي الضلعين: 𝐴=0.55×35𝐴=0.1925,mmm إذن، مساحة هذا المستطيل تساوي 0.1925 m2.

الآن، علينا إيجاد التردد الزاوي، 𝜔، بوحدة راديان لكل ثانية. كل دورة تُساوي: 2𝜋: 𝜔=18×2𝜋𝜔=36𝜋.ss

التردد الزاوي 𝜔 يُساوي: 36𝜋 لكل ثانية. لدينا الآن كل الحدود التي نحتاج إليها لإتمام المعادلة: 𝜀=𝑛𝐴𝐵𝜔.

يمكننا الآن التعويض بالقيم. 𝑛 يُساوي 50 لفة، 𝐴 يُساوي 0.1925 m2، 𝐵 يُساوي 0.36 T، 𝜔 يُساوي 36𝜋s: 𝜀=(50)0.1925(0.36)36𝜋.mTs

هيا نفك وحدة العدد تسلا في المعادلة. التسلا الواحد يُساوي فولت واحد · ثانية لكل متر مربع: TVsmmVsms=×,𝜀=(50)0.19250.36×36𝜋.

بضرب شدة المجال المغناطيسي في التردد الزاوي، تُحذف وحدة الثانية: 𝜀=(50)0.192512.96𝜋,mVm وبضرب الحدود الثلاثة الأخيرة معًا، تُحذف وحدة المتر المربع، وتتبقى وحدة الفولت فقط: 𝜀=(50)0.192512.96𝜋=391.88.mVmV

إذن، القيمة العُظمى لفرق الجهد تُساوي: 391.88 V. ثم نأخذ هذه القيمة ونضربها في 12: 𝜀=12𝜀12(391.88)=277.1.rmspeakVV

بالتقريب لأقرب فولت، نجد أن جذر متوسط مربع فرق الجهد يُساوي: 277 فولت.

تنطبق علاقة 12 على أي جذر متوسط مربع مبني على دالة جيبية. وإذا كانت القوة الدافعة الكهربية جيبية، فبالتبعية ستكون شدة التيار جيبية أيضًا؛ ما يعني أنها ستتبع العلاقة نفسها مع جذر متوسط المربع.

ويمكن تمثيل التيار المتردِّد 𝐼 جيبيًّا. هذا يعني أن متوسط شدة التيار ستساوي صفرًا؛ لأن القيم الموجبة ستُلغي القيم السالبة عند كل نقطة. وهذا موضَّح في التمثيل البياني التالي.

يمكننا إيجاد جذر متوسط المربع باستخدام العلاقة 12 نفسها التي طبَّقناها في القوة الدافعة الكهربية، لأن كليهما جيبيتان: راااا=12×, وهو ما يعني أن جذر متوسط مربع شدة التيار 𝐼 يُساوي 12 القيمة العظمى لشدة التيار: 𝐼=12𝐼.rmspeak

لنُلقِ نظرة على بعض الأمثلة.

مثال ٣: جذر متوسط مربع شدة التيار

تيار مُتردِّد تبلغ القيمة العظمى لشدته 1.35 A. ما قيمة جذر مُتوسِّط مربع شدة التيار؟ قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

فلنتذكر معادلة إيجاد جذر متوسط مربع شدة التيار: 𝐼=12𝐼.rmspeak

والقيمة العُظمى لشدة التيار تُساوي 1.35 A. بالتعويض في المعادلة، نحصل على: 𝐼=12(1.35),rmsA وبضرب الحدود نحصل على: 12(1.35)=0.9546.AA

لأقرب ثلاث منازل عشرية، جذر متوسط مربع شدة التيار يُساوي: 0.955 أمبير.

مثال ٤: التمثيل البياني لجذر متوسط مربع شدة التيار

يمثِّل الخط الأحمر التغيُّر في القيمة اللحظية لشدة التيار المتردِّد الذي يحمله موصِّل. أيٌّ من الخطوط يمثِّل بشكل صحيح قيمة جذر متوسط مربع شدة التيار؟

  1. الخط الأسود.
  2. الخط الأخضر.
  3. الخط البنفسجي.
  4. الخط البرتقالي.
  5. الخط الأزرق.

الحل

الخط الذي يمثل قيمة جذر متوسط مربع شدة التيار تمثيلًا دقيقًا هو الأقرب إلى قيمة 12 من القمة. ويمثل الخط الأحمر التيار المتردد؛ لذا ستكون قممه عند القيمة العظمى.

لنكتب 12 في الصورة العشرية: 12=0.707.

إذن، جذر متوسط مربع شدة التيار يساوي القيمة العظمى لشدة التيار مضروبة في 0.707، أو 70% تقريبًا من القيمة العظمى.

