شارح الدرس: التحدُّب ونقاط الانقلاب الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحدِّد تحدُّب الدالة ونقاط انقلابها باستخدام مشتقتها الثانية.

قبل أن تبدأ هذا الشارح، يجب أن تكون على دراية تامة بكيفية إيجاد المشتقتين الأولى والثانية للدوال باستخدام القواعد القياسية للاشتقاق. ويجب أن تكون قادرًا أيضًا على استخدام اختبار المشتقة الأولى لمعرفة طبيعة النقاط الحرجة.

قبل أن نبدأ التفكير في بعض الأمثلة، وفي طريقة استخدام اختبار المشتقة الثانية بدلًا من اختبار المشتقة الأولى، سنعرف معنى أن يكون المنحنى مُحدَّبًا لأعلى، أو مُحدَّبًا لأسفل، أو أن تكون له نقطة انقلاب. للقيام بذلك، سنفكِّر في منحنيات ثلاث دوالَّ شائعة.

تعريف: التحدُّب والانقلاب

من الأشكال السابقة، يُمكننا ملاحظة أن 󰎨(𞸎)=𞸎٢ مثال جيِّد لدالة مُحدَّبة لأسفل على مجالها بالكامل؛ حيث تنحني لأعلى، وتزداد قيمة ميلها على مجالها بالكامل. ثمَّة طريقة بديلة للتفكير في ذلك، وهي أنه إذا كان منحنى الدالة يقع فوق جميع مماساته على فترة ما، فإن الدالة تكون مُحدَّبة لأسفل على هذه الفترة. وبالمثل، تُعَدُّ 𞹟(𞸎)=𞸎٢ مثالًا لدالة مُحدَّبة لأعلى على مجالها بالكامل؛ حيث تنحني الدالة لأسفل، وتتناقص قيمة الميل دائمًا على هذه الفترة المحلية.

بالنظر إلى مماسات المنحنى مرةً أخرى، نلاحظ أنه إذا كان منحنى الدالة يقع أسفل جميع مماساته على فترة ما، فإنه يكون مُحدَّبًا لأعلى على هذه الفترة.

بالنظر إلى الدالتين 󰎨، 𞹟، نلاحظ أيضًا أن النقطة الحرجة على منحنى 󰎨(𞸎)=𞸎٢ عبارة عن قيمة صُغرى مُطلقة؛ أي إنها أقلُّ نقطة للمنحنى على مجاله بالكامل. والنقطة الحرجة على منحنى 𞹟(𞸎)=𞸎٢ هي القيمة العُظمى المُطلقة؛ أي أعلى نقطة للمنحنى على مجاله بالكامل.

ومع ذلك، توضِّح الدالة 𞸓(𞸎)=𞸎٣ شيئًا مختلفًا قليلًا. تُعرَف نقطة التحوُّل عند (٠،٠) بنقطة الانقلاب. وتتَّسِم بتغيُّر التحدُّب من تحدُّب لأعلى إلى تحدُّب لأسفل (كما في الدالة 𞸓)، أو من تحدُّب لأسفل إلى تحدُّب لأعلى.

والآن بعد أن تعلَّمنا هذه التعريفات، نُلقي نظرةً على كيفية تحديد طبيعة النقطة الحرجة؛ ومن ثَمَّ تحدُّب المنحنى عندها.

بالنظر إلى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٢؛ دالة الميل، التي تُعطَى بمشتقتها الأولى، وهي: 󰎨(𞸎)=٢𞸎.

يُمكننا استخدام هذه الدالة لإيجاد ميل أو انحدار الدالة عند أيِّ نقطة مُعطاة. ويُمكننا أيضًا استخدام اختبار المشتقة الأولى للتحقُّق من طبيعة النقطة الحرجة.

على سبيل المثال، تقع النقاط الحرجة للدالة عند قِيَم 𞸎 التي تجعل 󰎨(𞸎)=٠. ٢𞸎=٠،𞸎=٠.

يوضِّح لنا اختبار المشتقة الأولى أنه يُمكن تحديد طبيعة النقطة الحرجة بإيجاد ميل المماس للمنحنى على جانبَيْ هذه النقطة.

