شارح الدرس: دوائر التيار المتردِّد الفيزياء • الصف الثالث الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نحدد قيم الكميات الكهربية في الدوائر التي تعمل بمصادر جهد متردد.

يكون اتجاه التيار الاصطلاحي في دائرة كهربية من الطرف الموجب إلى الطرف السالب للبطارية، كما هو موضَّح في الشكل التالي.

وإذا عكسنا البطارية في هذه الدائرة الكهربية، فسوف ينعكس أيضًا اتجاه التيار، كما في الشكل التالي.

عندما يتدفَّق التيار في اتجاه واحد، نسميه التيار المستمر. وفي العديد من الأنظمة الكهربية، بما في ذلك الكهرباء المنزلية، لا نستخدم التيار المستمر، وإنما التيار المتردد.

يختلف التيار المتردد عن التيار المستمر، فهو يبدل اتجاهه باستمرار بدلًا من أن يتدفَّق في اتجاهٍ واحد. هيا نلقِ نظرة على التيار المستمر في دائرتين مختلفتين، في التمثيل البياني الآتي.

في كلتا الدائرتين، الممثَّلتين بالخطين الأزرق والأخضر، شدة التيار ليست ثابتة، لكنها تكون إما موجبة وإما سالبة طوال الوقت. وهذا يعني أن اتجاه التيار يظل ثابتًا.

أما التمثيل البياني نفسه لتيار متردد فيوضح أن شدة التيار تتأرجح بين الموجب والسالب، كما هو موضَّح أدناه.

يتولد التيار المتردِّد باستخدام مولدات التيار المتردد التي تتكون من لفات من سلك موصِّل تدور بسرعات ثابتة في مجالات مغناطيسية.

ويتكون مولد التيار المتردد عادةً من لفة من سلكٍ موصل تدور دورانًا حرًّا في اتجاه محور واحد. والمجال المغناطيسي المنتظم () عمودي على السلك كما في الشكل التالي.

يستحث هذا الدوران عبر المجال المغناطيسي قوة دافعة كهربية في لفة السلك الواحدة. وتنتج هذه القوة الدافعة الكهربية تيارًا مترددًا، يبدأ في اتجاه من الاتجاهين، ثم يتبدل إلى الاتجاه الآخر مع دوران السلك. وإذا ظلت لفة السلك ثابتة، فلن تتولد قوة دافعة كهربية عبرها؛ فلا بد أن تتحرك اللفة لحدوث ذلك.

لإيجاد هذه القوة الدافعة الكهربية المستحثة، فلننظر أولًا إلى القوة الدافعة الكهربية المستحثة عبر سلك مستقيم طوله في مجال مغناطيسي منتظم. لاستحثاث القوة الدافعة الكهربية في هذا السلك، لا بد أن يتحرك السلك. ويوضح الشكل التالي سلكًا طوله ، موضَّحٌ بالخط الأزرق، يتحرك بسرعة ، موضَّحة بالخط الأصفر. ويتحرك السلك بزاوية في اتجاه مجال مغناطيسي منتظم شدته ، موضَّحٌ بالخطوط الخضراء.

المعادلة التي تصف القوة الدافعة الكهربية المستحثة، ، في هذا السلك هي: حيث شدة المجال المغناطيسي، طول السلك، السرعة المتجهة للسلك في حركته عبر المجال المغناطيسي، الزاوية التي تكونها السرعة المتجهة للسلك مع اتجاه المجال المغناطيسي.

لكن حركة السلك المستقيم بسرعة متجهة ثابتة ليست الطريقة التي تستحث بها مولدات التيار المتردد القوة الدافعة الكهربية. فهي تحتوي على لفات من سلكٍ موصَّل تدور بسرعة، ما يعني أننا لن نعبر عن الحركة بالسرعة المتجهة ، ولكن سنعبر عنها بالتردد الزاوي، ، الذي يُقاس بوحدة راديان لكل ثانية. والتحويل بين السرعة المتجهة والتردد الزاوي يتم بالمعادلة: حيث هي المسافة من محور الدوران إلى السلك.

