شارح الدرس: التحدُّب ونقاط الانقلاب الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد فترات التحدُّب لأعلى والتحدُّب لأسفل لدالة كثيرة الحدود

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة مُحدَّبة لأعلى أو مُحدَّبة لأسفل.

الحل

نعلم الآتي:

إذا كانت لجميع قِيَم في الفترة ، فإن المنحنى يكون محدَّبًا لأسفل لجميع قِيَم في هذه الفترة، وإذا كانت لجميع قِيَم في الفترة ، فإن المنحنى يكون محدَّبًا لأعلى لجميع قِيَم في هذه الفترة.

ومن ثَمَّ، علينا إيجاد المشتقة الثانية للدالة، واستخدام هذا لتحديد الفترات التي تكون عليها ، .

المشتقة الأولى، ، هي:

بعد ذلك، نُوجِد المشتقة الثانية باشتقاق بالنسبة إلى :

والآن، بعد أن أصبحت لدينا المشتقة الثانية، يُمكننا تحديد الفترات التي تكون عليها ، .

لنتمكَّن من ذلك، نبدأ بجعل المشتقة الثانية تساوي صفرًا، ونُوجِد قيمة :

لحلِّ هذه المعادلة، يُمكننا تحليل الطرف الأيمن:

ومن هنا، يُمكننا إيجاد قيمة ؛ لأننا نعرف أنه إما أن يكون يساوي صفرًا، وإما أن يكون ما بين القوسين يساوي صفرًا: أو:

وفي هذه المرحلة، يُمكننا إنطاق المقام عن طريق ضرب البسط والمقام في :

حلول هي ، أو ، أو . بعد ذلك، نرسم منحنى ليساعدنا على تحديد إذا ما كانت الدالة أصغر من صفر، أو أكبر من صفر، أو تساوي صفرًا.

هذا منحنى دالة تكعيبية فيها معامل سالب، وجذورها ، ، صفر.

بتحديد المنطقة التي تكون فيها القيمة المُخرَجة للدالة أقلَّ من صفر باللون البرتقالي، والمنطقة التي تكون القيمة المُخرَجة فيها أكبر من صفر باللون الوردي، يصبح المنحنى هكذا:

ومن ثَمَّ، يُمكننا القول بأن ؛ ومن ثَمَّ، تكون الدالة محدَّبة لأسفل على الفترتين ، .

وبالمثل، ؛ ومن ثَمَّ، تكون الدالة محدَّبة لأعلى على الفترتين ، .

الدالة محدَّبة لأسفل على الفترتين ، ، ومحدَّبة لأعلى على الفترتين ، .

مثال ٢: إيجاد نقطة انقلاب على منحنى دالة تربيعية، إن وُجدتْ

أوجد نقاط انقلاب المنحنى .

الحل

يُمكننا أن نتذكَّر الآتي:

إذا كانت نقطة انقلاب، فإن (أو غير مُعرَّفة)، ويكون المنحنى متَّصِلًا، ويتغيَّر من التحدُّب لأسفل إلى التحدُّب لأعلى، أو العكس، عند .

يُمكننا إذن البدء بإيجاد المشتقة الثانية للمعادلة.

لاحظ أنه بما أن دالة كثيرة الحدود، نستنتج أنها دالة متَّصِلة وقابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل.

أولًا، نشتق الدالة بالنسبة إلى ، وهو ما يُعطينا:

المشتقة الثانية: تُساوي عددًا ثابتًا موجبًا، وهو مستقلٌّ عن ، وهو ما يعني أن:

ومن ثَمَّ، يكون محدَّبًا لأسفل لجميع قِيَم .

وأخيرًا، بما أن تحدُّب الدالة لم يتغيَّر مُطلقًا، فهذا يعني أن المنحنى ليس له نقاط انقلاب.

مثال ٣: إيجاد نقطة الانقلاب على منحنى دالة كثيرة الحدود

أوجد نقطة الانقلاب على منحنى الدالة .

الحل

يُمكننا أن نتذكَّر الآتي:

إذا كانت نقطة انقلاب، فإن (أو غير مُعرَّفة)، ويكون المنحنى متَّصِلًا، ويتغيَّر من التحدُّب لأسفل إلى التحدُّب لأعلى، أو العكس، عند .