يُمكن إيجاد ميل المماس للمنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) عند 𞸎=١ بالتعويض بـ 𞸎=١ في دالة الميل: 󰎨(١)=٢.

وبالمثل، ميل المماس عند 𞸎=١ هو: 󰎨(١)=٢.

وبما أن الميل يتغيَّر من سالب إلى موجب حول النقطة الحرجة، إذن لا بدَّ أن يكون المنحنى محدَّبًا لأسفل.

والآن، هيا نتناول بالتفصيل ما يحدث للمشتقة:

  • قبل النقطة الحرجة، تكون المشتقة سالبة.
  • عند النقطة الحرجة، تساوي المشتقة صفرًا.
  • بعد النقطة الحرجة، تكون المشتقة موجبة.

بالنسبة إلى الدالة 󰎨، تزيد قيمة 󰎨(𞸎)؛ بعبارة أخرى، معدَّل تغيُّر 󰎨(𞸎) أكبر من صفر.

معدَّل تغيُّر 󰎨(𞸎) يساوي مشتقتها 󰎨(𞸎)، 󰎨(𞸎)>٠.

ومن ثَمَّ، يُمكننا استخدام ذلك لتحديد التحدُّب:

إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠ لجميع قِيَم 𞸎 على الفترة (𞸐)، فإن المنحنى يكون مُحدَّبًا لأسفل على هذه الفترة.

يُعرَف هذا باختبار المشتقة الثانية؛ حيث تُخبرنا قيمة المشتقة الثانية عند النقطة الحرجة بطبيعة القِيَم القُصوى؛ ومن ثَمَّ تحدُّب المنحنى.

بعد ذلك، ننظر إلى 𞹟(𞸎)=𞸎٢. يُمكننا أن نلاحظ أنه قبل النقطة الحرجة يكون للمماس ميل موجب، وبعد النقطة الحرجة مباشرةً، يكون الميل سالبًا. ويُخبرنا هذا أن 󰎨(𞸎) تناقصية، وهو ما يُمكن التعبير عنه أيضًا على الصورة: 󰎨(𞸎)<٠.

ومن ثَمَّ، إذا أوجدنا قيمة المشتقة الثانية عند النقطة الحرجة، وكانت أقلَّ من صفر، فنستنتج أن لدينا قيمة عُظمى محلية. ويُمكننا توسيع نطاق الفكرة لنحصل على القاعدة الآتية:

إذا كانت 󰎨(𞸎)<٠ لجميع قِيَم 𞸎 على الفترة (𞸐)، فإن المنحنى يكون محدَّبًا لأعلى لجميع القِيَم على هذه الفترة.

لدينا الآن قاعدتان يُساعداننا في تحديد تحدُّب منحنًى. ولكن ماذا نفعل إذا كانت 󰎨(𞸎)=٠؟

إذا كانت 󰎨(𞸎)=٠، أو غير مُعرَّفة، فإنها قد تكون نقطة انقلاب. ومع ذلك، يجب ألَّا نفترض أن أيَّ نقطة تكون عندها 󰎨(𞸎)=٠ هي نقطة انقلاب. بدلًا من ذلك، علينا إيجاد قيمة المشتقة الثانية على جانبَيِ النقطة الحرجة، والتحقُّق إذا ما كان التحدُّب يتغيَّر من تحدُّب لأسفل إلى تحدُّب لأعلى، أو العكس.

تعريف: استخدام المشتقة الثانية لتحديد التحدُّب والانقلاب

  • إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠، لجميع قِيَم 𞸎، في الفترة 𞸐، فإن 󰎨 تكون محدَّبة لأسفل على 𞸐.
  • إذا كانت 󰎨(𞸎)<٠، لجميع قِيَم 𞸎، في الفترة 𞸐، فإن 󰎨 تكون محدَّبة لأعلى على 𞸐.
  • إذا كانت 󰎨(𞸎)=٠، أو غير مُعرَّفة، فقد تُوجَد نقطة انقلاب (ولكن هذا وحده لا يضمن وجود نقطة انقلاب). وللتأكُّد من وجود نقطة انقلاب، يجب أن يُوجَد تغيُّر في التحدُّب على جانبَيْ هذه النقطة.