يوضح الشكل التالي سلكًا يدور في دائرة تبعد مسافة عن محور الدوران.

وهذا يجعل معادلة القوة الدافعة الكهربية المستحثة في سلك مستقيم دوار واحدٍ لكن الزاوية المحصورة بين السرعة المتجهة للسلك واتجاه المجال المغناطيسي تتغير الآن تغيرًا سريعًا مع دوران السلك.

وبسبب علاقة المعادلة بالزاوية ، تكون القوة الدافعة الكهربية المستحثة عند قيمتها العظمى عندما يكون السلك عموديًّا على اتجاه المجال المغناطيسي، وتكون عند قيمتها الصُغرى، التي تساوي صفرًا، عندما يكون السلك موازيًا لاتجاه المجال المغناطيسي. يوضح الشكل التالي سلكًا يدور بسرعة زاوية ثابتة عبر مجال مغناطيسي منتظم عند نقاط مختلفة.

عندما تُساوي الزاوية 90 درجة أو 270 درجة ( أو بوحدة الراديان)، تصل قيمة القوة الدافعة الكهربية المستحثة إلى قيمتها العظمى. وعندما تكون الزاوية صفرًا أو 180 درجة (صفرًا أو بوحدة الراديان)، تُساوي القوة الدافعة الكهربية المستحثة صفرًا.

وبالنظر إلى لفات السلك الموجودة في مولد التيار المتردد، سنجد أن سلكين فقط سيُسهمان في القوة الدافعة الكهربية المستحثة: السلك الأعلى والسلك الأسفل، فالأسلاك الجانبية في اللفة لن تستحث قوة دافعة كهربية، بغض النظر عن الزاوية. لاحظ موقع السلكين الأعلى والأسفل في اللفة في الشكل التالي الذي يُظهر دورة كاملة.

فهذا يعني أن اللفة تستحث ضعف القوة الدافعة الكهربية بالمقارنة بسلك مستقيم، لأن اللفة بها سلكان وليس سلكًا واحدًا. وينتج عن هذا ضرب معادلة القوة الدافعة الكهربية المستحثة في 2 عند استعمال ملف: لكن هذا إن كانت بالملف لفة واحدة فقط. وحين تتعدد اللفات، نضرب المحصلة النهائية للقوة الدافعة الكهربية المستحثة في ، حيث عدد اللفات، لتصبح المعادلة:

ويمكن تبسيط هذه المعادلة أكثر، بملاحظة أن مساحة اللفة المربعة ، تُساوي حاصل ضرب طولي ضلعيها. وبما أن محور الدوران يمر بمركز الأسلاك، فإن أحد الضلعين طوله ، والآخر طوله . وهذا يعني أن مساحة الملف تُساوي: ما يبسط المعادلة إلى:

ويمكن إجراء خطوة أخيرة لتبسيط هذه المعادلة أكثر، عن طريق الربط بين والتردد الزاوي. تدور لفة السلك بتردد زاوي ثابت ، يُقاس بوحدة راديان لكل ثانية. وقياس الزاوية يمكن إيجاده بضرب التردد الزاوي في الزمن المنقضي: ويمكن التعويض به بعد ذلك ليحل محل في حد جيب الزاوية لإيجاد المعادلة النهائية.

لنُلقِ نظرة على مثال نستخدم فيه هذه المعادلة.