نحن نبحث عن الخط المستقيم الذي يرتفع 70% تقريبًا من المسافة الكلية إلى أعلى في التمثيل البياني. الخط الأسود أعلى بالكاد من 50%؛ ما يعني أن الخطين أسفله، الأخضر والأصفر، لا يمكن أن يكونا ما نبحث عنه.

الخط البنفسجي قريب من 80%؛ ما يعني أن الخط الأفضل هو على الأرجح الخط الموجود أسفله مباشرة، أي الخط الأزرق، فهو الأقرب إلى 70%.

إذن الإجابة هي الخيار (هـ): الخط الأزرق.

ترتبط القدرة في الدائرة بشدة التيار عبر المعادلة: 𝑃=𝐼𝑅, حيث 𝑃 قدرة الدائرة، 𝐼 شدة التيار في الدائرة، 𝑅 مقاومة الدائرة.

بما أن هذه المعادلة تحتوي على شدة التيار 𝐼، وبما أن شدة التيار جيبية في دائرة التيار المتردد؛ إذن فالقدرة جيبية أيضًا. تصل القدرة إلى قيمتها العظمى في الدائرة عندما يصل 𝐼 إلى قيمته العظمى: 𝑃=𝐼𝑅,maxpeak لكن متوسط القدرة لا يُساوي صفرًا كما هو الحال في شدة التيار أو القوة الدافعة الكهربية. فالقدرة لا يمكن أن تكون سالبة؛ لأنه لا يمكن أن تكون الطاقة سالبة. إذن يبدو المتوسط فعليًّا هكذا: 𝑃=12𝐼𝑅.avgpeak

وللتعبير عن ذلك في صورة قيم جذر متوسط المربع، يمكننا إدخال 12 داخل مربع شدة التيار لنحصل على: 𝑃=12𝐼𝑅,avgpeak وبما أن 𝐼=12𝐼rmspeak، يمكننا التعويض بها في المعادلة: 𝑃=1221𝐼𝑅.avgrms

ثم نحذف الجذرين التربيعيَّين للعدد اثنين عند إجراء عملية الضرب، فيتبقى فقط 𝐼rms: 𝑃=(𝐼)𝑅.avgrms

لنُلقِ نظرة على مثال.

مثال ٥: تبدد الطاقة في التيار المتردِّد

تيار متردِّد قيمته العظمى تساوي: 1.75 A يمرُّ خلال مقاومة قيمتها 148 Ω. ما الطاقة المُبدَّدة نتيجة التيار في زمن قدره 365 s؟ اكتب إجابتك بوحدة الكيلو جول لأقرب منزلة عشرية.

الحل

تذكر أن المعادلة العامة للقدرة، 𝑃: 𝑃=𝑊Δ𝑡, حيث 𝑊 الشغل، Δ𝑡 التغير في الزمن.

لإيجاد الطاقة المبددة خلال فترة زمنية لتيار متردد، سنستخدم معادلة متوسط القدرة، 𝑃avg: 𝑃=𝑊Δ𝑡.avg

نريد إيجاد الشغل المبذول بالدائرة الكهربية لإيجاد طاقتها؛ لأن الشغل هو الطاقة التي تبددها الدائرة.

لعزل الشغل في المعادلة، سنضرب الطرفين في 𝛿𝑡: 𝑃×Δ𝑡=𝑊Δ𝑡×Δ𝑡,avg وسيُحذف بذلك حَدَّا Δ𝑡 في الطرف الأيمن، ويتبقى لدينا الشغل: Δ𝑡𝑃=𝑊.avg

التغير في الزمن، Δ𝑡 يُساوي 365 ثانية لكننا لا نعرف متوسط القدرة. لإيجادها، تذكر المعادلة التي تربط بين متوسط القدرة وجذر متوسط مربع شدة التيار والمقاومة: 𝑃=(𝐼)𝑅.avgrms

لدينا قيمة المقاومة في الدائرة، لكن لدينا فقط القيمة العظمى لشدة التيار، لا جذر متوسط مربع شدة التيار.