ملاحظة:

يُمكن أن تُوجَد نقطة انقلاب عند نقطة حرجة، لكن هذا ليس ضروريًّا. انظر منحنى الدالة 󰎨(𞸎)=٣𞸎+٦𞸎٣٢.

يتغيَّر تحدُّب الدالة من التحدُّب لأسفل إلى التحدُّب لأعلى عند 𞸎=٢٣. هذه نقطة انقلاب، لكنها ليستْ نقطة حرجة.

سنتناول الآن مثالًا على كيفية حساب الفترات التي تكون دالة كثيرة الحدود عليها محدَّبة لأسفل أو لأعلى.

مثال ١: إيجاد فترات التحدُّب لأعلى والتحدُّب لأسفل لدالة كثيرة الحدود

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة 󰎨(𞸎)=٤𞸎+𞸎٥٣ مُحدَّبة لأعلى أو مُحدَّبة لأسفل.

الحل

نعلم الآتي:

إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠ لجميع قِيَم 𞸎 في الفترة (𞸐)، فإن المنحنى يكون محدَّبًا لأسفل لجميع قِيَم 𞸎 في هذه الفترة، وإذا كانت 󰎨(𞸎)<٠ لجميع قِيَم 𞸎 في الفترة (𞸐)، فإن المنحنى يكون محدَّبًا لأعلى لجميع قِيَم 𞸎 في هذه الفترة.

ومن ثَمَّ، علينا إيجاد المشتقة الثانية للدالة، واستخدام هذا لتحديد الفترات التي تكون عليها 󰎨(𞸎)>٠، 󰎨(𞸎)<٠.

المشتقة الأولى، 󰎨(𞸎)، هي: 󰎨(𞸎)=٥×󰁓٤𞸎󰁒+٣×𞸎=٠٢𞸎+٣𞸎.٤٢٤٢

بعد ذلك، نُوجِد المشتقة الثانية باشتقاق 󰎨(𞸎) بالنسبة إلى 𞸎: 󰎨(𞸎)=٤×󰁓٠٢𞸎󰁒+٢×(٣𞸎)=٠٨𞸎+٦𞸎.٣٣

والآن، بعد أن أصبحت لدينا المشتقة الثانية، يُمكننا تحديد الفترات التي تكون عليها 󰎨(𞸎)>٠، 󰎨(𞸎)<٠.

لنتمكَّن من ذلك، نبدأ بجعل المشتقة الثانية تساوي صفرًا، ونُوجِد قيمة 𞸎: ٠٨𞸎+٦𞸎=٠.٣

لحلِّ هذه المعادلة، يُمكننا تحليل الطرف الأيمن: ٢𞸎󰁓٠٤𞸎+٣󰁒=٠.٢

ومن هنا، يُمكننا إيجاد قيمة 𞸎؛ لأننا نعرف أنه إما أن يكون ٢𞸎 يساوي صفرًا، وإما أن يكون ما بين القوسين يساوي صفرًا: ٢𞸎=٠𞸎=٠، أو: ٠٤𞸎+٣=٠٠٤𞸎=٣𞸎=٣٠٤𞸎=±󰋺٣٠٤𞸎=±󰋺٣٠٤.٢٢٢

وفي هذه المرحلة، يُمكننا إنطاق المقام عن طريق ضرب البسط والمقام في 󰋴٠٤: 󰋴٣󰋴٠٤=󰋴٣󰋴٠٤󰋴٠٤󰋴٠٤=󰋴٣󰋴٤󰋴٠١٠٤=٢󰋴٠٣٠٤=󰋴٠٣٠٢.

حلول 󰎨(𞸎)=٠ هي 𞸎=٠، أو 𞸎=󰋴٠٣٠٢، أو 𞸎=󰋴٠٣٠٢. بعد ذلك، نرسم منحنى 󰎨(𞸎) ليساعدنا على تحديد إذا ما كانت الدالة أصغر من صفر، أو أكبر من صفر، أو تساوي صفرًا.