مثال ١: القوة الدافعة الكهربية المستحثة في مولد للتيار المتردد

يحتوي مولِّد تيار متردِّد على 5 لفات مستطيلة الشكل من سلك موصِّل، طولا ضلعيه 15 cm، 25 cm، وتشكِّل نهايتاه طرفين. أضلاع اللفات المتساوية في الطول متوازية. تدور اللفات بمعدَّل 15 دورة لكل ثانية داخل مجال مغناطيسي شدته 620 mT. ما القيمة العظمى لفرق الجهد بين الطرفين؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

لنتذكر معادلة القوة الدافعة الكهربية المستحثة الناتجة عن دوران ملف موصل:

نريد إيجاد القيمة العظمة لفرق الجهد، حيث تكون القوة الدافعة الكهربية المستحثَّة عند قيمتها العظمى. تتحقق تلك القيمة العظمى عند ؛ لذا يمكننا التعويض عن الحد كله بواحد في معادلة القوة الدافعة الكهربية:

الآن، علينا إيجاد القيم الأخرى. عدد اللفات مُعطًى، ويساوي خمسة، وكذلك شدة المجال المغناطيسي، وتُساوي 620 mT، لكننا نريده بوحدة التسلا.

يوجد 1‎ ‎000 مللي تسلا في التسلا الواحد: ويمكننا تحويل 620 mT إلى تسلا بالضرب في هذه العلاقة:

ومن ثَمَّ، فإن قيمة تُساوي 0.62 T.

بعد ذلك، علينا حساب مساحة اللفات: . ونعلم من المعطيات أن اللفات مستطيلة الشكل، وطولا ضلعي كلٍّ منها 15 cm، 25 cm، وأن أضلاع اللفات المتساوية في الطول متوازية. وهذا يعني أن الحلقة تبدو كما يلي.

قبل المتابعة، دعونا نحول أطوال الأضلاع هذه إلى وحدة المتر من وحدة السنتيمتر. يوجد 100 سنتيمتر في المتر الواحد: إذن لكي نحصل على الطول بوحدة المتر سنضرب في هذه العلاقة:

بالـمتر، 15 cm يُساوي 0.15 m، 25 cm يُساوي 0.25 m.

ومساحة المستطيل هي حاصل ضرب ضلعيه غير المتوازيين. لذا نضرب طولي الضلعين معًا لنحصل على المساحة:

إذن مساحة هذا المستطيل تُساوي 0.0375 m².

وأخيرًا، علينا إيجاد التردد الزاوي: . ولابد أن يُقاس التردد الزاوي بوحدة راديان لكل ثانية؛ لذا ستحول القيمة المُعطاة بوحدة دورة لكل ثانية.

اللفة الكاملة، التي يدور فيها الملف دائرة كاملة، تُساوي: . إذن، لكي نحول التردد الزاوي إلى وحدة الراديان، علينا ضرب دورة لكل ثانية في :

إذن، يُساوي لكل ثانية. لدينا الآن كل الحدود التي نحتاجها لإكمال المعادلة:

يمكننا الآن التعويض بالقيم. يُساوي خمس لفات، يُساوي 0.0375 m²، يُساوي 0.62 T، يُساوي: :

يمكننا أيضًا فك وحدة التسلا. التسلا الواحد يُساوي: فولت واحد · ثانية لكل متر مربع: وباستخدام ذلك في المعادلة، نحصل على:

وبضرب التردد الزاوي وشدة المجال المغناطيسي معًا تُحذف وحدة الثانية: وضرب الحدود الثلاثة الأخيرة معًا يحذف وحدة المتر المربع، لتتبقى فقط وحدة الفولت:

مقربًا لأقرب منزلتين عشريتين، القيمة العظمى لفرق الجهد بين الطرفين تُساوي 10.96 فولت.

يوضح التمثيل البياني التالي التغير في القوة الدافعة الكهربية المستحثة بمرور الزمن.

نلاحظ أن القيمة تكون موجبة أو سالب عند نقاط مختلفة في الزمن، والقيمتان العظمى والصغرى هما: .

ومع استمرار التمثيل البياني إلى ما لا نهاية، تلغي الأجزاء الموجبة الأجزاء السالبة بالكامل. وهذا يعني أن متوسط القوة الدافعة الكهربية سيساوي ببساطة صفرًا:

لكن هذا لا يخبرنا شيئًا عن الدائرة الكهربية؛ لأن متوسط القوة الدافعة الكهربية في كل دائرة تيار متردد سيُساوي صفرًا، بغض النظر عن عدد اللفات أو المساحة أو شدة المجال المغناطيسي. يمكننا أن ننظر إلى الدائرة بدلًا من ذلك باستخدام جذر متوسط المربع. يمكننا إيجاد جذر متوسط المربع بتربيع كل عددٍ ممكن عند كل نقطة على التمثيل البياني، ثم إيجاد متوسط جميع هذه الأعداد، ثم أخذ الجذر التربيعي لها.