وجذر متوسط مربع شدة التيار يساوي القيمة العظمى مضروبة في 12: 𝐼=12𝐼,rmspeak والقيمة العظمى لشدة التيار مُعطاة وتُساوي: 1.75 A، إذن بالتعويض بها في المعادلة نحصل على: 121.75=1.237.AA

أصبح لدينا الآن جميع القيم التي يلزم التعويض بها في معادلة متوسط القدرة. جذر متوسط مربع شدة التيار يُساوي 1.237 A، والمقاومة تساوي 148 Ω: 𝑃=(𝐼)𝑅𝑃=(1.237)(148),avgrmsavgAΩ ووحدة أمبير مضروبة في وحدة أوم تصبح وات، وبذلك نجد أن متوسط القوة يُساوي: (1.237)(148)=226.625.AΩW

والآن، هيا نعوِّض بهذه القيم في معادلة الشغل. بالتعويض بقيم 226.625 وات لمتوسط القدرة، 365 ثانية للتغير في الزمن: Δ𝑡𝑃=𝑊(365)(226.625)=𝑊,avgsWوات مضروبة في ثانية تصبح جول وهي وحدة الطاقة في النظام الدولي للوحدات. وهذا يعطينا أن الطاقة المبددة في الدائرة تُساوي: (365)(226.625)=82718.sWJ

علينا الآن كتابة هذا الناتج بوحدة الكيلو جول. يوجد 1‎ ‎000 جول في الكيلو جول الواحد: 11000,kJJ إذن لتحويل 82‎ ‎718 جول إلى كيلو جول، علينا ضربها في هذه النسبة: 11000×82718;kJJJ وبذلك تُحذف وحدة الجول، فتبقى كيلو جول لنحصل على: =82.7.kJ

وهذا يجعل الطاقة المبددة في الدائرة خلال زمنٍ قدره: 365 ثانية نحو 82.7 كيلو جول.

والآن بعد أن عرفنا العلاقات بين قيم جذر متوسط مربع القوة الدافعة الكهربية وشدة التيار والقدرة، دعونا نُلقِ نظرة على الدوائر الحثية، ودائرة المكثف، ودائرة المقاومة.

دائرة المقاومة هي دائرة تحتوي على مقاومة، كما في الشكل التالي.

تتغير شدة التيار في هذه الدائرة بالتزامن تمامًا مع القوة الدافعة الكهربية، لأنهما متناسبتان، كما توضح هذه المعادلة: 𝑉=𝐼𝑅. ويوضح الشكل التالي التغير في فرق الجهد بمرور الزمن، ممثَّلًا بالخط الأصفر، مقارنة بالتغير في شدة التيار بمرور الزمن، ممثلًا باللون الأزرق.

ويمثل الرمز المُحتوي على موجة على يسار الدائرة مولد للتيار المتردد في الدائرة.

ويمكن أن تحتوي دائرة التيار المتردد أيضًا على مكثِّف، يمثله خطان قريبان أحدهما من الآخر في مخطط الدائرة. ومثل هذه الدائرة تسمى دائرة مكثف، وهي موضحة في الشكل التالي.

وتختلف العلاقة بين شدة التيار وفرق الجهد في دائرة المكثف مقارنة بدائرة المقاومة. فالشحنة لا يمكن أن تمر عبر المكثف. بدلًا من ذلك، تتراكم الشحنة على جانبي لوحي المكثف. والتيار الذي يسبب تراكم الشحنة هذا يتناسب طرديًّا مع التغير في فرق الجهد عبر اللوحين بمرور الزمن: 𝐼Δ𝜀Δ𝑡.

وهذا يعني أن شدة التيار ستبلغ أقصى قيمةً لها عندما يكون التغير في فرق الجهد عند أقصى قيمة له. والتغير في فرق الجهد يصل لأقصى قيمة له (ومن ثَمَّ يصل الخط إلى أقصى انحدار له) عندما يُساوي فرق الجهد نفسه صفرًا. أما عندما يكون فرق الجهد عند قيمته العظمى، فإن ميل الخط يساوي صفرًا، ومن ثم يكون التغيُّر في فرق الجهد صفرًا؛ ما يعني أن شدة التيار تُساوي صفرًا أيضًا؛ لأن فرق الجهد لا يتغير عند تلك النقطة. يوضح الشكل التالي العلاقة بين شدة التيار وفرق الجهد في دائرة مكثف يتدفق فيها تيار متردد.

كلما ازداد وتناقص فرق الجهد من مولد التيار المتردد، تغير بالمثل فرق الجهد عبر لوحي المكثِّف. ويتبدَّل فرق الجهد عبر هذين اللوحين تدريجيًّا مع تغير اتجاه فرق الجهد في مولد التيار المتردد.

وبدلًا من أن تتبع شدة التيار مباشرةً فرق الجهد، كما هو الحال في دائرة المقاومة، يسبق التغيُّرُ في شدة التيار التغيُّرَ في فرق الجهد. ويحدث ذلك بسبب الشحن والتفريغ الدائم للوحي المكثف.

ففي دوائر التيار المتردد التي تحتوي على مكثف، لا يتغير فرق الجهد عبر المكثف بالتزامن مع شدة التيار المُراكم للشحنة. ويسبق التغيرُ في فرق الجهد التغيرَ في شدة التيار بمقدار 90 درجة أو 𝜋2 rad كما هو موضح في الشكل التالي.