هذا منحنى دالة تكعيبية فيها معامل 𞸎٣ سالب، وجذورها 󰋴٠٣٠٢، 󰋴٠٣٠٢، صفر.

بتحديد المنطقة التي تكون فيها القيمة المُخرَجة للدالة أقلَّ من صفر باللون البرتقالي، والمنطقة التي تكون القيمة المُخرَجة فيها أكبر من صفر باللون الوردي، يصبح المنحنى هكذا:

ومن ثَمَّ، يُمكننا القول بأن 󰎨(𞸎)>٠؛ ومن ثَمَّ، تكون الدالة محدَّبة لأسفل على الفترتين 󰃯،󰋴٠٣٠٢󰃰، 󰃯٠،󰋴٠٣٠٢󰃰.

وبالمثل، 󰎨(𞸎)<٠؛ ومن ثَمَّ، تكون الدالة محدَّبة لأعلى على الفترتين 󰃯󰋴٠٣٠٢،٠󰃰، 󰃯󰋴٠٣٠٢،󰃰.

الدالة محدَّبة لأسفل على الفترتين 󰃯،󰋴٠٣٠٢󰃰، 󰃯٠،󰋴٠٣٠٢󰃰، ومحدَّبة لأعلى على الفترتين 󰃯󰋴٠٣٠٢،٠󰃰، 󰃯󰋴٠٣٠٢،󰃰.

في المثال الأول، حدَّدنا تحدُّب الدالة باستخدام المشتقة الثانية. في المثال الآتي، نتناول كيفية تحديد إذا ما كان للدالة أيُّ نقاط انقلاب.

مثال ٢: إيجاد نقطة انقلاب على منحنى دالة تربيعية، إن وُجدتْ

أوجد نقاط انقلاب المنحنى 𞸑=𞸎+٢𞸎٥٢.

الحل

يُمكننا أن نتذكَّر الآتي:

إذا كانت 𞸌 نقطة انقلاب، فإن 󰎨(𞸎)=٠ (أو غير مُعرَّفة)، ويكون المنحنى متَّصِلًا، ويتغيَّر من التحدُّب لأسفل إلى التحدُّب لأعلى، أو العكس، عند 𞸌.

يُمكننا إذن البدء بإيجاد المشتقة الثانية للمعادلة.

لاحظ أنه بما أن 𞸑 دالة كثيرة الحدود، نستنتج أنها دالة متَّصِلة وقابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل.

أولًا، نشتق الدالة 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎، وهو ما يُعطينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٢𞸎+٢.

المشتقة الثانية: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٢،٢٢ تُساوي عددًا ثابتًا موجبًا، وهو مستقلٌّ عن 𞸎، وهو ما يعني أن: 𞸃𞸑𞸃𞸎>٠.٢٢لال

ومن ثَمَّ، يكون 𞸑 محدَّبًا لأسفل لجميع قِيَم 𞸎.

وأخيرًا، بما أن تحدُّب الدالة لم يتغيَّر مُطلقًا، فهذا يعني أن المنحنى 𞸑=𞸎+٢𞸎٥٢ ليس له نقاط انقلاب.

في السؤال الآتي، نوضِّح كيف نستخدم المشتقة الثانية لإيجاد نقطة انقلاب منحنًى معيَّن.

مثال ٣: إيجاد نقطة الانقلاب على منحنى دالة كثيرة الحدود

أوجد نقطة الانقلاب على منحنى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٩𞸎+٦𞸎٣٢.

الحل

يُمكننا أن نتذكَّر الآتي:

إذا كانت 𞸌 نقطة انقلاب، فإن 󰎨(𞸎)=٠ (أو غير مُعرَّفة)، ويكون المنحنى متَّصِلًا، ويتغيَّر من التحدُّب لأسفل إلى التحدُّب لأعلى، أو العكس، عند 𞸌.

وبما أننا نعلم أن المنحنى له نقطة انقلاب، فسنبدأ بإيجاد المشتقة الثانية.