عند تربيع قيمة سالبة، تصبح موجبة؛ وبالتالي تكون جميع القيم المربعة موجبة. ويغير ذلك التمثيل البياني ليبدو كما في الشكل التالي.

بعد ذلك، نجمع كل هذه القيم ونقسم على عددها لإيجاد المتوسط:

ثم نحسب الجذر التربيعي للمتوسط:

عند أخذ هذا الجذر التربيعي لأي تمثيل بياني جيبي، دائمًا ما تكون القيمة النهائية لجذر متوسط المربع القيمة العظمى:

وجذر متوسط مربع القوة الدافعة الكهربية يُساوي مضروبًا في أقصى قيمة ممكنة للقوة الدافعة الكهربية، وتُسمى القيمة العظمى للقوة الدافعة الكهربية. وهذا يعني أن جذر متوسط مربع القوة الدافعة الكهربية لتيار متردد يُساوي:

لنُلقِ نظرة على مثال.

تنطبق علاقة على أي جذر متوسط مربع مبني على دالة جيبية. وإذا كانت القوة الدافعة الكهربية جيبية، فبالتبعية ستكون شدة التيار جيبية أيضًا؛ ما يعني أنها ستتبع العلاقة نفسها مع جذر متوسط المربع.

ويمكن تمثيل التيار المتردِّد جيبيًّا. هذا يعني أن متوسط شدة التيار ستساوي صفرًا؛ لأن القيم الموجبة ستُلغي القيم السالبة عند كل نقطة. وهذا موضَّح في التمثيل البياني التالي.

يمكننا إيجاد جذر متوسط المربع باستخدام العلاقة نفسها التي طبَّقناها في القوة الدافعة الكهربية، لأن كليهما جيبيتان: وهو ما يعني أن جذر متوسط مربع شدة التيار يُساوي القيمة العظمى لشدة التيار:

لنُلقِ نظرة على بعض الأمثلة.

مثال ٤: التمثيل البياني لجذر متوسط مربع شدة التيار

يمثِّل الخط الأحمر التغيُّر في القيمة اللحظية لشدة التيار المتردِّد الذي يحمله موصِّل. أيٌّ من الخطوط يمثِّل بشكل صحيح قيمة جذر متوسط مربع شدة التيار؟

1. الخط الأسود.
2. الخط الأخضر.
3. الخط البنفسجي.
4. الخط البرتقالي.
5. الخط الأزرق.

الحل

الخط الذي يمثل قيمة جذر متوسط مربع شدة التيار تمثيلًا دقيقًا هو الأقرب إلى قيمة من القمة. ويمثل الخط الأحمر التيار المتردد؛ لذا ستكون قممه عند القيمة العظمى.

لنكتب في الصورة العشرية:

إذن، جذر متوسط مربع شدة التيار يساوي القيمة العظمى لشدة التيار مضروبة في 0.707، أو تقريبًا من القيمة العظمى.

نحن نبحث عن الخط المستقيم الذي يرتفع تقريبًا من المسافة الكلية إلى أعلى في التمثيل البياني. الخط الأسود أعلى بالكاد من ؛ ما يعني أن الخطين أسفله، الأخضر والأصفر، لا يمكن أن يكونا ما نبحث عنه.

الخط البنفسجي قريب من ؛ ما يعني أن الخط الأفضل هو على الأرجح الخط الموجود أسفله مباشرة، أي الخط الأزرق، فهو الأقرب إلى .

إذن الإجابة هي الخيار (هـ): الخط الأزرق.