وبما أننا نعلم أن المنحنى له نقطة انقلاب، فسنبدأ بإيجاد المشتقة الثانية.

أولًا، نشتق الدالة بالنسبة إلى ، وهو ما يُعطينا:

لإيجاد ، نشتق :

من الجدير بالملاحظة أن دالة خطية؛ أيْ إنها دالة متَّصِلة وقابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل، وهو ما يعني وجود لجميع قِيَم الحقيقية.

نعلم أنه قد تُوجَد نقطة انقلاب إذا كانت المشتقة الثانية تساوي صفرًا؛ ولذا، سنساويها بصفر، ونُوجِد قيمة :

ولكن كون لا يعني وجود نقطة انقلاب بالتأكيد. ولذا، سنتحقَّق من تحدُّب المنحنى على جانبَيِ النقطة . لإجراء ذلك، سنتحقَّق من ، .

يُمكننا أن نلاحظ أن ، وأن ؛ ومن ثَمَّ، يتغيَّر المنحنى من التحدُّب لأعلى إلى التحدُّب لأسفل. نستنتج أن نقطة الانقلاب تقع عند .

لإيجاد الإحداثي لنقطة الانقلاب هذه، سنعوِّض بـ في :

نقطة الانقلاب على منحنى تقع عند .

مثال ٤: إيجاد نقطة انقلاب دالة تتضمَّن دوالَّ مثلثية في فترة مُعطاة

إذا كانت ؛ حيث ، فأوجد نقاط انقلاب .

الحل

يُمكننا أن نتذكَّر الآتي:

إذا كانت نقطة انقلاب، فإن (أو غير مُعرَّفة)، ويكون المنحنى متَّصِلًا، ويتغيَّر من التحدُّب لأسفل إلى التحدُّب لأعلى، أو العكس، عند .

أولًا، نشتق الدالة بالنسبة إلى . للقيام بذلك، علينا أن نسترجع المشتقتين القياسيتين الآتيتين:

وبتطبيق هذا على حدَّيِ الدالة، نحصل على:

بعد ذلك، نشتق لإيجاد المشتقة الثانية:

تُوجَد نقطة الانقلاب عندما تُساوي المشتقة الثانية صفرًا (أو تكون غير موجودة)، وعندما يتغيَّر التحدُّب؛ لذا، نجعل ، ثم نُوجِد قيمة ، متذكِّرين حصْر مجموعة الحلِّ على الفترة .

ملاحظة:

الدالة مجموع دالتين متَّصِلتين. وهذا يعني أن الدالة نفسها متَّصِلة؛ ومن ثَمَّ فهي مُعرَّفة على مجالها بالكامل:

في هذه المرحلة، يُمكننا أن نسترجع المتطابقة المثلثية:

وباستخدام: نحصل على: وهو ما يُمكننا حلُّه لإيجاد قيمة :

في هذه المرحلة، يجب أن نتذكَّر أن دالة دورية لها الفترة راديان، ويُخبرنا هذا أنه قد يكون لها أكثر من حلٍّ.

ولإيجاد الحلول المُمكنة، نفكِّر في الفترة الأصلية، ومع ذلك، سنعدِّل هذا بالضرب في ٤ لنحصل على:

نُوجِد جميع القِيَم المُمكنة لـ ٤س على الفترة التي لدينا، وذلك بإضافة مضاعفات إلى الحلِّ لنحصل على:

وأخيرًا، يُمكننا قسمة الطرفين على أربعة لإيجاد :

نعلم أن تحقُّق الشرط لا يضمن وجود نقطة انقلاب. بل علينا أيضًا التحقُّق من تحدُّب الدالة على جانبَيْ قيمتَيْ . نستخدم ، ليكونا القيمتين على جانبَيِ النقطة ، و١٫٣ و١٫٤ على جانبَيِ النقطة .