أولًا، نشتق الدالة 󰎨(𞸎) بالنسبة إلى 𞸎، وهو ما يُعطينا: 󰎨(𞸎)=٣𞸎٢×(٩𞸎)+٦=٣𞸎٨١𞸎+٦.٢٢

لإيجاد 󰎨(𞸎)، نشتق 󰎨(𞸎): 󰎨(𞸎)=٦𞸎٨١.

من الجدير بالملاحظة أن 󰎨 دالة خطية؛ أيْ إنها دالة متَّصِلة وقابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل، وهو ما يعني وجود 󰎨 لجميع قِيَم 𞸎 الحقيقية.

نعلم أنه قد تُوجَد نقطة انقلاب إذا كانت المشتقة الثانية تساوي صفرًا؛ ولذا، سنساويها بصفر، ونُوجِد قيمة 𞸎: ٦𞸎٨١=٠٦𞸎=٨١𞸎=٣.

ولكن كون 󰎨(𞸎)=٠ لا يعني وجود نقطة انقلاب بالتأكيد. ولذا، سنتحقَّق من تحدُّب المنحنى على جانبَيِ النقطة 𞸎=٣. لإجراء ذلك، سنتحقَّق من 󰎨(٢)، 󰎨(٤).

𞸎󰎨(𞸎)
٢٦×٢٨١=٦<٠
٣٠
٤٦×٤٨١=٦>٠

يُمكننا أن نلاحظ أن 󰎨(٢)<٠، وأن 󰎨(٤)>٠؛ ومن ثَمَّ، يتغيَّر المنحنى من التحدُّب لأعلى إلى التحدُّب لأسفل. نستنتج أن نقطة الانقلاب تقع عند 𞸎=٣.

لإيجاد الإحداثي 𞸑 لنقطة الانقلاب هذه، سنعوِّض بـ 𞸎=٣ في 󰎨(𞸎): 󰎨(٣)=٣٩×٣+٦×٣=٦٣.٣٢

نقطة الانقلاب على منحنى 󰎨(𞸎)=𞸎٩𞸎+٦𞸎٣٢ تقع عند (٣،٦٣).

في المثالين الآتيين، سنتعرَّف على كيفية تطبيق القواعد القياسية للاشتقاق للمُساعدة في اختبار التحدُّب ونقاط الانقلاب، مع التركيز بشكل خاص على الدوال المثلثية والدوال اللوغاريتمية.

مثال ٤: إيجاد نقطة انقلاب دالة تتضمَّن دوالَّ مثلثية في فترة مُعطاة

إذا كانت 󰎨(𞸎)=٤𞸎+٤𞸎؛ حيث ٠𞸎𝜋٢، فأوجد نقاط انقلاب 󰎨.

الحل

يُمكننا أن نتذكَّر الآتي:

إذا كانت 𞸌 نقطة انقلاب، فإن 󰎨(𞸎)=٠ (أو غير مُعرَّفة)، ويكون المنحنى متَّصِلًا، ويتغيَّر من التحدُّب لأسفل إلى التحدُّب لأعلى، أو العكس، عند 𞸌.

أولًا، نشتق الدالة 󰎨(𞸎) بالنسبة إلى 𞸎. للقيام بذلك، علينا أن نسترجع المشتقتين القياسيتين الآتيتين: 𞸃𞸃𞸎(󰏡𞸎)=󰏡󰏡𞸎،𞸃𞸃𞸎(󰏡𞸎)=󰏡󰏡𞸎.

وبتطبيق هذا على حدَّيِ الدالة، نحصل على: 󰎨(𞸎)=٤٤𞸎٤٤𞸎.

بعد ذلك، نشتق 󰎨(𞸎) لإيجاد المشتقة الثانية: 󰎨(𞸎)=٦١٤𞸎٦١٤𞸎.

تُوجَد نقطة الانقلاب عندما تُساوي المشتقة الثانية صفرًا (أو تكون غير موجودة)، وعندما يتغيَّر التحدُّب؛ لذا، نجعل 󰎨(𞸎)=٠، ثم نُوجِد قيمة 𞸎، متذكِّرين حصْر مجموعة الحلِّ على الفترة ٠𞸎𝜋٢.