ترتبط القدرة في الدائرة بشدة التيار عبر المعادلة: حيث قدرة الدائرة، شدة التيار في الدائرة، مقاومة الدائرة.

بما أن هذه المعادلة تحتوي على شدة التيار ، وبما أن شدة التيار جيبية في دائرة التيار المتردد؛ إذن فالقدرة جيبية أيضًا. تصل القدرة إلى قيمتها العظمى في الدائرة عندما يصل إلى قيمته العظمى: لكن متوسط القدرة لا يُساوي صفرًا كما هو الحال في شدة التيار أو القوة الدافعة الكهربية. فالقدرة لا يمكن أن تكون سالبة؛ لأنه لا يمكن أن تكون الطاقة سالبة. إذن يبدو المتوسط فعليًّا هكذا:

وللتعبير عن ذلك في صورة قيم جذر متوسط المربع، يمكننا إدخال داخل مربع شدة التيار لنحصل على: وبما أن ، يمكننا التعويض بها في المعادلة:

ثم نحذف الجذرين التربيعيَّين للعدد اثنين عند إجراء عملية الضرب، فيتبقى فقط :

لنُلقِ نظرة على مثال.

والآن بعد أن عرفنا العلاقات بين قيم جذر متوسط مربع القوة الدافعة الكهربية وشدة التيار والقدرة، دعونا نُلقِ نظرة على الدوائر الحثية، ودائرة المكثف، ودائرة المقاومة.

دائرة المقاومة هي دائرة تحتوي على مقاومة، كما في الشكل التالي.

تتغير شدة التيار في هذه الدائرة بالتزامن تمامًا مع القوة الدافعة الكهربية، لأنهما متناسبتان، كما توضح هذه المعادلة: . ويوضح الشكل التالي التغير في فرق الجهد بمرور الزمن، ممثَّلًا بالخط الأصفر، مقارنة بالتغير في شدة التيار بمرور الزمن، ممثلًا باللون الأزرق.

ويمثل الرمز المُحتوي على موجة على يسار الدائرة مولد للتيار المتردد في الدائرة.

ويمكن أن تحتوي دائرة التيار المتردد أيضًا على مكثِّف، يمثله خطان قريبان أحدهما من الآخر في مخطط الدائرة. ومثل هذه الدائرة تسمى دائرة مكثف، وهي موضحة في الشكل التالي.

وتختلف العلاقة بين شدة التيار وفرق الجهد في دائرة المكثف مقارنة بدائرة المقاومة. فالشحنة لا يمكن أن تمر عبر المكثف. بدلًا من ذلك، تتراكم الشحنة على جانبي لوحي المكثف. والتيار الذي يسبب تراكم الشحنة هذا يتناسب طرديًّا مع التغير في فرق الجهد عبر اللوحين بمرور الزمن:

وهذا يعني أن شدة التيار ستبلغ أقصى قيمةً لها عندما يكون التغير في فرق الجهد عند أقصى قيمة له. والتغير في فرق الجهد يصل لأقصى قيمة له (ومن ثَمَّ يصل الخط إلى أقصى انحدار له) عندما يُساوي فرق الجهد نفسه صفرًا. أما عندما يكون فرق الجهد عند قيمته العظمى، فإن ميل الخط يساوي صفرًا، ومن ثم يكون التغيُّر في فرق الجهد صفرًا؛ ما يعني أن شدة التيار تُساوي صفرًا أيضًا؛ لأن فرق الجهد لا يتغير عند تلك النقطة. يوضح الشكل التالي العلاقة بين شدة التيار وفرق الجهد في دائرة مكثف يتدفق فيها تيار متردد.

كلما ازداد وتناقص فرق الجهد من مولد التيار المتردد، تغير بالمثل فرق الجهد عبر لوحي المكثِّف. ويتبدَّل فرق الجهد عبر هذين اللوحين تدريجيًّا مع تغير اتجاه فرق الجهد في مولد التيار المتردد.