يمكن أن تتضمن دائرة التيار المتردد ملف حث يمثله خطٌّ مجعدٌ في مخططات الدوائر. ويوضح الشكل التالي ملف حث في دائرة تيار متردد.

عندما يحتوي ملف الحث على تيار متغير داخل ملفاته، يستحث مجالًا مغناطيسيًّا متغيرًا على نحوٍ مماثل. وينتج عن هذا المجال المغناطيسي فرق جهد عبر ملف الحث، يولد تيارًا في الاتجاه المُعاكس للاتجاه الأصلي للتيار. ويتناسب تغير المجال المغناطيسي، وكذلك فرق الجهد الناتج، مع التغير في شدة التيار بمرور الزمن: 𝜀Δ𝐼Δ𝑡.

يكون فرق الجهد عند قيمته العظمى عندما يكون التغير في شدة التيار عند قيمته العظمى. والتغير في شدة التيار يصل إلى قيمته العظمى (ومن ثم يكون الخط عند أقصى انحدارٍ له) عندما تُساوي شدة التيار صفرًا. وعندما تصل شدة التيار إلى قيمتها العظمى، ويساوي ميل الخط صفرًا، يصبح فرق الجهد صفرًا أيضًا؛ لأن شدة التيار لا تتغير عند تلك النقطة. ويوضح الشكل التالي العلاقة بين فرق الجهد وشدة التيار في دائرة التيار المتردد التي تحتوي على ملف حث.

لا يكون فرق الطور في دوائر التيار المتردد التي تحتوي على ملف حث هو نفسه في الدوائر التي تحتوي على مكثف، ففي الدوائر الحثية يسبق التغيُّرُ في فرق الجهد التغيُّرَ في شدة التيار، وليس العكس.

وهذا لأن فرق الجهد المستحث عبر ملف الحث يمر في الاتجاه المعاكس للتغير في شدة التيار؛ ما يتسبب في أن يسبق فرق الجهد شدة التيار. وهذا موضح في الشكل التالي.

في الدوائر الحثية، يتأخر التغير في فرق الجهد بمقدار 90 درجة أو 𝜋2 rad عن في شدة التيار.

لنلق نظرة الآن على تمثيل بياني يمثل تيارات دائرة مقاومة ودائرة مكثف ودائرة حثية تحتوي كلٌّ منها على مصدر للتيار المتردد. تمثل المنحنيات الثلاثة الملونة تغيرات شدة التيار بمرور الزمن في الدائرة، بناء على خصائص الدائرة.

المنحنى الذي يناظر دائرة تحتوي على مقاومة فقط سيكون المنحنى الذي يطابق منحنيات القوة الدافعة الكهربية، لأنهما متناسبان طرديًّا. وذلك هو المنحنى الأزرق فقط.

ونتوقع أن يكون المنحنى الذي يمثل دائرة مكثف متقدمًا بمقدار: 90 درجة أو 𝜋2 على منحنى القوة الدافعة الكهربية. وهذا الوصف ينطبق على المنحنى البرتقالي؛ إذ إن قمَمه تقع خلف قمم منحنى القوة الدافعة الكهربية.

وسيسبق منحنى القوة الدافعة الكهربية المنحنى الذي يمثل شدة التيار في الدائرة الحثية بمقدار: 90 درجة أو 𝜋2. وهذا يعني أن قمة منحنى شدة التيار الحثي ستكون بعد قمم القوة الدافعة الكهربية، وهذا ممثَّل على ما يبدو بالمنحنى الأحمر.

لنلخص ما تعلمناه في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • التيار المتردِّد هو تيار يغير اتجاهه دوريًّا.
  • القوة الدافعة الكهربية المستحثَّة 𝜀 التي تنتج عن دوران ملف موصل في مجال مغناطيسي منتظم، تُعطى بالمعادلة: 𝜀=𝑛𝐴𝐵𝜔(𝜔𝑡),sin حيث 𝑛 عدد اللفات في الملف، 𝐴 مساحة اللفات، 𝐵 شدة المجال المغناطيسي، 𝜔 التردد الزاوي، 𝑡 الزمن.
  • قيم جذر متوسط مربع القوة الدافعة الكهربية وشدة التيار والقدرة تُعطى بـ 𝜀=12𝜀,𝐼=12𝐼,𝑃=(𝐼)𝑅.rmspeakrmspeakavgrms
  • في الدوائر المقاومة تسير شدة التيار مع القوة الدافعة الكهربية، وفي دوائر المكثف تسبق شدة التيار بمقدار: 90 درجة، وفي الدوائر الحثية تتأخر شدة التيار بمقدار: 90 درجة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.