ملاحظة:

الدالة 󰎨(𞸎) مجموع دالتين متَّصِلتين. وهذا يعني أن الدالة نفسها متَّصِلة؛ ومن ثَمَّ فهي مُعرَّفة على مجالها بالكامل: ٠=٦١٤𞸎٦١٤𞸎٠=٤𞸎+٤𞸎٤𞸎=٤𞸎١=٤𞸎٤𞸎.

في هذه المرحلة، يُمكننا أن نسترجع المتطابقة المثلثية: 𞸎=𞸎𞸎.

وباستخدام: ٤𞸎=٤𞸎٤𞸎. نحصل على: ١=٤𞸎، وهو ما يُمكننا حلُّه لإيجاد قيمة 𞸎: ١(١)=٤𞸎𝜋٤=٤𞸎.

في هذه المرحلة، يجب أن نتذكَّر أن 𞸎 دالة دورية لها الفترة 𝜋 راديان، ويُخبرنا هذا أنه قد يكون لها أكثر من حلٍّ.

ولإيجاد الحلول المُمكنة، نفكِّر في الفترة الأصلية، ومع ذلك، سنعدِّل هذا بالضرب في ٤ لنحصل على: ٠٤𞸎٢𝜋.

نُوجِد جميع القِيَم المُمكنة لـ ٤س على الفترة التي لدينا، وذلك بإضافة مضاعفات 𝜋 إلى الحلِّ لنحصل على: ٤𞸎=٣𝜋٤،٧𝜋٤.

وأخيرًا، يُمكننا قسمة الطرفين على أربعة لإيجاد 𞸎: 𞸎=٣𝜋٦١،٧𝜋٦١.

نعلم أن تحقُّق الشرط 󰎨(𞸎)=٠ لا يضمن وجود نقطة انقلاب. بل علينا أيضًا التحقُّق من تحدُّب الدالة على جانبَيْ قيمتَيْ 𞸎. نستخدم 𞸎=٥٫٠، 𞸎=٦٫٠ ليكونا القيمتين على جانبَيِ النقطة ٣𝜋٦١، و١٫٣ و١٫٤ على جانبَيِ النقطة ٧𝜋٦١.

𞸎󰎨(𞸎)
٠٫٥٩٨٫٧<٠
٠٫٦٩٩٫٠>٠
١٫٣٣٦٫٦>٠
١٫٤٠٣٫٢<٠

نلاحِظ أنه حول النقطة 𞸎=٣𝜋٦١ يتغيَّر المنحنى من التحدُّب لأعلى إلى التحدُّب لأسفل، وحول النقطة 𞸎=٧𝜋٦١ يتغيَّر من التحدُّب لأسفل إلى التحدُّب لأعلى. ومن ثَمَّ، نستنتج أن نقطة الانقلاب تقع عند 𞸎=٣𝜋٦١، 𞸎=٧𝜋٦١.

لإيجاد إحداثيات 𞸑 المناظِرة، نعوِّض بكلِّ قيمة لـ 𞸎 في الدالة الأصلية 󰎨(𞸎): 󰎨󰂔٣𝜋٦١󰂓=٠،󰎨󰂔٧𝜋٦١󰂓=٠.

وإذا كانت 󰎨(𞸎)=٤𞸎+٤𞸎؛ حيث ٠𞸎𝜋٢، فإن نقاط انقلاب 󰎨 تقع عند 󰂔٣𝜋٦١،٠󰂓، 󰂔٧𝜋٦١،٠󰂓.

في المثال الأخير، سنشرح كيفية تطبيق هذه الخطوات على دالة تتضمَّن لوغاريتمًا طبيعيًّا.

مثال ٥: إيجاد نقطة الانقلاب، إن وُجدتْ، لدالة تتضمَّن لوغاريتمًا

أوجد نقاط انقلاب 󰎨(𞸎)=٣𞸎٢𞸎٢𞸤، إنْ وُجدت.

الحل

إذا كانت 𞸌 نقطة انقلاب، فإن 󰎨(𞸎)=٠ (أو غير مُعرَّفة)، ويكون المنحنى متَّصِلًا، ويتغيَّر من التحدُّب لأسفل إلى التحدُّب لأعلى، أو العكس، عند 𞸌.