وبدلًا من أن تتبع شدة التيار مباشرةً فرق الجهد، كما هو الحال في دائرة المقاومة، يسبق التغيُّرُ في شدة التيار التغيُّرَ في فرق الجهد. ويحدث ذلك بسبب الشحن والتفريغ الدائم للوحي المكثف.

ففي دوائر التيار المتردد التي تحتوي على مكثف، لا يتغير فرق الجهد عبر المكثف بالتزامن مع شدة التيار المُراكم للشحنة. ويسبق التغيرُ في فرق الجهد التغيرَ في شدة التيار بمقدار 90 درجة أو rad كما هو موضح في الشكل التالي.

يمكن أن تتضمن دائرة التيار المتردد ملف حث يمثله خطٌّ مجعدٌ في مخططات الدوائر. ويوضح الشكل التالي ملف حث في دائرة تيار متردد.

عندما يحتوي ملف الحث على تيار متغير داخل ملفاته، يستحث مجالًا مغناطيسيًّا متغيرًا على نحوٍ مماثل. وينتج عن هذا المجال المغناطيسي فرق جهد عبر ملف الحث، يولد تيارًا في الاتجاه المُعاكس للاتجاه الأصلي للتيار. ويتناسب تغير المجال المغناطيسي، وكذلك فرق الجهد الناتج، مع التغير في شدة التيار بمرور الزمن:

يكون فرق الجهد عند قيمته العظمى عندما يكون التغير في شدة التيار عند قيمته العظمى. والتغير في شدة التيار يصل إلى قيمته العظمى (ومن ثم يكون الخط عند أقصى انحدارٍ له) عندما تُساوي شدة التيار صفرًا. وعندما تصل شدة التيار إلى قيمتها العظمى، ويساوي ميل الخط صفرًا، يصبح فرق الجهد صفرًا أيضًا؛ لأن شدة التيار لا تتغير عند تلك النقطة. ويوضح الشكل التالي العلاقة بين فرق الجهد وشدة التيار في دائرة التيار المتردد التي تحتوي على ملف حث.

لا يكون فرق الطور في دوائر التيار المتردد التي تحتوي على ملف حث هو نفسه في الدوائر التي تحتوي على مكثف، ففي الدوائر الحثية يسبق التغيُّرُ في فرق الجهد التغيُّرَ في شدة التيار، وليس العكس.

وهذا لأن فرق الجهد المستحث عبر ملف الحث يمر في الاتجاه المعاكس للتغير في شدة التيار؛ ما يتسبب في أن يسبق فرق الجهد شدة التيار. وهذا موضح في الشكل التالي.

في الدوائر الحثية، يتأخر التغير في فرق الجهد بمقدار 90 درجة أو rad عن في شدة التيار.

لنلق نظرة الآن على تمثيل بياني يمثل تيارات دائرة مقاومة ودائرة مكثف ودائرة حثية تحتوي كلٌّ منها على مصدر للتيار المتردد. تمثل المنحنيات الثلاثة الملونة تغيرات شدة التيار بمرور الزمن في الدائرة، بناء على خصائص الدائرة.

المنحنى الذي يناظر دائرة تحتوي على مقاومة فقط سيكون المنحنى الذي يطابق منحنيات القوة الدافعة الكهربية، لأنهما متناسبان طرديًّا. وذلك هو المنحنى الأزرق فقط.

ونتوقع أن يكون المنحنى الذي يمثل دائرة مكثف متقدمًا بمقدار: 90 درجة أو على منحنى القوة الدافعة الكهربية. وهذا الوصف ينطبق على المنحنى البرتقالي؛ إذ إن قمَمه تقع خلف قمم منحنى القوة الدافعة الكهربية.

وسيسبق منحنى القوة الدافعة الكهربية المنحنى الذي يمثل شدة التيار في الدائرة الحثية بمقدار: 90 درجة أو . وهذا يعني أن قمة منحنى شدة التيار الحثي ستكون بعد قمم القوة الدافعة الكهربية، وهذا ممثَّل على ما يبدو بالمنحنى الأحمر.

لنلخص ما تعلمناه في هذا الشارح.