نلاحِظ أنه حول النقطة يتغيَّر المنحنى من التحدُّب لأعلى إلى التحدُّب لأسفل، وحول النقطة يتغيَّر من التحدُّب لأسفل إلى التحدُّب لأعلى. ومن ثَمَّ، نستنتج أن نقطة الانقلاب تقع عند ، .

لإيجاد إحداثيات المناظِرة، نعوِّض بكلِّ قيمة لـ في الدالة الأصلية :

وإذا كانت ؛ حيث ، فإن نقاط انقلاب تقع عند ، .

مثال ٥: إيجاد نقطة الانقلاب، إن وُجدتْ، لدالة تتضمَّن لوغاريتمًا

أوجد نقاط انقلاب ، إنْ وُجدت.

الحل

إذا كانت نقطة انقلاب، فإن (أو غير مُعرَّفة)، ويكون المنحنى متَّصِلًا، ويتغيَّر من التحدُّب لأسفل إلى التحدُّب لأعلى، أو العكس، عند .

لإيجاد نقاط الانقلاب، نُوجِد قيمة المشتقة الثانية للدالة ونساويها بصفر.

بالنظر إلى الدالة، يُمكننا ملاحظة أنها عبارة عن حاصل ضرب دالتين:

ومن ثَمَّ، نستخدم قاعدة الضرب للاشتقاق، وتنصُّ على أن:

نفترض أن ، .

ثم نشتق بالنسبة إلى ، لنحصل على:

باستخدام قاعدة الضرب، نجد أن:

لإيجاد المشتقة الثانية، نستخدم قاعدة الضرب مرةً أخرى لإيجاد مشتقة :

والآن، بعد أن أصبحت لدينا المشتقة الثانية، يُمكننا مساواتها بصفر وإيجاد قيمة :

نرى أنه قد تُوجَد نقطة انقلاب عند:

لكن كون لا يضمن وجود نقطة انقلاب؛ لذا، سنتحقَّق من قيمتَيْ على جانبَيْ هذه النقطة. إذا حسبنا نجد أنه يساوي ٠٫١١٢ تقريبًا؛ ومن ثَمَّ، يُمكننا اعتبار أن قيمتَيْ هما ٠٫١ و٠٫١٢.

نلاحظ من الجدول أن ، . وهذا يُخبرنا بأن المنحنى يتغيَّر من التحدُّب لأعلى إلى التحدُّب لأسفل. وهو ما يؤكِّد إذن وُجود نقطة انقلاب عند:

يُمكننا الآن التعويض بقيمة هذه في الدالة الأصلية لإيجاد الإحداثي لنقطة الانقلاب:

لذا، نستنتج أن نقطة انقلاب الدالة تقع عند .

مثال ٦: تحديد تحدُّب منحنى بارامتري عند نقطة مُعطاة

انظر المنحنى المعرَّف بارامتريًّا ، . حدِّد إذا كان المنحنى مُحدَّبًا لأسفل، أو لأعلى، أو لا هذا ولا ذاك، عند .

الحل

طُلِب منَّا أن نُحدِّد تحدُّب المنحنى؛ لذلك نحتاج إلى إيجاد المشتقة الثانية للمنحنى عند النقطة المُعطاة. بما أن هذا المنحنى مُعرَّف بارامتريًّا، إذن نستخدم الصيغة الآتية لإيجاد المشتقة الثانية:

نبدأ بإيجاد ، . نستطيع إجراء ذلك باستخدام مشتقات الدوال المثلثية. لدينا الآتي: و:

إذن، نجد أن:

يمكننا الآن اشتقاق بالنسبة إلى . باستخدام مشتقات مقلوب الدوال المثلثية، يكون لدينا:

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه المشتقات في صيغة المشتقة الثانية. بذلك، نحصل على:

وبعد أن وجدنا المشتقة الثانية لمعادلة المنحنى، نحتاج إلى التعويض بقيمة البارامتر عند النقطة التي نُحدِّد لها التحدُّب. النقطة المُعطاة هي عن ، وبالتعويض بهذه القيمة في المعادلة، نحصل على:

يمكننا ملاحظة أن المشتقة الثانية عند سالبة، إذن يصبح لدينا:

وبذلك، تكون الدالة محدَّبة لأعلى عند هذه النقطة.