لإيجاد نقاط الانقلاب، نُوجِد قيمة المشتقة الثانية للدالة ونساويها بصفر.

بالنظر إلى الدالة، يُمكننا ملاحظة أنها عبارة عن حاصل ضرب دالتين: ٣𞸎٢𞸎.٢𞸤،

ومن ثَمَّ، نستخدم قاعدة الضرب للاشتقاق، وتنصُّ على أن: 𞸃𞸃𞸎(𞸏𞸔)=𞸏𞸃𞸔𞸃𞸎+𞸔𞸃𞸏𞸃𞸎.

نفترض أن 𞸏=٣𞸎٢، 𞸔=٢𞸎𞸤.

ثم نشتق بالنسبة إلى 𞸎، لنحصل على: 𞸃𞸏𞸃𞸎=٦𞸎𞸃𞸔𞸃𞸎=١𞸎.،

باستخدام قاعدة الضرب، نجد أن: 󰎨(𞸎)=٣𞸎×١𞸎+٦𞸎×٢𞸎=٣𞸎+٦𞸎٢𞸎.٢𞸤𞸤

لإيجاد المشتقة الثانية، نستخدم قاعدة الضرب مرةً أخرى لإيجاد مشتقة ٦𞸎٢𞸎𞸤: 󰎨(𞸎)=٣+٦+٦٢𞸎=٩+٦٢𞸎.𞸤𞸤

والآن، بعد أن أصبحت لدينا المشتقة الثانية، يُمكننا مساواتها بصفر وإيجاد قيمة 𞸎: ٠=٩+٦٢𞸎٩=٦٢𞸎٣٢=٢𞸎𞸤=٢𞸎١٢𞸤=𞸎.𞸤𞸤𞸤٣٢٣٢

نرى أنه قد تُوجَد نقطة انقلاب عند: 𞸎=١٢𞸤.٣٢

لكن كون 󰎨(𞸎)=٠ لا يضمن وجود نقطة انقلاب؛ لذا، سنتحقَّق من قيمتَيْ 󰎨(𞸎) على جانبَيْ هذه النقطة. إذا حسبنا ١٢𞸤٣٢ نجد أنه يساوي ٠٫١١٢ تقريبًا؛ ومن ثَمَّ، يُمكننا اعتبار أن قيمتَيْ 𞸎 هما ٠٫١ و٠٫١٢.

𞸎󰎨(𞸎)
٠٫١٦٥٦٫٠<٠
٠٫١٢٧٣٤٫٠>٠

نلاحظ من الجدول أن 󰎨(١٫٠)<٠، 󰎨(٢١٫٠)>٠. وهذا يُخبرنا بأن المنحنى يتغيَّر من التحدُّب لأعلى إلى التحدُّب لأسفل. وهو ما يؤكِّد إذن وُجود نقطة انقلاب عند: 𞸎=١٢𞸤.٣٢

يُمكننا الآن التعويض بقيمة 𞸎 هذه في الدالة الأصلية لإيجاد الإحداثي 𞸑 لنقطة الانقلاب: 󰎨󰂔١٢𞸤󰂓=٣󰃭𞸤٢󰃬×٢󰃭𞸤٢󰃬=٣𞸤٤×٣٢𞸤=٣٤𞸤×٣٢=٩٨𞸤.٣٢٣٢٣٢٢𞸤٣𞸤٣٣

لذا، نستنتج أن نقطة انقلاب الدالة 󰎨(𞸎)=٣𞸎٢𞸎٢𞸤 تقع عند 󰃭𞸤٢،٩٨𞸤󰃬٣٢٣.

يمكننا تطبيق ما تعلمناه عن التحدب على المعادلات البارامترية. في البداية نحتاج إلى تذكر كيفية إيجاد المشتقتين الأولى والثانية للمعادلات البارامترية.

تعريف: مشتقة المعادلة البارامترية

افترض أن 󰎨، 𞹟 دالتان قابلتان للإشتقاق؛ حيث 𞸎، 𞸑 معادلتان بارامتريتان: 𞸎=󰎨(𞸍)،𞸑=𞹟(𞸍).

إذن يمكننا تعريف مشتقة 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎 كالآتي: 𞸃𞸑𞸃𞸎=󰂔𞸃𞸃󰂓󰂔𞸃𞸃󰂓،𞸑𞸍𞸎𞸍 عند 𞸃𞸎𞸃𞸍٠.

تعريف: المشتقة الثانية للمعادلة البارامترية

افترض أن 󰎨، 𞹟 دالتان قابلتان للإشتقاق؛ حيث 𞸎، 𞸑 معادلتان بارامتريتان: 𞸎=󰎨(𞸍)،𞸑=𞹟(𞸍).

إذن يمكننا تعريف المشتقة الثانية لـ 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎 كالآتي: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃󰂔𞸃𞸃󰂓𞸃𞸃،٢٢𞸍𞸑𞸎𞸎𞸍 عند 𞸃𞸎𞸃𞸍٠.

نتناول مثالًا يشرح كيفية استخدام ذلك.

مثال ٦: تحديد تحدُّب منحنى بارامتري عند نقطة مُعطاة

انظر المنحنى المعرَّف بارامتريًّا 𞸎=𝜃، 𞸑=𝜃. حدِّد إذا كان المنحنى مُحدَّبًا لأسفل، أو لأعلى، أو لا هذا ولا ذاك، عند 𝜃=𝜋٦.

الحل

طُلِب منَّا أن نُحدِّد تحدُّب المنحنى؛ لذلك نحتاج إلى إيجاد المشتقة الثانية للمنحنى عند النقطة المُعطاة. بما أن هذا المنحنى مُعرَّف بارامتريًّا، إذن نستخدم الصيغة الآتية لإيجاد المشتقة الثانية: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃󰂔𞸃𞸃󰂓𞸃𞸃.٢٢𝜃𞸑𞸎𞸎𝜃

نبدأ بإيجاد 𞸃𞸎𞸃𝜃، 𞸃𞸑𞸃𝜃. نستطيع إجراء ذلك باستخدام مشتقات الدوال المثلثية. لدينا الآتي: 𞸃𞸎𞸃𝜃=𝜃 و: 𞸃𞸑𞸃𝜃=𝜃.

إذن، نجد أن: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𝜃𝜃=𝜃.

يمكننا الآن اشتقاق 𞸃𞸑𞸃𞸎 بالنسبة إلى 𝜃. باستخدام مشتقات مقلوب الدوال المثلثية، يكون لدينا: 𞸃𞸃𝜃󰃁𞸃𞸑𞸃𞸎󰃀=𝜃.٢

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه المشتقات في صيغة المشتقة الثانية. بذلك، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𝜃𝜃=𝜃.٢٢٢٣

وبعد أن وجدنا المشتقة الثانية لمعادلة المنحنى، نحتاج إلى التعويض بقيمة البارامتر عند النقطة التي نُحدِّد لها التحدُّب. النقطة المُعطاة هي عن 𝜃=𝜋٦، وبالتعويض بهذه القيمة في المعادلة، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=𝜋٦=٨.٢٢𝜃=٣𝜋٦

يمكننا ملاحظة أن المشتقة الثانية عند 𝜃=𝜋٦ سالبة، إذن يصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾<٠.٢٢𝜃=𝜋٦

وبذلك، تكون الدالة محدَّبة لأعلى عند هذه النقطة.

نختم بتلخيص النقاط الرئيسية لهذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • إذا كانت 󰎨(𞸎)>٠ لجميع قِيَم 𞸎 في الفترة 𞸐، فإن 󰎨 تكون محدَّبة لأسفل على 𞸐.
  • إذا كانت 󰎨(𞸎)<٠ لجميع قِيَم 𞸎 في الفترة 𞸐، فإن 󰎨 تكون محدَّبة لأعلى على 𞸐.
  • تُوجَد نقطة الانقلاب عندما يتغيَّر تحدُّب المنحنى، وعندما تكون 󰎨(𞸎)=٠، أو تكون غير مُعرَّفة (على الرغم من أن هذا وحده لا يضمن وجود نقطة انقلاب).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.